8.2 两条直线的位置关系【题型突破】讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦两条直线位置关系核心考点，涵盖平行垂直判定、距离公式、对称问题等高考高频内容，按“基础判定—距离计算—对称综合”逻辑架构知识体系。通过双基自测明考向，核心梳理建框架，题型突破练方法，限时训练强实战，系统助力学生突破重点难点。 资料以分层递进训练为特色，基础题巩固双基，综合题提升能力，结合易误点提示培养数学思维。如对称问题中，通过点关于直线对称、光线反射路径分析，发展学生几何直观与空间观念，高效提升解题技能，为教师把控复习节奏提供精准教学支持。

第八章 直线和圆、圆锥曲线 §8.2　两条直线的位置关系 【高考考向预测】 两条直线位置关系分为平行、垂直、相交、重合，可通过斜率、截距或直线方程系数判定，常考查夹角、距离、直线方程求解、对称等问题；近三年多为选填基础小题，考频稳定；预测2027 年依旧侧重位置关系判定、距离与对称计算，常结合圆、圆锥曲线综合出题，注重公式活用与数形结合。 【双基自测●明考向】 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1=k2⇒l1∥l2.(　 　) (2)若两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于-1.(　 　) (3)直线外一点与直线上点的距离的最小值就是点到直线的距离.(　 　) (4)若点A，B关于直线l：y=kx+b(k≠0)对称，则直线AB的斜率等于-，且线段AB的中点在直线l上.(　 　) 2.已知直线l1：2x-y+1=0与l2：x+ky-3=0垂直，则实数k的值为(　　) A.2 B.-2 C. D.- 3.(多选)已知两条平行直线l1：x-y+6=0与l2：x-y+C=0之间的距离为4，则C的值为(　　) A.14 B.-2 C.-14 D.2 4.已知直线2x+3y+1=0和x-3y+4=0相交，则这两条直线的交点坐标为　　　　　　　　　，过交点并且垂直于直线3x+4y-7=0的直线方程为　　　　　　　　　　. 【核心梳理●明考点】 1.两条直线的位置关系 直线l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，l3：A1x+B1y+C1=0，l4：A2x+B2y+C2=0(其中l1与l3是同一条直线，l2与l4是同一条直线)的位置关系如下表： 位置关系 l1，l2满足的条件 l3，l4满足的条件 平行 k1=k2且b1≠b2 A1B2-A2B1=0，且A1C2-A2C1≠0(或B1C2-B2C1≠0) 垂直 k1·k2=-1 A1A2+B1B2=0 相交 k1≠k2 A1B2-A2B1≠0 2.三种距离公式 (1)两点间的距离公式 ①条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2). ②结论：|P1P2|=. ③特例：点P(x，y)到原点O(0，0)的距离|OP|=. (2)点到直线的距离 点P(x0，y0)到直线l：Ax+By+C=0的距离d=. (3)两条平行直线间的距离 两条平行直线l1：Ax+By+C1=0与l2：Ax+By+C2=0间的距离d=. 1.三种常见的直线系 (1)与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程为Ax+By+C1=0(C≠C1)； (2)与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程为Bx-Ay+C1=0； (3)过直线A1x+B1y+C1=0与直线A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(不包括直线A2x+B2y+C2=0). 2.谨防四个易误点 (1)两条直线平行时，不要忘记它们的斜率有可能不存在的情况. (2)两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况. (3)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式. (4)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等. 【题型突破●明方向】 题型一　两条直线的平行与垂直 例1　(1)(2026·商丘模拟)已知直线l1：(2a+1)x+ay+1=0，l2：(a+2)x+ay+2=0，则“a=1”是“l1∥l2”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)已知直线l1：ax-(a-1)y+6=0，直线l2：x+2y+4=0，若l1⊥l2，则a=　　　. 跟踪训练1　(多选)已知直线l1：x+ay-a=0和直线l2：ax-(2a-3)y-1=0，下列说法正确的是(　　) A.当a=-1时，l1的一个方向向量为(1，1) B.若l1∥l2，则a=1 C.若l1⊥l2，则a=0或a=2 D.当a>0时，l1始终不经过第三象限 题型二　两直线的交点与距离问题 例2　(1)已知直线l1：y=x和l2：x-2y+1=0的交点为P，则点P到直线y=kx+1的距离的取值范围是(　　) A.(0，1) B.(0，1] C.[0，1) D.∪ (2)直线4x+3y-5=0与8x+6y+a=0(a<0)之间的距离为2，则实数a等于(　　) A.-20 B.-30 C.-20 D.-30 跟踪训练2　(1)若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：5x-12y+2=0与l2：5x-12y+8=0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为(　　) A. B. C. D. (2)(链接教材，人教A版选择性必修第一册P80习题2.3T16)已知两条平行直线l1：(λ+2)x-(2λ-1)y+6λ-8=0，l2：(λ+2)x-(2λ-1)y-4λ-13=0，当l1，l2之间的距离最大时，λ等于(　　) A.- B.- C.2 D. 题型三　对称问题 例3　(1)(多选)以下四个命题为真命题的是(　　) A.直线l：mx-y+3m+1=0过定点(-3，1) B.点(5，0)关于直线y=2x的对称点的坐标为(3，-4) C.直线x+2y-3=0关于A(1，0)对称的直线方程为x+2y+1=0 D.直线l：x+y+2=0关于直线x+2y-3=0对称的直线方程为x+7y-28=0 (2)如图所示，已知点A(2，0)，B(0，2)，从点P(1，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是(　　) A.3 B. C.3 D.2 跟踪训练3　已知直线l：2x-3y+1=0，点A(-1，-2).求： (1)点A关于直线l的对称点A'的坐标； (2)直线m：3x-2y-6=0关于直线l对称的直线m'的方程； (3)直线l关于点A的对称直线l'的方程. 【限时训练】 （40分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共40分) 1.若直线x-2ay+1=0与直线(a-1)x+ay-1=0平行，则a等于(　　) A.0 B.或0 C. D.1 2.已知直线l1：ax+y+a=0与l2：(a-4)x-5y-4=0，则“a=5”是“l1⊥l2”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.若点A(3，4)，B(5，3)到直线l：2x+ay+1=0的距离相等，则a等于(　　) A.4 B.-4 C.4或- D.-4或 4.已知直线l：ax+(2a-1)y+a-3=0，当a变化时，直线l总是经过定点，则定点坐标为(　　) A.(5，3) B.(5，-3) C.(-5，3) D.(-3，5) 5.设a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边，则直线sin A·x+ay+c=0与bx-sin B·y+sin C=0的位置关系是(　　) A.平行 B.重合 C.垂直 D.无法确定 6.已知A(4，5)，直线l：y=kx+m，当k变化时，点A到直线l的距离的最大值为5，则m等于(　　) A.3或7 B.3或8 C.2或7 D.2或8 7.在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(2，0)，(4，0)，点C的坐标为(m，m)(m>0)，则|CA|+|CB|的最小值是(　　) A.6 B.3 C.2 D.5 8.已知实数a，b，c，d满足==，则(a-c)2+(b-d)2的最小值为(　　) A. B. C. D. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 9.已知直线l1：ax+y-3a=0，直线l2：2x+(a-1)y-6=0，则下列选项正确的是(　　) A.当a=3时，l1与l2的交点是(3，0) B.直线l1与l2都恒过点(3，0) C.若l1⊥l2，则a= D.存在a∈R，使得l1∥l2 10.已知直线l：kx-y-3k-2=0，则下列选项正确的是(　　) A.直线l恒过点(3，-2) B.若直线l与直线m：x+y-2=0垂直，则k=-1 C.坐标原点O到直线l的距离的最大值为 D.直线l与x轴正半轴和y轴负半轴围成的三角形面积的最小值为12 11.(2025·眉山模拟)已知直线l：2x-y+3=0，点R(0，2)，P(1，1)，Q(1-m，m)，m∈R，下列说法正确的是(　　) A.点P到直线l的距离为 B.若点P与点Q位于直线l的两侧，则m> C.点P与点Q之间距离的最小值为 D.|QR|+|QP|的最小值为2 三、填空题(每小题5分，共15分) 12.若直线l1：mx+2y+3-m=0与直线l2：2x+my+1=0平行，则l1与l2之间的距离为　　　　　. 13.一条光线从点P(0，1)射出，与x轴相交于点Q(2，0)，经x轴反射，则反射光线所在直线的方程为　　　　　　　. 14.过定点A的直线(a+1)x-y+2=0与过定点B的直线x+(a+1)y-5a-2=0交于点P(P与A，B不重合)，则△PAB面积的最大值为　　　　　. [15题5分，16题6分，共11分] 15.设m∈R，过定点A的动直线x-2my=0和过定点B的动直线2mx+y-6m-4=0交于点P，点P不与A，B重合，则+的最小值是(　　) A.9 B. C. D. 16.(多选)已知点M(-1，1)，N(2，1)，且点P在直线l：x+y+2=0上，则下列选项正确的是(　　) A.存在点P，使得PM⊥PN B.存在点P，使得2|PM|=|PN| C.|PM|+|PN|的最小值为 D.若P(a，b)，则a2+b2的最小值为1 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 直线和圆、圆锥曲线 §8.2　两条直线的位置关系 【高考考向预测】 两条直线位置关系分为平行、垂直、相交、重合，可通过斜率、截距或直线方程系数判定，常考查夹角、距离、直线方程求解、对称等问题；近三年多为选填基础小题，考频稳定；预测2027 年依旧侧重位置关系判定、距离与对称计算，常结合圆、圆锥曲线综合出题，注重公式活用与数形结合。 【双基自测●明考向】 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1=k2⇒l1∥l2.(　 　) (2)若两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于-1.(　 　) (3)直线外一点与直线上点的距离的最小值就是点到直线的距离.(　 　) (4)若点A，B关于直线l：y=kx+b(k≠0)对称，则直线AB的斜率等于-，且线段AB的中点在直线l上.(　 　) 【答案】（1）×（2）×（3）√（4）√ 2.已知直线l1：2x-y+1=0与l2：x+ky-3=0垂直，则实数k的值为(　　) A.2 B.-2 C. D.- 【答案】A 【解析】方法一　当k=0时，得l2：x=3，此时l1与l2不垂直； 当k≠0时，若l1⊥l2，则2×=-1，解得k=2. 方法二　由l1⊥l2得2×1-1×k=0，解得k=2. 3.(多选)已知两条平行直线l1：x-y+6=0与l2：x-y+C=0之间的距离为4，则C的值为(　　) A.14 B.-2 C.-14 D.2 【答案】AB 【解析】根据两平行直线间的距离公式可得=4，解得C=14或C=-2，故C，D错误，A，B正确. 4.已知直线2x+3y+1=0和x-3y+4=0相交，则这两条直线的交点坐标为　　　　　　　　　，过交点并且垂直于直线3x+4y-7=0的直线方程为　　　　　　　　　　. 【答案】　4x-3y+9=0 【解析】由方程组 解得即交点坐标为， 因为所求直线与直线3x+4y-7=0垂直， 所以所求直线的斜率为k=. 由点斜式得所求直线方程为y-=， 即4x-3y+9=0. 【核心梳理●明考点】 1.两条直线的位置关系 直线l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，l3：A1x+B1y+C1=0，l4：A2x+B2y+C2=0(其中l1与l3是同一条直线，l2与l4是同一条直线)的位置关系如下表： 位置关系 l1，l2满足的条件 l3，l4满足的条件 平行 k1=k2且b1≠b2 A1B2-A2B1=0，且A1C2-A2C1≠0(或B1C2-B2C1≠0) 垂直 k1·k2=-1 A1A2+B1B2=0 相交 k1≠k2 A1B2-A2B1≠0 2.三种距离公式 (1)两点间的距离公式 ①条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2). ②结论：|P1P2|=. ③特例：点P(x，y)到原点O(0，0)的距离|OP|=. (2)点到直线的距离 点P(x0，y0)到直线l：Ax+By+C=0的距离d=. (3)两条平行直线间的距离 两条平行直线l1：Ax+By+C1=0与l2：Ax+By+C2=0间的距离d=. 1.三种常见的直线系 (1)与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程为Ax+By+C1=0(C≠C1)； (2)与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程为Bx-Ay+C1=0； (3)过直线A1x+B1y+C1=0与直线A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(不包括直线A2x+B2y+C2=0). 2.谨防四个易误点 (1)两条直线平行时，不要忘记它们的斜率有可能不存在的情况. (2)两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况. (3)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式. (4)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等. 【题型突破●明方向】 题型一　两条直线的平行与垂直 例1　(1)(2026·商丘模拟)已知直线l1：(2a+1)x+ay+1=0，l2：(a+2)x+ay+2=0，则“a=1”是“l1∥l2”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】若直线l1，l2平行，则(2a+1)a=(a+2)a，所以a=0或a=1. 将a=1代入直线l1，l2的方程，得l1：3x+y+1=0，l2：3x+y+2=0，易知l1∥l2； 将a=0代入直线l1，l2的方程，得l1：x+1=0，l2：2x+2=0，即x+1=0，直线l1，l2重合，故a=0舍去. 综上所述，“a=1”是“l1∥l2”的充要条件. (2)已知直线l1：ax-(a-1)y+6=0，直线l2：x+2y+4=0，若l1⊥l2，则a=　　　. 【答案】2 【解析】由于直线l2的斜率存在且不为零，且l1⊥l2， 故直线l1的斜率也存在且不为零，直线l1：y=x+(a≠1且a≠0)， ∴k1=，直线l2：y=-x-2，∴k2=-， ∴k1k2=-1，即×=-1， 解得a=2. 【思维升华】判断两条直线位置关系的注意点 (1)斜率不存在的特殊情况. (2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论. 跟踪训练1　(多选)已知直线l1：x+ay-a=0和直线l2：ax-(2a-3)y-1=0，下列说法正确的是(　　) A.当a=-1时，l1的一个方向向量为(1，1) B.若l1∥l2，则a=1 C.若l1⊥l2，则a=0或a=2 D.当a>0时，l1始终不经过第三象限 【答案】ACD 【解析】当a=-1时，直线l1：x-y+1=0，其斜率为k=1， 所以l1的一个方向向量为(1，1)，故A正确； 当a=1时，l1：x+y-1=0，l2：x+y-1=0，l1，l2重合，故B错误； 由l1⊥l2得1×a+a×(3-2a)=0，得a=0或a=2，故C正确； 当a>0时，l1：y=-x+1始终过点(0，1)，斜率为负，不会经过第三象限，故D正确. 题型二　两直线的交点与距离问题 例2　(1)已知直线l1：y=x和l2：x-2y+1=0的交点为P，则点P到直线y=kx+1的距离的取值范围是(　　) A.(0，1) B.(0，1] C.[0，1) D.∪ 【答案】C 【解析】联立解得 即点P的坐标为(1，1)， 点P(1，1)到直线l：kx-y+1=0的距离d==， 当k=0时，d=0， 当k≠0时，d==， 因为+1>1，所以0<d<1. 综上，0≤d<1，即点P到直线y=kx+1的距离的取值范围是[0，1). (2)直线4x+3y-5=0与8x+6y+a=0(a<0)之间的距离为2，则实数a等于(　　) A.-20 B.-30 C.-20 D.-30 【答案】B 【解析】直线8x+6y+a=0(a<0)的方程可化为4x+3y+=0， 可知直线4x+3y-5=0与8x+6y+a=0(a<0)平行，≠-5， ∴两条直线之间的距离d==2，解得a=10或a=-30， 又a<0，∴a=-30. 【思维升华】利用距离公式应注意的点 (1)点P(x0，y0)到直线x=a的距离d=|x0-a|，到直线y=b的距离d=|y0-b|. (2)使用两条平行线间的距离公式前要把两条直线方程化为一般式且x，y的系数对应相等. 跟踪训练2　(1)若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：5x-12y+2=0与l2：5x-12y+8=0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设AB的中点M的坐标为(x，y)，则有 又A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：5x-12y+2=0与l2：5x-12y+8=0上， ∴联立 两式相加得5(x1+x2)-12(y1+y2)+10=0， ∴10x-24y+10=0，即5x-12y+5=0， 即AB的中点M在直线5x-12y+5=0上移动， ∴M到原点距离的最小值即原点到直线5x-12y+5=0的距离d==. (2)(链接教材，人教A版选择性必修第一册P80习题2.3T16)已知两条平行直线l1：(λ+2)x-(2λ-1)y+6λ-8=0，l2：(λ+2)x-(2λ-1)y-4λ-13=0，当l1，l2之间的距离最大时，λ等于(　　) A.- B.- C.2 D. 【答案】C 【解析】直线l1：λ(x-2y+6)+(2x+y-8)=0， 由得 则直线l1过定点A(2，4)， 直线l2：λ(x-2y-4)+(2x+y-13)=0， 由得 则直线l2过定点B(6，1)， 因此直线l1，l2之间的距离最大为|AB|==5， 此时AB⊥l1，而直线AB的斜率为=-， 则=，所以λ=2. 题型三　对称问题 例3　(1)(多选)以下四个命题为真命题的是(　　) A.直线l：mx-y+3m+1=0过定点(-3，1) B.点(5，0)关于直线y=2x的对称点的坐标为(3，-4) C.直线x+2y-3=0关于A(1，0)对称的直线方程为x+2y+1=0 D.直线l：x+y+2=0关于直线x+2y-3=0对称的直线方程为x+7y-28=0 【答案】ACD 【解析】对于A，m(x+3)-y+1=0，令可得 所以直线l过定点(-3，1)，故A正确； 对于B，设点(5，0)关于直线y=2x的对称点的坐标为(a，b)，则有 解得则所求对称点的坐标为(-3，4)，故B不正确； 对于C，设所求直线上任意一点为(x，y)，则它关于A(1，0)对称的点(2-x，-y)在直线x+2y-3=0上， 则(2-x)-2y-3=0，整理得x+2y+1=0，故所求直线方程为x+2y+1=0，故C正确； 对于D，设直线l关于直线x+2y-3=0的对称直线为l2， l2一定经过直线l和直线x+2y-3=0的交点，设为P， 由可得 所以P(-7，5)， 在直线l上任取一点Q(-2，0)，则其关于直线x+2y-3=0的对称点Q'(a，b)一定在l2上， 所以解得 所以Q'(0，4)，P(-7，5)在直线l2上， 所以=，化简可得x+7y-28=0，故所求直线方程为x+7y-28=0，故D正确. (2)如图所示，已知点A(2，0)，B(0，2)，从点P(1，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是(　　) A.3 B. C.3 D.2 【答案】B 【解析】依题意，直线AB的方程为x+y=2，设P(1，0)关于直线AB的对称点为Q(a，b)， 则 解得即Q(2，1)， 又P(1，0)关于y轴的对称点为T(-1，0)， |QT|==，光线所经过的路程即△PMN的周长， 而△PMN的周长为|MP|+|MN|+|NP|=|MQ|+|MN|+|NT|=|QT|=， 所以光线所经过的路程是. 【思维升华】对称问题的求解策略 (1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解. (2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题. 跟踪训练3　已知直线l：2x-3y+1=0，点A(-1，-2).求： (1)点A关于直线l的对称点A'的坐标； (2)直线m：3x-2y-6=0关于直线l对称的直线m'的方程； (3)直线l关于点A的对称直线l'的方程. 【解析】(1)设A'(x，y)，由已知条件得 解得 所以A'. (2)在直线m上取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l的对称点M'必在直线m'上. 设对称点M'(a，b)，则 得M'. 设直线m与直线l的交点为Q， 由得Q(4，3). 又m'经过点Q(4，3)，所以直线m'的方程为=，即9x-46y+102=0. (3)方法一　在l：2x-3y+1=0上任取两点， 如P(1，1)，Q(4，3)，则P，Q关于点A(-1，-2)的对称点P'，Q'均在直线l'上， 易得P'(-3，-5)，Q'(-6，-7)， 所以l'的方程为=，即2x-3y-9=0. 方法二　因为l∥l'， 所以设l'的方程为2x-3y+C=0(C≠1). 因为点A(-1，-2)到两直线l，l'的距离相等， 所以由点到直线的距离公式， 得=，得C=-9， 所以l'的方程为2x-3y-9=0. 【限时训练】 （40分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共40分) 1.若直线x-2ay+1=0与直线(a-1)x+ay-1=0平行，则a等于(　　) A.0 B.或0 C. D.1 【答案】C 【解析】由题意得1×a-(-2a)(a-1)=0，即2a2-a=0，解得a=0或a=. 当a=0时，两直线方程都为x+1=0，两直线重合，不符合题意，舍去； 当a=时，两直线方程分别为x-y+1=0和x-y+2=0，此时两直线平行，符合题意. 综上，a=. 2.已知直线l1：ax+y+a=0与l2：(a-4)x-5y-4=0，则“a=5”是“l1⊥l2”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由l1⊥l2，得a(a-4)-5=0，解得a=5或a=-1， 所以“a=5”是“l1⊥l2”的充分不必要条件. 3.若点A(3，4)，B(5，3)到直线l：2x+ay+1=0的距离相等，则a等于(　　) A.4 B.-4 C.4或- D.-4或 【答案】C 【解析】若A，B在直线l的同侧，则kAB=kl， 即=-，解得a=4； 若A，B分别在直线l的两侧，则直线l经过AB的中点， 则8+a+1=0，解得a=-. 综上，a=4或a=-. 4.已知直线l：ax+(2a-1)y+a-3=0，当a变化时，直线l总是经过定点，则定点坐标为(　　) A.(5，3) B.(5，-3) C.(-5，3) D.(-3，5) 【答案】B 【解析】直线l：ax+(2a-1)y+a-3=0可化为a(x+2y+1)-y-3=0， 令解得所以直线l过定点(5，-3). 5.设a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边，则直线sin A·x+ay+c=0与bx-sin B·y+sin C=0的位置关系是(　　) A.平行 B.重合 C.垂直 D.无法确定 【答案】C 【解析】由正弦定理=，得bsin A=asin B， 又两条直线的方程分别为sin A·x+ay+c=0，bx-sin B·y+sin C=0， 因为两直线的系数满足bsin A+a(-sin B)=bsin A-asin B=0，所以两直线垂直. 6.已知A(4，5)，直线l：y=kx+m，当k变化时，点A到直线l的距离的最大值为5，则m等于(　　) A.3或7 B.3或8 C.2或7 D.2或8 【答案】D 【解析】当k变化时，直线l恒过定点M(0，m)，所以点A到直线l的距离的最大值为|AM|=5， 即=5，解得m=2或m=8. 7.在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(2，0)，(4，0)，点C的坐标为(m，m)(m>0)，则|CA|+|CB|的最小值是(　　) A.6 B.3 C.2 D.5 【答案】C 【解析】如图，∵C(m，m)(m>0)， ∴C在直线y=x(x>0)上， 设点A(2，0)关于直线y=x的对称点为A'(x，y)， 则 解得故A'(-1，)， ∴|A'B|==2， ∵|CA|+|CB|=|CA'|+|CB|≥|A'B|=2， 当且仅当A'，C，B三点共线时等号成立， ∴|CA|+|CB|的最小值是2. 8.已知实数a，b，c，d满足==，则(a-c)2+(b-d)2的最小值为(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题意知实数a，b，c，d满足==， 则3a-4b=0(b≠0)，3c-4d+9=0(d≠3)， 故点(a，b)在直线3x-4y=0上，点(c，d)在直线3x-4y+9=0上， 而(a-c)2+(b-d)2表示点(a，b)和点(c，d)之间的距离的平方， 故(a-c)2+(b-d)2的最小值为两平行直线3x-4y=0和3x-4y+9=0之间距离的平方， 最小值为=. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 9.已知直线l1：ax+y-3a=0，直线l2：2x+(a-1)y-6=0，则下列选项正确的是(　　) A.当a=3时，l1与l2的交点是(3，0) B.直线l1与l2都恒过点(3，0) C.若l1⊥l2，则a= D.存在a∈R，使得l1∥l2 【答案】ABC 【解析】对于A，当a=3时，直线l1：3x+y-9=0，直线l2：2x+2y-6=0，即x+y-3=0， 联立解得 所以两直线的交点为(3，0)，故A正确； 对于B，将点(3，0)代入l1，l2的方程，两方程对任意参数a都成立，所以直线l1与l2都恒过点(3，0)，故B正确； 对于C，若l1⊥l2，则a×2+1×(a-1)=0，解得a=，故C正确； 对于D，假设存在a∈R，使得l1∥l2， 则a(a-1)-1×2=0， 解得a=2或a=-1， 当a=2时，l1：2x+y-6=0，l2：2x+y-6=0，两直线重合，舍去； 当a=-1时，l1：-x+y+3=0，即x-y-3=0， l2：2x-2y-6=0，即x-y-3=0，两直线重合，舍去， 所以不存在a∈R，使得l1∥l2，故D错误. 10.已知直线l：kx-y-3k-2=0，则下列选项正确的是(　　) A.直线l恒过点(3，-2) B.若直线l与直线m：x+y-2=0垂直，则k=-1 C.坐标原点O到直线l的距离的最大值为 D.直线l与x轴正半轴和y轴负半轴围成的三角形面积的最小值为12 【答案】ACD 【解析】对于A，直线l：kx-y-3k-2=0可化为k(x-3)-y-2=0， 令解得故直线l恒过点(3，-2)，故A正确； 对于B，由直线m的斜率为-1，则有-1·k=-1，解得k=1，故B错误； 对于C，由直线l恒过点(3，-2)，则当点(3，-2)为垂足时， 原点O到直线l的距离取得最大值，此时距离为=， 故坐标原点O到直线l的距离的最大值为，故C正确； 对于D，易知k≠0，令x=0，则y=-3k-2，令y=0，则x=3+， 由题意可得-3k-2<0，3+>0，故k>0， 则S=(3k+2)=6++≥6+2=12， 当且仅当=，即k=时，等号成立，故D正确. 11.(2025·眉山模拟)已知直线l：2x-y+3=0，点R(0，2)，P(1，1)，Q(1-m，m)，m∈R，下列说法正确的是(　　) A.点P到直线l的距离为 B.若点P与点Q位于直线l的两侧，则m> C.点P与点Q之间距离的最小值为 D.|QR|+|QP|的最小值为2 【答案】ABD 【解析】点P到直线l的距离d==，A选项正确； 将点P(1，1)代入直线方程得2-1+3=4>0，又点P与点Q位于直线l的两侧，则将点Q(1-m，m)代入直线方程得2-2m-m+3<0，即m>，B选项正确； |PQ|===≥，C选项错误； ∵1-m+m=1，∴点Q在直线l1：x+y-1=0上，斜率k=-1，过点P作直线l'⊥l1于点D，如图所示， 则l'：x-y=0，联立方程组解得x=y=，即D， ∴点P关于直线l1的对称点为原点O(0，0)，OR与l1的交点为Q，此时|QR|+|QP|最小， 则(|QR|+|QP|)min=|OR|=2，D选项正确. 三、填空题(每小题5分，共15分) 12.若直线l1：mx+2y+3-m=0与直线l2：2x+my+1=0平行，则l1与l2之间的距离为　　　　　. 【答案】 【解析】∵l1∥l2，∴m2-4=0，即m=±2， 当m=2时，l1：2x+2y+1=0，l2：2x+2y+1=0，l1与l2重合，不符合题意，∴m=-2， ∴两直线的方程为2x-2y-5=0与2x-2y+1=0， ∴l1与l2之间的距离d==. 13.一条光线从点P(0，1)射出，与x轴相交于点Q(2，0)，经x轴反射，则反射光线所在直线的方程为　　　　　　　. 【答案】x-2y-2=0 【解析】点P(0，1)关于x轴的对称点为P'(0，-1)， 故P'(0，-1)，Q(2，0)在反射光线所在的直线上， 故直线方程为+=1，即x-2y-2=0. 14.过定点A的直线(a+1)x-y+2=0与过定点B的直线x+(a+1)y-5a-2=0交于点P(P与A，B不重合)，则△PAB面积的最大值为　　　　　. 【答案】 【解析】直线(a+1)x-y+2=0化为y=(a+1)x+2，可知定点A(0，2)， 直线x+(a+1)y-5a-2=0化为a(y-5)+x+y-2=0，令 解得可知定点B(-3，5)， 又(a+1)×1-1×(a+1)=0， ∴直线(a+1)x-y+2=0与直线x+(a+1)y-5a-2=0垂直，P为交点(P与A，B不重合)， ∴PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=(0+3)2+(2-5)2=18. 则S△PAB=|PA|·|PB|≤·=，当且仅当|PA|=|PB|=3时，等号成立， 即△PAB面积的最大值为. [15题5分，16题6分，共11分] 15.设m∈R，过定点A的动直线x-2my=0和过定点B的动直线2mx+y-6m-4=0交于点P，点P不与A，B重合，则+的最小值是(　　) A.9 B. C. D. 【答案】C 【解析】由x-2my=0以及(2x-6)m+y-4=0得A(0，0)，B(3，4)， 因为1×2m+(-2m)×1=0，则两条直线垂直， P为交点，P不与A，B重合， 则|PA|2+|PB|2=|AB|2=32+42=25， 则+=(|PA|2+|PB|2)= ≥=×(5+4)=， 当且仅当|PB|2=2|PA|2=， 即|PA|=，|PB|=时，等号成立， 故+的最小值是. 16.(多选)已知点M(-1，1)，N(2，1)，且点P在直线l：x+y+2=0上，则下列选项正确的是(　　) A.存在点P，使得PM⊥PN B.存在点P，使得2|PM|=|PN| C.|PM|+|PN|的最小值为 D.若P(a，b)，则a2+b2的最小值为1 【答案】BC 【解析】对于A，依题意，设P(a，-a-2)， 当a=-1时，P(-1，-1)，此时PM⊥x轴，但kPN==≠0，此时PM与PN不垂直； 当a=2时，P(2，-4)，此时PN⊥x轴，但kPM==-≠0， 此时PM与PN不垂直； 而当a≠-1且a≠2时，由kPM·kPN=·=-1，可得2a2+5a+7=0， Δ=52-4×2×7=-31<0， 该方程无实数解，此时PM与PN不垂直. 综上可知，不存在点P，使得PM⊥PN，故A错误； 对于B，设P(a，-a-2)，由M(-1，1)，N(2，1)，2|PM|=|PN|， 可得2=，化简得2a2+10a+9=0， 因为Δ=102-4×2×9=28>0，则方程有实数解，故存在点P，使得2|PM|=|PN|，故B正确； 对于C，如图，设M(-1，1)关于直线l的对称点为M'(m，n)， 则解得 即M'(-3，-1)， 所以|PM|+|PN|=|PM'|+|PN|≥|M'N|==， 当且仅当M'，P，N三点共线时取等号(点P在点M'，N之间)，故C正确； 对于D，因为b=-a-2，则a2+b2=a2+(-a-2)2=2a2+4a+4=2(a+1)2+2≥2， 当且仅当a=-1时等号成立，故a2+b2的最小值为2，故D错误. / 学科网（北京）股份有限公司 $