第8讲 幂函数与二次函数 分类练习-2027届高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

**基本信息** 聚焦幂函数与二次函数，以考点-考法为框架，覆盖概念、图象、性质及综合应用，知识逻辑从基础到综合，题型针对性强，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |幂函数概念与图象|7题|定义求参数、图象性质求解析式|从概念到图象特征，构建幂函数认知基础| |幂函数性质应用|8题|单调性奇偶性应用、幂指对综合|性质延伸到跨函数比较，提升综合分析能力| |二次方程实根分布|4题|根与系数关系、根分布求参数|方程根的问题转化为函数性质研究，体现数形结合| |二次函数区间最值|7题|定轴动区间、动轴定区间最值|从轴与区间关系分类讨论，培养逻辑推理能力| |二次函数综合最值|3题|绝对值函数、含参最值综合|综合应用函数性质，发展数学建模与创新意识|

第8讲 幂函数与二次函数 · 分类练习（解析卷） 答案速查表 1 2 3 4 5 A B C B C 6 7 8 9 10 D AC 11 12 13 14 15 ②③④⑤ （1） （2）最大值为，此时 16 17 18 19 20 A C C D （1）见解析 （2）见解析 21 22 23 24 25 （1） （2） （1）见解析 （2） A （1） （2）或 （1） （2） 26 27 28 29 （1） （2）存在， （1） （2） （1）①和 ② （2） 1.已知函数是幂函数，且在上递减，则实数（ 　　） A. B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】由是幂函数，得，解得或.又∵在上单调递减，∴，即，∴.对应选项A. 【点拨】幂函数的系数必须为1，且单调递减意味着指数小于0，由此建立关于参数的方程与不等式. 2.已知为幂函数，则（ 　　） A. 在上单调递增 B. 在上单调递减 C. 在上单调递增 D. 在上单调递减 【答案】B 【解析】∵为幂函数，∴，解得或.∴或.对于，函数在上单调递增，在上单调递减；对于，函数在上单调递减，且为奇函数，故在上单调递减.综合可知，只有B选项“在上单调递减”符合这两个函数的共同性质. 【点拨】求出参数后，需分别检验两种可能情况下函数的单调性，寻找它们的共有特征. 3.（2026·长沙师大附中·一模）已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（ 　　） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】∵为幂函数，∴，即，解得或.当时，，在上单调递增，不符合题意；当时，，在上单调递减，符合题意.故选C. 【点拨】利用幂函数系数为1求出参数候选值，再代入检验其在第一象限的单调性即可. 4.已知幂函数的图象过点，则的值为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】设幂函数为，∵图象过点，∴，即，解得.∴，则.对应选项B. 【点拨】待定系数法是求解幂函数解析式的基本手段，设出代入已知点坐标即可求解. 5.幂函数中的取值集合是的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】当时，定义域和值域均为，符合题意；当时，定义域为，值域为，不合题意；当时，定义域为，值域为，符合题意；当时，定义域与值域均为，符合题意；当时，定义域为，值域为，不合题意；当时，定义域与值域均为，符合题意.综上，符合条件的为.结合选项，是集合的一种可能.对应选项C. 【点拨】逐一检验给定集合中各元素对应的幂函数定义域与值域，注意偶数次幂与负数次幂的特征差异. 6.已知幂函数(且互质)的图象关于轴对称，如图所示，则（ 　　） A. 均为奇数，且 B. 为偶数，为奇数，且 C. 为奇数，为偶数，且 D. 为奇数，为偶数，且 【答案】D 【解析】由图象可知，函数的定义域为，且在上单调递减，∴.∵函数的图象关于轴对称，∴函数为偶函数，即为偶数.又互质，∴必为奇数.对应选项D. 【点拨】分数指数幂的图象特征由分子分母的奇偶性及整体正负决定，偶分子对应偶函数，负指数对应第一象限递减. 7.已知，若幂函数奇函数，且在上为严格减函数，则＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】∵幂函数在上为严格减函数，∴，结合已知集合得.又∵幂函数是奇函数，当时为偶函数，当时定义域为非奇非偶，只有当时，为奇函数.故. 【点拨】结合单调性缩小参数范围，再利用奇偶性进行精准筛选，注意定义域对奇偶性的前提限制. 8.（2026·金丽衢十二校·二模）（多选）已知幂函数为增函数，则下列说法正确的是（ 　　） A. B. 函数为增函数 C. 函数极大值为 D. 若，则 【答案】AC 【解析】已知幂函数为增函数，则且.解方程得或.∵，∴，故A正确.此时.对于B，，由于，该函数为偶函数，在上不单调，故B错误.对于C，，求导得.当时，；当时，.∴函数在处取得极大值，极大值为，故C正确.对于D，若，与的大小关系不确定.例如当时，，，此时，由于在上单调递增，∴，故D错误.综合可知选AC. 【点拨】先由幂函数的定义与单调性确定参数，再结合导数工具与三角函数性质逐一判断各选项. 9.已知幂函数的图象关于原点对称，则满足成立的实数的取值范围为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】因函数是幂函数，则，解得或.当时，是偶函数，其图象关于轴对称，与已知的图象关于原点对称矛盾；当时，是奇函数，其图象关于原点对称，于是得.不等式化为：，即，解得：.∴实数的取值范围为. 【点拨】图象关于原点对称即为奇函数，由此排除不合题意的参数值，进而将问题转化为解一元二次不等式. 10.不等式的解集为：＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】不等式变形为，即.令，则原不等式等价于.∵函数和在上均单调递增，∴在上单调递增.则，解得.故不等式的解集为. 【点拨】观察不等式的结构特征，构造单调递增的奇函数模型，利用函数单调性脱去函数符号是解题关键. 11.下面命题：①幂函数图象不过第四象限；②图象是一条直线；③若函数的定义域是，则它的值域是；④若函数的定义域是，则它的值域是；⑤若函数的值域是，则它的定义域一定是.其中不正确命题的序号是＿＿＿＿＿＿. 【答案】②③④⑤ 【解析】①幂函数的定义域一定包含，且当时，若定义域包含，根据奇偶性，图象位于第二或第三象限，故幂函数图象不过第四象限，①正确；②函数的定义域为，其图象是直线上去掉点，②错误；③函数在上单调递增，当时，，则它的值域是，③错误；④函数在上单调递减，当时，，则它的值域是，④错误；⑤若函数的值域是，则它的定义域可以是等，不一定是，⑤错误.故不正确命题的序号是②③④⑤. 【点拨】处理基本初等函数的定义域与值域问题时，需特别注意端点值的开闭以及特殊点（如）的限制. 12.已知，，若对，，，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】∵对，，使得成立，∴只需即可.∵，，∴.∵，，且单调递减，∴.由，解得.实数的取值范围是. 【点拨】将“任意-存在”型不等式恒成立问题转化为两个函数最值之间的不等关系，理清是最大值还是最小值是核心. 13.已知，，，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】已知，若，则；若，则，即.∴或①；由，得②；由，且，得③.综合①②③，求得实数的取值范围为. 【点拨】解指数与对数不等式时，必须严格讨论底数与1的大小关系，同时兼顾定义域的限制. 14.已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】由函数单调递增，①当时，若，有，而当时，，此时函数的值域中缺失了这一部分，值域不是；②当时，若，有，而当时，.若函数的值域为，两段值域必须无缝衔接或有重叠，必有，结合，解得.则实数的取值范围为. 【点拨】分段函数值域为的充要条件是各段值域的并集覆盖整个实数集，需关注分界点处的函数值大小关系. 15.（2025·沧州五县·一模）已知幂函数 () 是定义在上的偶函数. （1）求函数的解析式； （2）当时，求函数的最大值，并求对应的自变量的值. 【答案】（1） （2）最大值为，此时 【解析】（1）根据题意可得，即，∴，解得或.又函数是定义在上的偶函数，∴，，即函数的解析式为. （2）由（1）可知.∵，∴.当，即时，函数取得最大值，最大值为. 【点拨】先由幂函数定义求出参数，再利用换元法将复合函数的最值问题转化为二次函数在闭区间上的最值问题. 16.关于的方程有两个实数根，，且，那么的值为（ 　　） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】∵关于的方程有两个实数根，∴，解得.又∵方程有两个实数根，，由韦达定理得，.∴，即，解得或.结合，得.对应选项A. 【点拨】处理二次方程根与系数关系时，切勿遗漏判别式这一隐含的限制条件. 17.设为实数，若方程在区间上有两个不相等的实数解，则的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】令，由方程在区间上有两个不相等的实数解，可得，即，化简得，解得.对应选项C. 【点拨】二次方程根的分布问题，通常从判别式、对称轴位置以及区间端点函数值的正负三个维度建立不等式组. 18.方程的一根在区间内，另一根在区间内，则的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】令，由二次函数根的分布性质，若一根在区间内，另一根在区间内，只需，即，解不等式组可得，即的取值范围为.对应选项C. 【点拨】当两根分别位于两个已知区间内时，直接利用端点函数值异号即可，无需考虑判别式和对称轴. 19.关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】当时，原方程化为，不符合题意.故，原方程化为.令，由于该方程有两个不相等的实数根，且，则函数的图象与轴有两个交点，且分布在的两侧.故当时，，即，解得.∴.对应选项D. 【点拨】将二次项系数化为1后，利用“一根大于1，一根小于1”的充要条件快速求解. 20.已知 (). （1）若，，解关于的不等式； （2）若，在上的最大值为，最小值为，求证：. 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】（1）∵，∴.又∵，∴，∴.则不等式即为，即. 若，则，解集为； 若，则，解集为； 若，当时，，解集为；当时，，解集为；当时，，解集为. （2）若，则，.当时，，无解，∴. 若时，由，得，对称轴为.假设，即对称轴在区间的左外侧或右外侧，∴在上是单调函数，则的最值必在，处取到.而，，则，矛盾.∴假设错误，则. 【点拨】含参一元二次不等式的求解需对二次项系数及两根大小进行全面分类讨论；最值问题中利用反证法和端点值和的定值特性可巧妙破局. 21.已知函数是定义在上的奇函数，且时，，. （1）求在区间上的解析式； （2）若对，则，使得成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）设，则，.即当时，. （2）当时，；当时，；又∵，∴函数在上的值域为. 在上单调递减，在上单调递增，当时，，. ∵，则，使得成立，则，解得. 【点拨】利用奇偶性求解析式需注意变量代换；“任意-存在”问题等价于前者的值域是后者值域的子集. 22.已知函数. （1）利用函数单调性的定义证明是单调递增函数； （2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】（1）由已知可得的定义域为，任取，且，则.∵，，，∴，即，∴在上是单调递增函数. （2），令，则当时，，∴.令，，则只需. 当，即时，在上单调递增，∴，解得，与矛盾，舍去； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增，∴，解得； 当即时，在上单调递减，∴，解得，与矛盾，舍去. 综上，实数的取值范围是. 【点拨】用定义证明单调性需严格执行“取值、作差、变形、定号、下结论”五步；换元法后需注意新变量的取值范围，并对二次函数对称轴进行分类讨论. 23.（2026·江西赣州·二模）已知函数在区间上的最大值为，在区间上的最大值为.若，则的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】函数，其图象关于直线对称，在递减，在递增，在递减，在递增.且，. ∵在区间上的最大值为，若，则；若，则. 在区间上的最大值为. 若，则，.由得，即，解得，这与矛盾. 若，则.由得.即在上的最大值不超过1. 结合图象，解，得，即且. 解得或. 解得. 所以的解集为. 因为，要使上的最大值不超过1，必须或. ∵，∴，若，则，矛盾. ∴只能，即，解得.对应选项A. 【点拨】处理含有绝对值的二次函数最值问题，画出图象并求出关键点的坐标是基础，根据区间端点与对称轴的位置关系分类讨论是核心. 24.已知函数 (). （1）当时，解关于的不等式； （2）函数在上的最大值为，最小值为，求实数和的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】（1）当时，不等式，即为，即，∴，∴或，∴原不等式的解集为. （2），由题意或，这时解得. 若，则，∴； 若，即，∴，则. 综上，或. 【点拨】解连不等式需转化为不等式组；已知最值求参数，需结合二次函数图象的对称性及端点函数值进行反推. 25.