第7讲 函数的单调性与最大（小）值 课后分层作业 - 2027届新高考高三数学第一轮复习

**基本信息** 聚焦函数单调性与最值，通过分层训练构建从基础概念到创新应用的递进式复习体系，强化数学思维与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |夯基础·保本科|9题|单调性判断、简单最值及参数范围|从单调性定义辨析到基本最值求解，构建概念应用基础| |提能力·冲211|4题|单调性应用、恒成立问题及证明|深化含参单调性分析，强化逻辑推理与运算能力| |迎挑战·搏985|1题|新定义"间距函数"多选题|结合创新情境考查单调性与最值综合应用，培养模型意识|

2027届新高考高三第一轮复习 高三数学备课组 新课标 · 新高考2027届高三第一轮复习 课后分层作业 第7讲 函数的单调性与最大（小）值 练习时间：50分钟　 总分：87分 班级：_________ 学号：_________ 姓名：_________ 分数：_________ ❀ 夯基础 · 保本科 ❀ 1．（2025·北京顺义·一模）下列函数中，单调递增且值域为的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025高三下·河北承德·专题练习）已知，，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25·辽宁沈阳·期末）函数的最小值为（    ） A．0 B．4 C． D． 4．（24-25·海南海口·期中）函数，若对，，都有 成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24·湖北·期末）若函数在区间内单调递增，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25·全国·模拟预测）函数，的最大值为_____. 7．（2025高三·全国·专题练习）若函数在上的最大值为2，则实数____________． 8．（24-25高三·全国·一轮复习）已知函数，，若存在，使得，则实数的取值范围是____． 9．（24-25·全国·阶段测验）已知函数. (1)求证：函数在上是增函数； (2)求在上的最大值和最小值. ❀ 提能力 · 冲211 ❀ 10．（24-25高三上·山东威海·期末）已知函数，若对，且，都有，则（    ） A． B． C． D． 11．（2025·河北·模拟预测）已知函数是上的增函数，且关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25·安徽亳州·阶段检测）若函数在上的最大值为，则（   ） A． B．1 C． D． 13．（2025·全国·专题练习）已知函数（，），当时，用单调性的定义证明在上是增函数. ❀ 迎挑战 · 搏985 ❀ 14．（2025·河南安阳·一模）（多选）定义：已知函数在其定义域上的最大值为，最小值为，若，则称是“间距函数”，则下列函数是“间距函数”的有（   ） A．， B．， C．， D．， 第 2 页 共 8 页 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $2027届新高考高三第一轮复习 高三数学备课组 新课标 · 新高考2027届高三第一轮复习 课后分层作业 答案与解析 第7讲 函数的单调性与最大（小）值 练习时间：50分钟　 总分：87分 班级：_________ 学号：_________ 姓名：_________ 分数：_________ ❀ 夯基础 · 保本科 ❀ 1．（2025·北京顺义·一模）下列函数中，单调递增且值域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对A：函数在上单调递减，在上单调递增，故A不满足函数的单调性； 对B：函数在上单调递增，且函数值域为，故B满足题意； 对C：函数在上单调递增，且函数值域为，故C函数的值域不满足条件； 对D：函数在上单调递增，值域为，故D函数的值域不满足条件. 2．（2025高三下·河北承德·专题练习）已知，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】易知函数和在上单调递增， 所以在上单调递增， 又， 故，即． 3．（24-25·辽宁沈阳·期末）函数的最小值为（    ） A．0 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，函数的定义域为， 且由于在区间上单调递增， 在区间上单调递增， 所以函数在区间上单调递增， 所以． 4．（24-25·海南海口·期中）函数，若对，，都有 成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，都有 成立， 所以在上单调递减， 故，解得， 故实数的取值范围为. 5．（23-24·湖北·期末）若函数在区间内单调递增，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由已知得，解之得，即的定义域为， 又在区间内单调递增，根据复合函数的单调性， 可得：，解得． 6．（24-25·全国·模拟预测）函数，的最大值为_____. 【答案】12 【详解】令，因为，所以. 则，函数单调递增， 当，即时，有最大值12， 即函数，的最大值为12. 7．（2025高三·全国·专题练习）若函数在上的最大值为2，则实数____________． 【答案】2 【详解】令，则在上的最大值， 最小值． 当时，，解得． 当时，，解得（舍去）． 综上，． 8．（24-25高三·全国·一轮复习）已知函数，，若存在，使得，则实数的取值范围是____． 【答案】 【详解】问题可转化为，， 的对称轴为， 所以在上单调递增， 所以， ，都为增函数，所以在上单调递增， 所以， 所以，解得，即实数的取值范围是. 9．（24-25·全国·阶段测验）已知函数. (1)求证：函数在上是增函数； (2)求在上的最大值和最小值. 【答案】(1)证明见解析;(2)最大值是，最小值是 【详解】（1）证明：设是区间上的任意两个实数，且， 则， ，，，， ，即. 函数在上是增函数. （2）由（1）知函数在上是增函数， 则在上的最大值是，最小值是. ❀ 提能力 · 冲211 ❀ 10．（24-25高三上·山东威海·期末）已知函数，若对，且，都有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题设，，且，都有， 所以在上单调递减，易知在上单调递减， 当时，满足题设， 当时，或， 综上，. 11．（2025·河北·模拟预测）已知函数是上的增函数，且关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数与均是增函数， 所以，函数是上的增函数只需满足，即，解得， 由得，即恒成立， 所以，当时，函数取得最大值，所以，，即， 因此，实数的取值范围是. 12．（24-25·安徽亳州·阶段检测）若函数在上的最大值为，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以当时，在上单调递减， 则，解得 ，与矛盾，不符合题意； 当时，根据对勾函数单调性可知， 函数在上单调递减，在上单调递增， 故当时，函数在上单调递增，则在上单调递减， 所以，解得 ，符合题意； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，解得 ，与矛盾，不符合题意； 综上所述， . 13．（2025·全国·专题练习）已知函数（，），当时，用单调性的定义证明在上是增函数. 【答案】证明见解析 【详解】当时，， 任取，且， 则 . 因为，所以，，， 所以，即. 所以在上是增函数. ❀ 迎挑战 · 搏985 ❀ 14．（2025·河南安阳·一模）（多选）定义：已知函数在其定义域上的最大值为，最小值为，若，则称是“间距函数”，则下列函数是“间距函数”的有（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BCD 【详解】对于选项A，易知的最大值为，最小值为，则，所以选项A错误， 对于选项B，因为在区间上单调递减， 所以的最大值为，最小值为，则，所以选项B正确， 对于选项C，，令，， 当时，，又在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又在区间上单调递增，所以的最大值为，最小值为， 则，所以选项C正确， 对于选项D，令，因为，则，且， 易知在区间上单调递增，所以在区间的最大值为，最小值为， 则，所以选项D正确. 第 2 页 共 8 页 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $