21.5.1反比例函数 课件 2026-2027学年沪科版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦反比例函数的定义、解析式特征、待定系数法及实际应用，通过买笔记本、汽车行程等实际情境导入，引导学生发现反比例关系，搭建从具体到抽象的学习支架，为后续图象与性质学习奠定基础。 其亮点在于以合作探究串联实际问题，如矩形面积、电路电流等，培养学生用数学眼光观察现实世界，通过辨析函数形式、推导解析式发展数学思维，用待定系数法解决压强计算等问题强化数学语言表达。学生能深化概念理解，教师可依托分层练习提升教学效率。

沪科版数学九年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月13日 21.5.1反比例函数 第21章 二次函数与反比例函数 沪科版九年级上册21.5.1 反比例函数同步练习题 本课时是反比例函数的入门基础，主要学习反比例函数的定义、解析式特征、待定系数法求函数表达式，区分正比例函数与反比例函数，掌握反比例关系的实际应用。本节是后续学习反比例函数图象与性质的基础，题型以基础辨析、求值、简单应用为主，适合课后巩固新知。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 下列函数中，属于反比例函数的是（） A. \(y=3x\) B. \(y=\frac{5}{x}\) C. \(y=3x+1\) D. \(y=3x²\) 2. 若函数\(y=(m-1)x^{m²-2}\)是反比例函数，则\(m\)的值为（） A. 1 B. -1 C. ±1 D. 2 3. 已知反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)经过点\((2,3)\)，则\(k\)的值为（） A. 5 B. 6 C. \(\frac{3}{2}\) D. \(\frac{2}{3}\) 二、填空题（每题4分，共20分） 4. 反比例函数的一般形式为________（\(k\)为常数，\(k≠0\)）。 5. 若\(y\)与\(x\)成反比例，且当\(x=4\)时，\(y=2\)，则函数解析式为________。 6. 已知反比例函数\(y=\frac{8}{x}\)，当\(x=-2\)时，\(y=\)________。 三、解答题（共60分） 7.（20分）判断下列哪些是反比例函数，不是的说明理由。 （1）\(y=\frac{2}{x}\) （2）\(y=\frac{x}{3}\) （3）\(xy=7\) （4）\(y=\frac{2}{x}+1\) 8.（20分）已知\(y\)与\(x\)成反比例，且当\(x=3\)时，\(y=4\)。（1）求\(y\)关于\(x\)的函数解析式；（2）求当\(x=6\)时，\(y\)的值。 9.（20分）一定体积的圆柱，底面积\(S\)与高\(h\)成反比例，已知当\(h=5\mathrm{cm}\)时，\(S=10\mathrm{cm²}\)。（1）求\(S\)与\(h\)的函数关系式；（2）当\(h=8\mathrm{cm}\)时，求底面积\(S\)。 参考答案与解析 一、选择题 1. B 解析：反比例函数形式为\(y=\frac{k}{x}(k≠0)\)，A为正比例函数，C为一次函数，D为二次函数。 2. B 解析：反比例函数次数为\(-1\)，即\(m²-2=-1\)且\(m-1≠0\)，解得\(m=-1\)。 3. B 解析：将点代入得\(k=2×3=6\)。 二、填空题 4. \(y=\frac{k}{x}\) 解析：反比例函数标准定义形式。 5. \(y=\frac{8}{x}\) 解析：设\(y=\frac{k}{x}\)，代入\(x=4，y=2\)得\(k=8\)。 6. -4 解析：代入\(x=-2\)，\(y=8÷(-2)=-4\)。 三、解答题 7. 解：（1）是反比例函数；（2）是正比例函数，不是反比例函数；（3）变形为\(y=\frac{7}{x}\)，是反比例函数；（4）分母加常数，不符合标准形式，不是反比例函数。 8. 解：（1）设\(y=\frac{k}{x}\)，代入\(x=3，y=4\)得\(k=12\)，解析式为\(y=\frac{12}{x}\)；（2）当\(x=6\)时，\(y=2\)。 9. 解：（1）设\(S=\frac{k}{h}\)，代入得\(k=50\)，关系式为\(S=\frac{50}{h}\)；（2）\(h=8\)时，\(S=\frac{25}{4}\mathrm{cm²}\)。 练习小结：本节核心考点：反比例函数定义为\(y=\frac{k}{x}(k≠0)\)，自变量次数为\(-1\)；已知成反比例关系可设标准解析式，用待定系数法求\(k\)；生活中乘积为定值的两个量成反比例关系，可建立反比例函数模型求解。 ？ ？ 新学期伊始，小明想买一些笔记本为以后的学习做准备. 妈妈给了小明 30 元钱，小明可以如何选择笔记本的价钱和数量呢？ 笔记本单价 x/元 1.5 2 2.5 3 5 7.5 … 购买的笔记本数量 y/本 … 通过填表，你发现 x，y 之间具有怎样的关系？你还能举出这样的例子吗？ 20 15 12 10 6 4 ？ 2 反比例函数的概念 【合作探究】 问题1 汽车从 H 地到 F 地行程 300 km，汽车行驶全程所需的时间和平均速度之间有怎样的数量关系？又有怎样的变化关系？ 1 解 设汽车行驶全程所需时间为 t h，平均速度为 v km/h，则有数量关系 vt = 300. 所需时间 t 与平均速度 v 的乘积不变.由此可以看出它们的变化关系：若 v 增大则 t 减小，若 t 增大则 v 减小. 3 问题2 如果要制作一个面积为 100 cm² 的矩形，那么矩形相邻两边长间有怎样的数量关系？又有怎样的变化关系？ 解 设矩形一边长为 x cm，邻边长为 y cm，则有数量关系 xy＝100. 相邻两边长 x 与 y 的乘积不变. 由此可以看出它们的变化关系：若 x 增大则 y 减小，若 y 增大则 x 减小. 问题3 在一个电路中，当电压 U 一定时，通过电路的电流 I 与该电路的电阻 R 之间有怎样的数量关系？又有怎样的变化关系？ 解 由电学可知，I 与 R 之间的数量关系可表示为 I R＝U. 电流 I 与电阻 R 的乘积不变.由此可以看出它们的变化关系：若 R 增大则 I 减小，若 I 增大则 R 减小. 问题：观察以上三个表达式，你觉得它们有什么共同特点？ 像这样，如果两个量的乘积一定，那么这两个量就叫作成反比例的量，它们的关系叫作反比例关系. vt = 300 xy＝100 I R＝U 上面三个问题中的两个相关的量分别成反比例关系，它们的数量关系可表示为 的形式，即 知识要点 追问：t 与 v ，y 与 x ，I 与 R 是函数关系吗？ 上面的式子中分别有两个变量，其中当 v 取一个确定的值时，t 有唯一确定的值与之对应；当 x 取一个确定的值时，y 有唯一确定的值与之对应；当 R 取一个确定的值时，I 有唯一确定的值与之对应. 因此，t 是 v 的函数，y 是 x 的函数，I 是 R 的函数. 一般地，形如 ( k 为常数，且 k > 0) 的函数叫作反比例函数. 反比例函数 (k ≠ 0) 的自变量 x 的取值范围是什么？ 思考： 因为 x 作为分母，不能等于零，因此自变量 x 的取值范围是所有非零实数. 但实际问题中，应根据具体情况来确定反比例函数自变量的取值范围. 例如，在前面得到的第一个表达式 中，作为边长 x 的取值应满足 x＞0，且当 x 取每一个确定的值时，y 都有唯一确定的值与其对应. 1.下列函数是不是反比例函数？若是，请指出 k 的值. 是，k = 3 不是 不是 不是 是， 做一做 10 解：因为 是反比例函数， 所以 4－k2 = 0， k－2 ≠ 0. 解得 k =－2. 所以该反比例函数的表达式为 方法总结：已知某个函数为反比例函数，只需要根据反比例函数的定义列出方程 (组) 求解即可. 例1 若函数 是反比例函数，求 k 的值，并写出该反比例函数的表达式. 1. 已知函数 是反比例函数，则 k 必须 满足 . 2. 当 m = 时， 是反比例函数. k≠2 且 k≠-1 ±1 练一练 确定反比例函数的表达式 例2 已知 y 是 x 的反比例函数，并且当 x = 2 时，y = 6. (1) 写出 y 关于 x 的函数表达式； 提示：因为 y 是 x 的反比例函数，所以设 .把 x = 2 和 y = 6 代入上式，就可求出常数 k 的值. 解：设 . 因为当 x = 2 时，y = 6，所以有 解得 k = 12. 因此 2 (2) 当 x = 4 时，求 y 的值. 解：把 x = 4 代入 ，得 方法总结：用待定系数法求反比例函数表达式的步骤： ① 设出含有待定系数的反比例函数表达式； ② 将已知条件(自变量与函数的对应值)代入表达式，得到关于待定系数的方程； ③ 解方程，求出待定系数的值； ④ 写出反比例函数的表达式. 3.已知变量 y 与 x 成反比例，且当 x = 3 时，y =－4. (1) 求 y 关于 x 的函数表达式； (2) 当 y = 6 时，求 x 的值. 解：(1) 设 . 因为当 x = 3 时，y =－4，所以有 解得 k =－12. 因此 (2) 把 y = 6 代入 ，得 解得 x = －2. 练一练 例3 在压力不变的情况下，某物体承受的压强 p Pa是它的受力面积 S m2 的反比例函数，已知受力面积为 0.1 m²时，所受的压强为 1000 Pa. (1) 求 p 与 S 之间的函数表达式； 解：(1) 设 . 函数图象过点 (0.1，1000)， 代入上式，得 解得 k = 100. 所以 p 与 S 的函数表达式是 . p/Pa S/m2 O 0.1 1000 16 (2) 当受力面积为 0.5 m2 时，求物体承受的压强. (2) 当 S = 0.5 时， 答：当受力面积为 0.5 m² 时，物体承受的压强为 200 Pa. p/Pa S/m2 O 0.1 1000 17 建立简单的反比例函数模型 例4 人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机在驾驶室内观察前方物体是动态的，车速增加，视野变窄. 当车速为 50 km/h 时，视野为 80 度. 如果视野 f (度) 是车速 v (km/h) 的反比例函数，求 f 关于 v 的函数表达式，并计算当车速为 100 km/h 时视野的度数. 3 18 当 v = 100 时，f = 40. 所以当车速为 100 km/h 时视野为 40 度. 解：设 . 由题意知，当 v = 50 时，f = 80，所以 解得 k = 4000. 因此 4.如图，已知菱形 ABCD 的面积为 180，设它的两条对角线 AC，BD 的长分别为 x，y. 写出变量 y 与 x 之间的关系式，并指出它是什么函数. A B C D 解：因为菱形的面积等于两条对角线长 乘积的一半， 所以 所以变量 y 与 x 之间的关系式为 ， 它是反比例函数. 练一练 1. 生活中有许多反比例函数的例子，在下面的实例中， y 和 x 成反比例函数关系的有 ( ) ① x 人共饮水 10 kg，平均每人饮水 y kg；②底面半径为 x m，高为 y m 的圆柱形水桶的体积为 10 m3；③用铁丝做一个圆，铁丝的长为 x cm，做成的圆的半径为 y cm；④在水龙头前放满一桶水，出水的速度为 x，放满一桶水的时间为 y. A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 B 随堂练习 21 A. B. C. D. 2. 下列函数中，y 是 x 的反比例函数的是 ( ) A 随堂练习 3. 填空： (1) 若 是反比例函数，则 m 的取值范围是 . (2) 若 是反比例函数，则 m 的取值范 围是 . (3) 若 是反比例函数，则 m 的值是 . m ≠ 1 m ≠ 0 且 m ≠ －2 －1 随堂练习 4. 已知 y 与 x + 1 成反比例，并且当 x = 3 时，y = 4. (1) 写出 y 关于 x 的函数表达式； (2) 当 x = 7 时，求 y 的值． 解：(1) 设 ，因为当 x = 3 时，y =4 ， 所以有 ，解得 k = 16，因此 . (2) 当 x = 7 时， 随堂练习 5. 小明家离学校 1000 m，每天他往返于两地之间，有 时步行，有时骑车．假设小明每天上学时的平均速 度为 v (m/min)，所用的时间为 t (min)． (1) 求变量 v 和 t 之间的函数关系式； 解： (t > 0)． 随堂练习 (2) 小明星期二步行上学用了 25 min，星期三骑自行 车上学用了 8 min，那么他星期三上学时的平均 速度比星期二快多少？ 125－40 = 85 (m/min)． 答：他星期三上学时的平均速度比星期二快 85 m/min. 解：当 t = 25 时， ； 当 t = 8 时， . 随堂练习 能力提升： 6. 已知 y = y1 + y2，y1 与 (x－1) 成正比例，y2 与 (x + 1) 成反比例，当 x = 0 时，y =－3；当 x = 1 时，y = －1， 求： (1) y 关于 x 的关系式； 解：设 y1 = k1(x－1) (k1 ≠ 0)， (k2 ≠ 0)， 则 . 随堂练习 ∵ x = 0 时，y =－3；x = 1 时，y = －1， －3 =－k1 + k2， 解得 k1 = 1，k2 =－2. ∴ ∴ 对于 ， 随堂练习 (2) 当 x = 时，y 的值. 解：把 x = 代入 (1) 中函数关系式，得 y = 随堂练习 建立反比例函数模型 用待定系数法求反比例函数表达式 反比例函数：定义/三种表达方式 反比例函数 课堂小结 $