22.3.2 第2课时 利用两边及夹角和三边判定两个三角形相似（教学设计）-2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦相似三角形判定核心内容，围绕两边成比例且夹角相等、三边对应成比例两个判定定理展开。通过复习全等三角形SAS、SSS判定及两角相似判定方法，类比猜想相似三角形边判定条件，搭建新旧知识衔接的学习支架。 这份资料以类比迁移为核心教学方法，通过反例辨析（如对比夹角与非夹角的判定差异）强化几何直观，分层练习（基础计算、提升辨析、拓展综合）培养推理意识与运算能力。帮助学生精准掌握定理应用，提升教师课堂效率，夯实相似几何知识体系。

第2课时 利用两边及夹角和三边判定两个三角形相似利用两边及夹角和三边判定两个三角形相似 教案 一、教材分析 本节课是相似三角形判定的核心第二课时，承接上一节“两角对应相等判定相似”的内容，完善相似三角形完整判定体系。此前学生已掌握角角判定法、相似定义判定法，本节课新增两边成比例且夹角相等和三边对应成比例两种判定定理，是对相似判定方法的重要补充。两种定理适用于无明显等角、以边长比例关系为主的几何题型，是中考几何证明、线段计算、综合探究题的高频考点。同时本节课类比全等三角形SAS、SSS判定方法，实现知识迁移，为后续相似几何综合应用、二次函数几何综合问题、圆的相似问题奠定坚实基础，在相似章节中具有承上启下的关键作用。 二、学情分析 九年级学生已熟练掌握全等三角形SAS、SSS判定定理，掌握成比例线段计算、两角相似判定方法，具备良好的类比推理与几何识图能力。学生能够快速类比全等判定理解相似边判定定理，但存在多处认知难点：容易混淆“夹角”与“非夹角”，误用两边成比例及任意一角相等判定相似；计算三边比例时对应边匹配错误、比例化简失误；无法根据题型灵活选择最优判定方法，容易与角角判定法混淆。同时学生普遍缺乏题型辨析思维，不会根据已知条件选择角判定或边判定方法，解题灵活性不足。 三、教学目标 1. 知识与技能：理解并掌握两边成比例且夹角相等、三边对应成比例两个相似判定定理；精准区分夹角与非夹角，规避判定误区；能根据题目已知条件灵活选用判定方法，完成三角形相似的证明、边长比例计算与几何推理。 2. 过程与方法：经历类比全等判定、猜想验证、归纳定理、变式应用的探究过程，体会类比迁移、数形结合的数学思想，提升学生比例运算、识图辨析、逻辑推理的综合能力。 3. 情感态度与价值观：感受几何定理的关联性与严谨性，体会知识类比迁移的学习方法，通过规范推理、错题辨析培养严谨的数学思维，增强学生解决几何综合问题的自信心。 四、教学重难点 重点：掌握两边成比例且夹角相等、三边对应成比例的相似判定定理，能熟练运用定理判定三角形相似。 难点：精准识别“夹角”，区分夹角与非夹角；复杂图形中找准对应边、化简比例；根据已知条件灵活选择三种相似判定方法。 五、教学准备 多媒体课件、定理对比示意图、正误辨析题型、分层练习题、比例化简专项素材 六、教学过程 （一）复习旧知，类比导入（5分钟） 回顾旧知：复习两角对应相等判定三角形相似的定理，回顾全等三角形SAS、SSS判定方法。设问启发：全等三角形可以通过边角边、边边边判定，那么相似三角形能否通过边长比例结合夹角、纯边长比例判定？引导学生类比猜想：若两个三角形边满足一定比例关系，且夹角相等或三边比例对应相等，即可判定相似。通过对比全等与相似的区别，顺势导入本节课课题：利用两边及夹角和三边判定两个三角形相似。 （二）探究新知，归纳定理（22分钟） 1. 两边成比例且夹角相等判定定理 通过类比全等SAS定理，归纳核心定理：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。重点拆解核心要点：必须是两组对应边成比例，且夹角相等，非夹角相等无法判定相似，这是本节课最大易错点。通过反例图形辨析：两边成比例、其中一边的对角相等，三角形不一定相似，帮助学生彻底规避误区。结合例题示范，规范“算比例、找夹角、证相似”的完整解题步骤。 2. 三边对应成比例判定定理 类比全等SSS定理，归纳定理：三边对应成比例的两个三角形相似。讲解解题核心技巧：将三角形三边从小到大排序，依次计算对应边的比值，若比值全部相等即可判定相似。重点解决学生对应边找错、比例化简混乱的问题，通过排序法简化三边比例判定流程，降低解题难度。 3. 三种相似判定方法归纳对比 系统梳理已学三种判定方法：两角相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例。总结选型技巧：已知角多优先用角角判定；已知两边一角优先用边角判定；已知三边长度优先用三边判定，培养学生灵活解题的思维。 4. 例题精讲与规范书写 基础例题分别示范两种定理的应用：一是已知两边长度和夹角，利用边角定理证相似；二是已知三角形三边长，利用三边定理排序算比例证相似。严格规范几何证明书写格式，明确比例计算、条件罗列、定理结论的完整流程。 5. 高频易错点汇总 梳理典型错误：混淆夹角与非夹角、三边未排序导致对应边匹配错误、比例化简不彻底、乱用判定定理、与全等判定条件混淆。通过正误对比、反例论证，强化学生对定理核心条件的记忆与理解。 （三）分层练习，巩固提升（10分钟） 基础练习：简单边长比例计算、定理直接应用，夯实两个判定定理基础；提升练习：区分夹角与非夹角、三边排序判定，突破核心易错点；拓展练习：综合题型，自主选择合适的相似判定方法解题，提升知识灵活运用能力。学生独立完成后小组互评，教师针对比例计算错误、对应关系错乱、定理误用等共性问题集中讲评。 （四）课堂小结，梳理体系（3分钟） 引导学生自主总结：两种新判定定理的内容、核心条件、易错点、三种相似判定方法的选型技巧。教师升华：本节课完善了相似三角形完整判定体系，类比全等知识实现知识迁移，灵活选用判定方法是解决几何综合题的核心关键。 （五）布置作业（2分钟） 基础作业：教材课后对应习题，熟练掌握两种边判定定理的应用与规范书写；拓展作业：整理三种相似判定方法对比表格，归纳夹角易错点与三边判定技巧，完成错题整理。 七、板书设计 利用两边及夹角和三边判定两个三角形相似 1. 边角判定：两边成比例 + 夹角相等 → 相似 易错：必须是夹角，对角相等不能判定 2. 三边判定：三边对应成比例 → 相似（先排序、再求比） 3. 三大判定汇总：角角、边角、三边 4. 解题关键：辨条件、选定理、找对应、算比例 八、教学反思 本节课采用类比全等判定的方式导入，知识衔接自然，符合学生认知规律，有效降低了新知学习难度。通过定理拆解、反例辨析、方法汇总、分层训练，学生基本掌握两种边判定相似的定理，能够完成基础判定与计算题型。课堂教学中发现，学生主要问题是对“夹角”概念辨析不清晰，容易误用对角替代夹角，三边判定时不会排序找对应边，比例化简准确率较低，且不会灵活选用判定定理。后续教学中，需强化易错点专项对比训练，多开展定理选型变式练习，规范学生解题步骤，培养学生精准识图、严谨推理、灵活解题的能力，夯实相似几何的知识体系。 1.掌握相似三角形的判定定理2和判定定理3；（重点） 2.能熟练运用相似三角形的判定定理2和判定定理3.（难点） 一、情景导入 画△ABC与△A′B′C′，使∠A＝∠A′，和都等于给定的值k.设法比较∠B与∠B′的大小（或∠C与∠C′的大小），△ABC与△A′B′C′相似吗？ 二、合作探究 探究点一：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 如图，已知点D是△ABC的边AC上的一点，根据下列条件，可以得到△ABC∽△BDC的是（　　） A.AB·CD＝BD·BC B.AC·CB＝CA·CD C.BC2＝AC·DC D.BD2＝CD·DA 解析：有两边对应成比例，并不能说明两个三角形相似，若再知道成比例的两边的夹角相等，则这两个三角形才相似.本题中，∠C是△ABC和△BDC的公共角，关键是找出∠C的两边对应成比例，即＝或BC2＝AC·DC.故选C. 方法总结：判定两个三角形相似时，应根据条件适当选择方法，如本题已知有一个公共角，而它的两条夹边都能成比例，则应选择判定定理2加以判断. 探究点二：三边成比例的两个三角形相似 已知△ABC的三边长分别为1，，，△DEF的三边长分别为，，2，试判断△ABC与△DEF是否相似. 解析：因为已知两个三角形的三边长，所以可以考虑根据三边之间的比例关系来判定两个三角形是否相似. 解：因为＝＝， 所以△ABC与△DEF相似. 方法总结：已知两个三角形三边的大小，要判断它们是否相似，关键是通过计算来说明三边是否对应成比例.在相似三角形中，最短（长）边与最短（长）边是对应边，所以在判定两个三角形的三边是否成比例时，应先确定边的大小，以便找准对应关系. 探究点三：相似三角形的判定定理2及判定定理3的应用 如图甲，小正方形的边长均为1，则乙图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是哪一个图形？ 解析：图中的三角形均为格点三角形，可根据勾股定理求出各边的长，然后根据三角形三边是否对应成比例来判断乙图中的三角形与△ABC是否相似. 解：由甲图可知AC＝＝，BC＝2，AB＝＝. 同理，图①中，三角形的三边长分别为1，，2； 同理，图②中，三角形的三边长分别为1，，； 同理，图③中，三角形的三边长分别为，，3； 同理，图④中，三角形的三边长分别为2，，. ∵＝＝＝， ∴图②中的三角形与△ABC相似. 方法总结：（1）各个图形中的三角形均为格点三角形，可以根据勾股定理求出各边的长，然后根据三角形三边的长度是否成比例来判断两个三角形是否相似；（2）判断三边是否成比例，可以将三角形的三边长按大小顺序排列，然后分别计算他们对应边的比，最后由比值是否相等来确定两个三角形是否相似. 如图所示，零件的外径为a，要求它的厚度x，需求出内孔的直径AB，但不能直接量出AB，现用一个交叉长钳（AC和BD相等）去量，若OA：OC＝OB：OD＝n，且量得CD＝b，求厚度x. 解析：欲求厚度x，而x＝，根据题意较易推出△AOB∽△COD，利用相似三角形的对应边成比例，列出关于AB的比例式，解之即可. 解：因为OA：OC＝OB：OD，∠AOB＝∠COD， 所以△AOB∽△COD， 故＝＝n，可得AB＝bn， 所以x＝. 方法总结：当条件中有两边对应成比例时，通常考虑相似三角形的判定定理2，并注意利用图形的隐含条件，如公共角、对顶角. 如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动.如果点P，Q同时出发，经过多长时间后△PBQ与△ABC相似？ 解析：要证明△PBQ与△ABC相似，很显然∠B为公共角，因此可运用两边对应成比例且夹角相等来得到相似，可根据对应边成比例列方程求解，同时要注意分类讨论. 解：设经过t s后，△PBQ与△ABC相似. （1）当＝时， △PBQ∽△ABC. 此时＝，解得t＝4. 即经过4s后△PBQ与△ABC相似； （2）当＝时，△PBQ∽△CBA. 此时＝，解得t＝1.6. 即经过1.6s后△PBQ与△ABC相似. 综上可知，点P，Q同时出发，经过1.6s或4s后△PBQ与△ABC相似. 易错提醒：在点运动的情况下寻找相似的条件，随着点的位置的变化，△PBQ的形状也会发生变化，因此既要考虑△PBQ∽△ABC的情况，还要考虑△PBQ∽△CBA的情况. 三、板书设计 相似三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 相似三角形的判定定理3：三边成比例的两个三角形相似. 从学生已学的知识入手，通过设置问题，引导学生进行计算、推理和归纳，提高分析问题和解决问题的能力.感受两个三角形相似的判定定理2与全等三角形判定定理（SAS）、两个三角形相似的判定定理3与全等三角形判定定理（SSS）的区别与联系，体会事物间一般到特殊、特殊到一般的关系.让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力，培养学生与他人交流、合作的意识和品质. 学科网（北京）股份有限公司 $