精品解析：江西九江市永修县第三中学等校2025-2026学年度下学期阶段（四）质量评估试卷九年级数学

2025－2026学年度下学期阶段（四）质量评估试卷 九年级数学 考生须知： 1、全卷满分120分，考试时间120分钟； 2、试卷和答题卡都要写上班级、姓名； 3、请将答案写在答题卡上的相应位置上，否则不给分． 一、选择题（本大题6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 的相反数是（　　） A. B. C. 3 D. -3 【答案】A 【解析】 【分析】根据相反数的定义即可解答． 【详解】解：的相反数为． 故选：A． 【点睛】本题考查了相反数，熟记相关定义是解答本题的关键． 2. 2025年2月22日南昌市统计局发布，2024年南昌市常住人口增加万，排在全国前列，将万用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】解：将万用科学记数法表示为． 故选：C． 3. 羽毛球是一项老少皆宜的体育运动，如图，该羽毛球的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三视图，左视图是在侧面看得到的由左向右观察物体的视图，根据定义即可得到答案；做三视图的题时要注意实线与虚线． 【详解】解：由左向右观察羽毛球，可看到两个圆，且中间的小圆是可见的，故用实线． A选项是从正面看的视图，不是由左向右观察羽毛球，故A选项不符合题意； B选项是由左向右观察羽毛球，看到两个圆，且中间的小圆是可见的，用实线，故B选项符合题意； C选项是由左向右观察羽毛球，看到两个圆，但中间的小圆是可见的，不能用虚线，故C选项不符合题意； D选项是从正面看的视图，不是由左向右观察羽毛球，故D选项不符合题意． 4. 下列采用的调查方式中，不合适的是（ ） A. 企业招聘，对应聘人员进行面试，采用全面调查 B. 检查神舟二十号飞船的各零部件，采用抽样调查 C. 了解某班同学对某学科教师教学的满意情况，采用全面调查 D. 了解某市中学生睡眠时间，采用抽样调查 【答案】B 【解析】 【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似，进行判断． 【详解】解：A、企业招聘，对应聘人员的面试，适合采用全面调查，故此选项不符合题意； B、检查神舟二十号飞船的各零部件，适合采用全面调查，故此选项符合题意； C、了解某班同学对某学科教师教学的满意情况，应采用全面调查，故此选项不符合题意； D、了解某市中学生睡眠时间，应采用抽样调查，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查，灵活选用普查还是抽样调查是解题的关键． 5. 将边长为1的正方形纸片按图①的方法进行对折，记第1次对折后得到的图形的面积为；第2次按图②的方法对折，记第2次对折后得到的图形的面积为；第3次按图③的方法对折，记第3次对折后得到的图形的面积为；…，依此规律，第n次对折后得到的图形的面积S为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据题意求出前三次对折后的面积，再归纳规律即可解答． 【详解】解：由题意可知， ， ， …， ，即选项B符合题意． 6. 密度公式：．其中表示密度，表示质量，表示体积．小敏同学探究甲、乙、丙、丁四种物质的密度，她将测量得到的数据绘制成如图所示的图象．则四种物质中密度最大的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息．根据密度质量体积，从图象中比较每种物质的质量和体积，即可得到答案． 【详解】解：甲和丙的体积相等， 甲的质量丙的质量， 甲的密度大； 乙和丁的体积相等， 乙的质量丁的质量， 乙的密度大， 甲和乙的质量相等， 甲的体积乙的体积， 甲的密度大， ∴四种物质中密度最大的是甲． 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 的算术平方根是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，掌握知识点是解题的关键． 先求出，再根据算术平方根的定义，即可解答． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是2． 故答案为：2． 8. 直线向上平移2个单位，恰好过点，则b的值为__________. 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与几何变换的知识，将直线向上平移2个单位后直线的解析式为：，又该直线经过点，将点代入直线即可求出答案． 【详解】解：将直线向上平移2个单位后直线的解析式为：， 将点代入，得 解得：． 故答案为：5． 9. 小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与其中一把直尺边缘的交点为，点、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则的长度是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查角平分线性质定理的逆定理，平行线的性质，过作于，由角平分线性质定理的逆定理推出平分，得到，由平行线的性质推出，得到，因此，由，即可得到的长度是． 【详解】解：过作于， 由题意得：，，， 平分， ， ∵， ， ， ， 、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5， ， 的长度是． 故答案为：． 10. 日晷仪也称日晷，是我国古代较为普遍使用的计时仪器，内圈被分为十二个全等的图形，分别标示着“十二地支”（如图）．通过测量得到晷面内圈的半径为．若晷针投影的长度不变，且都在晷面的内圈上，则晷针投影在晷面上从“巳”时开始到“申”时末结束（从旋转到）扫过的图形面积是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得出，再根据扇形面积公式求解即可． 【详解】解：内圈被分为十二个全等的图形， 每个图形对应的圆心角为， 从“巳”时到“申”时包含个图形， ， 扫过的图形面积是． 11. 我国明代《永乐大典》记载“绫罗尺价”问题，其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入896文，每尺绫布和每尺罗布一共需要120文．问绫布有多少尺，罗布有多少尺？”设绫布有x尺，则可列方程为_______ 【答案】 【解析】 【详解】解：设绫布有x尺， 根据题意可列方程为． 12. 在矩形中，，点E在边上，且，P是直线上的一个动点．若是直角三角形，则的长为________． 【答案】或或6 【解析】 【分析】是直角三角形，分三种情况画出图形，利用相似三角形的判定和性质分别进行解答即可． 【详解】解：在矩形中，， ∴， 若是直角三角形，则有以下三种情况： ①如图，当时，， ∵四边形是矩形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ②如图（2）当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ③如图（3），当时，设，则．同理得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上，CP的长是或或6． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 按要求完成各题 （1）计算：； （2）如图，中，是的平分线，过D作交于点E，，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算绝对值，锐角三角函数，乘方，再计算加减即可求解； （2）先由是的平分线，，可得，再由，可得，即可求解． 【小问1详解】 解：原式． 【小问2详解】 解：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得． 14. 先化简，再从－2，0，2中选择一个合适的值代入求值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选出合适的x的值代入进行计算即可． 【详解】解： ． ∵，－2， ∴． ∴原式． 15. 如图，在的正方形网格中，线段是的半径，为格点，请仅用无刻度的直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） （1）在图1中找到格点，使得是的切线． （2）如图2，在上作点，使得是等边三角形． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由三角形全等的判定和性质，结合直角三角形的两个锐角互余，可得，即可得是的切线； （2）由（1）得，同理可得，可得，由平行线分线段对应成比例，结合全等三角形的性质，可得，四边形为矩形，可得为线段的垂直平分线，可得，结合，即可得是等边三角形． 【小问1详解】 解：点、、为格点， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 又∵线段是的半径， ∴是的切线． 【小问2详解】 解：点、、、为格点，与竖格线交于点，与竖格线交于点，连接，交于点，连接，， 由（1）得，， 同理可得，，， ∴，， ∴，， 又∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴为线段的垂直平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形． 16. 如图是学校食堂一张餐桌的示意图，小西和小明一起去食堂吃饭，他们选了一张空餐桌． （1）小西随机选择一个座位坐下，他坐在③号座位上是_______事件（填“必然”“不可能”或“随机”）； （2）若小西和小明两位同学随机坐在①，②，③，④四个座位中，请用画树状图或列表的方法，求小西和小明两位同学坐在正对面的概率． 【答案】（1）随机 （2） 【解析】 【分析】（1）利用概率公式即可得到答案； （2）列表表示出所有等可能的情况，用小西和小明两位同学坐在正对面的结果数除以所有等可能情况数即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵一张空餐桌共个座位， ∴小西随机选择一个座位坐下，他是可能坐在③号座位，也可能坐不到③号座位， ∴他坐在③号座位上是随机事件． 【小问2详解】 解：列表如下： 由表格可知，共有种等可能的结果，其中小西和小明两位同学坐在正对面的结果有：①②，②①，③④，④③，共4种， ∴小西和小明两位同学坐在正对面的概率为． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作轴于点，以，为邻边作，反比例函数的图象经过点，设点的横坐标为． （1）当时，求的值； （2）当时，求反比例函数的解析式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，求得C的坐标是解题的关键． （1）由题意可知，结合平行四边形的性质求出，然后利用待定系数法即可求解； （2）由题意可知，然后利用待定系数法，根据得到，即可求解． 【小问1详解】 点在直线上，点的横坐标为1， ． 四边形为平行四边形，轴， 轴，． ． 点在反比例函数的图象上， ． 【小问2详解】 点在直线上，点的横坐标为， ． 四边形为平行四边形，轴， 轴，． ． 点在反比例函数的图象上，， ， 解得（舍去），． 故反比例函数的解析式为． 四、（本大题3小题，每小题8分，共24分） 18. 防火门是消防中的必备设备，作为隔绝烟火的关键屏障，被广泛应用于公共建筑的封闭楼梯间、安全通道、地下室、消防控制室等．图①是某栋楼层的双开防火门实物图，将其左门抽象成俯视示意图如图②和图③所示．已知墙面，门宽． （1）如图②，当左门绕点A逆时针完全打开贴到墙时，点B落在点C处，此时，求的长； （2）如图③，当左门绕点A逆时针打开时，点B落在点D处，求此时点D到墙面的距离．（结果精确到，参考数据：，） 【答案】（1）的长约为 （2）点到墙面的距离约为 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质得，再解直角三角形即可求解； （2）过点作于点．解直角三角形即可． 【小问1详解】 解：∵， ． 由旋转的性质可知，． 在中，， ． 答：的长约为． 【小问2详解】 解：如图，过点作于点． 由旋转的性质可知，． 左门绕点逆时针打开， ． 在中，， ， ． 答：此时点到墙面的距离约为． 19. 为鼓励学生加强强身健体，某校计划购买一批篮球和排球，根据学校实际，决定共购买30个排球，20个篮球，共花费2560元，若篮球和排球的单价之和为104元． （1）求篮球和排球的单价； （2）据不完全统计，每个学年篮球的损耗率是排球的损耗率的两倍，若学期末这批篮球和排球最少剩下43个，求排球的最大损耗率． 【答案】（1）篮球单价是56元，排球的单价是48元 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，找出等量关系列二元一次方程组和找出各数量关系列出不等式是解题的关键； （1）设篮球单价是x元，排球的单价是y元，根据“购买30个排球，20个篮球，共花费2560元，若篮球和排球的单价之和为104元”，即可得出关于x、y的二元一次方程方程组，解方程即可； （2）设排球的损耗率是m，则篮球的损耗率的，根据“篮球和排球最少剩下43个”，列一元一次不等式，求出最大值即可． 【小问1详解】 设篮球单价是x元，排球的单价是y元，根据题意，得 解得：， 答：篮球单价是56元，排球的单价是48元． 【小问2详解】 解：设排球的损耗率是m，则篮球的损耗率的，根据题意得： 解得：， 当损耗率损耗率最大， 排球的最大损耗率为 20. 解决问题 （1）如图①，是的直径，它所对的圆周角有什么特点？你能证明你的结论吗？ （2）如图②，A，B，C三点均在上，的延长线交于点D，若的直径为8，，，求的长． 【答案】（1）直径所对的圆周角是． 证明如下：如图①，连接， ， ． ， ， 直径所对的圆周角是． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，则有，从而有．利用三角形内角和即可证明； （2）延长交于点，连接．由题意及勾股定理的逆定理可得，由勾股定理求得，再证明，由相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：如图②，延长交于点，连接． ， 的直径为8， ， ， ， ，即， ，， 在中，由勾股定理得， 由， ∴， ， 即， ， ． 五、（本大题2小题，每小题9分，共18分） 21. 为了学生的心理健康，某校邀请心理健康专家为全校学生举办了讲座，科普心理知识．为了解讲座的教育效果，该校从全校学生中随机抽取部分学生，对他们在听讲座前后关于心理健康知识的了解程度（：非常了解；：基本了解；：了解较少；：一点都不了解）的情况进行了调查，并根据调查结果，绘制了如下两幅尚不完整的统计图． 听讲座前学生对心理健康知识 听讲座前后学生对心理健康知识 了解程度的频数分布直方图 了解程度的折线统计图 根据图中信息回答下列问题． （1）本次被调查的学生共有___________人，听讲座前，学生对心理健康知识一点都不了解的人数占比是___________； （2）补全频数分布直方图和折线统计图； （3）若讲座能让对心理健康知识一点都不了解的学生人数清0，就认为讲座效果明显，否则不明显，请你根据补全的折线统计图，判断：讲座的效果___________；（填“明显”或“不明显”） （4）若该校共有学生4000人，请你估算，听了心理健康讲座后，该校对心理健康知识一点都不了解的学生减少了多少人． 【答案】（1）400，10 （2） 补全频数分布直方图和折线统计图如图： （3）明显 （4）减少了400人 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图，折线统计图，用样本估计总体，能从统计图中获取有用信息是解题的关键． （1）根据折线统计图可得听讲座前组的人数为160人，结合频数分布直方图即可求解； （2）先求出听讲座后组的人数，再补全频数分布直方图和折线统计图即可； （3）根据折线统计图即可解答； （4）根据用样本估计总体求出听讲座前对心理健康知识一点都不了解的学生人数即可． 【小问1详解】 解：根据折线统计图可得听讲座前组的人数为160人， 故本次被调查的学生共有人， 听讲座前，学生对心理健康知识一点都不了解的人数占比是， 故答案为：400；10； 【小问2详解】 解：根据题意可得听讲座后组的人数为人， 【小问3详解】 解：根据折线统计图可得讲座的效果明显， 故答案为：明显． 【小问4详解】 解：（人）． 答：听了心理健康讲座后，该校对心理健康知识一点都不了解的学生约减少了400人． 22. 一小球M从斜坡上的点O处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画．若小球到达最高点的坐标为． （1）求抛物线的函数解析式（不写自变量x的取值范围）； （2）小球在斜坡上的落点A的垂直高度为________米； （3）若要在斜坡上的点B处竖直立一个高4米的广告牌，点B的横坐标为2，请判断小球M能否飞过这个广告牌？通过计算说明理由； 【答案】（1） （2） （3）当时，，， ∵， ∴小球M能飞过这个广告牌． 【解析】 【分析】（1）根据题意设抛物线的表达式为，把代入即可确定抛物线解析式； （2）联立两个函数求解确定，即可得出结果； （3）将分别代入两个函数求解，比较即可． 【小问1详解】 解：∵小球到达的最高的点坐标为， ∴设抛物线的表达式为， 把代入得，， 解得：， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：联立方程组， 解得或， ∴， ∴小球在斜坡上的落点A的垂直高度为米， 故答案为：； 【小问3详解】 略 六、（本大题共12分） 23. 【综合与实践】定义：在四边形中，若有一个角是直角，且从这个直角顶点引出的对角线，把对角分成的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为“双垂四边形”． 【初步探究】（1）如图1，在“双垂四边形”中，若，则________，的值为________． 【问题解决】（2）如图2，在“双垂四边形”中，，，E为线段上一点，且，求的值． 【拓展应用】（3）如图3，在“双垂四边形”中，，，E为线段上一动点，且，连接，将沿翻折，得到．连接，若，请直接写出的面积． 【答案】（1），；（2）1；（3）6或12 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，正方形的判定和性质，正确画出图形，添加辅助线解答是解题的关键． （1）由直角三角形两锐角互余可得，，进而可得，即可求解； （2）根据等腰直角三角形的性质可证，得到，即可求解； （3）如图，过点作于点，由（2）知，，，即得，，进而由折叠可得四边形为正方形，连接，则，，分两种情况：①当点D的对应点F在的上方时；②当点D的对应点F在的下方时，分别画出图形解答即可求解． 【详解】解：（1），， ， ， ，， ， 故答案为：，； （2），， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）如图，过点作于点， 由（2）知，， ， ， ， 同理（2）可得，， ， 由折叠的性质可知， 四边形为正方形， 如图，连接，当点D的对应点F在的上方时，则，， ，即， ， ， ， ， ， ∴， ∴； 如图，当点D的对应点F在的下方时， 同理得：， ， ， ， ． 综上可得，的面积为6或12． 卷尾寄语：没有被数学虐哭过的人，不足以谈人生！但请相信一切都是最好的安排，你不会的题在中考前已全都被你提前遇到，确认过眼神，中考都是你会做的题．中考不是数学的终点，希望将来的你能用数学的眼光观察世界，能用数学的思维思考世界，能用数学的语言表达世界．最后永修三中初三全体数学老师祝同学们2026中考内心外心题题顺心，双曲线抛物线超越分数线！ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度下学期阶段（四）质量评估试卷 九年级数学 考生须知： 1、全卷满分120分，考试时间120分钟； 2、试卷和答题卡都要写上班级、姓名； 3、请将答案写在答题卡上的相应位置上，否则不给分． 一、选择题（本大题6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 的相反数是（　　） A. B. C. 3 D. -3 2. 2025年2月22日南昌市统计局发布，2024年南昌市常住人口增加万，排在全国前列，将万用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 羽毛球是一项老少皆宜的体育运动，如图，该羽毛球的左视图为（ ） A. B. C. D. 4. 下列采用的调查方式中，不合适的是（ ） A. 企业招聘，对应聘人员进行面试，采用全面调查 B. 检查神舟二十号飞船的各零部件，采用抽样调查 C. 了解某班同学对某学科教师教学的满意情况，采用全面调查 D. 了解某市中学生睡眠时间，采用抽样调查 5. 将边长为1的正方形纸片按图①的方法进行对折，记第1次对折后得到的图形的面积为；第2次按图②的方法对折，记第2次对折后得到的图形的面积为；第3次按图③的方法对折，记第3次对折后得到的图形的面积为；…，依此规律，第n次对折后得到的图形的面积S为（ ） A. B. C. D. 6. 密度公式：．其中表示密度，表示质量，表示体积．小敏同学探究甲、乙、丙、丁四种物质的密度，她将测量得到的数据绘制成如图所示的图象．则四种物质中密度最大的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 的算术平方根是______． 8. 直线向上平移2个单位，恰好过点，则b的值为__________. 9. 小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与其中一把直尺边缘的交点为，点、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则的长度是______． 10. 日晷仪也称日晷，是我国古代较为普遍使用的计时仪器，内圈被分为十二个全等的图形，分别标示着“十二地支”（如图）．通过测量得到晷面内圈的半径为．若晷针投影的长度不变，且都在晷面的内圈上，则晷针投影在晷面上从“巳”时开始到“申”时末结束（从旋转到）扫过的图形面积是_______． 11. 我国明代《永乐大典》记载“绫罗尺价”问题，其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入896文，每尺绫布和每尺罗布一共需要120文．问绫布有多少尺，罗布有多少尺？”设绫布有x尺，则可列方程为_______ 12. 在矩形中，，点E在边上，且，P是直线上的一个动点．若是直角三角形，则的长为________． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 按要求完成各题 （1）计算：； （2）如图，中，是的平分线，过D作交于点E，，，求的长． 14. 先化简，再从－2，0，2中选择一个合适的值代入求值． 15. 如图，在的正方形网格中，线段是的半径，为格点，请仅用无刻度的直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） （1）在图1中找到格点，使得是的切线． （2）如图2，在上作点，使得是等边三角形． 16. 如图是学校食堂一张餐桌的示意图，小西和小明一起去食堂吃饭，他们选了一张空餐桌． （1）小西随机选择一个座位坐下，他坐在③号座位上是_______事件（填“必然”“不可能”或“随机”）； （2）若小西和小明两位同学随机坐在①，②，③，④四个座位中，请用画树状图或列表的方法，求小西和小明两位同学坐在正对面的概率． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作轴于点，以，为邻边作，反比例函数的图象经过点，设点的横坐标为． （1）当时，求的值； （2）当时，求反比例函数的解析式． 四、（本大题3小题，每小题8分，共24分） 18. 防火门是消防中的必备设备，作为隔绝烟火的关键屏障，被广泛应用于公共建筑的封闭楼梯间、安全通道、地下室、消防控制室等．图①是某栋楼层的双开防火门实物图，将其左门抽象成俯视示意图如图②和图③所示．已知墙面，门宽． （1）如图②，当左门绕点A逆时针完全打开贴到墙时，点B落在点C处，此时，求的长； （2）如图③，当左门绕点A逆时针打开时，点B落在点D处，求此时点D到墙面的距离．（结果精确到，参考数据：，） 19. 为鼓励学生加强强身健体，某校计划购买一批篮球和排球，根据学校实际，决定共购买30个排球，20个篮球，共花费2560元，若篮球和排球的单价之和为104元． （1）求篮球和排球的单价； （2）据不完全统计，每个学年篮球的损耗率是排球的损耗率的两倍，若学期末这批篮球和排球最少剩下43个，求排球的最大损耗率． 20. 解决问题 （1）如图①，是的直径，它所对的圆周角有什么特点？你能证明你的结论吗？ （2）如图②，A，B，C三点均在上，的延长线交于点D，若的直径为8，，，求的长． 五、（本大题2小题，每小题9分，共18分） 21. 为了学生的心理健康，某校邀请心理健康专家为全校学生举办了讲座，科普心理知识．为了解讲座的教育效果，该校从全校学生中随机抽取部分学生，对他们在听讲座前后关于心理健康知识的了解程度（：非常了解；：基本了解；：了解较少；：一点都不了解）的情况进行了调查，并根据调查结果，绘制了如下两幅尚不完整的统计图． 听讲座前学生对心理健康知识 听讲座前后学生对心理健康知识 了解程度的频数分布直方图 了解程度的折线统计图 根据图中信息回答下列问题． （1）本次被调查的学生共有___________人，听讲座前，学生对心理健康知识一点都不了解的人数占比是___________； （2）补全频数分布直方图和折线统计图； （3）若讲座能让对心理健康知识一点都不了解的学生人数清0，就认为讲座效果明显，否则不明显，请你根据补全的折线统计图，判断：讲座的效果___________；（填“明显”或“不明显”） （4）若该校共有学生4000人，请你估算，听了心理健康讲座后，该校对心理健康知识一点都不了解的学生减少了多少人． 22. 一小球M从斜坡上的点O处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画．若小球到达最高点的坐标为． （1）求抛物线的函数解析式（不写自变量x的取值范围）； （2）小球在斜坡上的落点A的垂直高度为________米； （3）若要在斜坡上的点B处竖直立一个高4米的广告牌，点B的横坐标为2，请判断小球M能否飞过这个广告牌？通过计算说明理由； 六、（本大题共12分） 23. 【综合与实践】定义：在四边形中，若有一个角是直角，且从这个直角顶点引出的对角线，把对角分成的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为“双垂四边形”． 【初步探究】（1）如图1，在“双垂四边形”中，若，则________，的值为________． 【问题解决】（2）如图2，在“双垂四边形”中，，，E为线段上一点，且，求的值． 【拓展应用】（3）如图3，在“双垂四边形”中，，，E为线段上一动点，且，连接，将沿翻折，得到．连接，若，请直接写出的面积． 卷尾寄语：没有被数学虐哭过的人，不足以谈人生！但请相信一切都是最好的安排，你不会的题在中考前已全都被你提前遇到，确认过眼神，中考都是你会做的题．中考不是数学的终点，希望将来的你能用数学的眼光观察世界，能用数学的思维思考世界，能用数学的语言表达世界．最后永修三中初三全体数学老师祝同学们2026中考内心外心题题顺心，双曲线抛物线超越分数线！ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $