云南红河州蒙自市第一高级中学2025-2026学年高一下学期5月月考数学试题

**基本信息** 2025级高一下学期5月月考数学试卷，以集合、函数、立体几何等核心知识为载体，通过售后处理时间统计（数据意识）、立体几何证明（几何直观）、函数不动点问题（抽象能力）等设计，实现基础巩固与能力提升的有机统一。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合运算、命题否定、复数象限、函数性质|基础概念辨析，注重数学眼光的初步应用| |多选|3/18|不等式性质、三角恒等变换、立体几何动态问题|选项分层设计，考查推理能力的严谨性| |填空|3/15|向量数量积、分层抽样、函数零点|知识交叉融合，体现数学思维的灵活性| |解答|5/77|统计图表分析、三角函数性质、解三角形、立体几何证明与空间角、函数综合|实际情境与逻辑推理结合，如售后处理时间统计（数据意识）、立体几何多问证明（几何直观），契合高考命题趋势|

2025级高一下学期5月月考 数学 参考答案 一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A 0 A 0 ACD BC 题号 11 答案 ACD 1.B 【分析】由题设及并集定义可得答案. 【详解】由并集定义可得：AUB={x-1<x<2 2.A 【详解】由全称命题的否定是特称命题可知：命题“x≥1，x2-x≥0”的否定为3x≥1， x2-x<0. 3.D 【分析】由复数的运算法则求出z,由共轭复数的概念得z,进而得其在复平面内对应的点 的坐标，即可得解， 【详解】由题意可得：= 202520251+i)_2025,2025 1-i-(1-i01+i) 2 2 故：-202520251，其在复平面内对应的点为 20252025 位于第四象限 2 2 2 故选：D. 4.B 【分析】根据奇函数的判定方法及函数在(0，+o)上单调递增，逐项求解即可判断. 【详解】对于A,f(x)=e+e,定义域为R,f(-x)=e+e=f(x),所以f(x)为偶函 数，故A错误： 对于B,f(x)=e-e",定义域为R,f(-x)=ex-e=-(e-e)=-f(x), 所以f(x)为奇函数，又y=ex和y=-e都为R上的增函数， 所以f(x)=e-e"在R上单调递增，故B正确： 对于C,函数y=tanx是奇函数，但在(0，+o)上不是单调函数，故C错误； 答案第1页，共13页 对于D,f(x)=x3,定义域为(-m,0)U(0,+∞)， 因为f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x),所以f()为奇函数， 由幂函数性质可知f(x)=x3在(0，+∞)上单调递减，故D错误. 故选：B 5.A 【分析】求出B,计算CD,计算EA: 【详解】AB=CB-CA=b-a, 由4D=3B,得：D=}丽-a), cD-c4+a=a+6-回-a+, 因为点因是cm的中点，所以：西号c0=a-点-6， 面-c4-匠=a3a3, 6.C 【分析】由正弦定理化角为边，再利用余弦定理求得A,然后由余弦定理及已知求得b=c, 结合角A大小得三角形形状. 【详解】在eABC中，对于(a+b)(sinA-sinB)=c(sinC-sinB), 由正弦定理得：(a+b)(a-b)=c(c-b),即b2+c2-a2=bc, 由余弦定理得：cosA=B+c2-a2e1 2bc2bc 2 又Ae(0,,所以A=号又d=bc, 所以由余弦定理可得a2=b2+c2-2 bccosA=b2+c2-bc, 所以bc=b2+c2-bc,即(b-c)=0, 所以b=c,结合A=60°，可得4BC一定是等边三角形 7.D 【分析】根据对数函数的单调性分别计算α，b,c的范围即可求解. 【详解】对数函数y=1og3x在(0，+∞)上单调递增，且2<3， 所以1log32<log33=1,即a<1: 答案第2页，共13页 对数函数y=logx在(0，+)上单调递增，且5<11<5i=55, 所lg,5<og,1sg,5,1<b 对数函数y=log2x在(0，+∞)上单调递增，且22=2万<3<22=4， 所以1og,22<1g3<1og,22,即 3 2c<2: 综上可得a<b<c. 8.C 【分析】设AB=ae(Q,2),可得金1BC的外接圆半径r=冬，PA=2-a,根据直楼柱的外 接球半径公式结合二次函数运算求解即可. a 【详解】设AB=a∈(0,2)，则正ABC的外接圆半径r= 2sin60°V5' 、R G 因为PA+AB=2,则PA=2-a, 则该三棱锥外接球半径R PA (2-a2,a2 +2=4 762 4、2 3 2a-7习+7≥ 当且仅当a=时，等号成立， 2 )2 所以该三棱锥外接球表面积的最小值为4π 16π 7 故选：C 9.ACD 【分析】可根据不等式的性质判断A,可通过举反例来判断该选项B是否正确，通过作差 法判断C,可通过对上+} a+6 进行变形，然后利用基本不等式判断D. 【详解】选项A:已知ac2>bc2,则c2>0,则a>b,所以选项A正确： 选项B:当a=1,b=-1时，满足a>b,ab=1×(-1)=-1≠0， 此时名=分1，显然日片，所以选项B错误： a 答案第3页，共13页 选项C:b+c-b_ab+c)b(a+c_ab+ac-ab-be_ca-b) a+c aa(a+c) a(a+c) a(a+c） 因为a>b>c>0,所以a-b>0,a+c>0, 所以 a-D>0,即b+c_b0,b+c a(a+c) a+c a a+c a ,选项C正确； 选项D:已知a+b=1,a>0,b>0,将 1+ ·变形为： 日6日a*1+会12+8g a b a b' 根据基本不等式，因为a>0,b>0,所以。>0,2>0， a b 则22 262(当且仅当会号，即a=6-号时，等号威立： 所以上+=2++≥2+2=4，即上+之4，所以选项D正确 a b a b a b 10.BC 【分析】本题考查三角恒等变换的应用，需结合二倍角公式、同角三角函数基本关系，逐一 计算各选项代数式的值，判断是否等于号 【详解】选项A:由二倍角余弦公式cos2a=cos2a-sin&, 符cos75-sm275”-cos150°-5+分A错误 24 选项B:由二倍角正弦公式sin2a=2 sin a cosa, 得im75cos75°-im150°=号×)-，B正确 2 224 选项C:由同角三角函数关系1+tan'a&=1 cos2a' 代入得、tal5 1+tan215° tan15cos215o=sim15cos15°=二sin30°=4，C正确 2 选项D:结合诱导公式和二倍角正弦公式计算： 4sinl0°sin50sin70°= 4sinl0°cosl0°cos20°cos40° sin80°1,1 cosl0° 2cos10°2*4，D错误。 11.ACD 【分析】利用异面直线所成角的定义可判断A选项；找出截面，计算出各边的边长，可判 断B选项；根据异面直线公垂线段，可判断C选项：求出点Q的轨迹，结合余弦定理、正 弦定理可可判断C选项：推导出BD⊥平面AAFE,结合异面直线间的距离可判断D选项， 【详解】对于A选项，连接AC,如下图所示： 答案第4页，共13页 D C A B D M 因为CC∥DD,故直线DD与直线AN所成角为∠ANC或其补角， 因为CC⊥平面ABCD,ACC平面ABCD,所以CC1⊥AC, 因为CN=1,AC=VAB2+BC=√22+2=2V2,故tan∠4ANC=AC=2N5, CN 因此，直线DD与直线AWN所成角的正切值为2√2，A对： 对于B选项，连接AD、DN、BC,如下图所示： D A M 因为M、N分别为BC、CC的中点，所以N/BG, 在正方体ABCD-ABCD中，AB/CD,AB=C,D, 所以，四边形ABCD为平行四边形，故AD IIBC,所以MN∥AD, 即M、N、A、D四点共面，所以，平面AN截正方体，所得截面为四边形AMND, 由勾股定理可得AM=√AB2+BM?=√2？+1=√5， 同理可得MN=√2，DN=V5,AD=2N2, 因此，所得截面的周长为25+3√2，B错： 对于C选项，连接BD交AC于点E,连接AC1、D交于点F,连接EF, 答案第5页，共13页 D A B 则P到直线DD的距离的最小值即为异面直线AN、DD公垂线段的长度， 易知E、F分别为正方形ABCD、AB,CD的中心， 因为四边形ABCD为正方形，所以BD LAC, 因为AA⊥平面ABCD,BDC平面ABCD,所以BD⊥AA, 因为AC∩A4=A,A4、ACc平面AACC,故BDI平面AACC,即DE⊥平面A4CC, 因为BB,∥DD,BB=DD,故四边形BBDD为平行四边形， 因为E、F分别为BD、RD的中点，所以DE∥DF,DE=DF, 所以，四边形DDFE为平行四边形， 设EF∩AN=G,过点G作GHDE交棱DD于点H, 因为EGDH,故四边形DEG班为平行四边形，所以GHDE, 因为DE⊥平面AACC,AN、EFc平面AACC,所以DE⊥AN,DE⊥EF, 因为GHDE,EF∥DD,故GH⊥AN,GH⊥DD, 所以异面直线AN、DD公垂线段为GH,且GH=DE=√2， 即点P到直线DD的距离的最小值为√2，C对： 对于D选项，分别取线段B,C、BB的中点I、J,连接A、AJ、J、M、BC, A B 答案第6页，共13页 在正方体ABCD-ABCD中，BB I/CC,BB=CC1, 故四边形BB,CC为平行四边形，则BCI/B,C1,BC=BC, 因为I、M分别为BC、BC的中点，所以BM=BI,BM∥BI, 故四边形BB,IM为平行四边形，所以IMI/BB,IM=BB, 因为AA∥BB,AA=BB,则AAIM,AA=IM,故四边形AAIM为平行四边形， 所以A1AM, 因为AI文平面AMN,AMc平面AMN,所以AI∥平面AMN, 因为I、J分别为B,C、BB,的中点，所以JIBC,由A选项可知，MN川BC,故JMN, 因为IJ丈平面AMN,MNc平面AMN,所以IJI∥平面AMN, 因为AI∩IJ=I,AI、Jc平面AJ,故平面AIJ∥平面AMN, 当O∈AJ时，AQC平面AJ,则AO∥平面AMN,即点2的轨迹为线段AJ, 由勾股定理可得4D=VA4+AD=V2+22=2W2, 同理可得AJ=√5，DJ=3, 由余弦定理可得c0s∠D4J=4D+4JP-W: 8+5-9V10 2AD.AJ 2x2W2x√510 所以sin∠DAJ=-cos2∠DAJ= V10 3v10 10 10 所以，点DO的最小值为4 Dsin DAR=20,D对 故选：ACD. 二、填空题 12 13 14 5 12 4引（别 12.√5 答案第7页，共13页 【分析】转化a+=(ā+万=√元+B+2ā，利用数量积的定义及题干数据，即得解 【详解】a+=Va+B=后2+b2+五石=4H2xkc0s605 13.12 【分析】利用分层抽样的定义直接求解即可， 【详解】由题意知分层比为2：4：3：1，且总抽量为60件 故甲产品应抽60×品12件 故答案为：12 44引 【分析】画出函数的图象，令t=f(x),由题意可得方程tP+t+b=0(ab∈R)有2个不相 的实数限6，花合起度的情我有引传4=26专分 别求a的范围即可求出答案 【详解】作出x≥0时函数的图象，再根据函数为偶函数得到R上的函数图象： y=f(x) 令t=f(x),方程[f(x)了+a(x)+b=0(a,beR)化为P+t+b=0(a,beR), 由题意得方程P+at+b=0(a,b∈R)有2个不相等的实数根，t2,且1+，=-a, 有以下两种情况符合题意： @-引-.a=4-4》收a(引 ②当4=26c(32时，a=46e3+故a(4到引 综上可知实数a的取值范用是(4引（子引 故答案为： 〔4引别 三、解答题 33,40 15.155,1 (2)选乙种空调进行购买 答案第8页，共13页 【分析】(1)根据频率分布直方图求众数、中位数、平均数的计算规则计算即可得解； (2)先计算乙种空调的消费者中售后处理时间”的平均数，然后在和(1)中计算的平均数 做比较，即可得出结果， 【详解】(1)由使用甲种空调售后处理时间”的频率分布直方图知，售后处理时间在 [10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70]内的频率分别为0.06,0.34,0.12,0.04,0.40,0.04， 因此，使用甲种空调的消费者中“售后处理时间的众数为55， 因为0.06+0.34=0.4<0.5,0.06+0.34+0.12=0.52>0.5，则售后处理时间的中位数 m∈[30,40)， 于是得(m-30)x0.012=05-04,解得m=115 3 所以所求中位数为，、 所求平均数为15×0.06+25×0.34+35×0.12+45×0.04+55×0.4+65×0.04=40： (2)依题意，使用乙种空调的消费者中“售后处理时间的平均数为 15×0.04+25×0.2+35×0.56+45×0.14+55×0.04+65×0.02=35<40, 所以选乙种空调进行购买 16.(1)最小正周期T=元，对称中心为 G x a和晋 11r 【分析】（①）利用三角恒等变换将函数化为一个正弦型函数，根据周期公式得到最小正周期： 令正弦函数内部的相位等于π，解出x即为对称中心的横坐标： （2)令正弦函数内部的相位落在正弦函数的单调递增区间内，解出x的范围，得到单调递 增区间的通式，再与给定区间[0，兀]取交集，即得所求的单调递增区间. 【详解】(1)函数f(x)=2 sinxcosx--2W3cos2x+√3 =sin2x-√3cos2x 所以f()的最小正周期T=2亚=元， 2 令2x-=m(keZ),解得：X=+(keZ),此时f(x)=0, 3 62 答案第9页，共13页 f(x)的对称中心为 (2◆-子2hs2-骨好+2=7列. 解得音虹x晋+如e列， 12 f的年调造用区同为没+a晋可c列： 当k=0时，∫(x)的单调递增区间为 122:当k=1时，f()的单调递增区间为 π5π] 「11π17π 12’12 4K同0利内学河溢瑞X制]和[ 1.dc-含 4 【分析】(1)利用正弦定理化简边角关系后可求的大小： (2)根据余弦定理和基本不等式可得，从而可求面积的最大值. 【详解】（1)因为ccos4- a=b,由正弦定理得：sinCeos4-- 1 sinA=sinB①， 因为sinB=sim[元-(A+C)]=sin(A+C) 故①式可变形为sinCcosA--二sinA=sin(A+C), 即sinCcosA--sinA=sinAcosC+cosAsinC,化简得：sinAcosC 2 1=0 2 因为A∈(0，)，所以sin4>0,故cosC= 2 因为ce(0.故c 得sin4inc-2,所以c=2sinc, (2)由正弦定理得a=c 由(1)知C= 3元，故sinc= ,则c=√5， 2 由余弦定理得c2=a2+b2-2 abcosC,即3=a2+b2+ab≥3ab,则ab≤1， 当且仅当a=b=1时等号成立， 因此abenC-5b: 2 abs V3 4 4 所以c4BC面积的最大值为y5】 4 答案第10页，共13页 18.(1)证明见解析 (2)证明见解析 6好 【分析】(1)根据中位线定理及线面平行的判定定理证明即可. (2)根据线面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理证明即可. (3)根据线线平行及线面角的定义，在三角形中求解即可. 【详解】(1)证明：因为底面ABCD是正方形，AC,BD为对角线，所以O为BD中点， 又点M是PD的中点，所以OM//BP 又OMd平面PAB,BPC平面PAB,所以OMI/平面PAB. (2)证明：因为PA⊥平面ABCD,AD,BAC平面ABCD, 所以PA⊥BA,PA⊥AD,且△PAD为直角三角形 因为底面ABCD是正方形，所以BA⊥AD 又PA,ADC平面PAD,PAOAD=A,所以BA⊥平面PAD, 因为PDC平面PAD,所以BA⊥PD 在Rt△PAD中，PA=AD=4,点M是PD的中点，所以AM⊥PD. 又BA,AMC平面ABM,BAOAM=A,所以PD⊥平面ABM. (3)正方形ABCD中，AD/IBC, 所以直线AD与平面ABM所成角即为直线BC与平面ABM所成角， 又PDL平面ABM,所以∠MAD即为直线AD与平面ABM所成角，也即直线BC与平面ABM 所成角， 在RtAPAD中，PA=AD=4,点M是PD的中点，所以AM⊥PD,AM=MD, 所以∠MAD=元 4 故直线BC与平面ABM所成角为 19.(1)0,1: c- ar-3 【分析】(1)将a=1代入，根据不动点的定义及对数的运算求解即可； 答案第11页，共13页 (2)令1=2，xe[-1,,则1e片2，将问题转化为r-(2a+1r+2=0在1e片2]上有两个 不同解，根据二次函数根的分布求解即可： (3)由题意可得g(x)ms-2≤f(x)≤g(x)n+2,即有0≤f(x)≤3，从而得 2一≤2a≤2+分在[1,0)上恒成立，利用换元法，结合指数函数：反比例型函数及对勾 函数的性质求解即可 【详解】(1)当a=1时，f(x)=log2(4”-2+1+2）, 令f(x)=x,则有1og2（4-2H+2)=x, 所以4-21+2=2， 即4-3×2+2=(2-1)(2-2)=0， 解得x=0或x=1, 经检验，x=0和x=1均满足题意； 所以函数f(x)的不动点为：0,1： (2)由题意可得1og2（4-a2++2)=x, 即4-a21+2=2,(2)2-(2a+1)2"+2=0在[-1,1上有两个不同解， 令t=2,x∈[-1,1，则t∈[5,2]， 则问题转化为P-(2a++2-0在1e习上有两个不同解， 1 2a+12 2 2 12a+1 由二次函数根的分布可得 +2≥0 42 4-2(2a+1)+2≥0 △=(2a+1)2-8>0 解得2√2-1 <a≤1， 所以实数a的取值范围为(25- 2 3)因为g)-) 在[-1,0]上单调递减， 答案第12页，共13页 所以e6.-=2ee月=1. 原不等式可化为g()-2≤f()≤g(化)+2， 即g(r)ms-2≤f(y)≤g(x)n+2, 所以0≤f(x)≤3，即0≤log2(4"-a2H+2)≤3， 所以1≤4-a-2+2≤8， 所以2名≤2a≤2+在[-1q上损成立， 令m=25e[L0,则me2, 则有m-6s2n≤m+在me片】上恒成立， u 因为y=m-6在m∈弓】上单调递增， 所以0m-6x=-5: y=m+在me[]上单调递减， 、 所以m+京m=2,， 所以-5s2a≤2，解得- 2sas1, 所以实数a的取值花围为打 答案第13页，共13页 2025级高一下学期5月月考 数 学 （全卷满分150分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等相关信息填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．命题“，”的否定为 A．， B．， C．， D．， 3．已知，则在复平面内，对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．下列函数中，既是奇函数，又在单调递增的是 A． B． C． D． 5．如图，在中，，点是的中点．设，，则 A． B． C． D． 6．在中，，，则一定是 A．钝角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 7．已知，，，则，，的大小关系为 A． B． C． D． 8．三棱锥的底面为正三角形，侧棱底面，若，则该三棱锥外接球表面积的最小值为 A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9．已知，，为实数，则 A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，，则 10．下列代数式的值为的是 A． B． C．     D． 11．如图，在棱长为的正方体中，、分别是棱、的中点，点在线段上，在正方形内，则下列说法中正确的是 A．直线与直线所成角的正切值为 B．平面截正方体，所得截面的周长为 C．点到直线的距离的最小值为 D．若平面，则的最小值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量，的夹角为，且，则______． 13．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号产品，产量分别为200、400、300、100件.为检验产品的质量，用分层抽样的方法，从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从甲种型号的产品抽取______件. 14．已知定义在上的函数是偶函数，当时，，若关于的方程，有且仅有6个不同实数根，则实数的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题13分）随着商品经济的发展，市场竞争日益激烈，消费者在选购产品时，不仅注重商品的质量，更加注重产品的售后服务，从商家收到消费者问题的反馈到问题得到圆满的解决，这个时间长度我们称为“售后处理时间”.这个“售后处理时间”无疑越短越受消费者的欢迎，现从某市使用甲和乙两种空调的消费者中分别随机抽取100个消费者，对他们的“售后处理时间”进行统计，得到频率分布直方图如下： (1)试估计该市使用甲种空调的消费者的“售后处理时间”的众数、中位数及平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)如果以“售后处理时间”的平均数作为决策依据，从甲和乙两种空调中选择一款购买，你会选择哪款？ 16．（本题15分）已知函数. (1)求的最小正周期和对称中心； (2)求在区间内的单调递增区间. 17．（本题15分）记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求的大小. (2)若，求面积的最大值. 18．（本题17分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，垂足为，，交于点，点是的中点． (1)求证：平面． (2)求证：平面． (3)求直线与平面所成角的大小． 19．（本题17分）对于函数，若，则称实数为函数的不动点，设函数，， (1)若，求函数的不动点； (2)若函数在区间上存在两个不动点，求实数的取值范围： (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ) ( ) 2025级高一下学期5月月考卷 数学·答题卡 ( 准考证号 ) ( 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 8 9 9 9 9 9 9 9 )姓 名： 班 级： 考 场： 考 号： 座位号： ( 1 ．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚。 2 ． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5 ．正确填涂 缺考标记 ) ( 一 、选择题（每小题5分，共 40 分） 1 A B C D 2 A B C D 3 A B C D 4 A B C D 5 A B C D 6 A B C D 7 A B C D 8 A B C D 二、选择题 （ 每小题 6 分，共 18 分 ） 9 A B C D 10 A B C D 11 A B C D 三 、填空题（每小题5分，共 15 分） 12 ． ____________________ 1 3 ． ____________________ 1 4 ． ____________________ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 四 、解答题（共 77 分， 解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 ） 15．（13分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 16．（15分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 17．（15分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18．（17分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19．（17分） ) 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级高一下学期5月月考 数 学 参考答案 一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A D B A C D C ACD BC 题号 11 答案 ACD 1．B 【分析】由题设及并集定义可得答案. 【详解】由并集定义可得： 2．A 【详解】由全称命题的否定是特称命题可知：命题“，”的否定为，. 3．D 【分析】由复数的运算法则求出，由共轭复数的概念得，进而得其在复平面内对应的点的坐标，即可得解. 【详解】由题意可得， 故，其在复平面内对应的点为，位于第四象限. 故选：D. 4．B 【分析】根据奇函数的判定方法及函数在上单调递增，逐项求解即可判断. 【详解】对于A，，定义域为，，所以为偶函数，故A错误； 对于B，，定义域为，， 所以为奇函数，又和都为上的增函数， 所以在上单调递增，故B正确； 对于C，函数是奇函数，但在上不是单调函数，故C错误； 对于D，，定义域为， 因为，所以为奇函数， 由幂函数性质可知在上单调递减，故D错误. 故选：B 5．A 【分析】求出，计算，计算. 【详解】， 由，得： ， ， 因为点是的中点，所以： ， ， 6．C 【分析】由正弦定理化角为边，再利用余弦定理求得，然后由余弦定理及已知求得，结合角大小得三角形形状． 【详解】在中，对于， 由正弦定理得：，即， 由余弦定理得：， 又，所以，又， 所以由余弦定理可得， 所以，即， 所以，结合，可得一定是等边三角形. 7．D 【分析】根据对数函数的单调性分别计算的范围即可求解． 【详解】对数函数在上单调递增，且， 所以，即； 对数函数在上单调递增，且， 所以，即； 对数函数在上单调递增，且， 所以，即； 综上可得． 8．C 【分析】设，可得的外接圆半径，，根据直棱柱的外接球半径公式结合二次函数运算求解即可. 【详解】设，则正的外接圆半径， 因为，则， 则该三棱锥外接球半径， 当且仅当时，等号成立， 所以该三棱锥外接球表面积的最小值为. 故选：C. 9．ACD 【分析】可根据不等式的性质判断A，可通过举反例来判断该选项B是否正确，通过作差法判断C，可通过对 进行变形，然后利用基本不等式判断D. 【详解】选项A：已知 ，则，则 ，所以选项A正确； 选项B： 当 时，满足 ， ， 此时 ，显然 ，所以选项B错误； 选项C：， 因为 ，所以， 所以，即，，选项C正确; 选项D: 已知 ， ，将 变形为：, 根据基本不等式，因为 ，所以 ， 则 （当且仅当 ，即 时，等号成立）； 所以 ，即 ，所以选项D正确. 10．BC 【分析】本题考查三角恒等变换的应用，需结合二倍角公式、同角三角函数基本关系，逐一计算各选项代数式的值，判断是否等于. 【详解】选项A：由二倍角余弦公式， 得，A错误. 选项B：由二倍角正弦公式， 得，B正确. 选项C：由同角三角函数关系， 代入得，C正确. 选项D：结合诱导公式和二倍角正弦公式计算：，D错误. 11．ACD 【分析】利用异面直线所成角的定义可判断A选项；找出截面，计算出各边的边长，可判断B选项；根据异面直线公垂线段，可判断C选项；求出点的轨迹，结合余弦定理、正弦定理可可判断C选项；推导出平面，结合异面直线间的距离可判断D选项, 【详解】对于A选项，连接，如下图所示： 因为，故直线与直线所成角为或其补角， 因为平面，平面，所以， 因为，，故， 因此，直线与直线所成角的正切值为，A对； 对于B选项，连接、、，如下图所示： 因为、分别为、的中点，所以， 在正方体中，，， 所以，四边形为平行四边形，故，所以， 即、、、四点共面，所以，平面截正方体，所得截面为四边形， 由勾股定理可得， 同理可得，，， 因此，所得截面的周长为，B错； 对于C选项，连接交于点，连接、交于点，连接， 则到直线的距离的最小值即为异面直线、公垂线段的长度， 易知、分别为正方形、的中心， 因为四边形为正方形，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，故平面，即平面， 因为，，故四边形为平行四边形， 因为、分别为、的中点，所以，， 所以，四边形为平行四边形， 设，过点作交棱于点， 因为，故四边形为平行四边形，所以， 因为平面，、平面，所以，， 因为，，故，， 所以异面直线、公垂线段为，且， 即点到直线的距离的最小值为，C对； 对于D选项，分别取线段、的中点、，连接、、、、， 在正方体中，，， 故四边形为平行四边形，则，， 因为、分别为、的中点，所以，， 故四边形为平行四边形，所以，， 因为，，则，，故四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为、分别为、的中点，所以，由A选项可知，，故， 因为平面，平面，所以平面， 因为，、平面，故平面平面， 当时，平面，则平面，即点的轨迹为线段， 由勾股定理可得， 同理可得，， 由余弦定理可得， 所以， 所以，点的最小值为，D对. 故选：ACD. 二、填空题 12 13 14 12 12． 【分析】转化，利用数量积的定义及题干数据，即得解 【详解】 13．12 【分析】利用分层抽样的定义直接求解即可. 【详解】由题意知分层比为，且总抽量为件 故甲产品应抽件 故答案为：12 14． 【分析】画出函数的图象，令，由题意可得方程有个不相等的实数根且，符合题意的情况有和，分别求的范围即可求出答案. 【详解】作出时函数的图象，再根据函数为偶函数得到上的函数图象：    令，方程化为， 由题意得方程有个不相等的实数根，且， 有以下两种情况符合题意： ①当时，，故， ②当时，，故， 综上可知实数的取值范围是. 故答案为：. 三、解答题 15．(1)55，，40 (2)选乙种空调进行购买 【分析】（1）根据频率分布直方图求众数、中位数、平均数的计算规则计算即可得解； （2）先计算乙种空调的消费者中“售后处理时间”的平均数，然后在和（1）中计算的平均数做比较，即可得出结果. 【详解】（1）由使用甲种空调“售后处理时间”的频率分布直方图知，售后处理时间在内的频率分别为， 因此，使用甲种空调的消费者中“售后处理时间”的众数为55， 因为，则“售后处理时间”的中位数， 于是得，解得， 所以所求中位数为， 所求平均数为； （2）依题意，使用乙种空调的消费者中“售后处理时间”的平均数为 ， 所以选乙种空调进行购买. 16．(1)最小正周期，对称中心为； (2)和. 【分析】利用三角恒等变换将函数化为一个正弦型函数，根据周期公式得到最小正周期；令正弦函数内部的相位等于，解出即为对称中心的横坐标； （2）令正弦函数内部的相位落在正弦函数的单调递增区间内，解出的范围，得到单调递增区间的通式，再与给定区间取交集，即得所求的单调递增区间. 【详解】（1）函数 ， 所以的最小正周期， 令，解得：，此时， 的对称中心为； （2）令， 解得， 的单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为； 在区间内单调递增区间和. 17．(1) (2). 【分析】（1）利用正弦定理化简边角关系后可求的大小； （2）根据余弦定理和基本不等式可得，从而可求面积的最大值． 【详解】（1）因为，由正弦定理得：①，         因为. 故①式可变形为， 即，化简得：， 因为，所以，故.         因为，故. （2）由正弦定理得，所以， 由（1）知，故，则，         由余弦定理得，即，则，         当且仅当时等号成立，         因此， 所以面积的最大值为． 18．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据中位线定理及线面平行的判定定理证明即可. （2）根据线面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理证明即可. （3）根据线线平行及线面角的定义，在三角形中求解即可. 【详解】（1）证明：因为底面是正方形，，为对角线，所以为中点， 又点是的中点，所以. 又平面，平面，所以平面. （2）证明：因为平面，，平面， 所以，，且为直角三角形. 因为底面是正方形，所以. 又，平面，，所以平面， 因为平面，所以. 在中，，点是的中点，所以. 又，平面，，所以平面. （3）正方形中，， 所以直线与平面所成角即为直线与平面所成角， 又平面，所以即为直线与平面所成角，也即直线与平面所成角. 在中，，点是的中点，所以，， 所以. 故直线与平面所成角为. 19．(1)0，1； (2)； (3) 【分析】（1）将代入，根据不动点的定义及对数的运算求解即可； （2）令，则，将问题转化为在上有两个不同解，根据二次函数根的分布求解即可； （3）由题意可得，即有，从而得在上恒成立，利用换元法，结合指数函数，反比例型函数及对勾函数的性质求解即可. 【详解】（1）当时，， 令，则有， 所以， 即， 解得或， 经检验，和均满足题意； 所以函数的不动点为：0，1； （2）由题意可得， 即，在上有两个不同解， 令，则， 则问题转化为在上有两个不同解， 由二次函数根的分布可得， 解得， 所以实数的取值范围为； （3）因为在上单调递减， 所以， 原不等式可化为， 即， 所以，即， 所以， 所以在上恒成立； 令，则， 则有在上恒成立， 因为在上单调递增， 所以； 在上单调递减， 所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■ 2025级高一下学期5月月考卷 数学·答题卡 准考证号 姓 名： 班 级： [0]0] [0]0] [01 [0] [0] c11c11 C13 C1]C1] C11 [1] 考场： [21 [2] [21 [21 [2] C21 [2] [3] [3] [3] [3] [3] [31 [3 考号： 4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [5] [51 [51 [51 [5] [5] [5] [61 [61[6] [6] 座位号： [6] [6] [6] [7] E71 [7] C7] [71 [7] [7 [81 [8] [8] [8] [81 [81 81 9]9]9] [9] [91 [9] [91 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字 笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题：字体工整、笔迹清晰。 缺考标记 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5.正确填涂■ 一、选择题（每小题5分，共40分） 1[A]CB]CC][D] 4CA][B][C][D] 7CA][B][C][D] 2CA]CB]CC]CD] 5CA]CB]CC]CD] 8CA]CB]CC]CD] 3[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 二、选择题（每小题6分，共18分） 9EA][B][C][D] 10[A][B][C][D] 11CA][B]CC]CD] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 13 14. 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) D M A :>D B 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 数学第6页（共6页）2025级高一下学期5月月考 数学 (全卷满分150分，考试用时120分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等相关信息填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的， 1.已知集合A={x|-1<x≤1}，B={x|0<x<2},则AUB= A.{x0<x≤1} B.{x|-1<x<2} C.{x|0<x<1} D.{x|-1<x<0} 2.命题“x≥1，x2-x≥0”的否定为 A.3x21,x2-x<0B.∀x21,x2-x<0C.3x<1,x2-x<0 D.x≤1，x2-x≥0 3.已知：=2025 1-i 则在复平面内，z对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.下列函数中，既是奇函数，又在(0，+o)单调递增的是 A.f(x)=e*+e* B.f(x)=e*-e* C.f(x)=tanx D.f(x)=x3 5.如图，在△4BC中，AD=AB,点B是CD的中点.设C=a,CB=b,则A= 3 A.2a-1五 B.2a+1b c.a-2五 D.a+2 36 36 63 63 6.在△ABC中，(a+b)(sinA-sinB)=c(sinC-sinB),ad2=bc,则△ABC一定是 A.钝角三角形 B.等腰非等边三角形C.等边三角形 D.直角三角形 7.已知a=log32,b=log511,c=1og23,则a,b,c的大小关系为 A.a<c<b B.b<c<a C.b<a<c D.a<b<c 8.三棱锥P-ABC的底面ABC为正三角形，侧棱PA⊥底面ABC,若PA+AB=2,则该三棱锥外接球表 面积的最小值为 D.32W7π 147 第1页，共4页 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分 9.已知a,b,c为实数，则 11 A.若ac2>bc2,则a>b B.若a>b,ab≠0，则二< "a b C.若a>b>c>0,则b+c>b D.若a>0,b>0,a+b=1,则+方≥4 a+c a 10.下列代数式的值为的是 A.cos275°-sin275 B.sin75°cos75o C. tanl5° D.4sinl0°sin50°sin70° 1+tan2159 11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABGD中，M、N分别是棱BC、CC的中点，点P在线段AN 上，Q在正方形ABB,A内，则下列说法中正确的是 D A.直线DD与直线AN所成角的正切值为2√万 A B B.平面AMN截正方体，所得截面的周长为2(N5+√2) D C.点P到直线DD的距离的最小值为√2 D.若AW平面AWN,则DQ的最小值是5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.己知向量ā，的夹角为60°，且a=1,则a+= 13.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号产品，产量分别为200、400、300、100件.为检验产品的质 量，用分层抽样的方法，从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从甲种型号的产品抽取件。 2sin π】 14.已知定义在R上的函数y=f(x)是偶函数，当x≥0时，f(x)= ,若关于x的方程 [f()了+af()+b=0(ab∈R),有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是 第2页，共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本题13分)随着商品经济的发展，市场竞争日益激烈，消费者在选购产品时，不仅注重商品的质量， 更加注重产品的售后服务，从商家收到消费者问题的反馈到问题得到圆满的解决，这个时间长度我们称为 “售后处理时间”这个“售后处理时间”无疑越短越受消费者的欢迎，现从某市使用甲和乙两种空调的消费者 中分别随机抽取100个消费者，对他们的“售后处理时间进行统计，得到频率分布直方图如下： 个频率 个频率 组距 组距 0.056- 0.04 0.034 0.02 0.014- 0.012 0.006 0.004f=1 0.004 0.002f==✉▣ 010203040506070时间/min 010203040506070时间/mim 使用甲种空调的100个消费者 使用乙种空调的100个消费者 “售后处理时间的频率分布直方图 “售后处理时间”的频率分布直方图 (1)试估计该市使用甲种空调的消费者的售后处理时间'的众数、中位数及平均数（同一组中的数据用该组 区间的中点值作代表)： (2)如果以“售后处理时间'的平均数作为决策依据，从甲和乙两种空调中选择一款购买，你会选择哪款？ 16.(本题15分)已知函数f(x)=2 sinxcosx-2W3cos2x+V3 (1)求f(x)的最小正周期和对称中心： (2)求f(x)在区间[0，π]内的单调递增区间. 17.(本题15分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知ccosA- ja=b (1)求C的大小 (2)若a=2sin4,求△ABC面积的最大值. 第3页，共4页 18.(本题17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD,垂足为A, PA=AB=4,AC交BD于点O,点M是PD的中点. (1)求证：OM/平面PAB (2)求证：PD⊥平面ABM. (3)求直线BC与平面ABM所成角的大小. B✉ 19.(本题17分)对于函数f(x),若f()=,则称实数x为函数f(x)的不动点，设函数 f6)=1e:4-a-2+2.g6)-日 (1)若a=1,求函数f(x)的不动点： (2)若函数f(x)在区间[-1,1]上存在两个不动点，求实数a的取值范围： (3)若对任意的，x,∈【l,0],不等式f(x)-g(x》≤2恒成立，求实数a的取值范围. 第4页，共4页