精品解析：广东湛江市徐闻县梅溪实验学校高中部2025-2026学年度第二学期5月月考 高一数学试题

梅溪实验学校高中部2025-2026学年度第二学期5月月考 高一数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知i为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，是平面内的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的是（  ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 3. 如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形的面积为（ ） A. 1 B. C. D. 3 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图是一个直径为的球形容器和一个底面直径为、深的圆柱形水杯（壁厚均不计），则球形容器装满时，约可以倒满水杯（ ） A. 4杯 B. 6杯 C. 8杯 D. 16杯 6. 边长为2的正方形，为的中点，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 1 D. 4 7. 如图所示，在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 第七届数字中国建设峰会在福建举行，其中主题为“显示+创意”的裸眼3D展台引人关注．峰会上显示屏的示意图如图所示，底面为等腰梯形，侧面，，均为矩形且垂直于底面，已知，，，．若有一只虚拟的蝴蝶沿线段飞行，则蝴蝶（视为质点）到点的最短距离为（ ） A. 1 B. C. D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下面是关于复数的四个命题，其中的真命题为（ ） A. B. C. z的共轭复数为 D. z的虚部为 10. 已知m，n是两条直线，，是两个平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 11. 已知向量，，，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 向量在方向上的投影向量的坐标为 D. 若与的夹角为锐角，则的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，，若A，B，D三点共线，则______. 13. 已知一个扇形的圆心角为，且所对应的弧长为，则该扇形的面积为________． 14. 如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得米，，则塔高__________米（结果保留整数）.（参考数据） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量与的夹角为，且. （1）求的值； （2）求的值； （3）求向量与向量的夹角. 16. 某组合体由下方的正四棱柱与上方的正四棱锥拼接而成，正四棱锥的底面与正四棱柱的上底面重合.已知正四棱柱底面边长为2，高为3，正四棱锥的高为2. （1）求正四棱锥的侧棱长； （2）求该组合体的表面积； （3）求该组合体的体积. 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，垂足为，，交于点，点是的中点． （1）求证：平面． （2）求证：平面． （3）求直线与平面所成角的大小． 18. 在中，角的对边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）若，，求的面积； （3）若，求周长的取值范围. 19. 如图，在三棱柱中，，．点E，F分别为棱，的中点. （1）记三棱柱的体积为，三棱锥的体积为，求； （2）若，且三棱柱是直棱柱. （ⅰ）求点E到平面ABF的距离； （ⅱ）求一只蚂蚁沿三棱柱表面从点B爬行到点E的最短路程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 梅溪实验学校高中部2025-2026学年度第二学期5月月考 高一数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知i为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用代数形式的复数乘法计算得解. 【详解】. 故选：B 2. 若，是平面内的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的是（  ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】B 【解析】 【详解】因为向量，是平面内的一组基底，可得向量，为平面内不共线的向量， 对于A中，设，可得，此时方程组无解， 所以向量和不共线，可以作为平面的一组基底； 对于B中，设，可得，解得， 所以向量和为共线向量，不能作为平面的一组基底； 对于C中，设，可得，此时方程组无解， 所以向量和不共线，可以作为平面的一组基底； 对于D中，设，可得，此时方程组无解， 所以向量和不共线，可以作为平面的一组基底. 3. 