已知值域为的二次函数满足，且方程的两个实根满足. （1）求的表达式； （2）函数在区间上的最大值为，最小值为，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）由，可得的图象关于直线对称.函数的值域为，∴二次函数的顶点坐标为，∴设.根据根与系数的关系，可得，.因为方程的两个实根满足，则，解得，∴. （2）由于函数在区间上的最大值为，最小值为，则函数在区间上单调递增.又，即，∴的对称轴方程为，则，即，故的取值范围为. 【点拨】利用对称轴和最值设出顶点式可简化计算；区间最值在端点处取得，通常意味着函数在该区间上具有单调性. 26.已知函数 ()为偶函数. （1）求的值； （2）设函数，是否存在实数，使得函数在区间上的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在， 【解析】（1）由题意知函数的定义域为，∵为偶函数，∴对任意的恒成立，即对任意的恒成立，即对任意的恒成立，即对任意的恒成立，∴，解得. （2）由（1）知，∴，.令，，则，，其对称轴为. ①当，即时，在上单调递减，∴.由，解得，此时不满足，此时不存在符合题意的值； ②当，即时，在上单调递减，在上单调递增，∴.由，解得或，又，所以； ③当，即时，在上单调递增，∴.由，解得，不满足，此时不存在符合题意的值. 综上所述，存在，使得函数在区间上的最小值为. 【点拨】利用奇偶性定义求参数是通法；换元后需注意新变量的范围，对二次函数对称轴与区间的相对位置进行分类讨论是求最值的标准流程. 27.二次函数为偶函数，，且恒成立. （1）求的解析式； （2），记函数在上的最大值为，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）依题设，由，得，得恒成立，，得，∴，又，∴，. （2）由题意可得：，. 若，则，则在上单调递增，所以； 若，当，即时，在上单调递减，； 当，只须比较与的大小. 由，得：，此时； 时，，此时. 综上，. 时，； 时，； 时，. 综上可知：的最小值为. 【点拨】利用恒成立条件求出解析式后，求绝对值函数在区间上的最大值，需比较区间端点及极值点处的函数值绝对值大小. 28.已知函数 ()，当时，设的最大值为，求的最小值. 【答案】 【解析】令，分别取，可得，，. 由，利用绝对值三角不等式可得 ，因此. 当，时，，当且仅当时取等号，而，，得在上的最大值为，说明等号能成立. 故的最小值为. 【点拨】利用特殊点赋值法构造关于参数的恒等式，再结合绝对值三角不等式求出下界，是解决此类“最大值的最小值”问题的经典技巧. 29.已知函数 ()， （1）当时，①求函数单调递增区间；②求函数在区间的值域； （2）当时，记函数的最大值为，求的最小值. 【答案】（1）①和 ② （2） 【解析】（1）当时，函数. 当时，函数，此时，函数在上单调递增； 当时，函数，此时，函数在上单调递增. ∴函数单调递增区间为和. ∵函数单调递增区间为和，∴函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增. ∴，. ∵，，，. ∴函数在区间的值域为. （2）由已知可得，. 当时，即时，，对称轴为. 当时，即时，函数在区间上单调递增，所以； 当时，即时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，∴. 当时，即时，若，，若，，∵当时，，对称轴为，∴函数在区间上单调递增，∴. 当，即时，此时. 当，即时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，∴. 当，即时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，∴. 若，即时，； 若，即时，. 综上所述，. 函数在区间上单调递减， 函数在区间上单调递减， 函数在区间上单调递增， ∴. 【点拨】去绝对值转化为分段函数，根据分界点与区间的相对位置进行分类讨论是求解含绝对值二次函数最值的基本策略. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8讲 幂函数与二次函数 · 分类练习 考点一：幂函数的概念与图象 考法1：根据幂函数的定义求参数 1.已知函数是幂函数，且在上递减，则实数（ 　　） A. B. 或 C. D. 2.已知为幂函数，则（ 　　） A. 在上单调递增 B. 在上单调递减 C. 在上单调递增 D. 在上单调递减 3.（2026·长沙师大附中·一模）已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（ 　　） A. 或 B. 或 C. D. 考法2：根据幂函数的图象特征与性质求参数或解析式 4.已知幂函数的图象过点，则的值为（ 　　） A. B. C. D. 5.幂函数中的取值集合是的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合为（ 　　） A. B. C. D. 6.已知幂函数(且互质)的图象关于轴对称，如图所示，则（ 　　） A. 均为奇数，且 B. 为偶数，为奇数，且 C. 为奇数，为偶数，且 D. 为奇数，为偶数，且 7.已知，若幂函数奇函数，且在上为严格减函数，则＿＿＿＿＿＿. 考点二：幂函数性质的综合应用 考法3：利用幂函数的单调性与奇偶性求参数或解不等式 8.（2026·金丽衢十二校·二模）（多选）已知幂函数为增函数，则下列说法正确的是（ 　　） A. B. 函数为增函数 C. 函数极大值为 D. 若，则 9.已知幂函数的图象关于原点对称，则满足成立的实数的取值范围为＿＿＿＿＿＿. 10.不等式的解集为：＿＿＿＿＿＿. 考法4：幂、指、对函数的综合应用（比较大小、图象判断、最值与值域） 11.下面命题：①幂函数图象不过第四象限；②图象是一条直线；③若函数的定义域是，则它的值域是；④若函数的定义域是，则它的值域是；⑤若函数的值域是，则它的定义域一定是.其中不正确命题的序号是＿＿＿＿＿＿. 12.已知，，若对，，，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 13.已知，，，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 14.已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为＿＿＿＿＿＿. 15.（2025·沧州五县·一模）已知幂函数 () 是定义在上的偶函数. （1）求函数的解析式； （2）当时，求函数的最大值，并求对应的自变量的值. 考点三：二次方程的实根分布 考法5：利用根与系数的关系求参数 16.关于的方程有两个实数根，，且，那么的值为（ 　　） A. B. C. 或 D. 或 考法6：根据二次方程根的分布求参数范围 17.设为实数，若方程在区间上有两个不相等的实数解，则的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 18.方程的一根在区间内，另一根在区间内，则的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 19.关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 考点四：二次函数的区间最值问题 考法7：求解二次函数定轴动区间的最值问题 20.已知 (). （1）若，，解关于的不等式； （2）若，在上的最大值为，最小值为，求证：. 21.已知函数是定义在上的奇函数，且时，，. （1）求在区间上的解析式； （2）若对，则，使得成立，求的取值范围. 22.已知函数. （1）利用函数单调性的定义证明是单调递增函数； （2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 考法8：求解二次函数动轴定区间的最值问题 23.（2026·江西赣州·二模）已知函数在区间上的最大值为，在区间上的最大值为.若，则的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 24.已知函数 (). （1）当时，解关于的不等式； （2）函数在上的最大值为，最小值为，求实数和的值. 25.已知值域为的二次函数满足，且方程的两个实根满足. （1）求的表达式； （2）函数在区间上的最大值为，最小值为，求实数的取值范围. 26.已知函数 ()为偶函数. （1）求的值； （2）设函数，是否存在实数，使得函数在区间上的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 考点五：二次函数的综合最值问题 考法9：求解二次函数或绝对值函数的最值综合问题 27.二次函数为偶函数，，且恒成立. （1）求的解析式； （2），记函数在上的最大值为，求的最小值. 28.已知函数 ()，当时，设的最大值为，求的最小值. 29.已知函数 ()， （1）当时，①求函数单调递增区间；②求函数在区间的值域； （2）当时，记函数的最大值为，求的最小值. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $