四川省双流中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷

**基本信息** 2024-2025学年四川双流中学高一上期末数学试卷，覆盖集合、函数、不等式、三角函数等核心知识，通过扇面几何、函数图像应用等创新情境，考查数学眼光观察现实世界、数学思维推理及数学语言表达能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合运算、充分必要条件、不等式解集|第8题结合扇面结构考查几何关系，体现数学应用| |多选题|3/18|基本不等式、函数性质|第10题通过函数图像翻折考查数形结合，培养直观想象| |填空题|3/15|基本不等式求最值、函数图像交点|第13题结合正方形与幂函数图像，考查转化能力| |解答题|5/77|函数奇偶性与单调性、三角函数图像、不等式恒成立|第17题要求证明单调性并解决存在性问题，考查逻辑推理；第15题增设细节注意事项，培养严谨思维|

2024-2025学年度四川省双流中学高2024级高一上期末考试 数学学科试题 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：王卓宁 注意事项： 1， 开考前，请先将自己的姓名，准考证号，座位号等信息涂写在试卷和答题卡的相应位置上。 2， 考试结束后，将答题卡交回。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设集合，若，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 2.已知实数，则“”是“”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 4.若，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 5.若不等式对一切恒成立，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 6.已知，，，则(    ) A. B. C. D. 7.已知函数，当时，方程的根的个数是(    ) A. B. C. D. 8.扇面是中国书画作品的一种重要表现形式如图，图为其结构简化图设扇面，间的圆弧长为，，间的弦长为，圆弧所对的圆心角为，则，和所满足的关系为(    )   A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。（全选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分） 9.设正实数满足，则(    ) A. 有最大值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为 D. 有最大值为 10.已知函数，且，则下列结论正确的是(    ) A. 函数恒过定点 B. 函数的值域为 C. 函数在区间上单调递增 D. 若直线与函数的图象有两个公共点，则实数的取值范围是 11.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是(    ) A. 函数的最小正周期为 B. C. 函数在上单调递增 D. 方程的解为， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知，，且，则的最小值为          ． 13.如图，已知正方形，其中，函数交于点，函数交于点，当最小时，则的值为          ． 14.函数是定义在上的奇函数，且关于的不等式有解，则实数的取值范围为          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题3分 已知全集，集合，集合，集合． 求， 若，求实数的取值范围． （3）在做这类题目的时候，你觉得要注意哪些细节？写出两点可能扣分的细节即可。 16.本小题5分 设函数． 若不等式的解集为，求的值 若，，且都有，求的最大值： 17.本小题分 已知是定义在上的奇函数，其中，，且． 求，的值； 判断在上的单调性，并用单调性的定义证明； 设，若对任意的，总存在，使得成立，求的取值范围． 18.本小题分 已知函数，其中，，，函数图象上相邻的两个对称中心之间的距离为，且在处取到最小值． 求函数的解析式； 若将函数图象上所有点的横坐标先伸长到原来的倍纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，求函数的单调递增区间； 若关于的方程在上有两个不同的实根，求实数的取值范围． 本小题7分 已知函数与的图象关于直线对称． 若是奇函数，求实数的值 若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围 已知实数，满足，，求的值． 高一上期末考试数学参考答案 1.【答案】  【解析】解：集合 ，， 又因为， ， ． 故选：． 2.【答案】  【解析】解：已知，若，当，，时，，无意义，故充分性不成立； 若，则， 因为，所以，当，，时，满足要求，但此时，故必要性不成立； 所以“”是“”的既不充分也不必要条件． 故选：． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了一元二次不等式的解法，属于中档题  根据已知不等式的解集，利用韦达定理得到，与的关系，代入所求不等式，利用一元二次不等式的解法求出解集即可． 【解答】 解：由不等式的解集为， 得到，且方程的两个根分别为和， 由韦达定理得：，，则，， 则可化为， 化简得：，即， 解得：， 即不等式的解集为． 故选A 4.【答案】  【解析】【分析】 本题考查利用基本不等式求最值的方法、基本不等式的适用条件，属于中档题． 先表示出，再化解，利用基本不等式可求最小值． 【解答】 解：， ， ， ， ， ， 当且仅当即时等号成立， 的最小值为． 故选：． 5.【答案】  【解析】当时，原不等式化为，显然恒成立； 当时，不等式对一切恒成立，则有且，即解得综上可得，． 6.【答案】  【解析】略 7.【答案】  【解析】【分析】 本题考查函数零点、方程的根的个数，属于中档题． 根据题意画出函数的大致图象，将方程根的问题转化为函数图象交点问题，结合图象，即可得到结果． 【解答】 解：设，则，即， 故， 因为，故，画出的大致图象， 由图象可知和与分别有个公共点， 故原方程共有个根． 故选：． 8.【答案】  【解析】如图，连接，取的中点为，连接，由题意可得，，，设，在中，，  又，  所以由可得，即  9.【答案】  【解析】解：因为，且满足， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为，说法错误； 因为， 可得，当且仅当时等号成立， 所以有最小值为，说法正确； 由可得， 当且仅当，即，时等号成立， 所以有最小值为，说法正确； 设，则， 当取最大值时，即最大， 将代入得， 因为，所以，， 所以，， 所以的最大值取不到，说法错误； 故选： 10.【答案】  【解析】已知函数，且，则，对于，，函数恒过定点，故A错误； 对于，，则，所以，函数的值域为，故B正确； 对于，当时，则单调递减，又，所以，所以，显然此时在上单调递减；当时，则单调递增，又，所以，所以，显然此时在上单调递减，故C错误； 对于，的图象由的图象向下平移个单位长度，再将轴下方的图象翻折到轴上方得到，分和两种情况，分别作图，如图所示， 当时，，显然不符合题意；当时，此时，即故D正确． 11.【答案】  【解析】【分析】 本题考查正切型函数的单调性，正切型函数的周期性，由部分图象求三角函数解析式，余弦型、正切型函数的零点，利用同角三角函数基本关系化简，属于较难题． 根据条件求出的解析式，再利用正切函数的图象与性质依次分析判断各选项． 【解答】 解：由图可知，函数的最小正周期为，故A正确 由，所以， 因为， 则， 则， 因为，则， 所以，故B正确； 因为， 由，得， 而，即时， 没有意义，故C错误； 对于选项，， 则， 由，得， 所以， 即， 所以或， 因为，， 所以或， 解得或，故D正确． 故选：． 12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查基本不等式的应用，考查计算能力，属于中档题． 化简所求表达式，利用基本不等式转化求解即可． 【解答】 解：，，且， 可得：， 则 ， 当且仅当，即时取等号． 的最小值为：． 故答案为：． 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查幂函数的图象，以及平均值不等式的应用． 由已知可得，坐标，进而可得，由平均值不等式可得答案． 【解答】 解：由题意得：点坐标为，点坐标为， ， 当且仅当时，取最小值， 故答案为：． 14.【答案】  【解析】【分析】 本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，以及不等式有解问题解法，考查转化思想和运算能力，属于中档题． 根据函数奇偶性的定义和对数的运算性质，结合恒成立思想，可得的值；由不等式有解，结合函数的奇偶性和单调性可得，换元由对勾函数的性质得值域，求出的范围． 【解答】 解：若函数是定义在实数集上的奇函数， 可得， 即，即， 由，可得； 所以， 任取，，设，则， ，， ，则， 所以， 则函数为上的增函数， 又函数为上的奇函数， 所以不等式有解，转化为，即有解， 所以有解，即， 令，因，则，即， 则，当且仅当时取等号， 由双勾函数的单调性知：，函数单调递减，，函数单调递增， 当时，，当时，， 所以， 所以， 故实数的取值范围为 故答案为： 15. 【答案】解：根据题意，集合， 集合或 或， 因为，所以， 若，则， 若，则时，可得， 实数的取值范围为或．  （3）示例：注意分母不为0；注意空集 【解析】本题考查了集合关系中的参数取值问题、交集及其运算和交、并、补集的混合运算，是基础题． 先解不等式得出集合、，再由集合的运算可得结果； 因为，所以，分和两种情况求解即可． （3）按照常见错误归纳即可， 16.【答案】解：依题意有，且． ，，，． 由知关于对称，即，． ． 当且仅当时等号成立． 的最大值为．  【解析】本题考查了二次函数与不等式的关系，基本不等式求最值，属于基础题． 17.【答案】解：因为是定义在上的奇函数，所以，解得， 又因为，所以，解得． 在上单调递减． 证明如下： 设，则， 因为，所以，，， 所以在上单调递减． 由可知在上单调递减， 所以，， 记在区间内的值域为 当时，在上单调递减，则，， 得在区间内的值域为． 因为，所以对任意的，总存在，使得成立 当时，，在上单调递减，则，，得在区间内的值域为． 因为，所以对任意的，总存在，使得成立． 当时，，在上单调递减，在上单调递增， 则，， 得在区间内的值域为，所以无解． 当时，，在上单调递减，在上单调递增， 则，， 得在区间内的值域为不符合题意． 当时，， 易得在上单调递减，，， 故在上的值域为，且，故A，显然成立． 综上，的取值范围为．  【解析】本题考查函数奇偶性，单调性证明，含参二次函数单调性，属于拔高题． 根据函数的奇偶性结合的值求解，的值即可 利用单调性的定义证明即可 根据不等式恒成立的条件结合含参二次函数单调性求解即可． 18，【答案】解  由题知函数的最小正周期为，解得，所以，又函数在处取到最小值，所以，且，即，，令可得，所以． 函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变，得，再向左平移个单位长度可得，令，，解得，，所以的单调递增区间为． 函数，的图象如图所示， 因为方程在上有两个不同的实根，所以由图可知或，解得或所以的取值范围为．   19.【答案】解：因为函数与的图象关于直线对称，所以 由题意得． 因为是奇函数， 所以， 整理得， 所以，解得， 经检验，为奇函数，则． 对任意的，不等式恒成立， 即恒成立， 即对恒成立， 即对恒成立． 令，， 所以， 令，， 由对勾函数的图象与性质可得，在上单调递减，在上单调递增， 又，， 所以在上的最大值为， 所以，故实数的取值范围是 因为实数，满足，， 所以，，则， 所以，，即，，． 令，，设，则，，， 所以，即， 所以在上单调递增． 因为方程等价于， 所以，即， 所以．  【解析】本题考查函数的对称性、奇偶性、单调性和恒成立问题，属于较难题． 求出，得，利用奇函数的定义即可求解 分离参数得对恒成立，换元，构造函数，利用对勾函数的性质即可求解 求出，，，令，，利用单调性即可得，即可求的值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $