山东省2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷02

**基本信息** 以人教A版必修二知识为核心，通过鹳雀楼高度测量（文化传承）、垃圾分类竞赛统计（社会热点）等真实情境，考查空间观念、数据意识与逻辑推理，题型梯度适配高一期末综合测评。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数、向量、解三角形等|基础运算，如复数旋转对称（数学眼光）| |多选|3/18|统计、立体几何等|概念辨析，如三角形性质判断（逻辑推理）| |填空|3/15|概率、立体几何体积等|简洁计算，如四棱锥体积比（空间观念）| |解答|5/77|统计、概率、立体几何等|综合应用，如垃圾分类频率分布直方图（数据意识）、立体几何探究（创新意识）|

山东省2026年高一数学下学期期末模拟卷02 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修二全册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复平面上点P对应复数．将点绕原点逆时针旋转，再关于实轴对称，所得点对应复数，则（   ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【详解】将复数对应的点绕原点逆时针旋转，对应复数变为； 再关于实轴对称，对应复数变为， 所得点对应复数为， 旋转与关于实轴对称均不改变复数的模长， 所以． 2．已知非零向量，满足在方向的投影向量是，且，则与的夹角是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设与的夹角为，. 由，得，即， 因为为非零向量，故. 又在方向的投影向量为，故， 即， 解得，结合，得. 3．在中，角、、所对的边分别为、、，已知点D在边上，，， ，，则（     ） A． B． C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据张角列式即可求解. 【详解】如图，作出符合题意的图形， ∵，∴， 由张角定理得， 即， 即，即， 解得，∴，故B正确. 4．袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列说法正确的是（ ） A．取出的3个球颜色相同的概率为 B．取出的3个球颜色全不相同的概率为 C．取出的3个球颜色不全相同的概率为 D．取出的3个球无红球的概率为 【答案】C 【分析】应用古典概型计算各个选项即可. 【详解】设取得黄、红、白球分别为， 有放回地取球3次， 共 27种等可能结果， 其中颜色相同的结果有3种，其概率为，故A错误； 颜色全不相同的结果有6种，其概率为，故B错误； 颜色不全相同的结果有 24种,其概率为，故C正确； 无红球的结果有8种，其概率为，故D错误． 故选：C 5．中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则鹳雀楼的高度约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得、、，再利用正弦定理计算即可得解. 【详解】，， ，则， 由正弦定理可得， 即， 则. 6．如图，在四面体OABC中，，，，，，，为BC的中点，则点到平面OMA的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设点到平面OMA的距离为. ，，，平面； 平面，，即是直角三角形； ，，，； 为的中点，. . ，，，平面； 为的中点，平面，点到平面的距离为； ，，，. ，，即，解得. 即点到平面OMA的距离为. 7．已知样本数据的平均数为6，方差为11；样本数据的平均数为9，方差为20，现将两组样本数据合并，则新的样本数据的方差为（    ） A．19 B．20 C．26 D．30 【答案】A 【详解】由题意得，， ， 利用分层抽样的方差公式可得新的样本数据的方差为. 8．某圆台的轴截面是一个上底为，下底为，腰长为的等腰梯形，为圆台下底面圆周上一点，且，则二面角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过作下底面的垂线，垂足为，过作，垂足为，就是二面角的平面角，解三角形求其余弦值. 【详解】已知轴截面等腰梯形中，上底，下底，腰长为， 因此圆台的高（即等腰梯形的高） 为下底圆的直径，故下底圆半径， 因为在下底圆周上，是直径，所以， ，在中，， 过作下底面的垂线，垂足为（在轴截面上，故在直径上）， 得，且下底面， 过作，垂足为，连接， 则就是二面角的平面角， 因为的面积， 其中（为下底圆心），是到的距离， 又， 所以，解得， 在中，， 因此二面角的余弦值. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题正确的有（     ） A．如果一组数据的极差为，则这组数据的方差也为 B．已知样本数据，，，，，，，，则该组数据的分位数为 C．已知数据，，⋯，的平均数为，则数据，，⋯，的平均数为 D．已知数据，，⋯，的平均数，方差，若把剔除，则剩余这个数的方差不变 【答案】ABC 【详解】A项，一组数据的极差为0，说明这组数据都相等，则方差为0，故A正确； B项，，则样本数据，，，，，，，的60%分位数为第5个数据，即7，故B正确； C项，已知数据，，⋯，的平均数为，则数据，，⋯，的平均数为，故C正确； D项，由题知，，，即，， 又，所以，， 所以剔除后，则剩余这9个数的平均数为， 方差为，故D错误. 10．在△ABC中，内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则△ABC为钝角三角形 C．若，且，则△ABC为直角三角形 D．在中，若，且满足条件，则动点经过△ABC的垂心 【答案】BD 【分析】A.由判断；B. 由，结合平方关系，利用正弦定理得到，再用余弦定理判断；C. 根据都是单位向量，且，得到角A的角平分线也是高线，再由得到判断；D. 由，得到，再由判断. 【详解】A. 当时，满足，则，不满足，故错误； B. 由，得，由正弦定理得，则，所以角为钝角，故正确； C. 因为都是单位向量，且，所以角A的角平分线垂直于BC，所以且，则，所以是等边三角形，故错误； D. 由，得， 则， 所以，即动点在△ABC的高线上，所以动点经过△ABC的垂心，故正确； 故选：BD 11．如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点，则（   ）    A．存在点Q，使平面MBN B．不存在点Q，使B，N，P，Q四点共面 C．三棱锥的体积是定值，为 D．经过C，M，B，N四点的球的表面积 【答案】AC 【分析】利用立体几何点线面的位置关系及求体积表面积知识对选项逐一判断即可. 【详解】对于选项A，若点是的中点，则， 又因为,所以. 因为面,面 所以面.故选项A正确. 对于选项B，当点与重合，此时，, 又因为，所以 故四点共面，所以选项B不正确. 对于选项C，因为到面的距离即为正方体的棱长，且. 所以.故选项C正确. 对于选项D，设分别为和的中点，则经过四点的球即为 长方体的外接球. 因为该长方体的长宽高分别为.所以. 所以.故选项D不正确.    第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．复数，则的虚部是_____． 【答案】/ 【详解】先化简：，. 所以，共轭复数. 的虚部为. 13．已知随机事件满足，则下列结论 ：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①②④ 【分析】利用概率的性质结合已知即可推出①正确；再利用和事件的概率公式，即可得出判断． 【详解】对于①，， ， 又，所以， 故，①正确； 对于②③④，，结合， 可得，而， 所以，②正确，③错误，④正确． 14．如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为矩形，M为PC上一点且=，则平面ABM截四棱锥所得的上、下两部分的体积之比为____. 【答案】/ 【分析】设四棱锥的总体积为，利用同高不同底的棱锥体积比等于对应底边长（底面积）的比，结合已知比例，分割几何体计算出平面上方（含顶点）部分的体积，即可求得上下两部分的体积之比. 【详解】设四棱锥P-ABCD的体积为V，在PD上取一点N，使，连接MN，AN，BD，BN， 如图.因为，所以且，又，所以， 则，所以A，B，M，N四点共面，即为截面. 又，其中， ，所以， 即截面截四棱锥所得的上半部分的体积为，则下半部分的体积为， 所以平面ABM截四棱锥所得的上、下两部分的体积之比为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．2025年5月22日至5月28日是第三届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“分类齐参与，低碳新时尚”.某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了100名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为5组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求图中的值； (2)估计这100名学生这次竞赛成绩的平均数； (3)在这100名学生中，从这次竞赛成绩在内的学生中采用分层随机抽样的方法抽取27名学生进行调查，求这100名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用频率分布直方图中各小长方形面积之和等于求出； （2）用各组的组中值分别乘对应频率，再求和估计样本平均数； （3）先求出成绩在内、内的人数，再按分层随机抽样的比例求解. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，各组的组距都是 各组对应的小长方形面积之和等于总频率，所以 化简得即即即 所以图中 （2）由第（1）问可得 因此各组的频率分别为 对应这名学生的人数分别为 各组的组中值分别为 所以这 名学生竞赛成绩的平均数估计为 计算得 所以估计这名学生这次竞赛成绩的平均数为分. （3）由第（2）问可知，成绩在内的人数为 成绩在内的人数为 所以成绩在内的总人数为 现从这人中采用分层随机抽样的方法抽取人， 则成绩在内被抽取的人数为 所以这名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数为 16．在中，角的对边分别为．且满足，． (1)求角； (2)若，求的面积； (3)点D在边上，，E为中点，且，求角C的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用余弦定理即可求解; （2）利用余弦定理和三角形面积公式求解; （3）由已知可得，用直角三角形性质表示,在中，，结合正弦定理可得，通过三角恒等变换化简求解即可. 【详解】（1）因为，由余弦定理，得， 又，故. （2）由余弦定理，得， 即， ， 求得或（不合要求，舍去），即，   所以． （3）因为，为中点，所以，， 在中，由正弦定理，得，   又，即， 又，所以， 因为，所以，故，故， 其中，， 所以，所以， 所以． 因为，所以． 17．全国执业医师证考试分实践技能考试与医学综合笔试两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则执业医师考试“合格”，并颁发执业医师证书．甲、乙、丙三人在实践技能考试中“合格”的概率依次为、、，在医学综合笔试中“合格”的概率依次为、、，所有考试是否合格互不影响． (1)假设甲、乙、丙三人同时进行实践技能考试与医学综合笔试两项考试，谁获得执业医师证书的可能性最大？请说明理由． (2)这三人进行实践技能考试与医学综合笔试两项考试后，求恰有两人获得执业医师证书的概率． 【答案】(1)乙获得执业医师证书的可能性最大，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式，计算甲乙丙获得执业医师证书的概率，比较大小，即可得解. （2）分三种情况，结合互斥事件的概率加法公式以及独立事件的乘法公式，即可得解. 【详解】（1）记甲、乙、丙三人在实践技能考试中“合格”依次为事件，在医学综合笔试中“合格”依次为事件. 因为所有考试是否合格互不影响，所以与，与，与相互独立. 因此甲获得执业医师证书的概率； 乙获得执业医师证书的概率； 丙获得执业医师证书的概率， 所以. 故乙获得执业医师证书的可能性最大. （2）记甲、乙、丙三人获得执业医师证书依次为事件，则，，. 由于事件相互独立，则恰有两人获得执业医师证书的概率 . 故有两人获得执业医师证书的概率为. 18．如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，平面，且，点为棱的中点． (1)求证：； (2)求证：平面； (3)若为上的动点，则线段上是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)因为平面，平面，且平面平面， 根据线面平行的性质定理，可得：. (2)取的中点，连接.如图： 因为是中点，所以是的中位线，得，且. 由题设，结合（1）中，可得 且， 因此四边形是平行四边形，得. 又平面，平面， 根据线面平行的判定定理，可得：平面. (3)线段上存在点，当是中点时，平面.理由如下： 由，，可得且， 因此四边形是平行四边形，得. 又平面，平面，所以平面. 结合（2）的结论平面，且，平面， 根据面面平行的判定定理，可得平面平面. 因为是上动点，平面， 根据面面平行的性质，可得平面. 因此，线段上存在点，当为中点时满足平面. 【分析】（1）直接由线面平行的性质定理可得； （2）取的中点，构造平行四边形，再由线面平行的判定定理可得； （3）取的中点，由已知条件可得四边形是平行四边形，进而可得 平面，再结合（2）的结论及面面平行的判定定理可得平面，再由面面平行的性质可得. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 19．如图，在正三棱柱中，点D是BC的中点，． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)连接，交点O，连接，则O是的中点， 因为D是的中点，所以， 又平面，平面，所以平面. (2)因为为等边三角形，且D是的中点，所以， 由正三棱柱的性质知，平面，而平面，所以， 又 平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. (3) 【分析】（1）连接，交点O，连接，易得，再由线面平行的判定定理证明结论； （2）由已知得、，再由线面、面面垂直的判定定理证明结论； （3）根据（2）得点A到平面的距离为，应用等体积法求点面距离. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由（2）知平面，所以点A到平面的距离为， 而 2， 4，                        设点B到平面的距离为d，且， 所以，即 ，解得， 所以到平面的距离为． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省2026年高一数学下学期期末模拟卷02 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修二全册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复平面上点P对应复数．将点绕原点逆时针旋转，再关于实轴对称，所得点对应复数，则（   ） A． B． C．3 D．5 2．已知非零向量，满足在方向的投影向量是，且，则与的夹角是（     ） A． B． C． D． 3．在中，角、、所对的边分别为、、，已知点D在边上，，， ，，则（     ） A． B． C．4 D．6 4．袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列说法正确的是（ ） A．取出的3个球颜色相同的概率为 B．取出的3个球颜色全不相同的概率为 C．取出的3个球颜色不全相同的概率为 D．取出的3个球无红球的概率为 5．中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则鹳雀楼的高度约为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在四面体OABC中，，，，，，，为BC的中点，则点到平面OMA的距离为（    ）    A． B． C． D． 7．已知样本数据的平均数为6，方差为11；样本数据的平均数为9，方差为20，现将两组样本数据合并，则新的样本数据的方差为（    ） A．19 B．20 C．26 D．30 8．某圆台的轴截面是一个上底为，下底为，腰长为的等腰梯形，为圆台下底面圆周上一点，且，则二面角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题正确的有（     ） A．如果一组数据的极差为，则这组数据的方差也为 B．已知样本数据，，，，，，，，则该组数据的分位数为 C．已知数据，，⋯，的平均数为，则数据，，⋯，的平均数为 D．已知数据，，⋯，的平均数，方差，若把剔除，则剩余这个数的方差不变 10．在△ABC中，内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则△ABC为钝角三角形 C．若，且，则△ABC为直角三角形 D．在中，若，且满足条件，则动点经过△ABC的垂心 11．如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点，则（   ）    A．存在点Q，使平面MBN B．不存在点Q，使B，N，P，Q四点共面 C．三棱锥的体积是定值，为 D．经过C，M，B，N四点的球的表面积 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．复数，则的虚部是_____． 13．已知随机事件满足，则下列结论 ：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是______． 14．如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为矩形，M为PC上一点且=，则平面ABM截四棱锥所得的上、下两部分的体积之比为____. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．2025年5月22日至5月28日是第三届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“分类齐参与，低碳新时尚”.某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了100名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为5组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求图中的值； (2)估计这100名学生这次竞赛成绩的平均数； (3)在这100名学生中，从这次竞赛成绩在内的学生中采用分层随机抽样的方法抽取27名学生进行调查，求这100名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数. 16．在中，角的对边分别为．且满足，． (1)求角； (2)若，求的面积； (3)点D在边上，，E为中点，且，求角C的大小． 17．全国执业医师证考试分实践技能考试与医学综合笔试两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则执业医师考试“合格”，并颁发执业医师证书．甲、乙、丙三人在实践技能考试中“合格”的概率依次为、、，在医学综合笔试中“合格”的概率依次为、、，所有考试是否合格互不影响． (1)假设甲、乙、丙三人同时进行实践技能考试与医学综合笔试两项考试，谁获得执业医师证书的可能性最大？请说明理由． (2)这三人进行实践技能考试与医学综合笔试两项考试后，求恰有两人获得执业医师证书的概率． 18．如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，平面，且，点为棱的中点． (1)求证：； (2)求证：平面； (3)若为上的动点，则线段上是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置，若不存在，请说明理由． 19．如图，在正三棱柱中，点D是BC的中点，． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求点到平面的距离． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $