北京市第八十中学2025-2026学年高一第二学期第五次阶段性测试数学试卷

**基本信息** 北京市第八十中学贯通班数学阶段性测试，聚焦函数、解三角形、立体几何等核心知识，通过海水养殖产量分析（数据观念）、集合新定义（创新意识）等真实情境与创新问题，实现基础巩固到能力提升的梯度设计。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/40|函数零点、向量运算、立体几何判定|结合正方形网格图考查向量（几何直观）| |填空题|5/25|三角函数图像、复数运算、正方体截面|正方体动态截面分析（空间观念）| |解答题|6/85|解三角形、频率分布直方图、四棱锥证明|养殖产量对比（数据观念）、新定义集合探究（创新意识）|

北京市第八十中学2025级贯通班第二学期第五次阶段性测试 数学学科 参考答案 一、单选题（每小题4分，共10小题，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C A A B A D A B 1．B 【详解】因为，所以， 又的图象如图所示， 因为关于x的方程在区间上有且仅有两个不相等的实根，则，解得，所以的最大整数值为. 2．A 【详解】由及正弦定理、余弦定理得，所以，所以. 3．C 【详解】因为，所以，则， 因为，所以，即，则. 4．A 【详解】 如图，建立平面直角坐标系，则， 所以，所以. 5．A 【详解】设行驶时间为小时，甲、乙两船相距最近，设距离为，其中，显然， 则 其中开口向上，对称轴为，故当小时，取得最小值，也即取得最小值. 6．B 【详解】对于A项，当相交时，才成立，故A项错误； 对于B项，由，，得，而，则，故B项正确； 对于C项，若，，则，或，或，故C项错误； 对于D项，若，，则可以平行或异面，故D项错误． 7．A 【详解】因为，所以由余弦定理得，所以，所以，因为，所以，所以为等腰三角形， 8．D 【详解】国家图书馆在2024年1月到7月外借图书量分别为， 从小到大为，故中位数是，故A错误； 又，所以这组数据的第80百分位数是，故B错误； 1月，2月，3月这三个月外借图书量的平均数为， 则其方差为， 2月，3月，4月这三个月外借图书量的平均数为， 则其方差为， 故1月，2月，3月这三个月外借图书量的方差比2月，3月，4月这三个月外借图书量的方差小，故C错误；由统计图可知1月外借图书量远小于5月外借图书量，所以1月，2月，3月，4月这四个月外借图书量的平均数比2月，3月，4月，5月这四个月外借图书量的平均数小，故D正确. 9．A 【详解】因为，，所以，，因为，所以，解得. 10．B 【详解】设，，，因为，所以，所以为的外心， 在中，由正弦定理可得，所以，，，，，又与的夹角为，所以，又，，所以，，把看作主元，故当时，上式取得最大值，最大值为，其中 ，当且仅当且时，等号成立，即时，，所以. 二、填空题（每小题5分，共5小题，共25分） 11． 【详解】令，为开口向上的抛物线，对称轴为， 当时，，当时，，所以值域为. 12．左 【详解】由于，所以要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位． 13． / 【详解】,故，， 14．①③或②④ 【详解】 选①②，若，，则可能，不正确； 选①③，若，，则，正确； 选①④，若，，则可能，不正确； 选②③，若，，则可能，不正确； 选②④，若，，则，正确； 选③④，若，，则可能，不正确； 15．①②④ 【详解】当时，S为等腰梯形，理由如下： 如图1，连接，，因为为的中点，为上的中点，所以∥，所以四边形为S，其中，所以S为等腰梯形，①正确； 当时，S与的交点满足，理由如下： 如图2，延长至点E，使得，连接EA，EQ交于点R， 取AD中点N，DE中点M，连接MQ，MN，PN， 则，DN=CP，所以四边形CQMD与四边形PCDN均为平行四边形， 所以MQ∥NP∥CD，且MQ=NP=CD，所以四边形MNPQ为平行四边形， 所以PQ∥MN，由中位线的性质可知：MN∥AE，所以PQ∥AE， 所以四边形AEQP即为S，其中， 所以，所以，②正确； 当时，S为五边形，理由如下： 如图3，根据②的分析，随着Q点在图2的基础上沿着向上移动， 则点E点沿着射线向上移动，此时AE与相交于点G， EQ与相交于点R，连接GR，故所截得的S为五边形，故③错误； 当时，S的面积为，理由如下： 如图4，点Q与重合，此时G为的中点，可证得：∥，AP∥GQ， 其中，所以S为菱形APQG， 且，S的面积为，④正确. 三、解答题（共6小题，共85分） 16．解： （1）因为向量， 由，得． 解得，则． 因此． （2）由（1）知，则． 又，则． 设与夹角为，因此． 又，则，所以与夹角为． （3）由（2）知，，则， 因此， 当且仅当时取等号． 所以最小值为． 17．解： （1）因为， 则由正弦定理可得， ， 因为 所以 所以或. （2）若选①，即，则， 所以， 所以， 则 ， 由正弦定理得： ， 则存在且唯一确定， 面积为. 若选②，即，又， 所以，矛盾 所以②不成立； 若选③， 由，，， 得， 由余弦定理可得：， 当时， 得或舍； 当时， 得或舍； 此时存在但不唯一确定，所以不合题意. 18．解： （1）由 所以 （2）设事件分别表示：从运用旧、新网箱养殖方法的水产品中随机抽取一个网箱，其箱产量不低于55kg， 用频率估计概率，则， 因为相互独立，所以 所以估计两个网箱的箱产量都不低于的概率为 （3）新养殖法 （旧养殖法的平均值估计为 新养殖法的平均值估计为 又，所以该养殖场下一年应采用新养殖法更合适.） 19．解： （1）在中，，，则由余弦定理得 ， 所以， 在中，，，，所以由正弦定理得 ，得, ，得； （2）在中，，由余弦定理得 ， 在中，，，则余弦定理得 , 因为，所以， 化简得，解得， 所以， 因为，所以， 所以的面积. 20．解： （1）因为，是的中点，所以. 因为平面平面，平面平面,平面， 所以平面. 因为平面,所以. （2）因为，是正方形，所以,. 因为，所以，即. 又，所以. （3）取的中点，连接， 因为、是，的中点，所以，且. 又，且,所以，, 所以四边形是平行四边形，所以. 当为中点时，为中点，此时为的中位线， 所以，四点共面. 因为平面,平面, 所以平面.    21．解： （1）根据条件所给定义，SA=15=5（1+2）=3（1+4），故， SB=24=4（1+5） =2（5+7）=2（1+11）=3 （1+7），故. （2）不妨设，因为，所以，不能整除，因为最多有（1, 2），（1, 3）， （1, 4）， （2,3）， （2, 4），（3, 4）六种情况，而（2, 4） , （3，4）不满足题意，所以，当时，，所以的最大值为4 ； （3）假设，由（2）可知，当取到最大值4时，均能整除，因， 故，所以， 设，则是的因数， 所以是的因数，且是的因数，因为， 所以，因为是的因数，所以， 因为是的因数，所以是的因数， 因为，所以，所以或， 故，或， 所以当取到最大值4时，故，或. 答案第4页，共20页 （数学试卷 第 2 页 共 8 页） 学科网（北京）股份有限公司 $5 北京市第八十中学贯通班2025-2026学年第五次 数学阶段测试答题卡 姓名 考场号 班级 座位号 贴条形码区 注意事项 1.答题前请将姓名、班级、考场、准考证号填写清楚。 (正面朝上，切勿则出虚线方框) 2.客观题答案必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 3.主观题使用黑色签字笔书写。 4.必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效。 正确填涂 缺考标记☐ 5.保持卷面整洁、完整。 选择题(50分) 1[A][B][C][D]6[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 7[a][B][C][D] 3[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 图 4[A][B][C][D] 9[A][B]c][D] 5[AJ[B][c][D] 10[A][B][c][D] 二、 填空题(25分) 11. 12. 13. 14._ 15. 三、解答题(85分) 16. 国 口口■ 第1/2页，第1栏（编号：000171） 17. 蒸 18. 19. 第1/2页，第2栏（编号，000171） ■ 厦 眉 20. 夏 ■ 口■口 第2/2页，第1栏（编号，000171） 21. 第2/2页，第2栏（编号，000171） ■ 北京市第八十中学2025级贯通班第二学期第五次阶段性测试 学科：数学 试卷 （考试时间120分钟 满分150分） 一、单选题（每小题4分，共10小题，共40分） 1．已知函数．若关于x的方程在区间上有且仅有两个不相等的实数根，则的最大整数值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．如图，已知，则（    ） A． B． C． D． 4．平面向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则（   ） A． B．5 C．1 D． 5．如图，甲船在A处，乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向南偏西60°方向行驶，当甲、乙两船相距最近时，行驶的时间为（    ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 6．设m，n为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列结论正确的是（   ） A．若，，，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，则 7．在中，若，则该三角形一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．不能确定 8．莎士比亚说“书籍是全人类的营养品”．在这个充满变化的时代，书籍始终是我们最可靠的伙伴．阅读不仅能够丰富你的知识，更能塑造你的品格，成为你成长道路上最珍贵的礼物．下图是国家图书馆在2024年1月到7月外借图书量（单位：册次）的统计图： 下列说法正确的是（   ） A．这七个月外借图书量的中位数是12867 B．这组数据的第80百分位数是10079 C．1月，2月，3月这三个月外借图书量的方差比2月，3月，4月这三个月外借图书量的方差大 D．1月，2月，3月，4月这四个月外借图书量的平均数比2月，3月，4月，5月这四个月外借图书量的平均数小 9．已知平面向量，，且，则（    ） A． B．0 C．1 D． 10．设，为平面向量，定义运算．已知向量，，满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D．3 二、填空题（每小题5分，共5小题，共25分） 11．函数的值域为________． 12．要得到函数的图象，只需将函数的图象向_____平移_____个单位． 13．已知复数，则______；______． 14．已知l，m是两条不同的直线，是两个不同的平面，从下列四个条件中选择两个作为已知条件，能够得到的是___________.（填入条件的序号即可） ①； ②； ③； ④. 15．如图，正方体的棱长为为的中点，为棱上的动点，过点的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是___________.（请写出所有正确命题的编号） ①当时，S为等腰梯形； ②当时，S与的交点满足； ③当时，S为六边形； ④当时，S的面积为. 三、解答题（共6小题，共85分） 16．（本小题13分）已知向量，且． （1）证明：向量； （2）求与夹角的大小； （3）求的最小值． 17．（本小题13分）在中，. （1）求A； （2）若，从下列三个条件中选一个作为已知，使得存在且唯一，求的面积. 条件①：；条件②：；条件③：. 注：如果选择了不合适的条件，则第（2）问记0分. 18．（本小题14分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：），其频率分布直方图如图所示．两种养殖方法的箱产量相互独立． （1）求频率分布直方图中的值； （2）用频率估计概率，从运用新、旧网箱养殖方法的水产品中各随机抽取一个网箱，估计两个网箱的箱产量都不低于的概率； （3）假定新、旧网箱养殖方法的网箱数不变，为了提高总产量，根据样本中两种养殖法的平均箱产量，该养殖场下一年应采用哪种养殖法更合适？（直接写出结果） 19．（本小题15分）如图，在平面四边形ABCD中，，． （1）若，，求的值； （2）若，，求三角形ABD的面积． 20．（本小题15分）如图，已知四棱锥底面是正方形，，、是的，中点，为线段上一个动点，平面交直线于点． （1）若，平面平面，求证：； （2）若，，求证：； （3）直线是否可能与平面平行?若可能，请证明；若不可能，请说明理由． 21．（本小题15分）设集合，其中是正整数，记．对于，，若存在整数k，满足，则称整除，设是满足整除的数对的个数． （1）若，，写出，的值; （2）求的最大值; （3）设A中最小的元素为a，求使得取到最大值时的所有集合A． 答案第4页，共20页 （数学试卷 第 2 页 共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $