山东省2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷03

**基本信息** 以人教A版必修二为核心，通过祖暅原理文化情境、统计案例真实数据及分层设问（如解三角形多问），考查数学抽象、逻辑推理与数据分析素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数运算、随机数表、线面关系|基础概念辨析，如第3题线面平行判定| |多选|3/18|复数性质、独立事件、立体几何动态问题|第11题结合动点考查体积与异面直线角| |填空|3/15|频率分布直方图分位数、斜二测画法、解三角形最值|第14题综合面积与线段最值| |解答|5/77|解三角形、统计（频率分布直方图）、立体几何体积与证明、祖暅原理推导|第19题融合文化传承与体积推导，体现创新应用|

山东省2026年高一数学下学期期末模拟卷03 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修二全册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数，则为（   ） A． B． C．5 D． 【答案】B 【分析】由复数的乘法运算和模长公式即可求解. 【详解】，． 所以． 故． 2．某校对高一新生进行了数学摸底测试，现利用随机数表从中抽取60名学生进行成绩分析，先将全体900名学生编号为001，002，003，…，900，从中抽取60个样本，并提供了随机数表的第1行到第2行，如下所示.若从该随机数表中第1行第4列开始向右读取数据，则得到的第5个样本的编号为（    ） 95226000　49840128　66175168　39682927　43772366　27096623 92580956　43890890　06482834　59741458　29778149　64608925 A．175 B．866 C．751 D．615 【答案】A 【详解】从随机数表中第1行第4列开始向右读取数据，前5个数据依次是260，004，012，866，175，所以得到的第5个样本的编号为175. 3．已知表示三条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 【详解】对于A，若，，则或，所以A错误； 对于B，若，则与的夹角等于与的夹角，又，所以，所以B正确； 对于C，若，，则或与异面，所以C错误； 对于D，若，，则与可能平行，可能相交，也可能，所以D错误． 4．已知非零向量，满足，且，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用向量垂直的条件可计算出，再利用夹角公式即可求解. 【详解】 设与的夹角为，，， ，， 又，. 5．已知的内角，，的对边分别为，，且，，则的形状为（ ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】先根据确定边，再由求角，最后根据可确定三角形形状. 【详解】如图： 过作，垂足为. 则，，所以； 又，所以为等腰三角形. 由，得＝＝， 所以，，又因为， 则是等边三角形. 6．已知事件和互斥，下列等式一定成立的为（     ） A．； B．； C．； D．． 【答案】C 【分析】根据题意，利用互斥事件的定义和互斥事件的概率加法公式，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，若事件和互斥，且不妨设， 此时，所以A不一定正确； 对于B，由事件和互斥，可得，所以， 因为不一定为，所以与不一定相等，所以B不正确； 对于C，由互斥事件的概率加法公式，若事件和互斥， 可得，所以C正确； 对于D，若事件和互斥，且不妨设， 则，所以D不一定正确； 7．在中，内角的对边分别是，若，且的面积为，则b的最小值为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】利用射影定理并结合题意得到，再结合余弦定理和基本不等式求解即可. 【详解】由射影定理得，且， 可得，又，得到， 又，则， 解得，由余弦定理得 ， 当且仅当时取等号，所以b的最小值为2，故A正确. 8．已知四面体的4个顶点都在球的表面上，若平面，，，，则球的表面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】采取补形法求解，将满足两两垂直棱条件的四面体补成长方体，四面体的外接球与长方体的外接球完全重合，以此快速得到外接球的直径长度，进而求得球的表面积； 【详解】已知平面，平面， 因此, 又因为，可得两两互相垂直， 将四面体补成一个三条棱长度分别为、、的长方体， 四面体的外接球与长方体的外接球完全重合，外接球的直径等于长方体的体对角线长度， 设外接球的半径为，所以， 进而求得球的表面积. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．关于复数，下列说法正确的是（    ） A． B．z的共轭复数对应的点与z关于实轴对称 C．若复数满足，则 D．若，则 【答案】BD 【详解】对于A，复数的共轭复数为， ，A错误； 对于B，复数对应点， 其共轭复数对应点，两点关于实轴（轴）对称，正确； 对于C，由已知的解为，， 因此由 不能推出 ，C错误； 对于D，表示以点为圆心、半径为1的圆，圆心到原点的距离为， 因此圆上的点到原点的距离最小值为，最大值为， 即，D正确. 10．有6个相同的球，分别编号1、2、3、4、5、6，从中先不放回的随机取两次，再将球全部放回随机取一次，以上每次抽取一个小球，记事件A：第一次取球编号数字小于3；B：第二次取球编号数字为偶数；C：第三次取球编号为6；D：前两次取球编号数字和为7；E：第一、三次取球编号数字至少有一个1.则下列说法正确的是（  ） A． B．事件A与事件C相互独立 C．事件A与事件E相互独立 D．事件A与事件B相互独立 【答案】ABD 【分析】求出事件的概率，再根据相互独立事件概率的关系依次判断每个选项得到答案. 【详解】根据题意，，，，， 对于A，由于是不放回的取球，则，故A正确； 对于B，因为，所以事件与相互独立，故B正确； 对于C，因为，所以事件与不相互独立，故C错误； 对于D，因为，所以事件与相互独立，故D正确. 故选：ABD. 11．如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的有（     ） A．过，，三点的平面截正方体所得的截面的面积为 B．异面直线与所成角的取值范围是 C．当在线段上运动时，三棱锥的体积不变 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】根据正方体的性质，结合异面直线的定义、线面平行、面面平行的判定定理和性质定理逐项判定可确定ABC的正误，利用展开法和点到点距离的三角不等式，结合余弦定理计算可求得的最小值，进而判定D. 【详解】对于A，取的中点，连接， 因为为中点，所以， 因为 ，所以， 所以过，，三点的平面截正方体所得的截面为梯形， 又， 所以梯形的高为， 所以，故A正确； 对于B，因为，所以异面直线与所成角即为直线与所成角， 因为，所以当为的中点时，， 此时直线与所成角最大为， 当与点或重合时，直线与所成角最小， 因为，所以直线与所成角最小为， 所以异面直线与所成角的取值范围是，故B错误； 对于C， 因为，又平面，平面， 所以平面，所以上的点到平面的距离均相等， 所以到平面的距离为定值，又的面积固定， 所以当在线段上运动时，三棱锥的体积不变，C正确； 对于D，将等腰直角三角形展开与矩形在同一个平面内， ， 当共线时取等号，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某校组织了“人工智能知识”测试，现随机抽取了100名学生的测试成绩（单位：分），这100名学生的成绩都分布在区间内，绘制成如图所示的频率分布直方图. 则这100名学生成绩的61%分位数为______. 【答案】82 【分析】由百分位数求解即可. 【详解】设这100名学生成绩的61%分位数为x， 因为前4组频率之和为， 前5组频率之和为， 所以这100名学生成绩的61%分位数落在第5组内， 所以，解得，所以这200名学生成绩的61%分位数为82. 13．如图，是水平放置的用斜二测画法画出的直观图，其中，则的周长为________． 【答案】 【详解】由斜二测画法的性质可得，原图中，，， 所以， 因此周长. 14．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，则_______；设D是上一点，且，，则的最大值为_______． 【答案】 【分析】空一：利用余弦定理、正弦定理边角互化，结合和差公式化简即可得解；空二：利用余弦定理建立三边关系，并消去，整理后使用三角代换，结合辅助角公式求解可得. 【详解】空一：由余弦定理知： 所以 由正弦定理化简得：， 即 ， 即. 又，，所以，所以 空二：由题意得，， 在与中，分别有， 又，化简得， 又，代入整理得： ，即， 结合辅助角公式有， 所以当时，最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据商的关系和两角差的正弦公式化简可得，结合内角和关系求； （2）结合三角形面积公式和余弦定理列方程求，由此可得结论. 【详解】（1）由已知， 交叉相乘得，， 所以， 整理得， 又，， 所以或（舍去）或（舍去）， 所以，解得； （2）由已知，得①， 由余弦定理，得 ②， 由①②可得， 所以的周长. 16．为了解一种植物果实的情况，随机抽取一批该植物果实样本测量重量（单位：克），按照，，，，分为5组，其频率分布直方图如图所示． (1)求图中的值； (2)估计这种植物果实重量的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (3)已知这种植物果实重量不低于32.5克的即为优质果实．若所取样本容量，从该样本分布在和的果实中，随机抽取2个，求抽到的都是优质果实的概率． 【答案】(1) (2) 平均数为 ，中位数为 (3) 【分析】（1）由频率之和为1即可求出； （2）由频率分布直方图结合平均数和中位数求法即可求出； （3）列出任取2个的所有基本事件，即可求出概率. 【详解】（1）由图知，组距，由，得． （2）各组中点值和相应的频率依次为： 中点值 30 35 40 45 50 频率 0.1 0.2 0.375 0.25 0.075 所以， 果实重量在的频率为， 果实重量在的频率为， 果实重量在的频率为， 所以中位数满足关系， 由，解得． （3）由已知，果实重量在和内的分别有4个和3个， 分别记为和， 从中任取2个的取法有： ， ， ，共21种取法， 其中都是优质果实的取法有，共3种取法， 所以抽到的都是优质果实的概率． 17．如图，在三棱锥中，，底面，，M是的中点，N是的中点，点Q在线段上，且． (1)求点到平面距离； (2)求证：平面． 【答案】(1) (2)过点作，交于点，连接， 因为是的中点，， 由平行线分线段成比例得，即是的中点， 又是中点，因此，即； 结合已知，得，因此， 在中可得，因为，平面，平面，故平面； 因为，平面，平面，故平面， 又，且平面， 由面面平行判定定理得：平面平面， 因为平面， 因此平面. 【分析】（1）先由线面垂直判定定理证明平面，过作，交于点，再证明平面，是的中位线可得结论； （2）过点作，交于点，证明平面平面，由面面平行性质可得结论. 【详解】（1）因为底面，平面， 所以， 又，即， 且，平面， 所以 平面， 过作，交于点，由平面可知平面， 的长度即为点到平面的距离， 因为是中点，，所以是的中位线， 因此， 即点到平面的距离为； （2）略 18．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求的值； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． (3)若，当的周长最小时，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）运用正弦定理边角转化，三角函数的辅助角公式，结合三角形内角的范围求解； （2）利用正弦定理和三角恒等变换，把面积的取值范围转化为求角的正切值的取值范围，根据正切函数的单调性进行求解； （3）利用余弦定理用单一变量来表示三角形的周长，结合基本不等式进行求解. 【详解】（1），由正弦定理可得， 因为， 所以代入可得， 即， 因为，所以， 化简可得，即， 解得，因为，所以， 因此，即. （2）由正弦定理可得，即， 所以， ， 因为，所以， 代入可得， 因为为锐角三角形，， 所以，即，解得， 所以，即， 所以， 即的面积的取值范围为． （3）由余弦定理可得， 因为，代入可得，化简可得， 因此 ， 当且仅当，即时等号成立， 因此当的周长最小时，的值为． 19．南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”如图1，其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.祖暅原理可以求解球缺的体积问题.如图2，球体被平面截下的一部分叫作球缺，截面叫作球缺的底面，垂直于面的直径被截下的线段长叫作球缺的高h.如图3，各棱长均为4的正三棱锥中，点H是的中心，是正三棱锥的高（垂直于底面任意一条直线）. (1)求正三棱锥A-BCD的体积： (2)利用祖暅原理推导半径为R，高为的球缺的体积公式： (3)已知动点P在空间内运动，且，记点P围成的空间几何体为Ω.若平面BCD把空间几何体Ω分两个部分，求较小部分的体积. 【答案】(1) (2)球缺的体积为 (3) 【分析】（1）先求出正三棱锥底面三角形的面积，再结合正三棱锥的高，利用三棱锥体积公式求解. （2）构造一个底面半径，高为的圆柱，在圆柱里挖去一个同底等高的圆锥，利用祖暅原理，推导球缺体积公式； （3）由可知点的轨迹是以为直径的球，进而求出平面截该球所得截面圆的半径，从而得到截面面积.根据（2）中推导的球缺体积公式，将所求较小部分体积转化为可求的几何体体积进行计算. 【详解】（1）已知正三棱锥各棱长均为，是正三角形. 可得. 因为点H是的中心，在正三角形中，. 在中，根据勾股定理， 根据三棱锥体积公式，可得. （2）对于半球，构造一个底面半径，高为的圆柱，在圆柱里挖去一个同底等高的圆锥，如图所示： 则在距离半球底面处，由勾股定理可知截面半径， 此截面面积， 对于上述圆柱挖圆锥的组合体，在距离底面处，圆柱截面面积是， 圆锥在该高度处截面半径为，其截面面积为， 所以组合体在该高度处截面面积 . 可见在任意相同高度处，半球和组合体的截面面积相等. 根据祖暅原理可知夹在半球底面和距离半球底面处的几何体体积相等， 所以当时，夹在半球底面和距离半球底面处的几何体体积为， 所以对于的球缺的体积为； （3）因为，所以点的轨迹是以为直径的球，球的半径. 设球心为，为中点， 为中心，，则到平面的距离. 所以，代入（2）中的体积公式得： 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省2026年高一数学下学期期末模拟卷03 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修二全册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数，则为（   ） A． B． C．5 D． 2．某校对高一新生进行了数学摸底测试，现利用随机数表从中抽取60名学生进行成绩分析，先将全体900名学生编号为001，002，003，…，900，从中抽取60个样本，并提供了随机数表的第1行到第2行，如下所示.若从该随机数表中第1行第4列开始向右读取数据，则得到的第5个样本的编号为（    ） 95226000　49840128　66175168　39682927　43772366　27096623 92580956　43890890　06482834　59741458　29778149　64608925 A．175 B．866 C．751 D．615 3．已知表示三条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 4．已知非零向量，满足，且，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．已知的内角，，的对边分别为，，且，，则的形状为（ ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 6．已知事件和互斥，下列等式一定成立的为（     ） A．； B．； C．； D．． 7．在中，内角的对边分别是，若，且的面积为，则b的最小值为（   ） A．2 B．3 C． D． 8．已知四面体的4个顶点都在球的表面上，若平面，，，，则球的表面积为（     ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．关于复数，下列说法正确的是（    ） A． B．z的共轭复数对应的点与z关于实轴对称 C．若复数满足，则 D．若，则 10．有6个相同的球，分别编号1、2、3、4、5、6，从中先不放回的随机取两次，再将球全部放回随机取一次，以上每次抽取一个小球，记事件A：第一次取球编号数字小于3；B：第二次取球编号数字为偶数；C：第三次取球编号为6；D：前两次取球编号数字和为7；E：第一、三次取球编号数字至少有一个1.则下列说法正确的是（  ） A． B．事件A与事件C相互独立 C．事件A与事件E相互独立 D．事件A与事件B相互独立 11．如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的有（     ） A．过，，三点的平面截正方体所得的截面的面积为 B．异面直线与所成角的取值范围是 C．当在线段上运动时，三棱锥的体积不变 D．的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某校组织了“人工智能知识”测试，现随机抽取了100名学生的测试成绩（单位：分），这100名学生的成绩都分布在区间内，绘制成如图所示的频率分布直方图. 则这100名学生成绩的61%分位数为______. 13．如图，是水平放置的用斜二测画法画出的直观图，其中，则的周长为________． 14．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，则_______；设D是上一点，且，，则的最大值为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，的面积为，求的周长． 16．为了解一种植物果实的情况，随机抽取一批该植物果实样本测量重量（单位：克），按照，，，，分为5组，其频率分布直方图如图所示． (1)求图中的值； (2)估计这种植物果实重量的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (3)已知这种植物果实重量不低于32.5克的即为优质果实．若所取样本容量，从该样本分布在和的果实中，随机抽取2个，求抽到的都是优质果实的概率． 17．如图，在三棱锥中，，底面，，M是的中点，N是的中点，点Q在线段上，且． (1)求点到平面距离； (2)求证：平面． 18．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求的值； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． (3)若，当的周长最小时，求的值． 19．南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”如图1，其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.祖暅原理可以求解球缺的体积问题.如图2，球体被平面截下的一部分叫作球缺，截面叫作球缺的底面，垂直于面的直径被截下的线段长叫作球缺的高h.如图3，各棱长均为4的正三棱锥中，点H是的中心，是正三棱锥的高（垂直于底面任意一条直线）. (1)求正三棱锥A-BCD的体积： (2)利用祖暅原理推导半径为R，高为的球缺的体积公式： (3)已知动点P在空间内运动，且，记点P围成的空间几何体为Ω.若平面BCD把空间几何体Ω分两个部分，求较小部分的体积. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $