精品解析：广东揭阳市揭东区第二中学2025-2026学年下学期八年级数学阶段测试

2025-2026学年度第二学期数学科 八年级数学科第二次月考试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列所给图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合中心对称图形和轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项错误； B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项错误； C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项错误； D、既是中心对称图形，又是轴对称图形．故本选项正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 2. 如图，从家用双面人字梯抽象出的四边形中，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作射线，根据三角形外角的性质进行计算即可． 【详解】解：如图，作射线， ∵，，而， ∴ ． 3. 下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】因式分解是将一个多项式化为几个整式乘积的形式，据此对各选项进行判断即可． 【详解】解：A、左右两边都已是整式乘积的形式，仅为恒等变形，不符合因式分解定义； B、等式左右两边变形错误，等式不成立，且右边为，不是几个整式乘积的形式，不符合定义； C、，将多项式化为两个整式乘积的形式，符合因式分解定义； D、该变形是整式乘法，将乘积化为多项式，不符合因式分解定义． 4. 若把分式中的a和b同时扩大为原来的3倍，则分式的值(　　) A. 扩大3倍 B. 缩小6倍 C. 缩小3倍 D. 保持不变 【答案】D 【解析】 【分析】若把分式中的a和b同时扩大为原来的3倍，则分式的分母、分子同时扩大为原来的3倍，根据分式的基本性质，可得：分式的值保持不变． 【详解】把分式中的a和b同时扩大为原来的3倍， 分母变为3(a+b)，分子变为3a， 所以分式的分母、分子同时扩大为原来的3倍， 所以分式的值保持不变． 故选D． 【点睛】考查了分式的基本性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． 5. 以下选项不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件利用三角形内角和定理、勾股定理逆定理分别进行判断即可． 【详解】解：A．∵， ， ∴是直角三角形，故选项不符合题意； B．∵， ∴不是直角三角形，故选项符合题意； C．∵， 设， ， ∴是直角三角形，故选项不符合题意； D．∵， ∴是直角三角形，故选项不符合题意． 6. 现在有住宿生若干名，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还有19人无宿舍住；若每间住6人，则有一间宿舍不空也不满，若设宿舍间数为x则可以列得不等式组为 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件易得学生总人数，不空也不满意思是一个宿舍人数在人和人之间，关系式为：总人数间宿舍的人数；总人数间宿舍的人数，把相关数值代入即可． 【详解】解：∵若每间住人，则还有人无宿舍住， ∴学生总人数为人， ∵一间宿舍不空也不满， ∴学生总人数间宿舍的人数在和之间， ∴列的不等式组为： 故选：D 【点睛】考查列不等式组解决实际问题，理解“不空也不满”的意思是解决本题的突破点，得到相应的关系式是解决本题的关键． 7. 将分解因式后有一个因式是，则的值是（ ） A. 6 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解和多项式乘多项式，能得出关于m的方程是解此题的关键．由分解因式后有一个因式是，得出时多项式的值为零，由此得出关于m的方程，求出方程的解即可． 【详解】解：∵分解因式后有一个因式是， ∴ 当时，多项式的值为零，即， ∴ ， ∴， 故选：B． 8. 若不等式组无解，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式组无解的问题，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤以及不等式组解的情况． 先分别解出两个不等式的解集，再根据不等式组无解的条件确定实数a的取值范围． 【详解】解：解不等式，得； ∵解不等式， 移项得， 即， ∴； ∵不等式组无解； ∴两个解集无公共部分，即， ∴解得， 故选：D． 9. 若，则的值为（ ） A. 14 B. 12 C. 10 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值．先对已知方程变形得到的值，再利用完全平方公式的恒等变换计算所求式子的值． 【详解】解：∵，且（若，代入方程左边得，矛盾）， ∴方程两边同时除以，得， ∴， ∵， ∴ 将代入，得． 故选：A． 10. 如图，将长方形沿翻折，再沿翻折使最终落在边上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，由折叠的性质可知，根据平行线的性质和三角形外角的性质可得，根据平行线的性质可知，根据，可知． 【详解】解：如下图所示， 由折叠可知， 四边形是长方形， ， ， 设， 则， ， ， ， ， 由折叠可知， 又， ， 解得：， ， ，， ， ， ， ． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 将点先向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的点B的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案． 【详解】解：点先向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的点B的坐标是，即． 12. 已知一长方形的长宽分别为a，b，其周长为8，面积为2，则____． 【答案】8 【解析】 【分析】根据题意得出，然后因式分解为，整体代入求解即可； 【详解】解：∵长宽分别为的长方形，周长为8，面积为2， ， ， ∴． 13. 分式方程无解，则a的值为________． 【答案】7 【解析】 【分析】将分式方程化为整式方程，分式方程无解说明该解为原分式方程的增根，求出增根后代入整式方程即可求得参数a的值． 【详解】解：原分式方程可变形为， 方程两边同乘最简公分母，得， ∵原分式方程无解， ∴，即是原分式方程的增根， 将代入整式方程，得 ， 解得：． 14. 如图，河的两岸有A，B两个水文观测点，为方便联络，要在河上修一座木桥（河的两岸互相平行，垂直于河岸），现测得A，B两点到河岸的距离分别是5米，4米，河宽4米，且A，B两点之间的水平距离为12米，则的最小值是______米． 【答案】19 【解析】 【分析】本题主要考查了运用路径最值问题以及运用勾股定理求线段的长度．将沿着竖直方向平移4米，即平移到，连接，．过点B作交延长线于点Q．即．随后，结合已知条件，在中，运用勾股定理求出的长，最后求得的最小值． 【详解】解：如图，将沿着竖直方向平移4米，即平移到，连接，．过点B作交延长线于点Q． ∵将沿着竖直方向平移4米，即平移到， ∴， ∴， 即 ∵河宽4米， ∴（米）， ∴． ∵A，B两点到河岸的距离分别是5米，4米，河宽4米， ∴（米）， ∴（米）， ∵A，B两点之间的水平距离为12米， ∴（米）， ∵交延长线于点Q， ∴． 在中， （米）， ∴（米）， 即的最小值是19米． 15. 如图，在中，、分别平分、．若，则________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】根据三角形的内角和定理求出的值，根据角平分线定义求出，根据三角形的内角和定理求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵分别平分， ∴，， ∴， ∴． 三、解答题（一）（每小题7分，共21分） 16. 化简求值：，从1，2，3，中选择一个合适的数代入并求值． 【答案】，当时，原式＝ 【解析】 【分析】先计算括号中的减法，再将除法转化为乘法进行化简原式，最后代入字母的值计算即可 【详解】解：原式 ，，， ，，． 当时，原式 17. 如图，某小区内有一个三角形花坛，其内部有一个转角区域，由两条小路和形成一个.小区计划在内部修建一个便民饮水点，要求该饮水点到两个固定休息点和的距离相等且到两条小路和的距离也相等，在图中标出饮水点的位置.（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【解析】 【分析】的角平分线与线段的垂直平分线的交点，即为点的位置． 【详解】解：以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点，分别以点、为圆心，大于为半径作弧，交于点，分别以点、为圆心，大于为半径作弧，交于点、，射线与直线交于点． 18. 如图，在等腰直角中，，D为边上一点，连接，将绕点C逆时针旋转到，连接． （1）求证：． （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）8 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，解题的关键是掌握旋转前后对应边相等，全等三角形的判定方法以及全等三角形对应边相等，面积相等． （1）通过证明，即可求证； （2）先求出，在根据勾股定理求出，由全等的性质得出，则，即可解答． 【小问1详解】 证明：∵绕点C逆时针旋转到， ∴， ∵， ∴，即， ∵为等腰直角三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 设， 根据勾股定理可得：， 则， 解得：（负值舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴． 四、解答题（二）（每小题9分，共27分） 19. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为． （1）画出关于原点对称的； （2）画出绕点顺时针旋转后的，并写出点的坐标． 【答案】（1）作图见解析； （2）作图见解析，点的坐标为 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中的中心对称与旋转变换作图，核心知识点为：关于原点对称的点的坐标特征(横、纵坐标均为原坐标的相反数)． （1）先根据原点对称的坐标特征求出各顶点的对称点坐标，再顺次连接各对称点得到目标三角形； （2）利用顺时针旋转的坐标变换规律求出对应点、的坐标，最后顺次连接各点得到旋转后的三角形，并写出的坐标． 【小问1详解】 解：作出关于原点对称的如图所示： 【小问2详解】 解：作出绕点顺时针旋转后的如图所示： 点的坐标为． 20. 某景区需要购买A、B两种型号的帐篷，已知用2400元购买A种帐篷的数量与用4000元购买B种帐篷的数量相等，且B种帐篷的单价比A种帐篷的单价多400元． （1）求A、B两种帐篷的单价各多少元？ （2）若该景区需要购买A、B两种型号的帐篷共28顶（两种型号的帐篷均需购买），且购买B种型号帐篷的数量不少于A种型号帐篷数量的，则购买A、B两种型号的帐篷各多少顶时，总费用最低？最低总费用是多少元？ 【答案】（1）A种帐篷的单价为600元，B种帐篷的单价为1000元 （2）当购买A种帐篷21顶，B种帐篷7顶时，总费用最低，最低总费用为19600元 【解析】 【分析】（1）设A种帐篷的单价为x元，则B种帐篷的单价为元．根据题意列出分式方程，解方程即可得出结果； （2）设购买A种帐篷m顶，则B种帐篷顶，总费用为W元．根据题意求出，表示出，再结合一次函数的性质即可得出结果． 【小问1详解】 解：设A种帐篷的单价为x元，则B种帐篷的单价为元． 由题意得：， 解得： 经检验：符合题意， ， 答：A种帐篷的单价为600元，B种帐篷的单价为1000元． 【小问2详解】 解：设购买A种帐篷m顶，则B种帐篷顶，总费用为W元． 由题意得：， 解得：． 又两种型号的帐篷均需购买，即为正整数， ， ， W随m的增大而减小， 当时，W取最小值，，此时， 答：当购买A种帐篷21顶，B种帐篷7顶时，总费用最低，最低总费用为19600元． 21. 阅读材料：我们把多项式及这样的式子叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例1：分解因式． 原式． 例2：求的最大值． ， 故当时，的最大值为10． 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题． （1）利用配方法分解因式：； （2）当为何值时，多项式有最大值，并求出这个最大值； （3）已知正数满足，求． 【答案】（1） （2）当时，多项式有最大值，最大值为； （3）12 【解析】 【分析】本题考查了配方法，因式分解，偶次幂的非负性．解题的关键在于对理解题意并正确的求解． （1）根据题意配方后因式分解即可； （2）配方后利用偶次幂的非负性求解即可； （3）配方后利用偶次幂的非负性求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， ∴当，即时，多项式有最大值，最大值为； 【小问3详解】 解：∵， ∴， 即， ∴，，， 解得，，， ∴． 五、解答题（三）（第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 已知关于x的分式方程 （1）当a=5时，求方程的解： （2）若该方程去分母后所得整式方程的解不是原分式方程的解，求a的值； （3）如果关于x的分式方程的解为正数，那么a的取值范围是什么？ 小明说：“解这个关于x的分式方程，得到方程的解为x=a-2．因为解是正数，可得a-2>0，所以a>2”，小明说的对吗？为什么？ （4）关于x的方程有整数解，直接写出整数m的值，m值为_______________． 【答案】（1） （2） （3）小明的说法不对，理由见解析 （4）3，4，0 【解析】 【分析】（1）把a的值代入方程，解分式方程，再进行检验即可得解； （2）根据题意知方程有增根，据此求解即可； （3）先解方程，再根据方程的解是正数列不等式求解即可； （4）先解方程，用含有m的代数式表示x，再根据m是整数求解即可． 【小问1详解】 当a=5时，分式方程为： 解分式方程得： 检验：当时， 所以分式方程的解为． 【小问2详解】 把去分母得， ∵若该方程去分母后所得整式方程的解不是原分式方程的解 ∴时满足题意 即时满足题意，此时． 【小问3详解】 小明的说法不对，理由如下: 解这个关于x的分式方程，得到方程的解为x=a﹣2， 因为解是正数，可得a﹣2＞0，即a＞2， 同时a﹣2≠1，即a≠3， 则a的范围是a＞2且a≠3． 【小问4详解】 m=3，4，0． 理由：去分母得：mx﹣1﹣1=2x﹣4， 整理得:（m﹣2）x=﹣2， 当m≠2时，解得:x=﹣， 由方程有整数解，得到m﹣2=±1，m﹣2=±2， 解得:m=3，1，4，0． 因为x-2≠0，所以m≠1 所以m=3，4，0 故答案为3，4，0 【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 23. 观察猜想： （1）如图1，在直角中，，，点为边上一动点（与点不重合），连接，将绕点逆时针旋转到，那么、之间的位置关系为__________，数量关系为__________； 数学思考： （2）如图2，在中，，，、为上两点，且，求证：．（提示：参考（1）将绕点逆时针旋转到，或将绕点顺时针时针旋转到，可证） 拓展延伸： （3）如图3，在中，，，，若以、、为边的三角形是以为斜边的直角三角形，当时，求的长．（参考（2）解题思路） 【答案】（1）；；（2）证明见解析；(3) 【解析】 【分析】（1）根据，，，运用证明，根据全等三角形性质即可得出结论； （2）把绕点A顺时针旋转得到，连接，根据定理可得，可得，再在中，利用勾股定理即可得； （3）将绕点A顺时针旋转得到，先根据定理可得，从而可得，再以是直角三角形分两种情况：①和②，根据含30度角的直角三角形的性质、勾股定理求解即可得． 【详解】（1）解：与位置关系是，数量关系是． 理由：在中，，， ， ∵绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∴，即， 又， ∴， ∴，， ∴，即 ， 故答案为：． （2）证明：如图，把绕点A顺时针旋转得到，连接，    则． ∴，，． ∴， ∵，， ∴， 在和中，， ∴． ∴， 又∵， ∴， ． （3）解：如图，将绕点A顺时针旋转得到，    ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵以、、为边的三角形是直角三角形， ∴以、、为边的三角形是直角三角形， ∴是直角三角形，若 ，且， ， ， ， ， 综上，的长为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质、旋转的性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期数学科 八年级数学科第二次月考试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列所给图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，从家用双面人字梯抽象出的四边形中，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 若把分式中的a和b同时扩大为原来的3倍，则分式的值(　　) A. 扩大3倍 B. 缩小6倍 C. 缩小3倍 D. 保持不变 5. 以下选项不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 6. 现在有住宿生若干名，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还有19人无宿舍住；若每间住6人，则有一间宿舍不空也不满，若设宿舍间数为x则可以列得不等式组为 （ ） A. B. C. D. 7. 将分解因式后有一个因式是，则的值是（ ） A. 6 B. C. 4 D. 8. 若不等式组无解，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 若，则的值为（ ） A. 14 B. 12 C. 10 D. 8 10. 如图，将长方形沿翻折，再沿翻折使最终落在边上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 将点先向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的点B的坐标是______． 12. 已知一长方形的长宽分别为a，b，其周长为8，面积为2，则____． 13. 分式方程无解，则a的值为________． 14. 如图，河的两岸有A，B两个水文观测点，为方便联络，要在河上修一座木桥（河的两岸互相平行，垂直于河岸），现测得A，B两点到河岸的距离分别是5米，4米，河宽4米，且A，B两点之间的水平距离为12米，则的最小值是______米． 15. 如图，在中，、分别平分、．若，则________． 三、解答题（一）（每小题7分，共21分） 16. 化简求值：，从1，2，3，中选择一个合适的数代入并求值． 17. 如图，某小区内有一个三角形花坛，其内部有一个转角区域，由两条小路和形成一个.小区计划在内部修建一个便民饮水点，要求该饮水点到两个固定休息点和的距离相等且到两条小路和的距离也相等，在图中标出饮水点的位置.（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 18. 如图，在等腰直角中，，D为边上一点，连接，将绕点C逆时针旋转到，连接． （1）求证：． （2）若，，求四边形的面积． 四、解答题（二）（每小题9分，共27分） 19. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为． （1）画出关于原点对称的； （2）画出绕点顺时针旋转后的，并写出点的坐标． 20. 某景区需要购买A、B两种型号的帐篷，已知用2400元购买A种帐篷的数量与用4000元购买B种帐篷的数量相等，且B种帐篷的单价比A种帐篷的单价多400元． （1）求A、B两种帐篷的单价各多少元？ （2）若该景区需要购买A、B两种型号的帐篷共28顶（两种型号的帐篷均需购买），且购买B种型号帐篷的数量不少于A种型号帐篷数量的，则购买A、B两种型号的帐篷各多少顶时，总费用最低？最低总费用是多少元？ 21. 阅读材料：我们把多项式及这样的式子叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例1：分解因式． 原式． 例2：求的最大值． ， 故当时，的最大值为10． 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题． （1）利用配方法分解因式：； （2）当为何值时，多项式有最大值，并求出这个最大值； （3）已知正数满足，求． 五、解答题（三）（第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 已知关于x的分式方程 （1）当a=5时，求方程的解： （2）若该方程去分母后所得整式方程的解不是原分式方程的解，求a的值； （3）如果关于x的分式方程的解为正数，那么a的取值范围是什么？ 小明说：“解这个关于x的分式方程，得到方程的解为x=a-2．因为解是正数，可得a-2>0，所以a>2”，小明说的对吗？为什么？ （4）关于x的方程有整数解，直接写出整数m的值，m值为_______________． 23. 观察猜想： （1）如图1，在直角中，，，点为边上一动点（与点不重合），连接，将绕点逆时针旋转到，那么、之间的位置关系为__________，数量关系为__________； 数学思考： （2）如图2，在中，，，、为上两点，且，求证：．（提示：参考（1）将绕点逆时针旋转到，或将绕点顺时针时针旋转到，可证） 拓展延伸： （3）如图3，在中，，，，若以、、为边的三角形是以为斜边的直角三角形，当时，求的长．（参考（2）解题思路） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $