精品解析：江苏徐州市铜山区第一中学2026届高三下学期6月自测数学试题

江苏徐州市铜山区第一中学2026届高三下学期6月数学试题 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化简集合，再求集合与集合的交集 【详解】,， 即， 所以， 故选：C. 2. 若，则（ ） A. B. i C. D. 1 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得：， 所以. 3. 设函数，若在上恰有1个零点，则实数的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合正弦型函数的性质求其零点，结合条件列不等式求的最小值. 【详解】因为，所以， 要使最小，需满足区间包含且仅包含这一个正弦函数的零点，即满足，解得， 所以. 4. 在平面直角坐标系中，已知点在动直线上的射影为点，则的最大值为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】动直线过定点，所以点在以为直径的圆上. 又，所以圆心为，半径为.从而为5，则的最大值为. 5. 若，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据诱导公式、两角和的余弦公式、二倍角公式及同角关系的齐次转化求解即可. 【详解】 可得. 因为 所以. 6. 现有甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学，选出 4 人分别参加唱歌、主持、绘画、手工四项比赛.规定甲、乙只能参加唱歌、主持，丙、丁、戊无限制，不同的参赛安排方案数为（    ） A. B. C. D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用两个基本原理及有限制条件的排列计数问题列式求解. 【详解】依题意，甲、乙两人至少有1人参加， 当甲乙两人都参加时，不同参赛安排方案数为种； 当甲乙之一参加时，不同参赛安排方案数为种， 所以所求参赛方案种数为. 7. 已知函数，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】令，则，故，故, 所以或, 故． 8. 已知双曲线的左､右焦点分别为和，过的直线交双曲线的右支于点，交双曲线的一条渐近线于点（在第二象限）.若，则双曲线的离心率为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由可得为中点，再设出点坐标，可表示出点坐标，则可利用及点在双曲线上列出与、、有关等式，最后利用离心率定义计算即可得. 【详解】由，为中点，则为中点， 由在第二象限，可设，则， 由，则， 整理得， 由在双曲线上，则有， 整理得，则， 整理得，即. 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 下列说法正确的是（   ） A. 对一组数据做线性回归分析，残差全部为 0 时，拟合效果完美 B. 数据2，5，7，9，10的 40 百分位数是 5 C. 独立性检验可以精确判断两个分类变量是否有关 D. 相关系数r的绝对值越接近 1，变量间线性相关性越强 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A，残差定义：残差 = 实际值 - 回归预测值. 若所有残差都为0，说明所有样本点都落在回归直线上，线性拟合效果达到最优；A 正确. 对于B，，所以这组数据的百分位数是，B错误； 对于 C，独立性检验（卡方检验）只能在一定犯错概率下推断两个分类变量是否有关，属于概率性判断，无法做到精确判定；C 错误. 选项 D，线性相关系数的绝对值越接近1，两个变量的线性相关性越强；越接近0，线性相关性越弱；D 正确. 10. 已知正方体，，分别是面，面的中心.则下列结论正确的是（ ）. A. B. 平面 C. 与是异面直线 D. 平面将正方体分成前后两部分的体积比为2：1 【答案】AD 【解析】 【分析】根据等腰三角形证明线线垂直判断A，根据正方形中与不垂直判断B，由直线平行判断C，利用多面体的体积，得到平面将正方体分成两部分的体积比为判断D. 【详解】因为是等边三角形，为中点，所以，又正方体中，所以，选项A正确； 在正方体中，过作分别交，于，，连接，， 则，所以平面即平面，由于与不垂直，选项B错误； 在正方体中，连接与， 则，又在上，所以，所以与共面，选项C错误； 显然与是相交直线，设其交点为，设直线交于，交于， 连结交于，则面是平面截正方体所得的截面， 由，分别为正方形，的中心，得，连接， 多面体的体积， 而正方体的体积， 因此平面将正方体分成前后两部分的体积比为，选项D正确. 11. 在平面直角坐标系中有与轴分别交于两点，为上的动点，以为直径的的位置随点位置的变化而变化，当点逆时针转过一周时，扫过的区域记作，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则与轴公共点坐标为和 B. 若以为圆心的圆可以完全覆盖区域，则该圆的面积的最小值为 C. 内的点到轴距离的最大值为 D. 与轴的公共部分上的点到轴距离平方的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项利用直径的性质进行计算；B选项设，用表示，再利用三角函数求最值即可，C选项，将用表示，再利用二次函数即可求出最大值； D选项利用点到直线的距离即可求解. 【详解】对于A选项，设与轴交于、，连接 ，， 因为为的直径，所以轴， 由题意可知，所以， 所以，则，所以公共点的坐标为和，故A正确； 对于B选项，如图： 连接并延长交于， 由垂径定理：，就是上到原点距离最远的点， 下面我们求的最大值： 设，则， 因为，则， 当时，取得最大值，即该圆的半径最小为，面积最小值为，故B错误； 对于C选项，如图：过作轴于，另交于，过作轴于， 因为，所以，所以， 则， 所以，令 ， 则， 所以 ，即内的点到轴距离的最大值为，故C正确； 对于D选项，如图： 设与轴交于点（图中为上方的点），则，反面想， 对于轴正半轴上一点作，若与有公共点即为点， 当离轴最远时，与有且仅有一个公共点． 设，则，， 原点到的距离：，解得， 故与轴的公共部分上的点到轴距离的最大值为， 即与轴的公共部分上的点到轴距离平方的最大值为，故D正确． 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 的展开式中第3项的系数为______. 【答案】240 【解析】 【详解】的展开式中第3项的系数为. 13. 在角，，，…，的终边上分别有一点，，，…，，如果点的坐标为，，，则______ 【答案】 【解析】 【分析】结合诱导公式和三角函数定义可求得，利用正弦函数的奇偶性可求得所求式子的值. 【详解】， ， ， ， 又， . 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解题关键是能够利用诱导公式确定，从而根据三角函数定义化简所求式子，利用正弦函数的奇偶性进行求值. 14. 设抛物线：，已知斜率为2的直线交抛物线于，两点，点为中点，为抛物线上一点且轴，则直线的斜率为______． 【答案】1 【解析】 【分析】设出斜率为2的直线方程，联立抛物线方程后利用韦达定理求得中点的横坐标，结合轴得到P点坐标，进而计算直线的斜率. 【详解】设直线的方程为（为常数）， 将代入抛物线方程得： ，即， 设， 由韦达定理可得，， 因为D为的中点，故D点的横坐标, 由轴可知，P点横坐标与D点横坐标相等，即, 将代入抛物线方程, 得，解得， 即P点坐标为， 故直线的斜率为. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角，，所对应的边分别为，，，已知，. （1）求证：； （2）若为的边上的高，求的取值范围. 【答案】（1）由得 ， 两边同时约去，并由正弦定理得：， 所以，即. 在中，因为，为内角，所以，或 . 若，则（舍去）. 故，即.证毕. （2）. 【解析】 【分析】（1）先将向量数量积转化为边与角的关系，得，再用正弦定理化边为角，结合两角差的正弦公式，得，结合三角形内角范围排除矛盾情况，可证得结果； （2）由已知与正弦定理，由高的定义得，代入目标式化简为，结合的范围求三角函数值域，即可求得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由(1)知，由正弦定理得， ，又 ， 所以. 由三角形内角均为正数，即，解得， 所以，， 所以. 16. 设是等比数列的前项和，已知，． （1）求和； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件列出等比数列基本量的方程，求解即得到数列的通项公式和前项和； （2）化简的表达式，利用裂项相消法求和. 【小问1详解】 设的公比为，则，而，得， 已知，所以， 所以，则. 【小问2详解】 ， ． 17. 已知，分别是双曲线：的上顶点，下焦点． （1）求的标准方程； （2）过的直线与的上、下支分别交于两点（异于），直线平分线段与的下支交于点，证明：直线与直线的交点在定直线上． 【答案】（1） （2） 证明：由题意，直线的斜率存在， 设直线方程为：，，． 联立，消去，得， 由于，同号，所以，， ， 所以， 联立，解得， 所以， 所以直线的方程为，即， 联立，解得， 所以直线与直线的交点在定直线上． 【解析】 【分析】（1）根据题中所给数据求解即可； （2）设直线方程为：，，，联立直线和双曲线方程，结合韦达定理可得，求出点坐标，直线方程，再联立直线和直线方程，求出交点坐标即可得证. 【小问1详解】 由题意，，， 所以， 所以C的方程为． 【小问2详解】 略 18. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）证明： ① ； ②当且时，. 【答案】（1）当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减； （2）①由（1）得，当时，，又在上单调递增，在单调递减，所以，即，即  ； ②当时，，令（，且），得，两边同时取自然对数，得，即，，，，则，即当且时，. 【解析】 【分析】（1）按和分类讨论确定导数的正负得出单调性； （2）①利用（1）中时函数的单调性证明；②由①得时，，然后对赋值（，且），让取得个不等式相加后可证. 【小问1详解】 由，，得， . 若，则 ，当时，，单调递减， 当时，，单调递增. 若时，令，得或. 因为，所以 ， 当，则，单调递减， 当，则，单调递增， 当，则，单调递减； 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减； 【小问2详解】 ①略 ②略 19. 如图，在三棱锥中，平面，，，过作于，为线段的中点． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积的最大值； （3）设为四棱锥的外接球的球心， ①证明：该球面与三棱锥的侧面的交线长小于； ②在二面角，二面角，二面角之中选择一个求其余弦的绝对值的取值范围． 【答案】（1）证明：因为平面，平面， 所以，， 由于，则是等腰直角三角形， 因为为斜边的中点，所以， 又已知，且，故平面， 因为平面，所以， 因为，且，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又，平面， 所以平面． （2）． （3）①连接，则由平面，又平面，故， 由知，，，均在以为直径的球面上，球心为的中点，半径， 所以为四棱锥的外接球的球心； ①取中点， 因为， 所以为上述球面被平面所截得的截面圆周的圆心， 该球面被三棱锥的侧面的交线为圆心角所对的一段弧，设该弧的长度为的弧度数为，则， 在中，，分别为，的中点，所以，即， 所以，所以，又， 所以． ②． 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质及判定即可证明； （2）法一：建立空间直角坐标系，结合三棱锥的体积公式即可求解；法二：由体积比法，求得，即可求解；方法三：轨迹法，点的轨迹落在平面内以为直径的圆周上，由几何关系即可求解； （3）建立空间直角坐标系，由面面夹角的余弦公式求解二面角和二面角，同时根据二面角的平面角定义求解二面角和二面角． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 以为原点，，所在直线分别为，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 方法一： 在中，，则， 在中，， 由，得， 点在平面内，其坐标为， ， 设，由于在上，设， 即， 则， 由得：， 化简得：， 所以， 代入得， 由（1）知平面，故三棱锥的体积， 因为，，所以， 又， 所以 ， 又， 所以， ， 当时，三棱锥的体积取得最大值． 方法二：体积比法 ， 又， 所以， ， 由于面积为2，， 又 ，， 故， 下同方法一，得三棱锥的体积取得最大值． 方法三：轨迹法 由（1）知平面，平面， 故，， 点的轨迹落在平面内以为直径的圆周上， 取为体积的高，则， 由于为定值，当面积最大时体积最大， 当面积最大时，为等腰直角三角形，， 由，得， 此时，三棱锥的体积取得最大值． 【小问3详解】 ①略 ②建系同（2），求二面角； 方法一：由（2）方法一，设，其中 ，， 平面即为平面， 其法向量， 设平面法向量， 由，得， 取，，， 则， ， 由于，所以， 所以， 由于，， 即二面角余弦的绝对值的取值范围为； 方法二：几何法 取线段的中点，中点，连结，， 由①知，平面，， 所以即二面角的平面角， 在中，为的中点，为中点，所以， 在中，为的中点，为中点，所以， 在中，， 由于，所以，故， 即二面角正弦值的取值范围为； 二面角： 设，则， 平面的法向量.，， 由， 令 ， ，，得， 由于点在直线上，平面即为平面， 设平面的法向量面的法向量，，， 由， 令，则，代入得 ，得 ， 取， 则， 因为，所以， 故二面角的正弦值的取值范围是． 二面角：在中，作于，则， 由于平面，所以平面， 由，得，故棱平面， 二面角的大小等于 ， 设， 则，所以， 即， 所以， 所以 ， 在中，， ，所以 ， 所以 ， 又， 所以， 令 ，则，又，所以， 则， 令， 由于 ， 所以在上单调递减，所以， 所以，即二面角的正弦值的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏徐州市铜山区第一中学2026届高三下学期6月数学试题 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. i C. D. 1 3. 设函数，若在上恰有1个零点，则实数的最小值是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，已知点在动直线上的射影为点，则的最大值为（ ） A. 5 B. C. D. 5. 若，则（ ）. A. B. C. D. 6. 现有甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学，选出 4 人分别参加唱歌、主持、绘画、手工四项比赛.规定甲、乙只能参加唱歌、主持，丙、丁、戊无限制，不同的参赛安排方案数为（    ） A. B. C. D. 48 7. 已知函数，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左､右焦点分别为和，过的直线交双曲线的右支于点，交双曲线的一条渐近线于点（在第二象限）.若，则双曲线的离心率为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 下列说法正确的是（   ） A. 对一组数据做线性回归分析，残差全部为 0 时，拟合效果完美 B. 数据2，5，7，9，10的 40 百分位数是 5 C. 独立性检验可以精确判断两个分类变量是否有关 D. 相关系数r的绝对值越接近 1，变量间线性相关性越强 10. 已知正方体，，分别是面，面的中心.则下列结论正确的是（ ）. A. B. 平面 C. 与是异面直线 D. 平面将正方体分成前后两部分的体积比为2：1 11. 在平面直角坐标系中有与轴分别交于两点，为上的动点，以为直径的的位置随点位置的变化而变化，当点逆时针转过一周时，扫过的区域记作，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则与轴公共点坐标为和 B. 若以为圆心的圆可以完全覆盖区域，则该圆的面积的最小值为 C. 内的点到轴距离的最大值为 D. 与轴的公共部分上的点到轴距离平方的最大值为 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 的展开式中第3项的系数为______. 13. 在角，，，…，的终边上分别有一点，，，…，，如果点的坐标为，，，则______ 14. 设抛物线：，已知斜率为2的直线交抛物线于，两点，点为中点，为抛物线上一点且轴，则直线的斜率为______． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角，，所对应的边分别为，，，已知，. （1）求证：； （2）若为的边上的高，求的取值范围. 16. 设是等比数列的前项和，已知，． （1）求和； （2）设，求数列的前项和． 17. 已知，分别是双曲线：的上顶点，下焦点． （1）求的标准方程； （2）过的直线与的上、下支分别交于两点（异于），直线平分线段与的下支交于点，证明：直线与直线的交点在定直线上． 18. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）证明： ① ； ②当且时，. 19. 如图，在三棱锥中，平面，，，过作于，为线段的中点． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积的最大值； （3）设为四棱锥的外接球的球心， ①证明：该球面与三棱锥的侧面的交线长小于； ②在二面角，二面角，二面角之中选择一个求其余弦的绝对值的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $