2121.2.3 二次函数表达式的确定 课件 2026-2027学年沪科版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数表达式的确定，核心内容涵盖一般式、顶点式、交点式三种方法。课堂导入通过回顾一次函数待定系数法，引导学生从一次函数2个待定系数需2个点，过渡到二次函数3个待定系数需3个点，搭建知识迁移的学习支架。 其亮点是依据不同条件灵活选法，如已知顶点设顶点式、交点设交点式，培养数学思维的推理与运算能力。通过例3用顶点式求过(8,9)和(0,1)的解析式等实例及系统小结，强化模型意识，助力学生夯实基础提升解题技能，也为教师提供结构化资源，提高教学效率。

沪科版数学九年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月13日 21.2.3 二次函数表达式的确定 第21章 二次函数与反比例函数 沪科版九年级上册21.2.3 二次函数表达式的确定同步练习题 本课时核心内容为二次函数表达式的确定，是二次函数解题的核心技能。主要考查根据不同已知条件，灵活选用一般式、顶点式、交点式求解函数解析式，涵盖定点代入、顶点条件、对称点、与坐标轴交点等高频题型，夯实二次函数综合解题基础，适配课后巩固训练。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 已知二次函数图象经过原点，且解析式为\(y=ax²+bx+c\)，则\(c\)的值为（） A. 1 B. 0 C. -1 D. 无法确定 2. 已知抛物线顶点坐标为\((2,3)\)，最简便的设解析式的方式是（） A. \(y=ax²+bx+c\) B. \(y=a(x-2)²+3\) C. \(y=a(x+2)²+3\) D. \(y=a(x-2)²-3\) 3. 抛物线与x轴交于\((-1,0)\)和\((3,0)\)，则其解析式可设为（） A. \(y=a(x+1)(x-3)\) B. \(y=a(x-1)(x+3)\) C. \(y=ax²+3x-1\) D. \(y=a(x+1)²-3\) 二、填空题（每题4分，共20分） 4. 已知二次函数\(y=ax²\)经过点\((2,8)\)，则\(a=\)________。 5. 抛物线顶点为\((-1,2)\)，且开口大小、方向与\(y=3x²\)相同，则解析式为________。 6. 二次函数与x轴交于\((0,0)\)、\((4,0)\)，且过点\((1,-3)\)，则该函数的解析式为________。 三、解答题（共60分） 7.（20分）已知二次函数图象经过三点\((0,-1)\)、\((1,0)\)、\((2,3)\)，求该二次函数的解析式。 8.（20分）已知抛物线顶点坐标为\((1,-4)\)，且经过点\((3,0)\)，求抛物线的解析式。 9.（20分）已知二次函数图象与x轴交于\((-2,0)\)、\((4,0)\)两点，且经过点\((3,-5)\)，求函数解析式。 参考答案与解析 一、选择题 1. B 解析：图象过原点\((0,0)\)，代入解析式得\(c=0\)。 2. B 解析：已知顶点\((h,k)\)，优先设顶点式\(y=a(x-h)²+k\)，此处\(h=2，k=3\)。 3. A 解析：已知与x轴两交点\(x_1、x_2\)，设交点式\(y=a(x-x_1)(x-x_2)\)，代入得对应解析式。 二、填空题 4. 2 解析：将\((2,8)\)代入得\(4a=8\)，解得\(a=2\)。 5. \(y=3(x+1)²+2\) 解析：开口相同则\(a=3\)，结合顶点式直接写出解析式。 6. \(y=x²-4x\) 解析：设交点式\(y=ax(x-4)\)，代入\((1,-3)\)得\(-3=-3a\)，\(a=1\)，化简即可。 三、解答题 7. 解：设一般式\(y=ax²+bx+c\)，代入三点得方程组，解得\(a=1，b=0，c=-1\)，解析式为\(y=x²-1\)。 8. 解：设顶点式\(y=a(x-1)²-4\)，代入\((3,0)\)得\(4a-4=0\)，\(a=1\)，解析式为\(y=(x-1)²-4=x²-2x-3\)。 9. 解：设交点式\(y=a(x+2)(x-4)\)，代入\((3,-5)\)得\(-5a=-5\)，\(a=1\)，解析式为\(y=(x+2)(x-4)=x²-2x-8\)。 练习小结：本节核心解题方法：已知三点设一般式、已知顶点设顶点式、已知x轴两交点设交点式，根据条件择优选择方法，简化计算，是后续二次函数综合题的必备基础。 1. 一次函数 y = kx + b (k ≠ 0) 有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式？ 2. 求一次函数表达式的方法是什么？一般步骤有哪些？ 2 个 2 个 待定系数法 (1) 设：表达式 (2) 代：坐标代入 (3) 解：方程（组） (4) 还原：写表达式 一般式法求二次函数的表达式 问题1 （1）二次函数 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 中有几个待定系数？需要抛物线上的几个点的坐标才能求出系数？ 3个 3个 （2）下面是我们用描点法画二次函数的图象时所列表格的一部分： x -3 -2 -1 0 1 2 y 0 1 0 -3 -8 -15 1 ① 选取图象经过的三点 (-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，试求出这个二次函数的表达式. 解：设这个二次函数的表达式为 y = ax2 + bx + c，把 (-3，0)，(-1，0)，(0，-3) 代入表达式，得 9a - 3b + c = 0， a - b + c = 0， c = -3， 解得 a = -1， b = -4， c = -3. ∴ 所求的二次函数的表达式为 y = -x2 - 4x - 3. 待定系数法 步骤: 1.设：表达式 2.代：坐标代入 3.解：方程(组) 4.还原：写解析式 这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法. 其一般步骤是： ① 设函数表达式为 y = ax2 + bx + c； ② 代入三点的坐标后得到一个三元一次方程组； ③ 解方程组得到 a，b，c 的值； ④ 把待定系数用求得的值换掉，写出函数表达式. 一般式法求二次函数表达式的方法 归纳总结 5 例1 一个二次函数的图象经过 (-1，10)，(1，4)，(2，7) 三点，求这个二次函数的表达式. 解：设这个二次函数的表达式是 y = ax2 + bx + c，代入 (-1，10)，(1，4)，(2，7) 三点，可得 解这个方程组，得 ∴ 所求的二次函数的表达式是 y = 2x2 - 3x + 5. 4a + 2b + c = 7， a - b + c = 10， a + b + c = 4， c = 5. a = 2， b = -3， 例2 有一个二次函数，当 x = 0 时，y = -1；当 x = -2 时，y = 0；当 x = 时，y = 0，求这个二次函数的表达式. 则有 解：设所求的二次函数为 y = ax2 + bx + c， 解得 故所求的二次函数的表达式为 顶点法求二次函数的表达式 选取抛物线的顶点 (-2，1) 和经过的一点 (1，-8)，试求出这个抛物线所对应的二次函数的表达式. 解：设这个二次函数的表达式为 y = a(x - h)2 + k，把顶点 (-2，1) 代入 y = a(x - h)2 + k， 得 y = a(x + 2)2 + 1， 再把点 (1，-8) 代入上式， 得 -8 = a(1 + 2)2 + 1， 解得 a = -1. ∴ 所求的二次函数的表达式为 y = -(x + 2)2 + 1，即 y = -x2 - 4x - 3. 2 顶点法求二次函数的方法 这种根据抛物线的顶点坐标求表达式的方法叫做顶点法. 其步骤是： ① 设函数表达式是 y = a(x + h)2 + k； ② 先代入顶点坐标，得到关于 a 的一元一次方程； ③ 将另一点的坐标代入原方程求出 a 的值； ④ 将 a 用数值换掉，写出函数表达式，然后化为一般式. 归纳总结 例3 一个二次函数的图象经点 (0，1)，它的顶点坐标为 (8，9)，求这个二次函数的表达式. 解： 因为这个二次函数的图象的顶点坐标为 (8，9)，所以可设其表达式为 y = a(x - 8)2 + 9. 又因为它的图象经过点 (0，1)， 所以 1 = a(0 - 8)2 + 9，解得 故所求的二次函数的表达式是 y = (x - 8)2 + 9，即 y = x2 + 2x + 1. 解：∵ (-3，0)，(-1，0) 是抛物线与 x 轴的交点， ∴可设其表达式为 y = a(x + 3)(x + 1). 代入点 (0，-3)，得 a(0 + 3)(0 + 1) = -3， 解得 a = -1. ∴ 所求表达式为 y = -(x + 3)(x + 1)，即 y = -x2 - 4x - 3. 选取二次函数图象上的三点 (-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，试求出这个二次函数的表达式. 交点法求二次函数的表达式 x y O 1 2 -1 -2 -3 -4 -2 -4 -3 1 3 交点法求二次函数表达式的方法 这种已知抛物线与 x 轴的交点坐标，求表达式的方法叫做交点法. 其一般步骤是： ① 设其表达式是 y = a(x - x1)(x - x2) (其中 x1，x2 分别是两交点的横坐标)； ② 将抛物线经过的第三点的坐标代入表达式，得到关于 a 的一元一次方程； ③ 解方程得出 a 值； ④ 写出表达式，并化为一般式. 归纳总结 想一想 确定二次函数的这三点应满足什么条件？ 这三点不能在同一条直线上（其中两点的连线可垂直于 y 轴，但不可以垂直于 x 轴）. 求特殊二次函数的表达式 例4 已知二次函数 y = ax2 + c 的图象经过点 (2，3) 和 (-1，-3)，求这个二次函数的表达式． 解：∵ 该图象经过点 (2，3) 和 (-1，-3)， ∴ 这个二次函数的表达式为 y = 2x2 - 5. a = 2， c = -5. 解得 { 关于 y 轴对称 3 = 4a + c， -3 = a + c， { ∴ 4 已知二次函数 y = ax2 + bx 的图象经过点 (-2，8) 和 (-1，5)，求这个二次函数的表达式． 解：∵ 该图象经过点 (-2，8) 和 (-1，5)， 图象经过原点 8 = 4a - 2b， 5 = a - b， ∴ { 解得 a = -1，b = -6. ∴ y = -x2 - 6x. 做一做 例5 已知抛物线经过(-1，12.5)，(1，4.5)，(0，8)三点. (1) 求这条抛物线对应的函数表达式； 二次函数与一次函数的综合 5 解 (1) 设所求抛物线对应的函数表达式为 y = ax2 + bx + c，由抛物线经过 (-1，12.5)，(1，4.5)，(0，8) 三点，得 a - b + c = 12.5， a + bx + c = 4.5， c = 8. 解方程组，得 a = ， b = -4， c = 8. 所求抛物线对应的函数表达式为 y = x2 - 4x + 8. (2) 若该抛物线的顶点为 A，且与直线 交于 B，C 两点，在同一平面直角坐标系中画出它们的图象，并求出△ABC 的面积. (2) 如图，画出直线 y = x2 + 1 与抛物线 y = x2 - 4x + 8. B C A 由 y = x2 - 4x + 8 = (x - 4)2， 得点 A 的坐标为 (4，0). 解方程组 y = x2 + 1 y = x2 - 4x + 8 B1 x y O A -1 -2 -3 -1 2 1 6 4 8 6 B C 过 B，C 两点作 x 轴的垂线，垂足为 B1，C1，则 C1 得 B，C 两点的坐标为 B (2，2)，C (7，4.5). 练一练 如图，函数 y = ax2 - 2x + 1 和 y = ax + a (a 是常数，且 a≠0) 在同一平面直角坐标系的图象可能是( ) x O y A O x y B x O y C x O y D A 1. 如图，在平面直角坐标系中，该抛物线的表达式应是 . 注 y = ax2 与 y = ax2 + k，y = a(x + h)2，y = a(x + h)2 + k 一样都是顶点式，只不过前三者是顶点式的特殊形式. 注意 x y O 2 -2 -4 2 -2 4 随堂练习 20 2. 过点 (2，4)，且当 x = 1 时，y 有最值为 6，则其表达式是 . y = -2x2 + 4x + 4 顶点坐标是 (1，6) 随堂练习 21 3. 已知二次函数的图象经过点 (－1，－5)，(0，－4)和 (1，1)，求这个二次函数的表达式． 解：设这个二次函数的表达式为 y＝ax2＋bx＋c. 依题意得 ∴ 这个二次函数的表达式为 y＝2x2＋3x－4. a＋b＋c＝1， c＝－4， a－b＋c＝－5， 解得 b＝3， c＝－4. a＝2， 随堂练习 22 4. 已知抛物线与 x 轴相交于点 A (－1，0)，B (1，0)，且过点 M (0，1)，求此抛物线的表达式． 解：由于点 A(－1，0)，B (1，0) 是抛物线与 x 轴的交点，故可设该抛物线的表达式为 y＝a(x＋1)(x－1). 又因为抛物线过点 M (0，1)， 所以 1＝a(0＋1)(0－1)，解得 a＝－1. 所以所求抛物线的表达式为 y＝－(x＋1)(x－1)， 即 y＝－x2＋1. 随堂练习 23 5. 如图，抛物线 y＝x2＋bx＋c 过点 A (－4，－3)，与 y轴交于点 B，对称轴是 x＝－3，请解答下列问题： (1) 求抛物线的表达式； 解：把点 A (－4，－3) 代入 y＝x2＋bx＋c 得 16－4b＋c＝－3，即 c＝4b－19. ∵ 对称轴是 x＝－3，∴ ＝－3. ∴ b＝6. ∴ c＝4b－19＝5. ∴ 该抛物线的表达式为 y＝x2＋6x＋5. 随堂练习 (2) 若与 x 轴平行的直线和抛物线交于 C，D 两点，点 C 在对称轴左侧，且 CD＝8，求△BCD 的面积． 解：∵ CD∥x 轴，∴ 点 C 与点 D 关于 x＝－3 对称. ∵ 点 C 在对称轴左侧，且CD＝8， ∴ 点 C 的横坐标为－7. ∴ 点 C 的纵坐标为 (－7)2＋6×(－7)＋5＝12. 易得点 B 的坐标为 (0，5)， ∴ △BCD 中 CD 边上的高为12－5＝7. ∴ △BCD 的面积为 ×8×7＝28. 随堂练习 ①已知三点坐标 ②已知顶点坐标或对称轴或最值 ③已知抛物线与x 轴的两个交点 已知条件 所选方法 用一般式法：y = ax2 + bx + c 用顶点法：y = a(x - h)2 + k 用交点法：y = a(x - x1)(x - x2) (x1，x2 为交点的横坐标) 待定系数法 求二次函数解析式 课堂小结 $