立体几何基本题型梳理——棱锥与棱柱截面问题专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 立足教材基础，通过17道梯度题构建棱锥与棱柱截面问题训练体系，覆盖画法、位置关系、面积体积计算等核心考法，培养空间观念与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |教材回归|2（习题+例3）|基础截面画法与线面位置关系判断|从教材实例出发，建立空间线面平行关系的直观认知，奠定推理基础| |问题拓展|15（选择/填空/解答）|截面性质判断、最值计算、轨迹探究等综合应用|从基础到复杂，逐步深化空间想象，通过多几何体变式训练，培养推理能力与模型意识，构建截面问题完整认知链|

2027届高三一轮复习立体几何基本题型梳理——棱锥与棱柱截面问题 回归教材【人教A版必修二习题8.5第12题】一木块如图所示，点在平面内，过点将木块锯开，使截面平行于直线和，应该怎样画线？ 【答案】画线见解析． 【详解】过平面内一点作直线，交于点，交于点，再在平面中，过点作，交与，连接，此时直线和平行于截面，即截面即为所求截面.如图， 【人教A版必修二第8.5.2节例3】如图所示的一块木料中，棱平行于面. （1）要经过面内的一点P和棱将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？ （2）所画的线与平面是什么位置关系？ 【答案】（1）见解析（2）直线与平面平行直线与平面相交. 【分析】（1）要经过面内的一点P和棱将木料锯开，实际上是经过及外一点P作截面，也就需要找出所作的截面与相关平面的交线.根据直线与平面平行的性质定理和平行公理，画出所需要的线段. （2）根据（1）的分析，结合线面平行的判定定理可知，所画直线与平面平行.显然所画直线与平面相交. 【详解】（1）如图所示，在平面内，过点P作直线，使，并分别交棱，于点连接，则就是应画的线.理由是:由于平面，平面,平面平面，所以.由于，所以，所以四点共面. （2）由（1）知，，而在平面内，在平面外，所以平面.显然，都与平面相交. 问题拓展： 1．如图，在三棱锥中，，分别为AB，AD的中点，过EF的平面截三棱锥得到的截面为EFHG.则下列结论中不一定成立的是（    ） A． B． C．平面 D．平面 【答案】D 【解析】利用线面平行的判定和性质对选项进行排除得解. 【详解】对于，，分别为，的中点，，EF与平面BCD平行 过的平面截三棱锥得到的截面为，平面平面，，，故AB正确；对于，，平面，平面，平面，故正确；对于，的位置不确定，与平面有可能相交，故错误.故选:D. 【点睛】熟练运用线面平行的判定和性质是解题的关键. 2．在侧棱长为的正三棱锥中，，过作截面，则截面的最小周长为（   ） A． B．4 C．6 D．10 【答案】C 【分析】作出三棱锥的侧面展开图，连接交、于点、，则侧面展开图中线段的长度即为截面的最小周长，利用余弦定理计算可得. 【详解】如图三棱锥以及侧面展开图，要求截面的周长最小，连接交、于点、，则侧面展开图中线段的长度即为截面的最小周长，因为侧棱长为的正三棱锥，，所以，由余弦定理可得 ，，所以截面的最小周长为.故选：C. 3．正三棱锥的各棱长均为2，D为的中点，M为的中点，E为上一点，且，平面交于点Q，则截面的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据中位线可得线面平行，进而根据线面平行的性质可得线线平行，进而可得四边形为等腰梯形，即可由边角关系求解. 【详解】因为M，D分别为AB，BC的中点，故，又平面,平面，所以平面，由于平面,平面平面,故，又， 故．在等腰梯形MDEQ中，，，在中，，，则，故梯形的高为，故．故选:D． 4．已知正三棱锥P-ABC，底面边长为3，高为1，四边形EFGH为正三棱锥P-ABC的一个截面，若截面为平行四边形，则四边形EFGH面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】又正三棱锥的性质求得三棱锥的侧棱长，结合平行四边形的面积公式及基本不等式求最值即可得解. 【详解】设侧棱长为，则由底面边长为3，高为1，由可求得，如图，设，则，且，于是， 所以，当且仅当即时取等号故四边形的面积最大值为，故选：C. 5．如图：正三棱锥中，，侧棱，平行于过点的截面，则平面与正三棱锥侧面交线的周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】沿着侧棱把正三棱锥展开在一个平面内，则即为截面周长的最小值，利用余弦定理代入求解即可. 【详解】 如图所示：沿着侧棱把正三棱锥展开在一个平面内，则即为截面周长的最小值，且，在中，由余弦定理得， .故选：B. 【点睛】本题主要考查了利用三棱锥的侧面展开图求解最值问题以及余弦定理.属于较易题. 6、一木块如图所示，点在平面内，过点将木块锯开，使截面平行于直线和，若是的重心，求锯开的两个多面体的体积之比， 【答案】 【解析】如图，若是的重心，所以与的相似比为，三棱锥与三棱锥高的比为，设三棱锥的高为，所以， 所以，所以锯开的两个多面体的体积比为， 7．一棱长为的正四面体木块如下图所示，点在平面内，过点将木块锯开，且使截面平行于直线和，则在木块表面画线的总长度为（ ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】根据线面平行的判定定理，通过构造平行线确定截面，截面周长即为所求. 【详解】 如图，在平面内过点作，分别交于点，则，.在平面内作交于点，在平面内作交于点，则，，∴，故截面为平行四边形，∴在木块表面画线的总长度为. 8．在通用技术教室里有一个三棱锥木块如图所示，，，两两垂直，（单位：），小明同学计划通过侧面内任意一点将木块锯开，使截面平行于直线和，则该截面面积（单位：）的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，在平面内，过点作分别交于，在平面内，过作交于，在平面内，过作交于，连接，进而根据题意，∽，设其相似比为，则，再证明四边形是矩形，再结合相似比和二次函数性质求解即可. 【详解】解：根据题意，在平面内，过点作分别交于，在平面内，过作交于，在平面内，过作交于，连接，作图如下， 因为，则，所以∽，设其相似比为， 则，因为，所以在中，，因为， 所以，即，因为，则，所以，∽，即，因为，所以，即，同理∽，即，因为，平面，平面， 所以平面，因为，所以平面，平面，因为平面， 所以，因为所以， 因为，所以∽，所以，因为，所以， 因为，所以，所以四边形是矩形， 即，所以，由二次函数的性质知，当时，有最大值.故选：B 9．一木块如图所示，所有棱长都等于，点为三角形的中心，过点将木块锯开，截面平行于直线和，则截面面积为________． 【答案】 【分析】取的中点，连接，，过点作交、于点、，取、的三等分、（靠近、），连接、、，即可得到四边形即为所求截面，再证明平面，即可得到，从而求出截面面积. 【详解】取的中点，连接，，则在上且，过点作交、于点、，则、为、的三等分点（靠近、），取、的三等分、（靠近、），连接、、，则且，且，且，且，所以且，且，所以四边形即为所求截面，又，，，平面，所以平面，又平面，所以，所以，所以四边形为矩形，所以截面面积为. 10．如图，三棱锥中，且为正三角形，分别是的中点，若截面侧面，则此棱锥侧面与底面夹角的余弦值为__________. 【答案】 【分析】取和的中点分别为，，根据二面角的定义可得，进而可得为所作的二面角，根据三角形的边角关系即可求解二面角余弦值． 【详解】取和的中点分别为，， ，分别是，的中点，,,由于且为正三角形， ，故,由于，分别是，的中点，因此，故,由于截面侧面，所以,进而可得, 由于。 故为侧面与底面的二面角的平面角，设， ，，，在直角中， ， 11．已知正四棱柱中，，，则该四棱柱被过点，C，E的平面截得的截面面积为______. 【答案】 【分析】在上取点，使得，连接，则四边形是平行四边形， 由勾股定理可得，再结合余弦定理与面积公式即可求解 【详解】由题意，正四棱柱中，，，可得，在上取点，使得，连接，则有，    所以四边形是平行四边形，由勾股定理可得， 所以,所以， 所以四边形是平行四边形的面积为， 12．在正四棱柱中，，，M，N分别是，的中点，则平面截该四棱柱所得截面的周长为______． 【答案】 【分析】作出辅助线，得到平面截该四棱柱所得截面为五边形，求出各边边长，相加得到答案. 【详解】延长相交于点，连接交于点，连接，因为正四棱柱中，，，M，N分别是，的中点，所以，，， 因为∽，，故，，在上取点，连接，则，同理可知，所以四边形为平行四边形，故四点共面，则平面截该四棱柱所得的截面为五边形，，，同理， 故截面周长为. 13．如图，直四棱柱的底面是边长为2的正方形，，，分别是，的中点，为直四棱柱表面上的动点，若，，，四点共面，则动点P的轨迹的长度为______． 【答案】 【分析】设直线分别于得延长线交于点，连接，交于点，连接，交于点，得到截面，再利用直四棱柱的柱长和结构特征得到截面的各边长. 【详解】设直线分别于得延长线交于点，连接，交于点，连接，交于点，连接，所以动点P的轨迹为直四棱柱的截面五边形.由平行线分线段比例可知：，故，故为等腰直角三角形，所以，故，则，.所以五边形的边长为： . 14．一个四面体木块如图所示，点O在平面内且为的重心，在棱上是否存在点D，使得直线平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】存在；． 【分析】连接交于点E，连接，证得，又O为的重心得出存在点D，使得直线平面． 【详解】如图，连接交于点E，连接，若上存在点D满足平面， 则由平面PAB,平面平面，则，由于O为的重心，所以，，所以在棱上存在点D，使得直线平面，且． 15．如图为一块直四棱柱木料，其底面满足：，． (1)要经过平面内的一点和棱将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？（借助尺规作图，并写出作图说明，无需证明） (2)若，，当点是矩形的中心时，求点到平面的距离． 【答案】(1)答案见解析；(2). 【分析】（1）利用线面平行判定定理及性质可知，过点做直线分别交于连接，即可得答案， （2）由题可得点到平面的距离即为所求，进而可转化为点到平面的距离，过点作于，可证长即为点到平面的距离，结合条件即求. 【详解】（1）过点作直线分别交于连接 （2）连接， 由是矩形的中心可知，所以点到平面的距离即为点到平面的距离， 平面，平面，平面，所以点到平面的距离即为点到平面的距离，过点作于，，在直四棱柱中且平面，又平面，所以，又且，所以平面，所以长即为点到平面的距离，在直角中， ，，所以，所以点到平面的距离为. 16．如图所示的一块四棱柱木料，底面是梯形，且. （1）要经过面内的一点和侧棱将木料锯开，应怎样画线？ （2）所画的线之间有什么位置关系？ 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析 【分析】（1）连接并延长交于，过作交于，即知所需画的线. （2）由题设知，再应用面面平行的性质可得，即知所画的线段之间的位置关系. 【详解】（1）如图所示，连接并延长交于，过作交于，连接，则就是应画的线. （2）由，即.∴与确定一个平面，又面面面，面，∴，显然都与相交. 17．一正三棱台木块如图所示，已知，点在平面内且为的重心. (1)过点将木块锯开，使截面经过平行于直线，在木块表面应该怎样划线，并说明理由； (2)求该三棱台木块被问题（1）中的截面分成的两个几何体的体积之比； (3)在棱台的底面上（包括边界）是否存在点，使得直线平面？若存在，求长的取值范围；若不存在，说明理由. 【答案】(1)作图见解析；(2)小几何体与大几何体的比值为； (3)存在，理由见解析，长度的取值范围为. 【分析】（1）在平面内过点O作直线交于点，交于点，连接，求证四点共面即可求解. （2）先求证几何体为棱柱，接着设棱台的高为，的面积为得，再由台体体积公式得正三棱台体积即可求解. （3）分别取的中点，求证四点共面，接着通过求证平面平面得证点时平面，再依据条件求出等腰梯形的高和、的长即可得解. 【详解】（1）如图，在平面内过点O作直线交于点，交于点， 连接，则为截面与各木块表面的交线， 理由如下：由于，故四点共面，且平面平面，平面平面，平面平面，则为截面与各木块表面的交线. （2）由于点在平面内且为的重心，，所以，又因为，故，故几何体为棱柱，设棱台的高为，的面积为，故，又，则，故由台体体积公式得正三棱台体积为，所以被截面截得的非三棱柱的另一个几何体体积为，故该三棱台木块被（1）中的截面分成的两个几何体的体积之比为（或）. （3）分别取的中点，则当点时有平面， 证明如下：由分别为的中点得，又由于在正三棱台中，，所以，四点共面，又因为，点O为重心，所以，又由正三棱台性质， 故四边形为平行四边形，故，因为平面、平面，所以平面，同理平面，因为，平面，所以平面平面，所以当点时，平面，于是平面，在梯形中，由已知条件和前面的分析知：，即四边形是底边长分别为1和2、腰长为2的等腰梯形，所以该由等腰梯形性质得该等腰梯形的高为， 所以，所以长度的取值范围为. 【点睛】求解长度的取值范围关键点1是通过作出过点O且与平面相交的平面、又与平面平行的平面并证明；关键点2是由已知得出四边形是底边长分别为1和2、腰长为2的等腰梯形，从而通过等腰梯形性质求出等腰梯形的高和、的长. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三一轮复习立体几何基本题型梳理——棱锥与棱柱截面问题 回归教材【人教A版必修二习题8.5第12题】一木块如图所示，点在平面内，过点将木块锯开，使截面平行于直线和，应该怎样画线？ 【人教A版必修二第8.5.2节例3】如图所示的一块木料中，棱平行于面. （1）要经过面内的一点P和棱将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？ （2）所画的线与平面是什么位置关系？ 问题拓展： 1．如图，在三棱锥中，，分别为AB，AD的中点，过EF的平面截三棱锥得到的截面为EFHG.则下列结论中不一定成立的是（    ） A． B． C．平面 D．平面 2．在侧棱长为的正三棱锥中，，过作截面，则截面的最小周长为（   ） A． B．4 C．6 D．10 3．正三棱锥的各棱长均为2，D为的中点，M为的中点，E为上一点，且，平面交于点Q，则截面的面积为（    ） A． B． C． D． 4．已知正三棱锥P-ABC，底面边长为3，高为1，四边形EFGH为正三棱锥P-ABC的一个截面，若截面为平行四边形，则四边形EFGH面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．如图：正三棱锥中，，侧棱，平行于过点的截面，则平面与正三棱锥侧面交线的周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 6、一木块如图所示，点在平面内，过点将木块锯开，使截面平行于直线和，若是的重心，求锯开的两个多面体的体积之比， 7．一棱长为的正四面体木块如下图所示，点在平面内，过点将木块锯开，且使截面平行于直线和，则在木块表面画线的总长度为（ ） A． B． C． D．无法确定 8．在通用技术教室里有一个三棱锥木块如图所示，，，两两垂直，（单位：），小明同学计划通过侧面内任意一点将木块锯开，使截面平行于直线和，则该截面面积（单位：）的最大值是（    ） A． B． C． D． 9．一木块如图所示，所有棱长都等于，点为三角形的中心，过点将木块锯开，截面平行于直线和，则截面面积为________． 10．如图，三棱锥中，且为正三角形，分别是的中点，若截面侧面，则此棱锥侧面与底面夹角的余弦值为__________. 11．已知正四棱柱中，，，则该四棱柱被过点，C，E的平面截得的截面面积为______. 12．在正四棱柱中，，，M，N分别是，的中点，则平面截该四棱柱所得截面的周长为______． 13．如图，直四棱柱的底面是边长为2的正方形，，，分别是，的中点，为直四棱柱表面上的动点，若，，，四点共面，则动点P的轨迹的长度为______． 14．一个四面体木块如图所示，点O在平面内且为的重心，在棱上是否存在点D，使得直线平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 15．如图为一块直四棱柱木料，其底面满足：，． (1)要经过平面内的一点和棱将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？（借助尺规作图，并写出作图说明，无需证明） (2)若，，当点是矩形的中心时，求点到平面的距离． 16．如图所示的一块四棱柱木料，底面是梯形，且. （1）要经过面内的一点和侧棱将木料锯开，应怎样画线？ （2）所画的线之间有什么位置关系？ 17．一正三棱台木块如图所示，已知，点在平面内且为的重心. (1)过点将木块锯开，使截面经过平行于直线，在木块表面应该怎样划线，并说明理由； (2)求该三棱台木块被问题（1）中的截面分成的两个几何体的体积之比； (3)在棱台的底面上（包括边界）是否存在点，使得直线平面？若存在，求长的取值范围；若不存在，说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $