山东省2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷01

**基本信息** 以人教A版必修二为核心，融合神舟发射等科技情境与超市返现等生活应用，通过统计、立体几何、解三角形等模块考查数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|百分位数（1）、复数象限（2）、向量（3）|基础概念与运算，如第3题向量分解考查几何直观| |多选|3/18|复数运算（9）、数据特征（10）、正方体（11）|分层能力考查，第10题结合众数/中位数分析数据观念| |填空|3/15|概率（12）、外接圆（13）、正四棱台外接球（14）|生活应用与空间计算，第12题返现活动体现应用意识| |解答|5/77|频率分布直方图（15）、四棱锥证明（16）、解三角形（17）|综合探究，第15题神舟发射情境渗透创新意识，18题二面角考查推理能力|

山东省2026年高一数学下学期期末模拟卷01 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修二全册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．某校高一年级个班参加合唱比赛的得分如下：89，87，93，91，96，94，90，92，则这组数据的第25百分位数和平均数分别是（　　） A．89和 B．和 C．90和 D．和92 2．已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点在第三象限，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．在中，为边上的中线，为上一点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 4．从中随机选取三个不同的数，则这三个数之积为偶数且它们之和大于等于的概率为（    ） A． B． C． D． 5．如图所示，经过正三棱柱底面一边，作与底面成角的平面，已知截面三角形的面积为32，且点是棱柱所在侧棱的中点，则棱柱的侧面积为（     ）    A． B． C． D． 6．某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为；在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为．货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则灯塔与处之间的距离是（     ）m A． B．8 C．12 D． 7．在中，内角的对边分别是，若，且的面积为，则b的最小值为（   ） A．2 B．3 C． D． 8．已知一个正四棱锥的侧棱与底面所成角的正切值为，则该四棱锥侧面与底面的二面角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．复数，，已知，，下列说法正确的是（   ） A．复平面内与对应的点在第三象限 B． C． D． 10．某公司欲对甲、乙、丙、丁四名实习生进行考核，考核规则为对连续五个工作日的工作情况进行打分，若每天的得分均不低于80分（所得分均为整数），则考核合格，否则视为不合格，四人连续五个工作日的得分记录如下. 甲:众数为83，平均数为82. 乙:中位数为82，众数为80. 丙:中位数为85，平均数为82. 丁:有个工作日得分为89，平均数为83，方差为9.2. 甲、乙、丙、丁四人中，考核一定合格的为（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 11．在棱长为2的正方体中，P，Q，R分别为，，的中点，则下列说法正确的是（     ） A． B．直线与所成的角为 C．若三棱锥的所有顶点都在球的表面上，则球的表面积为 D．过点且与直线垂直的平面截正方体所得截面多边形的面积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某超市为了回馈消费者，现举行大额消费返现活动，规则如下：现有A、B两个不透明的盒子，其中A盒中放有2，5，7三张卡牌，B盒中放有4，10，14三张卡牌．现进行三轮抽取，每一轮从A、B两个盒子中各随机抽取1张卡牌，抽取的卡牌均不放回原盒中；每轮抽取中，若抽出的两张卡牌互质，则小明获得20元现金奖励，否则该轮无奖励．三轮抽取结束后，小明获得的返现奖励为40元的概率为______． 13．内角的对边分别为，则的外接圆的面积为______． 14．在高为的正四棱台中，，，则此四棱台的外接球的表面积为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．2026年5月24日23时08分，神舟二十三号发射成功，乘组航天员朱杨柱、张志远、黎家盈（首位香港女航天员）密切协同，将完成3.5小时快速径向交会对接．某地区为了激发人们对天文学的兴趣，开展了天文知识比赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有200人，这200人按年龄分成5组，得到如图所示的频率分布直方图， (1)根据频率分布直方图，估计这200人的平均年龄和众数； (2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任“党章党史”的宣传使者．若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率． 16．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面为等边三角形，，为中点． (1)求证：平面； (2)设为中点，，求直线与所成角的余弦值． 17．在中，角的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求该三角形的周长 (3)若，，为的平分线，求的长． 18．在四棱锥中，平面平面ABCD，，底面ABCD为菱形，，，E，F分别是SA，BC的中点．    (1)求证：平面SCD； (2)求二面角的余弦值； (3)求点B到平面SCD的距离． 19．记的内角的对边分别为，，， (1)已知， （i）若，求； （ii）求的最小值； (2)已知点D在边AC上且，，，求． 2 / 17 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省2026年高一数学下学期期末模拟卷01 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修二全册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．某校高一年级个班参加合唱比赛的得分如下：89，87，93，91，96，94，90，92，则这组数据的第25百分位数和平均数分别是（　　） A．89和 B．和 C．90和 D．和92 【答案】B 【详解】将这组数据按照从小到大的顺序排列为：， 因为，所以这组数据的第25百分位数为； 平均数为. 2．已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点在第三象限，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 由复数在复平面内对应的点在第三象限， 得，解得，即. 3．在中，为边上的中线，为上一点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量线性运算及平面向量基本定理求得的值. 【详解】， 则，，解得 4．从中随机选取三个不同的数，则这三个数之积为偶数且它们之和大于等于的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用列举法求古典概型的概率即可. 【详解】从中随机选取三个不同的数 有，，，，，，，，，，共10种情况， 其中三个数之积为偶数且它们之和大于等于的有，，，，共种情况， 所以这三个数之积为偶数且它们之和大于等于的概率为，故C正确. 5．如图所示，经过正三棱柱底面一边，作与底面成角的平面，已知截面三角形的面积为32，且点是棱柱所在侧棱的中点，则棱柱的侧面积为（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作的高 连接，利用截面三角形的面积，求出底面棱长以及侧棱长，利用棱柱侧面积公式即可求解. 【详解】因为这个三棱柱是正三棱柱，所以是正三角形，且所在直线与所在的平面垂直，则,如图：    作的高CE，连接DE，则平面，而平面，所以， 所以是二面角 的平面角，，，， 用S表示的面积，则，， ， ， 因为点是棱柱所在侧棱的中点，所以侧棱长为， 所以正三棱柱的侧面积为 6．某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为；在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为．货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则灯塔与处之间的距离是（     ）m A． B．8 C．12 D． 【答案】C 【详解】如图： 依题意，在中，，，， 所以， 由正弦定理，得. 在中，，，， 由余弦定理，得， 所以. 7．在中，内角的对边分别是，若，且的面积为，则b的最小值为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】利用射影定理并结合题意得到，再结合余弦定理和基本不等式求解即可. 【详解】由射影定理得，且， 可得，又，得到， 又，则， 解得，由余弦定理得 ， 当且仅当时取等号，所以b的最小值为2，故A正确. 8．已知一个正四棱锥的侧棱与底面所成角的正切值为，则该四棱锥侧面与底面的二面角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】正四棱锥为，底面为正方形，侧面为等腰三角形，记为底面中心， 则底面，底面，故， 则为侧棱与底面所成角， ，设，则底边长， 侧棱长， 取中点，连接，由为等腰三角形可得， 故即为该四棱锥侧面与底面的二面角的平面角， ， 又底面，底面， ，是直角三角形， ． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．复数，，已知，，下列说法正确的是（   ） A．复平面内与对应的点在第三象限 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】求出，利用复数的运算逐一分析每个选项即可. 【详解】对于A项，对应的点为在第二象限，故A错误； 对于B项，，则，故B正确； 对于C项，，故C正确； 对于D项，，故D正确. 10．某公司欲对甲、乙、丙、丁四名实习生进行考核，考核规则为对连续五个工作日的工作情况进行打分，若每天的得分均不低于80分（所得分均为整数），则考核合格，否则视为不合格，四人连续五个工作日的得分记录如下. 甲:众数为83，平均数为82. 乙:中位数为82，众数为80. 丙:中位数为85，平均数为82. 丁:有个工作日得分为89，平均数为83，方差为9.2. 甲、乙、丙、丁四人中，考核一定合格的为（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】BD 【分析】分别结合甲、乙、丙、丁四人已知的众数、中位数、平均数、方差的统计性质，逐一验证是否存在得分低于分的可能性，由此判断哪名实习生一定满足五天得分均不低于分的合格要求. 【详解】对于A：若甲有四个工作日的得分为，则剩余的那个工作日的得分为， 故甲的考核不一定合格，A错误； 对于B：将得分排序后，第三个为，且至少有两个，这两个必然是最小的两个数， 因此所有得分均不低于，故乙的考核一定合格，B正确； 对于C：丙的中位数为，平均数为，其得分可以为， 故丙的考核不一定合格，C错误； 对于D，由于丁有一个工作日的得分为，且平均数为， 若有一个工作日的得分为，由， 可知其方差必超过了，所以丁连续五个工作日的得分均不低于， 故丁的考核一定合格，D正确. 11．在棱长为2的正方体中，P，Q，R分别为，，的中点，则下列说法正确的是（     ） A． B．直线与所成的角为 C．若三棱锥的所有顶点都在球的表面上，则球的表面积为 D．过点且与直线垂直的平面截正方体所得截面多边形的面积为 【答案】ACD 【分析】对于A，根据线面垂直判定定理证明平面，即可判断；对于B，说明直线与所成的角为，结合余弦定理验算即可；对于C，只需求出三棱锥的外接球的半径，再结合球的表面积公式验算即可；对于D，说明截面为边长为的正六边形，然后根据面积公式验算即可. 【详解】对于A，因为四边形为正方形，所以， 由正方体性质可得平面，又平面， 所以，又，平面， 所以平面，因为平面， 所以，A正确； 对于B，如图所示， 因为，所以四边形是平行四边形，所以， 所以直线与所成的角为或其补角， 而， 所以，所以，故B错误； 对于C，如图所示， ， 所以三角形的外接圆半径为， 显然平面，且， 所以三棱锥的外接球的半径为， 所以球的表面积为，故C正确； 对于D，如图所示，取中点，顺次连接， 因为平面，平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 同理可证，， 而，，平面， 所以平面， 根据前面的假设有，，所以四点共面， 又因为，所以四边形是平行四边形， 所以，所以六点共面， 因为，平面，平面， 所以平面， 同理可证平面， 又因为平面，，平面， 所以平面平面， 又因为平面， 所以平面， 所以六边形即为过点且与直线垂直的平面截正方体所得截面多边形， 显然这是一个边长为的正六边形，其面积为，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某超市为了回馈消费者，现举行大额消费返现活动，规则如下：现有A、B两个不透明的盒子，其中A盒中放有2，5，7三张卡牌，B盒中放有4，10，14三张卡牌．现进行三轮抽取，每一轮从A、B两个盒子中各随机抽取1张卡牌，抽取的卡牌均不放回原盒中；每轮抽取中，若抽出的两张卡牌互质，则小明获得20元现金奖励，否则该轮无奖励．三轮抽取结束后，小明获得的返现奖励为40元的概率为______． 【答案】/ 【分析】利用古典概型的概率计算方法求概率. 【详解】因为每次抽取抽到的数字都是等可能的，所以这是一个古典概型问题. 所有的基本事件有：，，， ，，，共6个. 能够获得返现奖励为40元的基本事件有：，，，共3个. 所以获得返现奖励为40元的概率为. 13．内角的对边分别为，则的外接圆的面积为______． 【答案】 【分析】利用三角形内角正切恒等式，结合题设求出角C，再通过正弦定理求出外接圆半径，最后求出面积 【详解】由三角形内角和得，故． 由正切和角公式， 代入得：，整理得． 结合题设，联立得． 因，故． 已知，设的外接圆半径为R，则   外接圆面积 14．在高为的正四棱台中，，，则此四棱台的外接球的表面积为______. 【答案】 【分析】确定上底面和下底面的中心，连接两个中心，分球心在线段上和延长线上两种情况，利用勾股定理列出方程即可求解． 【详解】如图，正四棱台中，、分别是上、下底面对角线交点， 即上、下底面中心，是正四棱台的高，． ，， 由对称性外接球球心在直线上，设球半径为，连接， 则，， 若在线段上（如图），由得， 因为，，所以方程无实数解； 因此在的延长线上（如图），即在平面下方， 因此有，解得， 所以球表面积为． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．2026年5月24日23时08分，神舟二十三号发射成功，乘组航天员朱杨柱、张志远、黎家盈（首位香港女航天员）密切协同，将完成3.5小时快速径向交会对接．某地区为了激发人们对天文学的兴趣，开展了天文知识比赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有200人，这200人按年龄分成5组，得到如图所示的频率分布直方图， (1)根据频率分布直方图，估计这200人的平均年龄和众数； (2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任“党章党史”的宣传使者．若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率． 【答案】(1) 平均年龄为岁，众数为岁； (2) . 【分析】（1）根据频率分布直方图，利用组中值乘以对应频率之和估算平均数，最高矩形底边的中点即为众数； （2）根据分层抽样比例计算第四、五组抽取的人数，确定样本空间，利用古典概型概率公式求解. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，各组的频率分别为： 第一组：； 第二组：； 第三组：； 第四组：； 第五组：. 则平均年龄约为：（岁）. 众数的估计值为最高矩形底边的中点，即（岁）. 故估计这人的平均年龄为岁，众数为岁. （2）第四组的人数为人，第五组的人数为人. 因为采用分层随机抽样抽取人，抽样比为. 所以第四组应抽取人，第五组应抽取人. 第四组和第五组共抽取人. 由题意知，甲在第四组被抽取的人中，乙在第五组被抽取的人中. 记第四组除甲外的人为，第五组除乙外的人为. 则这人构成的集合为甲，，乙，. 从中随机抽取名作为组长， 结果有：甲，，甲，，甲，，甲，乙，甲，，，， ，乙，，，，乙，，，乙，，乙，共15种. 设事件为“甲、乙两人至少有一人被选上”，则其对立事件为“甲、乙两人都没有被选上”. 事件包含的结果是从这人中抽取人，结果有：，，， ，，共6种，则. 故，即甲、乙两人至少有一人被选上的概率为. 16．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面为等边三角形，，为中点． (1)求证：平面； (2)设为中点，，求直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明：取中点，连接，， ，，， ， 为平行四边形 ， 又平面，平面 平面 (2) 【分析】（1）先应用平行四边形得出，再应用线面平行判定定理证明； （2）先根据线面垂直判定定理得出平面，再得出面面垂直，应用面面垂直性质定理得出，最后计算边长得出线线角的余弦. 【详解】（1）略 （2）取中点，连接，，则或其补角为直线与所成角， ， 又，，平面， 平面， 又平面， ∴平面平面，平面平面， 又，平面， 平面，平面， 且， ， ，， ， 所以直线与所成角的余弦值为．. 17．在中，角的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求该三角形的周长 (3)若，，为的平分线，求的长． 【答案】(1) (2)12 (3) 【分析】（1）由正弦定理和两角和的正弦公式求解； （2）由面积公式和余弦定理综合求解； （3）利用等面积法，由求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 所以， 因为，所以， 因为，，所以，即， 又因为，所以. （2）由（1）知，又的面积为， 则，可得， 因为，由余弦定理， 得， 则，解得， 所以的周长为. （3）因为为的平分线， 由（1）知，则， 又， 则， 又， 所以， 整理得，所以. 18．在四棱锥中，平面平面ABCD，，底面ABCD为菱形，，，E，F分别是SA，BC的中点．    (1)求证：平面SCD； (2)求二面角的余弦值； (3)求点B到平面SCD的距离． 【答案】(1)取SD的中点M，连接ME，MC， 因为E，M分别为SA，SD的中点，则且， 又因为F为BC的中点，且四边形ABCD为菱形，则且， 可得且，可知四边形EFCM是平行四边形，则， 且平面SCD，平面SCD，所以平面SCD． (2) (3) 【分析】（1）作辅助线，可证，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）作辅助线，根据线面垂直分析可知为二面角的平面角，即可得结果； （3）由（2）可知：平面ABCD，利用等体积转化法求点到平面的距离. 【详解】（1）略 （2）取AB的中点O，连接SO，CO，AC，    因为，则， 且平面平面ABCD，平面平面，平面SAB， 所以平面ABCD， 由题意可知：为等边三角形，则， 且，平面，可得平面， 由平面可得， 又因为，则，， 可知为二面角的平面角， 在中，则，，， 可得， 所以二面角的余弦值为． （3）由（2）可知：平面ABCD， 且，， 设点B到平面SCD的距离为h， 因为，则， 即，解得， 所以B到平面SCD的距离为． 19．记的内角的对边分别为，，， (1)已知， （i）若，求； （ii）求的最小值； (2)已知点D在边AC上且，，，求． 【答案】(1)（i）；（ii） (2) 【分析】（1）（i）根据题意利用三角恒等变换整理可得，即可得结果； （ii）由（i）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式将化成，然后利用基本不等式即可解出． （2）两次应用余弦定理，求得边的关系，然后利用余弦定理即可求得的值. 【详解】（1）（i）因为， 可得， 且，所以． （ii）由（i）知，，所以， 而， 所以，即有，所以， 所以由正弦定理得 ． 当且仅当时取等号，所以的最小值为． （2）因为，如图，在中，，① 在中，．② 由①②得，整理得． 又因为，所以，解得或， 当时，（舍去）． 当时，． 所以． 2 / 17 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $