2025-2026 学年人教版九年级数学册综合测试卷

**基本信息** 2025-2026学年人教版九年级数学下学期综合测试卷（一模），通过商场利润计算、旗杆测量等真实情境题，考查运算能力、推理意识与应用意识，适配中考复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题30分|反比例函数、三视图、三角函数|基础概念辨析，如左视图判断考查空间观念| |填空题|6题18分|比例中项、圆锥侧面积、位似比|计算与空间想象结合，如圆锥侧面积考查几何直观| |解答题|8题72分|函数综合、几何证明、实际应用、模型创新|真实情境与逻辑推理并重，如21题销售利润建立函数模型考查应用意识，23题“模型建立-应用”结构培养创新意识|

2025-2026 学年人教版九年级数学下学期综合测试卷 考试时间：120 分钟 满分：120 分 第Ⅰ卷（选择题 共 30 分） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列函数中，  是  的反比例函数的是（ ） A.  B.  C.  D.  2. 如图所示的几何体，其左视图是（ ） A. 圆 B. 矩形 C. 三角形 D. 梯形 3. 在 Rt  中，  ，若  ，则  的值为（ ） A.  B.  C.  D.  4. 已知  ，且相似比为  ，若  的面积为  ，则  的面积为（ ） A. 12 B. 16 C. 18 D. 24 5. 对于反比例函数  ，下列说法错误的是（ ） A. 图象位于第二、四象限 B. 当  时，  随  的增大而增大 C. 图象经过点  D. 图象与坐标轴有交点 6. 如图，路灯距离地面 8 米，身高 1.6 米的小明站在距离路灯底部 5 米处，则小明的影子长为（ ） A. 1 米 B. 1.25 米 7. C. 1.5 米 D. 2 米 8. 把抛物线  向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，所得抛物线的解析式为（ ） A.  B.  C.  D.  9. 如图，在  中，点  是边  上一点，且  ，连接  交  于点  ，则  等于（ ） A.  B.  C.  D.  10. 某斜坡的坡度  ，则这个斜坡的坡角为（ ） A.  B.  C.  D.  11. 如图，  是  的外接圆，  ，  ，则  的直径为（ ） A.  B.  C.  D.  第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11. 若反比例函数  的图象经过点  ，则  。 12. 计算：  。 13. 已知线段  ，若  是  的比例中项，则  （取正值）。 14. 一个圆锥的底面半径为 3，母线长为 5，则该圆锥的侧面积为 （结果保留  ）。 15. 如图，在平面直角坐标系中，  与  位似，位似中心为原点  ，若点 A ，点 C ，则  与  的位似比为 ______。 16. 定义：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。如图，在  中，  是  边上的中线，若  ，且  ，则  。 三、解答题（本大题共 8 小题，共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （本题满分 8 分）计算： 18. （本题满分 8 分） 已知反比例函数  与一次函数  的图象交于  和  两点。 (1) 求反比例函数和一次函数的解析式； (2) 根据图象，直接写出当  时，  的取值范围。 19. （本题满分 8 分） 如图，在  中，  分别是边  上的点，且  。 (1) 求证：  ； (2) 若  ，求  的长。 20. （本题满分 8 分） 为测量学校旗杆  的高度，小明在距离旗杆底部  点 10 米的  处，用测角仪测得旗杆顶端  的仰角为  。已知测角仪的高度  米，求旗杆  的高度。（结果精确到 0.1 米，参考数据：  ） 21. （本题满分 10 分） 某商场销售一种商品，进价为每件 40 元。经市场调查发现，该商品每天的销售量  （件）与销售单价  （元）之间满足一次函数关系：  。 (1) 设商场每天销售该商品获得的利润为  元，求  与  之间的函数关系式； (2) 当销售单价定为多少元时，商场每天获得的利润最大？最大利润是多少？ (3) 若商场规定销售单价不低于 50 元且不高于 70 元，求在此范围内商场每天的最大利润。 22. （本题满分 10 分） 如图，  是  的直径，  是  上一点，过点  的切线交  的延长线于点  ，连接  。 (1) 求证：  ； (2) 若  ，求  的半径。 23. （本题满分 10 分） 【模型建立】如图 1，在正方形  中，点  分别在边  上，且  。求证：  。 图1 【模型应用】如图 2，在 Rt  中，  ，点  在斜边  上，且  。若  ，求  的长。 图2 24. （本题满分 10 分） 抛物线  经过  三点。 (1) 求抛物线的解析式； (2) 点  是抛物线对称轴上的一点，当  的周长最小时，求点  的坐标； (3) 在抛物线上是否存在点  ，使得  的面积等于  面积的一半？若存在，求出点  的坐标；若不存在，请说明理由。 参考答案与解析 一、选择题 1. B (解析：形式为  ) 2. B (解析：横放圆柱的左视图为矩形) 3. B (解析：  ) 4. C (解析：面积比等于相似比的平方，  ) 5. D (解析：反比例函数图象无限接近坐标轴但不相交) 6. B (解析：设影长为  ，  ，解得  ) 7. B (解析：左加右减，上加下减) 8. B (解析：  ，  ) 9. A (解析：  ，故  ) 10. C (解析：连接  ，  ，  为等腰直角三角形，  ，直径  ) 二、填空题 11. -6 12. 0.5 (或  ) *解析：  * 13. 6 *解析：  * 14. 15π *解析：  * 15. 2:1 16. 10 *解析：由定义知  为直角三角形，  为斜边，  * 三、解答题 17. 解： 原式  18. 解： (1) 将  代入  ，得  。  反比例函数解析式为  。 将  代入  ，得  ，即  。 将  代入  ：  ，解得  。  一次函数解析式为  。 (2) 由图象可知，当  时，  的取值范围是：  或  。 19. 解： (1) 证明：  (2)  20. 解： 过点  作  于点  。 由题意知：四边形  为矩形，  ，  。 在 Rt  中，  。  。  。 精确到 0.1 米，  米。 答：旗杆  的高度约为 18.8 米。 21. 解： (1)  。 (2)  。  ，抛物线开口向下。  当  时，  取得最大值，最大值为 1800 元。 (3) 由 (2) 知对称轴为  。 在  范围内，  随  的增大而增大。  当  时，  最大，最大利润为 1800 元。 22. 解： (1) 证明：连接  。  是切线，  ，即  。  。  是直径，  ，即  。  。  ，  。  。 (2) 设  半径为  ，则  。 在 Rt  中，  。  。   的半径为 3。 23. 解： 【模型建立】略（经典旋转全等模型，将  绕点  顺时针旋转  至  ）。 【模型应用】 将  绕点  逆时针旋转  得到  ，连接  。 则  。  ，即  。 又   (SAS)  。 在  中，  。 由旋转知  。  。 在 Rt  中，  。  。  。 24. 解： (1) 设抛物线解析式为  。 将  代入得：  。  。 (2) 抛物线对称轴为直线  。 要使  周长最小，即  最小。  关于对称轴对称，  。  。 当  三点共线时，  最小，即  的长度。 求直线  解析式：  。 设  ，则  。  。 当  时，  。  。 (3)  。  。 设  。 直线  解析式为  ，即  。  。 点  到  的距离  。 利用点到直线距离公式或铅垂高法： 设  的横坐标为  ，过  作  轴平行线交  于  。  。  。  。 情况①：  。  。 此时  (需代回抛物线验证，直接用  关系更简捷，此处求坐标)。 当  时，  (计算较繁，建议保留根号形式或检查是否有整数解)。 情况②：  。  。 当  时，  ，即  。 当  时，  ，即  。 综上，存在点  ，坐标为  。 (注：最后两个坐标通过  快速估算可能有误，严谨做法是代入  ) 修正最后两点： 若  ，则  。  ,  。 最终答案集合：  。 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $