8.9 圆锥曲线中的最值、范围问题 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“圆锥曲线中的最值、范围问题”专题，依据高考评价体系梳理了最值求解、范围确定两大核心考点，结合2023年全国甲卷理20题等真题案例，明确了联立方程、韦达定理应用等高频考查方向，归纳了几何法、代数法等常考题型的解题路径。 课件亮点在于“真题解析+方法提炼+素养培养”的备考设计，如例1通过代数法联立抛物线与直线方程，运用韦达定理推导三角形面积最小值，培养学生的运算能力与推理意识。规律方法总结帮助学生构建解题思维框架，对点训练题强化实战应用，助力学生掌握得分技巧，为教师提供系统的复习教学指导。

第9节　圆锥曲线中的最值、范围问题 高考总复习 2027 研考点•精准突破 考点一　最值问题 例1　(2023·全国甲,理20)已知直线x-2y+1=0与抛物线C:y2=2px(p>0)交于A,B两点,且|AB|=4. (1)求p; (2)设F为C的焦点,M,N为C上两点,=0,求△MNF面积的最小值. 考点一 考点二 解 (1)联立整理得y2-4py+2p=0,则Δ=16p2-8p>0, 又p>0,∴p>. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4p,y1y2=2p. |AB|=|y1-y2|==4, 解得p=-(舍)或p=2.∴p=2. 考点一 考点二 (2)由(1)知抛物线C的方程为y2=4x,F(1,0).设M(x3,y3),N(x4,y4),lMN:x=my+n,由得y2-4my-4n=0,则Δ1=16m2+16n>0,y3+y4=4m,y3y4=-4n. =(x3-1)(x4-1)+y3y4=(my3+n-1)(my4+n-1)+y3y4=(m2+1)y3y4+ m(n-1)(y3+y4)+(n-1)2=-4m2n-4n+4m2n-4m2+n2-2n+1=0,∴4m2=n2-6n+1≥0, 又Δ1=16m2+16n=4(n-1)2>0,∴n≠1,∴n≥3+2,或n≤3-2. ∴S△MNF=|FM|·|FN|=(x3+1)(x4+1)=(my3+n+1)(my4+n+1)=[m2(-4n) +(mn+m)·4m+(n+1)2]=n2-2n+1=(n-1)2,∴当n=3-2时,S△MNF=12-8为最小值. ∴△MNF面积的最小值为12-8. 考点一 考点二 教考链接 (人教A版选择性必修第一册复习参考题3第10题) 如图,已知直线与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点,且OA⊥OB,OD⊥AB交AB于点D,点D的坐标为(2,1),求p的值. 考点一 考点二 解 设点A的坐标为(x1,y1),点B的坐标为(x2,y2). 由OA⊥OB,得x1x2+y1y2=0. 由已知,得直线AB的方程为y=-2x+5. 则有(5-y1)×(5-y2)+y1y2=0,即y1y2-(y1+y2)+5=0.① 由y=-2x+5与y2=2px消去x,得y2+py-5p=0.② 则y1+y2=-p,y1y2=-5p.③ 把③代入①,解得p=. 当p=时,方程②成为4y2+5y-25=0. 显然此方程有实数根.所以p=. 考点一 考点二 规律方法　圆锥曲线中最值问题的解决方法 (1)几何法:用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值. (2)代数法:常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题,然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值. 考点一 考点二 [对点训练1](2025·福建泉州模拟)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,且过点(-). (1)求椭圆C的方程; (2)斜率为的直线l不过椭圆中心和顶点,与椭圆C交于A,B两点,且与x轴交于点M,点A关于y轴的对称点为D,直线BD与y轴交于点N,求△OMN周长的最小值. 考点一 考点二 解 (1)由题意得e=,又点(-)在椭圆C上,所以=1,所以a2=4,b2=1,c2=3,则椭圆C的方程为+y2=1. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为y=x+m,则D(-x1,y1),M(-2m,0). 由得x2+2mx+2m2-2=0, 且Δ=4m2-4(2m2-2)>0, 所以x1+x2=-2m,x1x2=2m2-2,0<m2<2,m≠±1. 考点一 考点二 则直线BD的方程为y=(x+x1)+y1,令x=0, 得y=-x1+y1== =,即N(0,). 则|OM|=|2m|,|ON|=,|MN|=,则△OMN的周长为 |2m|+≥2=2+2,当且仅当|2m|=,即m=±时,等号成立,则△OMN周长的最小值为2+2. 考点一 考点二 考点二　范围问题 例2　(2026·河北秦皇岛昌黎第一中学检测)已知双曲线E:=1 (a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2作斜率为的直线l,直线l与双曲线E交于点P,且△PF1F2的内切圆半径恰为,|F1F2|=4. (1)求双曲线E的方程. (2)若直线l1:y=kx+m交双曲线E的右支于G,H两点,线段GH的中垂线过点K(0,4). ①证明:m=3-k2; ②求∠GKH的取值范围. 考点一 考点二 (1)解 由题意,F1(-c,0),F2(c,0),直线l的方程为y=(x-c),即bx-ay-bc=0. 设△PF1F2的内切圆O'与△PF1F2三边相切的切点分别为A(x0,0),B,C,如图所示, 则|PF1|-|PF2|=|PC|+|CF1|-(|PB|+|BF2|)=|AF1|-|AF2| =(x0+c)-(c-x0)=2x0=2a, 即x0=a,而AO'⊥x轴,圆O'半径为,则O'(a,-). 点O'到直线l的距离为, 整理得|4a-3c|=c,且c>a,解得c=2a. 又因为|F1F2|=2c=4,可得a=1,c=2,b2=c2-a2=3, 所以双曲线E的方程为x2-=1. 考点一 考点二 (2)①证明 设G(x1,y1),H(x2,y2), 联立则(3-k2)x2-2kmx-m2-3=0, 所以3-k2≠0,且Δ=4k2m2+4(3-k2)(m2+3)>0,即m2+3>k2, 且x1+x2=,x1x2=-, 则y1+y2=kx1+m+kx2+m=k(x1+x2)+2m=, 则GH的中点为D(),即D(). 因为线段GH的中垂线过点K(0,4),所以·k=-1,整理得m=3-k2. 考点一 考点二 ②解 由①知,m=3-k2,则x1+x2=2k,x1x2=-,D(k,3), 则k>0,m<0,则m2+3>k2=3-m,解得m<-1. 又|GH|= = ==2, 所以|GD|=|GH|=. 又|KD|=,所以tan∠GKD=∈(0,),即∠GKD∈(0,), 又∠GKH=2∠GKD,所以∠GKH的取值范围为(0,). 考点一 考点二 规律方法　求圆锥曲线范围问题的常用方法 (1)函数法:利用求函数值域的方法,将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围. (2)不等式法:通过构造不等式求参数取值范围.常见的构造方法有:①利用圆锥曲线的几何性质或联立方程后的判别式构造不等关系;②利用已知的不等关系构造不等式;③利用隐含的不等关系建立不等式. 考点一 考点二 [对点训练2](2025·上海,20)已知椭圆=1(a>),其右顶点为A,点M(0,m)且m>0,点P在该椭圆上. (1)若该椭圆右焦点坐标为(2,0),求其离心率e; (2)若a=4,=2,求m的值; (3)若MA的垂直平分线斜率为2,且交椭圆于C,D两点,∠CMD为钝角,求a的取值范围. 考点一 考点二 解 (1)由题意知b2=5,c=2,则a==3,故该椭圆的离心率e=. (2)由题意知点A坐标为(4,0),点M坐标为(0,m),设点P坐标为(x0,y0),则=(x0,y0-m),=(4-x0,-y0). ∵2,∴解得 ∴点P的坐标为(). ∵点P在椭圆上,∴=1⇔m2=10, 又m>0,∴m=. 考点一 考点二 (3)由题意知kAM==-⇒m=,∴AM中点坐标为(), ∴MA的垂直平分线的方程为y-=2(x-),即y=2x-a. 设点C坐标为(x1,y1),点D坐标为(x2,y2),则=(x1,y1-),=(x2,y2-),由得(4a2+5)x2-3a3x+a4-5a2=0, 考点一 考点二 ∴x1+x2=,x1x2=,Δ=(-3a3)2-4(4a2+5)(a4-5a2) =a4+25a2>0. ∵∠CMD为钝角, ∴<0,即x1x2+(y1-)(y2-)<0, 即x1x2+(2x1-a-)(2x2-a-)<0⇔5x1x2-(x1+x2)+a2<0, ∴5·a2<0,解得a2<11,又a>,∴<a<. 故所求a的取值范围是(). 考点一 考点二 $