如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形的面积为（ ） A. 1 B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出梯形的面积，再利用原平面图形面积与直观图面积的关系求出平面图形的面积. 【详解】在梯形中，，则该梯形的高为， 梯形的面积为， 在斜二测画法中，原图形的面积是对应直观图面积的， 所以平面图形的面积. 故选：D 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，，得， 因为，所以，解得， 所以，则. 5. 如图是一个直径为的球形容器和一个底面直径为、深的圆柱形水杯（壁厚均不计），则球形容器装满时，约可以倒满水杯（ ） A. 4杯 B. 6杯 C. 8杯 D. 16杯 【答案】C 【解析】 【分析】应用球的体积公式及圆柱的体积公式计算求解即可. 【详解】球形容器的直径为，则半径为， 所以球形容器的体积， 底面直径为、深的圆柱形水杯的底面半径为， 所以圆柱形水杯的体积， 所以，则球形容器装满时，约可以倒满水杯8杯. 故选：C 6. 边长为2的正方形，为的中点，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 1 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，坐标表示向量，再利用向量数量积的坐标运算公式求解. 【详解】如图，建立平面直角坐标系， 设， ，，， 则为 的中点，所以. 因此，， 所以. 7. 如图所示，在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】注意到，从而可将问题转换为求即可，结合解三角形知识即可得解. 【详解】 取中点，连接， 不妨设，因为， 所以， 所以， 由题意， 所以， 因为， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：A. 8. 第七届数字中国建设峰会在福建举行，其中主题为“显示+创意”的裸眼3D展台引人关注．峰会上显示屏的示意图如图所示，底面为等腰梯形，侧面，，均为矩形且垂直于底面，已知，，，．若有一只虚拟的蝴蝶沿线段飞行，则蝴蝶（视为质点）到点的最短距离为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】问题转化为求边上的高即可，利用三角形的面积求解. 【详解】因为底面为等腰梯形，且，，， 所以，. 在中，，，， 所以. 所以. 所以， 又设边上的高为，则. 由. 即蝴蝶（视为质点）到点的最短距离为. 故选：C 【点睛】关键点点睛：明确蝴蝶到点的最短距离即为边上的高，这是解决问题的关键. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下面是关于复数的四个命题，其中的真命题为（ ） A. B. C. z的共轭复数为 D. z的虚部为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据复数的概念和运算逐一判断即可. 【详解】A.,A错误； B.，B错误； C.z的共轭复数为，C正确； D.z的虚部为，D正确. 故选：CD. 10. 已知m，n是两条直线，，是两个平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据空间线、面位置关系依次判断即可. 【详解】对于A，若，，则，故A正确； 对于B，若，，则或m与n为异面直线或相交直线，故B错误； 对于C，若，，则，故C正确； 对于D，若，，当时，不成立，故D错误. 11. 已知向量，，，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 向量在方向上的投影向量的坐标为 D. 若与的夹角为锐角，则的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标运算可得选项A正确；根据向量相等可得选项B正确；利用投影向量的公式计算可得选项C错误；计算向量与向量同向时的值可得选项D正确. 【详解】对于A，由题意可得， 若，则，得，故A正确； 对于B，由题意可得， 若，则，解得，所以，故B正确； 对于C，由题意可得，， 则向量在方向上的投影向量的坐标为，故C错误； 对于D， 由题意得，，， 若向量与向量的夹角为锐角， 则，解得， 当向量与向量共线时，由得， 此时，，，向量与向量的夹角为，不合题意， 所以的取值范围是，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，，若A，B，D三点共线，则______. 【答案】 【解析】 【分析】首先表示出，依题意根据，根据向量共线的坐标表示计算可得. 【详解】因为，，， 所以， 因为三点共线，所以， 所以，解得. 13. 已知一个扇形的圆心角为，且所对应的弧长为，则该扇形的面积为________． 【答案】## 【解析】 【分析】设扇形所在圆的半径为，根据扇形的弧长公式，求得，结合扇形的面积公式，即可求解. 【详解】设扇形所在圆的半径为， 因为扇形的圆心角为，且所对应的弧长为，可得，解得， 所以扇形的面积为. 故答案为：. 14. 如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得米，，则塔高__________米（结果保留整数）.（参考数据） 【答案】27 【解析】 【分析】先在中，利用正弦定理求得，再在直角中，利用正切函数的定义，求得的长即得答案． 【详解】因为米，， 所以． 由正弦定理，，可得， 在直角中，因为，所以， 即塔高为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量与的夹角为，且. （1）求的值； （2）求的值； （3）求向量与向量的夹角. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用向量的数量积的定义即可求解； （2）根据题意，利用向量的数量积的运算律，直接计算，即可求解； （3）根据题意，利用向量的夹角公式，直接计算，即可求解. 【小问1详解】 因为向量与的夹角为，且， 则. 【小问2详解】 因为向量与的夹角为，且，且. 可得. 【小问3详解】 设向量与向量的夹角为， 可得， 因为，可得，所以向量与向量的夹角为. 16. 某组合体由下方的正四棱柱与上方的正四棱锥拼接而成，正四棱锥的底面与正四棱柱的上底面重合.已知正四棱柱底面边长为2，高为3，正四棱锥的高为2. （1）求正四棱锥的侧棱长； （2）求该组合体的表面积； （3）求该组合体的体积. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 解：如图，组合体由正四棱柱和正四棱锥构成， 的中心为，则平面， ，， 则正四棱锥的侧棱长为； 【小问2详解】 解：中， ， 边上的高，， 该组合体的表面积； 【小问3详解】 ， ， 则该组合体的体积． 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，垂足为，，交于点，点是的中点． （1）求证：平面． （2）求证：平面． （3）求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据中位线定理及线面平行的判定定理证明即可. （2）根据线面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理证明即可. （3）根据线线平行及线面角的定义，在三角形中求解即可. 【小问1详解】 证明：因为底面是正方形，，为对角线，所以为中点， 又点是的中点，所以. 又平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 证明：因为平面，，平面， 所以，，且为直角三角形. 因为底面是正方形，所以. 又，平面，，所以平面， 因为平面，所以. 在中，，点是的中点，所以. 又，平面，，所以平面. 【小问3详解】 正方形中，， 所以直线与平面所成角即为直线与平面所成角， 又平面，所以即为直线与平面所成角，也即直线与平面所成角. 在中，，点是的中点，所以，， 所以. 故直线与平面所成角为. 18. 在中，角的对边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）若，，求的面积； （3）若，求周长的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理实现边角互化，结合三角形内角的取值范围求解角B. （2）借助余弦定理求出边c的长度，代入三角形面积公式计算即可. （3）利用余弦定理结合基本不等式求的取值上界，结合三角形三边关系确定取值下界，最终得到周长的取值范围. 【小问1详解】 ∵ 在中，由正弦定理得（为外接圆半径）. ∴ ，. 代入得. ∵ ，∴ ， 两边同时约去，得，即. 又∵ ，∴ . 【小问2详解】 ∵ ，，， 由余弦定理得， 代入得， 即，整理得. 解得或（边长为正，舍去）. ∴ 的面积. 【小问3详解】 由余弦定理得， 即. 由基本不等式得，当且仅当时等号成立， ∴ ， ∴ ，即，当且仅当时等号成立. 又∵ 三角形两边之和大于第三边，∴ ， ∴ ， ∴ 的周长. 【点睛】方法归纳：本题考查解三角形的综合应用，涉及正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、基本不等式求范围，解题核心是合理进行边角互化，求取值范围时注意结合几何性质限定边界. 19. 如图，在三棱柱中，，．点E，F分别为棱，的中点. （1）记三棱柱的体积为，三棱锥的体积为，求； （2）若，且三棱柱是直棱柱. （ⅰ）求点E到平面ABF的距离； （ⅱ）求一只蚂蚁沿三棱柱表面从点B爬行到点E的最短路程. 【答案】（1）； （2）（ⅰ）（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用中点性质及几何分割，得出三棱锥体积与三棱柱体积的固定比例； （2）（ⅰ）先用勾股定理证明三角形为直角三角形并计算面积，再通过等体积法，由已知体积反推高； （ⅱ）将三棱柱的侧面展开为平面，考虑三种不同的展开方式，分别计算两点间的直线距离，取最小值即为最短路径, 【小问1详解】 因为，点，分别为棱，中点， 所以，，所以， 所以，,所以， 所以， 所以． 【小问2详解】 （ⅰ）如图1，因为三棱柱是直棱柱，所以， 因为，所以三棱柱的体积， 由（1）知三棱锥的体积为， 在中，， ，， 所以，的面积， 设点到平面的距离为，则，即， 所以． （ⅱ）沿三棱柱表面从点到点有三种路径： （1）经过平面与平面，如图2沿棱翻转平面，使得平面与平面在同一平面内，此时最短路程为． （2）经过平面与平面，如图3沿棱翻转平面，使得平面与平面在同一平面内，此时最短路程为． （3）经过平面与平面，如图4沿棱翻转平面，使得平面与平面在同一平面内，此时最短路程为． 因为， 所以蚂蚁沿三棱柱表面从点爬行到点的最短路程为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $