8.2 两条直线的位置关系 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“两条直线的位置关系”专题，依据课标要求覆盖平行垂直判定、交点坐标求解、距离公式及对称问题等核心考点，通过教材改编题与模拟题分析，明确平行垂直参数求解、距离计算、对称变换为高频考查题型，构建系统知识网络。 课件亮点在于“考点突破+规律总结+素养提升”，如通过例2用三种方法求过交点且垂直直线方程，培养数学思维与运算能力，结合“前思后想”策略规避易错点。真题变式训练强化应用意识，助力学生掌握解题技巧，教师可据此精准教学，提升复习效率。

第2节　两条直线的位置关系 高考总复习 2027 课标解读　1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.3.掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离. 强基础•固本增分 研考点•精准突破 目录索引 强基础•固本增分 自主诊断 1.(人教A版选择性必修第一册2.3.4节练习第1题改编)已知两条平行直线l1:2x+y-1=0,l2:2x+y+1=0,则l1与l2之间的距离是　　　　　.  解析 利用两平行线间的距离公式得l1与l2之间的距离d=. 2.(人教A版选择性必修第一册习题2.2第8(3)题)经过点B(3,0),且与直线2x+y-5=0垂直的直线方程是　　　　　　　　　.  x-2y-3=0 解析 直线2x+y-5=0的斜率为-2,所求直线与之垂直,所以其斜率为.由直线方程的点斜式,得y-0=(x-3),化简得x-2y-3=0. 3.(人教B版选择性必修第一册2.2.3节例1(2)改编)已知两条直线l1: x-2y+1=0,l2:x+2y+5=0,则两直线的交点坐标是　 .  (-3,-1) 解析 解方程组可得所以交点坐标为(-3,-1). 知识梳理 1.两条直线的位置关系 两条直线的方程 位置关系的判定 l1:y=k1x+b1 l2:y=k2x+b2   l1与l2重合⇔k1=k2且b1=b2 l1∥l2⇔k1=k2,且b1≠b2  两直线平行时,它们的斜率可能都不存在 l1与l2相交⇔k1≠k2 l1⊥l2⇔　　　　   当一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时,l1⊥l2 k1k2=-1　 两条直线的方程 位置关系的判定 l1:A1x+B1y+C1=0(≠0) l2:A2x+B2y+C2=0(≠0) 若A1,A2,B1,B2,C1,C2均不为0,则l1与l2重合⇔ l1∥l2⇔　　　　 　,且B1C2-B2C1≠0(或A1C2-A2C1≠0)  l1与l2相交⇔A1B2-A2B1≠0 l1⊥l2⇔　　 　　  A1B2-A2B1=0　 A1A2+B1B2=0 2.两条直线的交点 直线l1和l2的交点坐标即为两直线方程组成的方程组的解. 相交⇔方程组有　　　　　;  平行⇔方程组　　　　;  重合⇔方程组有　　　　.  微点拨 虽然利用方程组解的情况可以判断两直线的位置关系,但是由于运算量较大,一般较少使用. 唯一解 无解 无数个解 3.三种距离 点点距 P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离 |P1P2|= 点线距 点P0(x0,y0)到直线l: Ax+By+C=0的距离(A2+B2≠0) d=  应用点到直线的距离公式时,直线方程必须是一般式 线线距 两条平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0(A2+B2≠0)间的距离  可以转化为点到直线的距离 d=  应用两平行直线的距离公式时,直线方程必须是一般式,且x,y的对应系数分别对应相等 此公式与两点的先后顺序无关 研考点•精准突破 考点一　两条直线的平行与垂直 考向1　两条直线平行与垂直的判断及应用 例1　(1)已知直线l1:ax+3y-6=0,直线l2:2x+(a-1)y-4=0,则“l1∥l2”是“a=3或a=-2”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 A 解析 若直线l1:ax+3y-6=0和直线l2:2x+(a-1)y-4=0平行, 则解得a=-2,所以“l1∥l2”是“a=3或a=-2”的充分不必要条件.故选A. 考点一 考点二 考点三 (2)(2025·山西大同模拟)已知直线l1:ax+y+a=0与l2:(a-4)x-5y-4=0,则“a=5”是“l1⊥l2”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 A 解析 若l1⊥l2,则a(a-4)-5=0,解得a=5或a=-1,所以“a=5”是“l1⊥l2”的充分不必要条件.故选A. 考点一 考点二 考点三 规律方法　解决两直线平行与垂直求参数的问题要“前思后想” 考点一 考点二 考点三 [对点训练1](1)若直线l1:(m-2)x+3y+3=0与直线l2:2x+(m-1)y+2=0平行,则实数m=(　　) A.4 B.1 C.1或-4 D.-1或4 D 解析 依题意得,(m-2)(m-1)=2×3,得m2-3m-4=0,解得m=4或m=-1. 当m=4时,直线l1:2x+3y+3=0与直线l2:2x+3y+2=0平行,符合题意; 当m=-1时,直线l1:x-y-1=0与直线l2:x-y+1=0平行,符合题意. 综上,m=4或m=-1.故选D. 考点一 考点二 考点三 (2)“a=1”是“直线x+ay-1=0与ax-y+5=0垂直”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 A 解析 ∵对于任意a∈R,1·a+a·(-1)=0恒成立,∴直线x+ay-1=0与ax-y+5=0垂直恒成立,∴“a=1”是“直线x+ay-1=0与ax-y+5=0垂直”的充分不必要条件.故选A. 考点一 考点二 考点三 考向2　由两条直线位置关系求直线方程 例2　过两条直线2x+3y+1=0和x-3y+4=0的交点,且垂直于直线3x+4y-7=0的直线的方程为　　　　　　　　.  4x-3y+9=0 解析 (方法1)由解得故交点的坐标为(-).因为所求直线与直线3x+4y-7=0垂直,所以所求直线的斜率为,所以所求直线的方程为y-(x+),即4x-3y+9=0. 考点一 考点二 考点三 (方法2)由垂直关系可设所求直线方程为4x-3y+m=0.由可解得交点的坐标为(-),将点(-)代入4x-3y+m=0,得m=9.故所求直线的方程为4x-3y+9=0. (方法3)由题意可设所求直线的方程为(2x+3y+1)+λ(x-3y+4)=0,λ∈R,即(2+λ)x+(3-3λ)y+1+4λ=0.因为所求直线与直线3x+4y-7=0垂直,所以3(2+λ)+4(3-3λ)=0,解得λ=2,所以所求直线的方程为4x-3y+9=0. 考点一 考点二 考点三 [对点训练2]已知直线l1:3x+y+2=0与直线l2:x+2y-1=0的交点为M,经过点M且与直线2x+y+5=0平行的直线的方程是　　　　　　　　　.  2x+y+1=0 解析 由解得所以交点为M(-1,1).直线2x+y+5=0的斜率为-2,因为所求直线与直线2x+y+5=0平行,可得所求直线的斜率 k=-2,所以所求直线方程为y-1=-2(x+1),即2x+y+1=0. 考点一 考点二 考点三 考点二　距离问题 例3　(1)已知点(a,2)(a>0)到直线l:x-y+3=0的距离为1,则a等于(　　) A. B.2- C.-1 D.+1 C 解析 由题意得=1,解得a=-1+或a=-1-.∵a>0,∴a=-1+. 考点一 考点二 考点三 (2)直线3x-4y-4=0与直线6x-8y-3=0之间的距离为(　　) A. B. C. D.1 C 解析 直线3x-4y-4=0即6x-8y-8=0,显然与另一条直线平行, 则所求距离为. 考点一 考点二 考点三 (3)已知A,B两点的坐标分别为(1,0),(-1,2),若两平行直线l1,l2分别过点A,B,则l1,l2间的距离的最大值为(　　) A.1 B. C.2 D.2 D 解析 由题可知A(1,0),B(-1,2),如图,两平行直线l1,l2分别过点A,B. 因为l1∥l2,所以l1,l2间的距离即点A到直线l2的距离d,由图可知,d≤|AB|==2.故选D. 考点一 考点二 考点三 规律方法　距离问题的常见题型及解题策略 (1)求两点间的距离关键是确定两点的坐标,然后代入公式求解. (2)解决与点到直线的距离有关的问题应熟记点到直线的距离公式.若已知点到直线的距离求直线方程,一般考虑待定斜率法,此时必须讨论斜率是否存在. (3)求两条平行线间的距离要先将直线方程中x,y的对应项系数转化成对应相等的形式,再利用距离公式求解.也可以转化成点到直线的距离问题. 考点一 考点二 考点三 [对点训练3](1)平行直线l1:2x+y-5=0与l2:x-by+5=0之间的距离为(　　) A. B.2 C.3 D.5 C 解析 因为l1∥l2,所以b≠0,,解得b=-,所以l2:2x+y+10=0.故两平行直线间的距离d==3.故选C. 考点一 考点二 考点三 (2)若三条直线x+y-3=0,x-y+1=0,mx+ny-5=0相交于同一点,则点(m,n)到原点的距离的最小值为　　　　.  解析 联立解得因为三条直线x+y-3=0,x-y+1=0, mx+ny-5=0相交于同一点,所以m+2n=5.则点(m,n)到原点的距离的最小值为原点到直线x+2y=5的距离d=. 考点一 考点二 考点三 考点三　对称问题 考向1　中心对称问题 例4　(1)直线2x+3y-6=0关于点(-1,2)对称的直线方程是(　　) A.3x-2y-10=0 B.3x-2y-23=0 C.2x+3y-4=0 D.2x+3y-2=0 D 解析 设对称的直线上的一点的坐标为(x,y),则其关于点(-1,2)对称的点的坐标为(-2-x,4-y).因为点(-2-x,4-y)在直线2x+3y-6=0上, 所以2(-2-x)+3(4-y)-6=0,即2x+3y-2=0. 考点一 考点二 考点三 (2)过点P(0,1)作直线l,使它被直线l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的线段恰好被点P平分,则直线l的方程为　 .  x+4y-4=0 解析 设l1与l的交点为A(a,8-2a),则由题意知,点A关于点P的对称点 B(-a,2a-6)在l2上,代入l2的方程得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4,即点A(4,0)在直线l上,所以直线l的方程为+y=1,即x+4y-4=0. 考点一 考点二 考点三 规律方法　两类中心对称问题 (1)点关于点对称:点P(x,y)关于M(a,b)的对称点P'(x',y')满足 (2)直线关于点对称的两种求解方法 考点一 考点二 考点三 考向2　轴对称问题 例5　已知直线l:x-y-1=0,l1:x-y+3=0,l2:2x-y-1=0. (1)求直线l1关于直线l的对称直线l1'的方程; (2)求直线l2关于直线l的对称直线l2'的方程. 考点一 考点二 考点三 解 (1)因为l1∥l,所以l1'∥l. 设直线l1'的方程为x-y+c=0(c≠3,且c≠-1). (方法1)由题意l1,l1'到l距离相等,则,得c=3(舍去)或c=-5. 故直线l1'的方程为x-y-5=0. (方法2)在直线l1上取点M(0,3),设点M关于直线l的对称点为M'(a,b), 则解得即点M'的坐标为(4,-1). 把点M'的坐标代入直线l1'的方程,得4-(-1)+c=0,解得c=-5, 所以直线l1'的方程为x-y-5=0. 考点一 考点二 考点三 (2)由所以l2与l的交点坐标为A(0,-1).另取l2上不同于点A的一点B(1,1),设点B(1,1)关于l的对称点为B'(m,n),则即点B'的坐标为(2,0). 所以过点A(0,-1)与B'(2,0)的直线l2'的方程为y=×(x-2),即x-2y-2=0. 考点一 考点二 考点三 规律方法　1.点关于直线对称的点的坐标的求法 若两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)关于直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0)对称,则由方程组可得到点P1关于l对称的点P2的坐标. 2.直线关于直线对称的两种求解方法 考点一 考点二 考点三 $