21.2.2.3二次函数y=a(x+h)²+k的图象和性质 课件 2026-2027学年沪科版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数顶点式\(y=a(x+h)^2+k\)的图象和性质，通过列表描点绘制具体函数图象（如\(y=\frac{1}{2}(x-2)^2+1\)）导入，衔接前期平移知识，搭建从基础平移规律到综合应用的学习支架，帮助学生系统掌握顶点坐标、对称轴等核心内容。 其亮点在于通过归纳对比表格（区分\(a>0\)与\(a<0\)的性质）、多种平移方法探究及喷水池水管长度等实际问题，培养学生几何直观、推理意识与模型意识。采用讲练结合，学生能循序渐进巩固知识，教师可借助系统资料提升教学效率。

沪科版数学九年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月13日 21.2.2.3二次函数y=a(x+h)²+k的图象和性质 第21章 二次函数与反比例函数 沪科版九年级上册21.2.2.3二次函数\(y=a(x+h)²+k\)的图象和性质同步练习题 本课时针对顶点式二次函数\(y=a(x+h)²+k\)出题，是前面平移知识的综合汇总，重点考查抛物线综合平移规律、顶点坐标、对称轴、开口方向、函数增减性与最值，熟练掌握该形式是后续学习二次函数综合题的基础，题目难度循序渐进，适合课后巩固训练。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 抛物线\(y=2(x-1)²+3\)的顶点坐标是（） A. (1,3) B. (-1,3) C. (1,-3) D. (-1,-3) 2. 将抛物线\(y=3x²\)先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，所得解析式为（） A. \(y=3(x-2)²+4\) B. \(y=3(x+2)²+4\) C. \(y=3(x+2)²-4\) D. \(y=3(x-2)²-4\) 3. 对于抛物线\(y=-(x+2)²-1\)，下列说法错误的是（） A. 开口向下 B. 对称轴为直线\(x=-2\) C. 最大值为-1 D. 当\(x>-2\)时，y随x增大而增大 二、填空题（每题4分，共20分） 4. 抛物线\(y=4(x+5)²-2\)的开口方向为________，对称轴为________。 5. 抛物线\(y=-2(x-3)²+6\)的顶点坐标为________，函数最________值为________。 6. 抛物线\(y=5(x-4)²+1\)可由抛物线\(y=5x²\)向____平移4个单位，再向____平移1个单位得到。 三、解答题（共60分） 7.（20分）已知抛物线\(y=a(x-1)²+2\)经过点\((2,4)\)。（1）求抛物线解析式；（2）写出抛物线的对称轴、顶点坐标及最值。 8.（20分）已知抛物线\(y=-3(x+2)²+4\)，直接写出：（1）开口方向、对称轴、顶点坐标；（2）当x取何值时，y随x的增大而增大；（3）当x取何值时，y随x的增大而减小。 9.（20分）已知抛物线由\(y=2x²\)先向右平移3个单位，再向下平移5个单位得到。（1）求该抛物线解析式；（2）求函数的最值。 参考答案与解析 一、选择题 1. A 解析：顶点式\(y=a(x-h)²+k\)的顶点为\((h,k)\)，本题\(h=1，k=3\)，顶点为\((1,3)\)。 2. B 解析：平移规律“左加右减，上加下减”，左移2个单位、上移4个单位得\(y=3(x+2)²+4\)。 3. D 解析：开口向下，对称轴右侧\(x>-2\)，y随x增大而减小，D选项错误。 二、填空题 4. 向上、直线\(x=-5\) 解析：\(a=4>0\)开口向上，对称轴为直线\(x=-5\)。 5. (3,6)、大、6 解析：\(a=-2<0\)开口向下，顶点为最高点，有最大值6。 6. 右、上 解析：根据“右减上加”规律，对应向右、向上平移。 三、解答题 7. 解：（1）将\((2,4)\)代入解析式得：\(4=a(2-1)²+2\)，解得\(a=2\)，解析式为\(y=2(x-1)²+2\)；（2）对称轴为直线\(x=1\)，顶点\((1,2)\)，\(a>0\)，函数最小值为2。 8. 解：（1）开口向下，对称轴直线\(x=-2\)，顶点坐标\((-2,4)\)；（2）\(x<-2\)时，y随x增大而增大；（3）\(x>-2\)时，y随x增大而减小。 9. 解：（1）根据平移规律，解析式为\(y=2(x-3)²-5\)；（2）\(a=2>0\)，抛物线开口向上，当\(x=3\)时，函数最小值为-5，无最大值。 练习小结：本节核心：顶点式\(y=a(x+h)²+k\)顶点\((-h,k)\)、对称轴直线\(x=-h\)；平移口诀“左加右减、上加下减”；\(a\)定开口，对称轴分增减区间，顶点直接对应函数最值，是二次函数最常用的基础形式。 二次函数 y = a(x + h)2 + k 的图象和性质 1 问题：怎样画出函数 y = (x - 2)2 + 1 的图象？ x … -1 0 2 4 5 … … 5.5 3 1 3 5.5 … y=(x-2)2+1 解：先列表： 并指出它的开口方向、对称轴和顶点坐标. 再描点、连线. x … -1 0 2 4 5 … … 5.5 3 1 3 5.5 … y=(x-2)2+1 开口向上； 对称轴是直线 x = 2； 顶点坐标是 (2，1). 解： 2 4 x -2 -4 -6 y O -2 -4 直线 x = -1 开口方向向下， 对称轴是直线 x = -1， 顶点坐标是 (-1，-1) 【试一试】 画出二次函数 的图象，并说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标. 二次函数 y = a(x + h)2 + k (a ≠ 0) 的性质 y=a(x+h)2+k a＞0 a＜0 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 归纳总结 向上 直线 x = -h （-h，k） 当 x = -h 时，y最小值=k 当 x＜-h 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x＞-h 时，y 随 x 的增大而增大 向下 直线 x = -h （-h，k） 当 x = -h 时，y最大值=k 当 x＞-h 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x＜-h 时，y 随 x 的增大而增大 顶点式 例1 已知二次函数 y＝a(x－1)2－c 的图象如图所示，则一次函数 y＝ax＋c 的大致图象可能是( ) 解析：根据二次函数开口向上，得 a＞0；根据－c 是二次函数顶点的纵坐标，得 c＞0．故一次函数 y＝ax＋c 的大致图象经过第一、二、三象限．故选 A. A 例2 已知二次函数 y＝a(x－1)2－4 的图象经过点 (3，0). (1) 求 a 的值； (2) 若 A (m，y1)、B (m＋n，y2) (n＞0) 是该函数图象上的两点，当 y1＝y 2 时，求 m、n 之间的数量关系. (1) 将 (3，0) 代入二次函数解析式，得 0＝4a－4， (2) 方法一： 根据题意，得 y1＝(m－1)2－4vy2＝(m＋n－1)2－4. ∵ y1＝y2， ∴ (m－1)2－4＝(m＋n－1)2－4，即 (m－1)2＝(m＋n－1)2. ∵ n＞0，∴ m－1＝－(m＋n－1). 化简，得 2m＋n＝2. 解： 解得 a＝1. 方法二： ∵ 二次函数 y＝(x－1)2－4 的图象的对称轴为直线 x＝1，且图象上两点 A (m，y1)、B (m＋n，y2) (n＞0) 满足 y1＝y 2， ∴ 点 A，B 关于直线 x＝1 对称. ∴ m＋n－1＝1－m. 化简，得 2m＋n＝2. 方法总结：已知函数图象上的点，则这点的坐标必满足函数的表达式，代入即可求得相关的参数值. 例3 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 1 m 处达到最高，高度为 3 m，水柱落地处离池中心 3 m， 水管应多长? 10 C(3，0) B(1，3) A 1 x O y 2 3 1 2 3 解：建立如图所示的直角坐标系. 点 (1，3) 是这段抛物线的顶点， 因此可设这段抛物线表达式为 ∵ 这段抛物线经过点 (3，0)， ∴ 0 = a(3－1)2＋3. 解得 ∴ 抛物线的解析式为 y = a(x－1)2＋3 (0≤x≤3). 当 x = 0 时，y = 2.25. 答：水管长应为 2.25 m. 3 4 a =－ . y = (x－1)2＋3 (0≤x≤3). 3 4 － 11 二次函数 y = a(x + h)2 + k 与 y = ax2 的图象关系 2 画一画，填出下表： 图象的开 口方向 图象的对称轴 图象的顶 点坐标 函数 向上 x = 0 (0, 0) 向上 x = 0 (0, 1) 向上 x = 2 (2, 0) 向上 x = 2 (2, 1) 探究归纳 怎样移动抛物线 可以得到抛物线 ？ 向右平移 2 个单位 平移方法1 1 个单位 向上平移 平移方法2 怎样移动抛物线 可以得到抛物线 ？ 向右平移 1 个单位 2 个单位 向上平移 怎样移动抛物线 可以得到抛物线 ？ 向左平移 1 个单位 平移方法1 1 个单位 向下平移 2 4 x -2 -4 y O -2 -4 探究归纳 怎样移动抛物线 可以得到抛物线 ？ 平移方法2 向左平移 向下平移 1个单位 1 个单位 2 4 x -2 -4 y O -2 -4 二次函数 y = ax2 与 y = a(x + h)2 + k 的图象关系 二者形状、开口都相同，可看作互相平移得到. y = ax2 y = ax2 + k y = a(x + h)2 y = a(x + h)2 + k 上下平移 左右平移 上下 平移 左右 平移 平移规律 简记为： 上下平移时， 常数项上加下减； 左右平移时， 自变量左加右减. 二次项系数 a 不变. 归纳总结 例4 将抛物线 y = 2x2 向左平移 4 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度得到的抛物线的解析式为 (　　) A．y = 2(x − 4)2 − 1 B．y = 2(x + 4)2 + 1 C．y = 2(x − 4)2 + 1 D．y = 2(x + 4)2 − 1 B 将抛物线 y＝5(x﹣1)2 + 1 向上平移 2 个单位长度，再向右平移 3 个单位长度，则所得抛物线的解析式为(　　) A．y＝5(x + 2)2 + 3 B．y＝5(x﹣4)2﹣1 C．y＝5(x﹣4)2 + 3 D．y＝5(x﹣3)2 + 4 变式训练 C 1. 请回答抛物线 y = 4(x－3)2＋7 可由抛物线 y = 4x2 怎样平移得到? 向上平移 7 个单位再向右平移 3 个单位得到. 2. 如果一个二次函数的图象与抛物线 的形状相同，且顶点坐标是 (4，-2)，试写出这个二次函数的表达式. 练一练 20 抛物线表达式 开口方向 对称轴 顶点坐标 y = 2(x + 3)2 + 5 向上 (1，-2) 向下 向下 (3，7) (2，-6) 向上 直线 x = -3 直线 x = 1 直线 x = 3 直线 x = 2 (-3，5) y = -3(x - 1)2 - 2 y = 4(x - 3)2 + 7 y = -5(2 - x)2 - 6 1. 完成下列表格： 随堂练习 21 2. 把抛物线 y = -3x2 先向上平移 2 个单位，再向右平移1 个单位，那么所得抛物线是__________________. 4. 由抛物线 y = -3( x - 1)2 + 2 如何得到 y = -3x2 的图象? 3. 抛物线 y = -3x2 + 2 向右平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位，得到的抛物线表达式为________________. 答：先向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位； 或先向下平移 2 个单位，再向左平移 1 个单位. 随堂练习 5. 已知一个二次函数图象的顶点为 A(-1，3)，且它是由抛物线 y = 5x2 平移得到，请直接写出该二次函数的解析式. 解：y = 5(x + 1)2 + 3. 随堂练习 一般地，抛物线 y = a(x + h)2 + k 与 y = ax2 形状和开口相同，位置不同. 二次函数 y = a(x + h)2 + k 的图象和性质 图象特征 a＞0 时开口向上， a＜0 时开口向下； 对称轴是 x = -h； 顶点坐标是 (-h，k) 平移规律 左右平移：自变量左加右减； 上下平移：常数项上加下减 课堂小结 $