8.6　双曲线课件——2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“双曲线”专题，依据高考评价体系梳理了定义、标准方程、几何性质（离心率、渐近线等）三大核心考点，通过近三年高考真题分析明确“离心率计算”“渐近线方程求解”等高频题型，构建知识清单与命题点解析体系，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题溯源+技巧提炼+素养培养”，如以2024年新高考Ⅰ卷离心率题为例，详解“齐次方程转化法”，培养逻辑推理与数学抽象素养。设“学霸笔记”归纳定义法求轨迹、待定系数法求方程等突破方法，助力学生掌握解题技巧，教师可据此精准教学，提升复习效率。

第六节　双曲线 1 知识清单 1.双曲线的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的__________等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的________，两焦点间的距离叫做双曲线的________，其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a＞0，c＞0. 剖析　当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线；当2a>|F1F2|时，M点不存在． 差的绝对值 焦点 焦距 返回导航 2 2．双曲线的标准方程和简单几何性质 标准方程 ＝1 (a＞0，b＞0) ＝1 (a＞0，b＞0) 图形 返回导航 3 性质 焦点 ________________ ________________ 焦距 ________ 范围 __________或 ________，y∈R y≤－a或 y≥a，x∈R 对称性 对称轴：________；对称中心：________ 顶点 ________ ________ F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 2c x≥a x≤－a 坐标轴 原点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 返回导航 4 轴 实轴：线段________，长为_________； 虚轴：线段B1B2，长为____________． 实半轴长：________；虚半轴长：________ 渐近线 ________ ________ 离心率 e＝∈________ a，b，c 的关系 c2＝________(c＞a＞0，c＞b＞0) A1A2 2a 2b a b 　y＝±x y＝±x (1，＋∞) a2＋b2 返回导航 5 3.等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为________，离心率e＝. y＝±x 返回导航 6 【常用结论】 1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为虚半轴长b. 2．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a. 3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为. 4．与双曲线＝1(a＞0，b＞0)有共同渐近线的方程可表示为＝λ(λ≠0)． 返回导航 7 自主诊断 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(　　) (2)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.(　　) (3)双曲线＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是＝0，即±＝0.(　　) (4)关于x，y的方程＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．(　　) × √ √ × 返回导航 8 2．(人教A版选修一P121练习T3改编)已知方程＝1表示双曲线，则m的取值范围为(　　) A．(－∞，－2) B．(－1，＋∞) C．(－∞，－2)∪(－1，＋∞) D．(－∞，1)∪(2，＋∞) 答案：C 解析：由题意得(2＋m)(m＋1)＞0，∴m＜－2，或m＞－1，∴m的取值范围是(－∞，－2)故选C. 返回导航 9 3．(人教A版选修一P121T4改编)双曲线＝1(a＞0)的两个焦点分别是F1与F2，焦距为8，M是双曲线上的一点，且|MF1|＝5，则|MF2|的值为(　　) A．1　　　B．3 C．9　　　D．1或9 答案：C 解析：双曲线＝1(a＞0)的左、右两个焦点分别是F1与F2，焦距为8，可得a2＋12＝16，解得a＝2.M是双曲线上的一点，且|MF1|＝5＜a＋c＝6，所以M在双曲线的左支上，所以|MF2|＝|MF1|＋2a＝5＋4＝9.故选C. 返回导航 10 4．(人教A版选修一P124T4改编)双曲线的渐近线方程是y＝±2x，虚轴长为4，则双曲线的标准方程为__________________． 答案：x2－＝1或＝1 解析：由题意可知若双曲线的焦点在x轴上，则解得a＝1，b＝2，所以双曲线的标准方程为x2－＝1；若双曲线的焦点在y轴上，则解得所以双曲线的标准方程为＝1.综上所述，双曲线的标准方程为x2－＝1或＝1. 返回导航 11 命题点一　双曲线的定义及应用 例1 (1)已知动圆M与两圆x2＋y2＝1和x2＋y2－6x＋7＝0都外切，则动圆M的圆心轨迹是(　　) A．双曲线 B．双曲线的一支 C．抛物线 D．前三个答案都不对 答案：B　 返回导航 12 解析：由题意可知，圆x2＋y2＝1的圆心为O(0，0)，半径r1＝1，圆(x－3)2＋y2＝2的圆心为A(3，0)，半径r2＝，设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，则且|OA|＝3，可得|MA|－|MO|＝－1为定值，且|MA|－|MO|<|OA|，所以动圆M的圆心轨迹是双曲线的一支．故选B. 返回导航 13 (2)设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，P是该双曲线上的一点，且5|PF1|＝3|PF2|，则△PF1F2的面积为(　　) A．6 B．10 C．12 D．15 答案：A 返回导航 14 解析：由双曲线定义可知||PF1|－|PF2||＝2，又5|PF1|＝3|PF2|，则|PF1|<|PF2|，则|PF2|＝2＋|PF1|，故5|PF1|＝3(2＋|PF1|)，解得|PF1|＝3，则|PF2|＝5，又|F1F2|＝2＝4，由32＋42＝52，故PF1⊥F1F2，则＝×3×4＝6.故选A. 返回导航 15 学霸笔记： (1)利用双曲线的定义判断平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求求出方程． (2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系． 返回导航 16 跟踪训练　(1)(衔接·人教A版选修一P127T5)如图，圆O的半径为定长r，A是圆O外一个定点，P是圆O上任意一点．线段AP的垂直平分线l与直线OP相交于点Q，当点P在圆O上运动时，点Q的轨迹是(　　) A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 答案：(1)C　 返回导航 17 解析：由题意可得|QA|＝|QP|＝|OP|＋|OQ|，所以|OP|＝|QP|－|OQ|＝|QA|－|OQ|为定值，即Q到两个定点O，A的距离之差为定值，而A在圆外，|OA|＞|OP|，所以可得Q的轨迹为双曲线．故选C. 返回导航 18 (2)已知双曲线x2－my2＝1(m>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l经过F2且与双曲线右支相交于A，B两点，若|AB|＝2，则△ABF1的周长为(　　) A．6 B．7 C．8 D．不能确定 答案：C 返回导航 19 解析：双曲线x2－my2＝1(m>0)的实半轴长a＝1， 由双曲线的定义，可得|AF1|－|AF2|＝2a＝2，|BF1|－|BF2|＝2a＝2， 所以|AF1|＝2＋|AF2|，|BF1|＝2＋|BF2|， 则△ABF1的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝|AF2|＋|BF2|＋6＝|AB|＋6＝8.故选C. 返回导航 20 命题点二　双曲线的标准方程 例2 (1)已知双曲线的两个焦点F1 ＝2，则双曲线的标准方程是(　　) A．＝1 B．＝1 C．x2－＝1 D．－y2＝1 答案：D　 返回导航 21 解析：设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则由已知得－2r1r2＝16，∴4a2＝16⇒a2＝4，又∵c＝，∴b2＝1，∴双曲线的标准方程为－y2＝1.故选D. 返回导航 22 (2)已知双曲线过点，其渐近线方程为y＝±2x，则双曲线的标准方程是(　　) A．－x2＝1 B．－y2＝1 C．x2－＝1 D．＝1 答案：A 返回导航 23 解析：∵双曲线的渐近线方程为y＝±2x，设双曲线方程为x2－＝λ(λ≠0)，将点(1，2)代入得λ＝1－2＝－1，∴该双曲线的标准方程为x2－＝－1，即－x2＝1.故选A. 返回导航 24 学霸笔记： (1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a，2b，2c，从而求出a2，b2. (2)待定系数法：①“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为＝λ(λ≠0)或mx2－ny2＝1(mn＞0)；②与双曲线 －＝1(a＞0，b＞0)有相同渐近线时可设双曲线方程为 －＝λ(λ≠0)． 返回导航 25 　跟踪训练　(1)(衔接·人教A版选修一P127T6)经过点A(3，－1)，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程为(　　) A．＝1 B．＝1 C．＝1 D．＝1 答案：A　 解析：双曲线为等轴双曲线，则可设方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，将A(3，－1)代入可得9－1＝λ，即λ＝8，故方程为x2－y2＝8，化为标准方程为＝1.故选A. 返回导航 26 (2)(衔接·人教A版选修一P127T8)与椭圆＝1有公共焦点，且离心率e＝的双曲线的方程为(　　) A．＝1 B．＝1 C．＝1 D．＝1 答案：D 返回导航 27 解析：椭圆＝1的焦点坐标为(－5，0)，(5，0)，设双曲线的方程为＝1(a＞0，b＞0)，则c2＝a2＋b2＝25，e＝＝＝ ＝，解得a2＝16，b2＝9，所以双曲线的方程是＝1.故选D. 返回导航 28 命题点三　双曲线的几何性质 考向1　离心率问题 例3 (1)(链接·2025年全国Ⅰ卷)若双曲线C的虚轴长为实轴长的 倍，则C的离心率为(　　) A． B．2 C． D．2 答案：D　 返回导航 29 (2)(链接·2024年新高考Ⅰ卷)设双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点．若|F1A|＝13，|AB|＝10，则C的离心率为__________． 答案：　 返回导航 30 (3)(链接·2023年新高考Ⅰ卷)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y轴上，⊥，则C的离心率为________． 答案： 返回导航 31 解析：(1)设双曲线的实轴、虚轴、焦距分别为2a，2b，2c，由题知，b＝a，于是a2＋b2＝c2＝a2＋7a2＝8a2，则c＝2a，即e＝＝2.故选D. (2)因为AB与y轴平行，所以AB与x轴垂直，结合双曲线的对称性知|AF2|＝|BF2|＝5.又|F1A|＝13，所以|F1F2|＝＝＝12，则c＝6，而2a＝|AF1|－|AF2|＝13－5＝8，所以a＝4，所以离心率e＝＝． 返回导航 32 (3)方法一　由题意可知，F1(－c，0)，F2(c，0)，设A(x1，y1)，B(0，y0)，所以F2A＝(x1－c，y1)，F2B＝(－c，y0)．因为F2A＝－F2B，所以即所以A(c，－y0).F1A＝(c，－y0)，F1B＝(c，y0)，因为F1A⊥F1B，所以F1A·F1B＝0，即＝0，解得＝4c2.因为点A(c，－y0)在双曲线C上，所以＝1，又＝4c2，所以＝1，即＝1，化简得＝，所以e2＝1＋＝，所以e＝. 返回导航 33 方法二　由前面方法一得＝4c2，所以|AF1|＝＝＝＝，|AF2|＝ ＝＝ ＝.由双曲线的定义可得|AF1|－|AF2|＝2a，即＝2a，即c＝a，所以双曲线的离心率e＝＝＝. 返回导航 34 真题探源　(1)(源自人教A版选修一P127练习T3)直线y＝x与双曲线＝1(a＞0)相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为－9，则离心率为(　　) A． B． C． D． 答案：B　 返回导航 35 (2)(源自人教A版选修一P128习题T12)双曲线＝1的渐近线的斜率小于，则其离心率的取值范围为________． 答案：(1，) 返回导航 36 解析：(1)∵直线y＝x与双曲线＝1(a＞0)都关于原点对称，∴两交点A，B也关于原点对称，又两交点A，B的横坐标之积为－9，∴两交点的横坐标为±3，又交点在直线y＝x上，∴其中一个交点坐标为(3，2)．将其代入双曲线方程＝1(a＞0)中，可得＝1，解得a＝，又b2＝8，∴c＝＝，∴该双曲线的离心率为＝＝.故选B. 返回导航 37 (2)由已知<，则e＝＝＝<＝，又e>1，所以双曲线的离心率的取值范围为(1，)． 返回导航 38 学霸笔记： (1)求a，b，c的值，由e＝直接求e. (2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解． 返回导航 39 考向2　渐近线问题 例4 (1)(2026·新乡二模)若P为双曲线C：＝1(a>0，b>0)上异于A(－a，0)，B(a，0)的动点，且直线PA与PB的斜率之积为5，则C的渐近线方程为(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±5x 答案：C　 返回导航 40 (2)(2026·南通模拟)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的焦距为4，焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的渐近线方程为(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 答案：A 返回导航 41 解析：(1)设P(x0，y0)，x0≠±a，则＝1，即，则kPA·kPB＝＝＝5，则＝，故C的渐近线方程为y＝±x.故选C. 返回导航 42 (2)设双曲线＝1的焦距为2c，则2c＝4，故c＝2，所以双曲线＝1的焦点坐标为(c，0)，(－c，0)，又双曲线＝1的渐近线方程为bx±ay＝0，所以双曲线＝1的焦点到渐近线的距离d＝＝b，因为焦点到渐近线的距离为，所以b＝，所以a＝＝，所以双曲线C的渐近线方程为x±y＝0，即y＝±x.故选A. 返回导航 43 学霸笔记：(1)求双曲线中a，b的值，进而得出双曲线的渐近线方程； (2)求a与b的比值，进而得出双曲线的渐近线方程； (3)令双曲线标准方程右侧为0，将所得代数式化为一次式即为渐近线方程． 提醒：两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且两条渐近线关于x轴、y轴对称． 返回导航 44 　跟踪训练　(1)(2026·沧州模拟)若双曲线C：x2－＝1(m>0)的一条渐近线平行于直线y＝－4x－2，则C的虚轴长为(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 答案：D　 返回导航 45 解析：双曲线C：x2－＝1(m>0)的渐近线方程为y＝±mx，因为双曲线C：x2－＝1(m>0)的一条渐近线平行于直线y＝－4x－2，即－m＝－4，解得m＝4，所以双曲线的方程为x2－＝1，所以虚轴长为2×4＝8.故选D. 返回导航 46 (2)(2026·武汉模拟)若双曲线＝1(a>0，b>0)的两条渐近线的夹角为60°，则该双曲线的离心率为(　　) A． B．2 C．2或 D．或 答案：C 返回导航 47 解析：因为双曲线的两条渐近线夹角为60°，则渐近线的倾斜角为30°，150°或60°，120°，所以渐近线的斜率为±或±.因为该双曲线的方程为＝1，所以渐近线的方程为y＝±x.所以＝或.所以双曲线的离心率为e＝＝＝2或.故选C. 返回导航 48 $