精品解析：河北沧州市盐山县饶安中学2025-2026学年下学期6月月考高二数学试题

高二数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列命题中正确的为（　　） A. 线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强 B. 线性相关系数r越小，两个变量的线性相关性越弱 C. 用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好 D. 残差平方和越小的模型，模型拟合的效果越好 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用相关系数、相关指数、残差的概念进行判断． 【详解】对于A，相关系数的绝对值越大，线性相关性越强，A不正确； 对于B，相关系数的绝对值越小，线性相关性越弱，B不正确； 对于C，用相关指数R2来刻画回归效果，R2越大，说明模型的拟合效果越好，C不正确； 对于D，残差平方和越小，R2越大，模型拟合的效果越好，D正确． 故选：D 2. 已知，则等于（ ） A. 1 B. 3 C. 1或4 D. 1或3 【答案】D 【解析】 【分析】根据组合数的定义和性质分析求解. 【详解】因为，则或， 解得或，检验可知均符合题意. 故选：D. 3. 某班联欢会原定的个节目已排成节目单，开演前又增加了个新节目，如果将这个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】每次插入一个节目，利用分步乘法计数原理可求得结果. 【详解】利用分步计数原理，第一步先插入第一个节目，有种方法，第二步插入第二个节目，此时有个空，故有种方法. 因此不同的插法共有种. 故选：B. 【点睛】本题考查分步乘法计数原理的应用，考查计算能力，属于基础题. 4. 在的展开式中，的系数为（ ） A. 80 B. 10 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式分析运算即可. 【详解】的展开式的通项公式， 令，解得， 可得，即的系数为. 故选：D. 5. 已知随机变量，且，则（ ） A. B. 12 C. 3 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】结合，求得，即可求解． 【详解】由题意，随机变量，可得， 又由，解得， 即随机变量，可得， 故选：C． 6. 已知函数，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的定义，求得原式为，求出代入求解即可. 【详解】， 又， ∴． 故选：C. 7. 已知函数的定义域为，其导函数是. 有，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，其中，利用导数分析函数的单调性，将所求不等式变形为，结合函数的单调性与定义域可求得原不等式的解集. 【详解】构造函数，其中，则， 所以，函数在上单调递减， 因为，则，由可得， 即，所以，，解得， 因此，不等式的解集为. 故选：A. 8. 已知函数有两个极值点求的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将问题化为有两个实根，即在上有两个交点，利用导数研究的值域，即可得参数范围. 【详解】由题意，令，即有两个左右异号的实根， 所以在上有两个交点， 令，记在上单调递减，且， 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减， 所以，当趋向于时趋向；当趋向于时趋向， 综上，当，即时在上有两个交点. 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对两个变量和进行回归分析，得到一组样本数据则下列结论正确的是（ ） A. 若求得的经验回归方程为，则变量和之间具有正的线性相关关系 B. 若这组样本数据分别是，则其经验回归方程必过点 C. 若同学甲根据这组数据得到的回归模型1的残差平方和为.同学乙根据这组数据得到的回归模型2的残差平方和为，则模型1的拟合效果更好 D. 若用相关指数来刻画回归效果，回归模型3的相关指数，回归模型4的相关指数，则模型4的拟合效果更好 【答案】ACD 【解析】 【分析】由回归分析逐一判断求解即可 【详解】对于A：因为回归方程为，，所以变量和之间具有正的线性相关关系，故A正确； 对于B：样本数据的样本中心点为，且经验回归方程必过样本中心点，但不是样本中心点，故B错误； 对于C：因为残差平方和越小的模型，其拟合效果越好，故C正确； 对于D：相关指数越接近1，说明关系越强，拟合效果越好，D正确； 故选：ACD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 甲､乙､丙､丁4人站成一排，甲不在最左端，则共有种排法 B. 3名男生和4名女生站成一排，则3名男生相邻的排法共有种 C. 3名男生和4名女生站成一排，则3名男生互不相邻的排法共有种 D. 3名男生和4名女生站成一排，3名男生互不相邻且女生甲不能排在最左端的排法共有1296种 【答案】ACD 【解析】 【分析】先排特殊元素（位置）再排其他元素，可判断A的正误；利用捆绑法，可判断B的正误；利用插空法，可判断C的正误，利用插空法和特殊元素（位置）法，可判断D的正误，即可得答案. 【详解】对于A：先排最左端，有种排法，再排剩余3个位置，有种排法，则共有种排法，故A正确； 对于B：3名男生相邻，有种排法，和剩余4名女生排列，相当于5人作排列，有种排法， 所以共有种排法，故B错误； 对于C：先排4名女生，共有种排法，且形成5个空位，再排3名男生，共有种排法， 所以共有种排法，故C正确； 对于D：由C选项可得3名男生和4名女生站成一排，则3名男生互不相邻的排法共有种排法， 若女生甲在最左端，且男生互不相邻的排法有种排法， 所以3名男生互不相邻且女生甲不能排在最左端的排法共有-=1296种，故D正确. 故选：ACD 11. 定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】令，利用导数判断函数的单调性，再根据函数的单调性逐一判断即可. 【详解】令， 则， 因为恒成立， 所以恒成立， 所以在上递减， 所以， 即， 所以，故A正确； ，故B正确； ，故C错误； 故D错误. 故选：AB. 【点睛】关键点点睛：本题考查了利用导数研究函数的单调性，构造函数是解决本题的关键. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为__________. 【答案】30 【解析】 【分析】先将看作一个整体，求出其展开式的通项确定的次数，再确定的次数即可求解. 【详解】由， 其展开式的通项为，，， 令，得的展开式的通项为，，， 令，得， 则的展开式中的系数为. 故答案为：30. 13. 某地区调研考试数学成绩X服从正态分布，且，从该地区参加调研考试的所有学生中随机抽取10名学生的数学成绩，记成绩在的人数为随机变量，则的方差为________． 【答案】2.1 【解析】 【分析】利用正态分布的对称性，求得每个人的数学成绩在的概率，又所有学生中随机抽取10名学生的数学成绩，记成绩在的人数为随机变量，利用二项分布的方差公式求解即可. 【详解】解：由正态分布知，均值，且，所以 每个人的数学成绩在的概率为，所以10名学生的数学成绩在的人数，所以． 故答案为：2.1． 14. 若对任意的，且当时，都有，则的最小值是________. 【答案】3 【解析】 【分析】将已知不等式转化为，令，利用导数求出的增区间，由此可确定的最小值. 【详解】由于当时，都有， 所以， 即， 令， 所以当任意的，且当时，都有， 所以在上递增， 因为由，得， 所以在上递增， 所以， 所以的最小值是3， 故答案为：3 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. “村”正盛行，它不仅是一场体育赛事，也是一场文化盛宴，更是一台经济引擎.某校为激发学生对篮球、足球、排球运动的兴趣，举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球、足球、排球三类相关知识题量占比分别为、、.甲同学回答篮球、足球、排球这三类问题中每个题的正确率分别为、、. （1）若甲同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； （2）若甲同学从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得5分，回答错误得分.设该同学回答三题后的总得分为分，求的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）设分别表示事件“所选的题目为篮球相关知识的题目”、“所选的题目为足球相关知识的题目”、“所选的题目为排球相关知识的题目”，结合全概率公式即可求解； （2）确定的可能取值，求得对应概率即可求解； 【小问1详解】 设“甲同学所选的题目回答正确”， 设分别表示事件“所选的题目为篮球相关知识的题目”、 “所选的题目为足球相关知识的题目”、“所选的题目为排球相关知识的题目”， 根据题意得，，， ，，； 所以 【小问2详解】 由题意可知，的可能取值为，1，8，15 则， ， ， ， 所以的分布列为： 1 8 15 所以. 16. 已知展开式共有11项. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值； （4）求的值. 【答案】（1） （2）（或） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）先求的值，利用赋值法可求答案； （2）去掉绝对值，利用赋值法可求答案； （3）对赋值为可得答案； （4）先求导数，再赋值可得答案. 【小问1详解】 因为展开式共有11项，所以， 令可得，令可得， 所以. 【小问2详解】 的展开式的通项公式为，； 当为奇数时，系数为负，当为偶数时，系数为正，所以， 由，令可得，即. 【小问3详解】 由，令可得 . 【小问4详解】 对两边求导可得， 令可得，即. 17. 某电动汽车制造企业为了提升电池性能，研发部门对一款新型号的电池进行了充放电循环测试，测试时分别收集了使用液冷技术与风冷技术的电池各250组，测试电池电容量衰减至初始容量的时所经历的充放电循环次数，若循环次数不低于2000次，则认定为A级电池，否则认定为B级电池，统计结果如下表： A级电池 B级电池 总计 液冷技术 200 50 250 风冷技术 150 100 250 总计 350 150 500 （1）根据小概率值的独立性检验，分析“是A级电池”与“电池冷却技术类型”是否有关； （2）现从使用液冷技术的250组电池中，按比例用分层随机抽样的方法抽取10组电池，再从这10组电池中用无放回的方式随机抽取3组电池，记为抽到的A级电池的组数，求的分布列和数学期望． 附：． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）“是A级电池”与“电池冷却技术类型”有关 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据题中数据求，并与临界值对比，结合独立性检验思想分析判断； （2）分析可知的所有可能取值为，，，结合超几何分布求分布列和期望. 【小问1详解】 零假设：“是A级电池”与“电池冷却技术类型”无关， 由题中数据得， 根据小概率值的独立性检验，可以推断零假设不成立， 所以“是A级电池”与“电池冷却技术类型”有关． 【小问2详解】 从使用液冷技术的250组电池中，按比例用分层随机抽样的方法抽取10组电池， 则A级电池抽取8组，B级电池抽取2组，则的所有可能取值为，，， ，，， 故的分布列为 1 2 3 所以． 18. 已知函数，当时，有极大值3. （1）求实数的值 （2）求函数在点处的切线方程 （3）已知曲线，求过点且与曲线相切的直线方程 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】(1)根据极值点处导数为、极值点对应函数值为极值建立二元方程组，求解参数后通过导数单调性验证极大值条件，完成参数求解. (2)代入已求参数得到函数与导函数解析式，分别计算切点的函数值与导数值得到切点坐标和切线斜率，通过点斜式推导并整理切线方程. (3)设出曲线的切点坐标，利用导数几何意义得到切线斜率并写出点斜式方程，代入已知点坐标求解切点参数，最终化简得到切线方程. 【小问1详解】 ，得. 由处函数取极大值，可得且， 代入得，解得，. ， 当时，单调递增； 当时，单调递减 因此为极大值点，符合题意. 【小问2详解】 由(1)得，， 代入得，， 即切点为，切线斜率为， 切线方程为 整理得. 【小问3详解】 设切点坐标为，其中，求导得 因此切线斜率， 切线方程为. 将点代入切线方程，得 即，解得，即 因此切线斜率，切点为， 切线方程为，整理得. 19. (1)若，讨论的单调性； (2)若在上是减函数，求实数a取值范围； (3)若，且关于的方程在区间内有两个不相等的实数根，求证：. 【答案】 (1)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）. （3）证明：对求导得， 令，解得或. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 计算得，，， 由方程在内有两个不等实根，得，且. 要证，即证. 由得，且在上单调递增，故只需证. 由，故只需证，即对恒成立. 构造函数，， 代入展开化简得： 由得，故，即， 因此，则，即， 结合在上单调递增，可得，即，原不等式得证. 【解析】 【分析】（1）先确定函数定义域，求导后对导函数因式分解，根据参数的不同取值分类讨论导函数的符号，进而得到函数的单调区间. （2）将函数在区间上单调递减转化为导函数非正恒成立，通过分离参数将问题转化为求函数在区间上的最小值，进而得到参数的取值范围. （3）先分析函数的单调性与极值，确定两根的分布区间，将待证不等式转化为函数值大小比较，构造对称差函数并化简，通过分析差函数的符号完成极值点偏移的证明. 【详解】（1）函数的定义域为， 求导得. 由得，故的符号由决定. 当时，对任意恒成立，即， 因此在上单调递减. 当时，令，解得， 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增. 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）函数的定义域为，求导得， 因在上为减函数，则对任意恒成立. 即对恒成立， 整理得对恒成立. 令，， 因在上单调递增且恒为正数， 故在上单调递增， 则， 故，即实数的取值范围是. （3）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列命题中正确的为（　　） A. 线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强 B. 线性相关系数r越小，两个变量的线性相关性越弱 C. 用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好 D. 残差平方和越小的模型，模型拟合的效果越好 2. 已知，则等于（ ） A. 1 B. 3 C. 1或4 D. 1或3 3. 某班联欢会原定的个节目已排成节目单，开演前又增加了个新节目，如果将这个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为（ ） A. B. C. D. 4. 在的展开式中，的系数为（ ） A. 80 B. 10 C. D. 5. 已知随机变量，且，则（ ） A. B. 12 C. 3 D. 24 6. 已知函数，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 7. 已知函数的定义域为，其导函数是. 有，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数有两个极值点求的取值范围（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对两个变量和进行回归分析，得到一组样本数据则下列结论正确的是（ ） A. 若求得的经验回归方程为，则变量和之间具有正的线性相关关系 B. 若这组样本数据分别是，则其经验回归方程必过点 C. 若同学甲根据这组数据得到的回归模型1的残差平方和为.同学乙根据这组数据得到的回归模型2的残差平方和为，则模型1的拟合效果更好 D. 若用相关指数来刻画回归效果，回归模型3的相关指数，回归模型4的相关指数，则模型4的拟合效果更好 10. 下列说法正确的是（ ） A. 甲､乙､丙､丁4人站成一排，甲不在最左端，则共有种排法 B. 3名男生和4名女生站成一排，则3名男生相邻的排法共有种 C. 3名男生和4名女生站成一排，则3名男生互不相邻的排法共有种 D. 3名男生和4名女生站成一排，3名男生互不相邻且女生甲不能排在最左端的排法共有1296种 11. 定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为__________. 13. 某地区调研考试数学成绩X服从正态分布，且，从该地区参加调研考试的所有学生中随机抽取10名学生的数学成绩，记成绩在的人数为随机变量，则的方差为________． 14. 若对任意的，且当时，都有，则的最小值是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. “村”正盛行，它不仅是一场体育赛事，也是一场文化盛宴，更是一台经济引擎.某校为激发学生对篮球、足球、排球运动的兴趣，举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球、足球、排球三类相关知识题量占比分别为、、.甲同学回答篮球、足球、排球这三类问题中每个题的正确率分别为、、. （1）若甲同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； （2）若甲同学从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得5分，回答错误得分.设该同学回答三题后的总得分为分，求的分布列及数学期望. 16. 已知展开式共有11项. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值； （4）求的值. 17. 某电动汽车制造企业为了提升电池性能，研发部门对一款新型号的电池进行了充放电循环测试，测试时分别收集了使用液冷技术与风冷技术的电池各250组，测试电池电容量衰减至初始容量的时所经历的充放电循环次数，若循环次数不低于2000次，则认定为A级电池，否则认定为B级电池，统计结果如下表： A级电池 B级电池 总计 液冷技术 200 50 250 风冷技术 150 100 250 总计 350 150 500 （1）根据小概率值的独立性检验，分析“是A级电池”与“电池冷却技术类型”是否有关； （2）现从使用液冷技术的250组电池中，按比例用分层随机抽样的方法抽取10组电池，再从这10组电池中用无放回的方式随机抽取3组电池，记为抽到的A级电池的组数，求的分布列和数学期望． 附：． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 18. 已知函数，当时，有极大值3. （1）求实数的值 （2）求函数在点处的切线方程 （3）已知曲线，求过点且与曲线相切的直线方程 19. (1)若，讨论的单调性； (2)若在上是减函数，求实数a取值范围； (3)若，且关于的方程在区间内有两个不相等的实数根，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $