20.3+用待定系数法确定一次函数表达式 课件 2025--2026学年冀教版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦“用待定系数法确定一次函数表达式”，通过汽车行驶路程与时间、水费与用水量等生活实例导入，承接一次函数概念，以“已知两点求表达式”为核心问题搭建学习支架，引导学生逐步掌握设、代、解、写的解题步骤。 其亮点在于结合生活实例培养数学眼光，通过分步骤教学和方程思想发展数学思维，实际应用问题（如汽车油箱油量、比赛费用）强化模型意识。例题与练习层次分明，小结归纳步骤清晰，帮助学生理解方法并提升应用能力，教师可直接用于课堂教学提高效率。

20.3 用待定系数法确定 一次函数表达式 第二十章 一次函数 问题导入——生活中的一次函数 生活实例： 1. 汽车以恒定速度行驶时，路程与时间的关系是一次函数。 2. 居民用水时，水费与用水量的关系通常也是一次函数。 核心思考： 如果我们知道一次函数图像上的两个点，如何求出它的表达式呢？ 1.7.2013 一次函数在我们的生活中有着广泛的应用。比如，一辆汽车以恒定的速度行驶，它行驶的路程就是时间的一次函数；我们每个月的水费，通常也是用水量的一次函数。现在，问题来了，如果我们知道一个一次函数图像上的两个点，比如汽车在某个时间点的位置，或者不同用水量对应的水费，我们如何求出这个一次函数的具体表达式呢？ ‹#› 获取新知 观察与思考 在图中，直线PQ上两点的坐标分别为P(-20，5)，Q(10，20).怎样确定这条直线所对应的一次函数表达式呢？ y O x -5 -10 -15 -20 20 15 10 5 -5 -10 -15 20 15 10 5 知识点 用待定系数法求一次函数的表达式 1 P Q Administrator (A) - 这一活动的目的是让学生感悟用待定系数法求一次函数表达式的合理性. 分析：因为一次函数的一般形式是y=kx+b（k，b为常数，且k≠0），要求出一次函数的表达式，关键是要确定k和b的值（即待定系数）. 阅读下面小惠对此问题的解答过程，并验证小惠求得的一次函数表达式是否正确. 小惠的解答过程如下： 全品初中 设这个一次函数表达式为y＝kx＋b. 因为P，Q为直线上的两点，所以这两个点的坐标都满 足表达式y＝kx＋b ，即 解这个关于k和b的二元一次方程组，得 所以，这个一次函数表达式为 全品初中 新知探究 观察与思考 1.设： 设这个一次函数的表达式为 y=kx+b 2.代： 因为 P,Q 在直线上，坐标满足方程。 对应 在直线上 数 形 对应 在直线上 数 形 3.解： 解关于 k、b 的二元一次方程组 解得 4.写： 写出表达式 请同学们在草稿纸上验证一下，当 和 时， 值是否正确 获取新知——待定系数法（一） 知识点 用待定系数法求一次函数的表达式 观察与思考 在图中，直线PQ上两点的坐标分别为 P(-20, 5)，Q(10, 20)。 怎样确定这条直线所对应的一次函数表达式呢？ 思考提示：一次函数的一般形式为y = kx + b(k≠0)，如果我们能求出k和b的值，就能确定表达式。 1.7.2013 我们来看一个具体的例子。这条直线PQ经过点P(-20, 5)和Q(10, 20)，它对应的是一个一次函数。大家思考一下，我们怎样才能确定这个一次函数的具体表达式呢？ ‹#› 分析：求一次函数表达式的关键是确定k和b的值。一次函数的一般形式是y=kx+b，其中k和b是待定的系数。 要求出这个表达式，关键就是要确定k和b这两个未知数的值。 1.7.2013 我们知道，一次函数的一般形式是y=kx+b，其中k和b是我们需要确定的系数，我们称之为待定系数。所以，要求出这个一次函数的表达式，关键就是要确定k和b这两个未知数的值。 ‹#› 像这样先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫做待定系数法． 函数解析式 y=kx+b 满足条件的两点 (x1,y1),(x2,y2) 一次函数的 图像直线l 选取 解出 画出 选取 知识要点 解题思路 Administrator (A) - 待定系数法是中学数学确定函数表达式的通法，后面的函数表达式的确定也会用到此法，所以老师在此处要标明此法的重要性和实用性 新知探究 待定系数法 待定系数法通常分为四步： 1.设：设出函数的表达式； 2.列：把已知点的坐标代入所设表达式，列出方程或方程组； 3.解：解方程或方程组； 4.写：把结果回代所设表达式得到所求的表达式并写出． 先假定解析式中的未知系数，然后根据已知条件求出待定的系数，从而确定出该解析式的方法是数学上常用的方法，这种方法称为待定系数法． 新知探究 待定系数法求一次函数表达式 由于一次函数的解析式中，包含两个基本量，因此需要两个条件求得k，b的值，从而确定一次函数的解析式. 由于正比例函数的解析式中，只有一个基本量k， 因此只需要一个条件就可以求得k的值，从而确定正比例函数的解析式. 注意事项： 1.利用待定系数法求一次函数表达式，关键是找出两对对应值或图像上两个点的坐标 . 2.将求函数表达式中待定字母 k， b 的值转化为求以 k，b 为未知数的二元一次方程组的解 . 获取新知——待定系数法（三） 1. 设表达式：设一次函数表达式为y = kx + b 2. 代坐标：将已知点坐标代入，得到关于k, b的方程组 3. 解方程组：解方程组求出k, b的值 4. 写表达式：将k, b代入，写出最终表达式 1.7.2013 那么，如何确定k和b的值呢？我们可以这样做：首先，设这个一次函数的表达式为y=kx+b；然后，把已知的两个点P(-20, 5)和Q(10, 20)的坐标代入这个表达式，就可以得到一个关于k和b的二元一次方程组；接下来，我们解这个方程组，就可以求出k和b的值；最后，把求出的k和b的值代入y=kx+b，就得到了这个一次函数的表达式。这种方法就叫做待定系数法。 ‹#› 获取新知——待定系数法（四） 知识要点 定义：先设出函数的表达式，再根据已知条件确定解析式中未知的系数，从而求出函数表达式的方法，叫做待定系数法。 解题思路 设表达式 y = kx + b 代入 代入求解系数 解出 k, b 还原 还原表达式 1.7.2013 我们来总结一下待定系数法。这种方法就是先设出函数的表达式，再根据已知条件确定解析式中未知的系数，从而求出函数表达式。它的解题思路可以用这个流程图来表示：首先选取满足条件的两个点，然后将它们的坐标代入我们所设的表达式y=kx+b，解出k和b的值，最后把k和b的值代回表达式，就得到了我们要求的一次函数表达式。 ‹#› 例1 已知一次函数y=kx+b，当x=1时，y=1；当x=2时，y=3.求这个一次函数的表达式． ∴ k+b=1 2k+b=3 解得 k=2 b=-1 ∴这个一次函数的表达式为y=2x-1 解：∵当x=1时，y=1；当x=2时，y=3. 例题讲解 全品初中 练一练 已知一次函数的图像过点（3，5）与（-4，-9），求这个一次函数的表达式． 解：设这个一次函数的表达式为y=kx+b. 3k+b=5， -4k+b=-9， ∴这个一次函数的表达式为 解方程组得 把点（3，5）与（-4，-9）分别代入，得： k=2， b=-1. y=2x-1. 全品初中 即学即练 已知为正比例函数图象上的一点，求这个正比例函数的表达式. 解：将，代入到中，得 解得 所以正比例函数的表达式为 正比例函数是特殊的一次函数(b=0)，只需代入一个点即可求出 k 即学即练 方法技巧 用待定系数法求一次函数的表达式，一般步骤如下: (1)设一次函数的表达式为y=kr十b; (2)根据已知条件，列出关于k和b的二元一次方程组; (3)解这个方程组，求出k与b的值，从而得到一次函数的表达式. 已知一个一次函数的图像经过点M(0，1)和N(1，0)，求这个一次函数的表达式. 解：设一次函数表达式为 把和分别代入到中，得 解得： 所以一次函数的表达式为 练一练 已知一次函数的图象过点（3，5）与（-4，-9），求这个一次函数的表达式． 解：设这个一次函数的表达式为y=kx+b. 3k+b=5， -4k+b=-9， ∴这个一次函数的表达式为 解方程组得 把点（3，5）与（-4，-9）分别代入，得： k=2， b=-1. y=2x-1. 1.7.2013 大家自己动手练一练这道题。已知一次函数的图像经过点（3，5）和（-4，-9），求这个一次函数的表达式。请大家按照待定系数法的步骤来做：设、列、解、写。大家做完了吗？我们一起来看一下解答过程。首先设y=kx+b，代入两点坐标得到方程组，解得k=2，b=-1，所以表达式是y=2x-1。 ‹#› 总结归纳——待定系数法的步骤 待定系数法求一次函数解析式的步骤： （1）设：设一次函数的一般形式y = kx + b (k ≠ 0)； （2）列：把图象上的点(x₁, y₁), (x₂, y₂)代入一次函数的解析式，组成二元一次方程组； （3）解：解二元一次方程组得k, b； （4）还原：把k, b的值代入一次函数的解析式。 1.7.2013 我们来总结一下用待定系数法求一次函数解析式的步骤，一共四步：第一步，设，设出一次函数的一般形式y=kx+b；第二步，列，把已知点的坐标代入，列出关于k和b的二元一次方程组；第三步，解，解这个方程组，求出k和b的值；第四步，还原，把求出的k和b的值代回解析式，写出最终的表达式。大家一定要记住这四个步骤。 ‹#› 总结归纳 （1）设：设一次函数的一般形式 ； （2）列：把图像上的点 ， 代入一次函数的解析式，组成_________方程组； （3）解：解二元一次方程组得k,b； （4）还原：把k,b的值代入一次函数的解析式. y=kx+b(k≠0) 二元一次 待定系数法求一次函数解析式的步骤： （x1,y1） （x2,y2） 例2 一辆汽车匀速行驶，当行驶了20 km时，油箱剩余58.4 L油；当行驶了50 km时，油箱剩余56 L油.如果油箱中剩余油y(L)与汽车行驶的路程x(km)之间是一次函数关系，请求出这个一次函数的表达式， 并写出自变量x的取值范围以及常数项的意义. 解：设所求一次函数的表达式为y＝kx＋b. 根据题意，把已知的两组对应值(20，58. 4)和(50，56)代入 y＝kx＋b， 得 解得 这个一次函数表达式为y＝－0.08x＋60. 因为剩余油量y≥0，所以－0.08x＋60 ≥0.解得x≤750. 因为路程x≥0,所以0≤x≤750. 因为当x=0时，y=60，所以这辆汽车行驶前油箱存油60 L. 全品文教初中 即学即练 方法技巧 1.实际问题中，b代表固定不变的部分，kx代表随自变量x成比例变化的部分. 2.解方程组通常用加减消元法 3.实际问题中，注意自变量x和因变量y通常有非负限制 某市举办一场中学生羽毛球比赛，场地和耗材需要一些费用，场地费b(元)是固定不变的，耗材费用与参赛人数x成正比例函数关系，这两部分的总费用为y(元)，已知当x=20时，y=1600;当x=30时，y=2000. (1)求y与x之间的函数关系式. (2)当支出总费用为3200元时，有多少人参加了比赛? 解：(1)设一次函数表达式为 把和分别代入到中，得 解得： 这个一次函数的表达式为. (2)把代入到中，得 ，解得： 答：有60人参加了比赛. 根据图象确定一次函数表达式的方法：从图象上选取两个已知点的坐标，然后运用待定系数法将两点的横、纵坐标代入所设表达式中求出待定系数，从而求出函数的表达式。 归纳总结——根据图象确定表达式 1.7.2013 从刚才的变式练习中，我们可以总结出根据图象确定一次函数表达式的方法：关键是从图象上找到两个已知点的坐标，然后就可以运用我们学过的待定系数法来求出函数表达式了。 ‹#› 课堂小结 1.本节课我们学习到了哪些知识？还有哪些困惑？ 2.在学习的过程中，你学到了哪些数学方法？ 数学建模 方程思想 课堂小结 用待定系数法求一次函数的解析式 2. 代：根据已知条件列出关于k，b的方程(组)； 1.设： 设所求的一次函数解析式为y=kx+b； 3.解： 解方程，求出k，b; 4. 写：把求出的k，b代回解析式即可. $