第3章第3节 导数与函数的极值、最值——2027届高三数学一轮复习课件

该高中数学高考复习课件聚焦“导数与函数的极值、最值”专题，依据课标要求梳理了极值判定、最值求解、实际优化问题三大核心考点，对接高考评价体系分析考点权重，归纳出判断极值、求极值、已知极值求参数等常考题型，构建系统复习框架。 课件亮点在于高考真题训练与应试技巧指导，如以2025全国二卷真题为例，通过导数分析单调性、构造函数解决“已知极值求参数”问题，培养数学思维与应用意识。特设跟踪练习与易错点分析，帮助学生掌握答题技巧，教师可据此精准教学，提升高考冲刺效率。

第3章 一元函数的导数及其应用 第3节 导数与函数的极值、最值 2027届高中数学一轮复习 1 1. 课标要求 2.知识要点 3.课前自测 4.考点突破 目录 2 【课标要求】 了解函数在某点取得极值的充要条件;会用导数求函数的极值;会求闭区间上的最大(小)值.掌握应用导数求解实际问题的基本题型. 名师导学第一轮总复习 高三数学 3 知识要点 4 【知识要点】 1.函数的极值与导数 (1)函数的极小值:若函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值　 　，f'(a)=0，而且在点x=a附近的左侧　 　，右侧　 　，则a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值.  (2)函数的极大值:函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f'(b)=0;而且在点x=b附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. 极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值. 都小 f'(x)<0 f'(x)>0 名师导学第一轮总复习 高三数学 5 (3)求可导函数极值的步骤 ①求f'(x);②求方程　 　的根;③考查f(x)在方程　 　的根附近的左右两侧导数值的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得　 　;如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得　 　.  (4)对于可导函数f(x)，f'(x0)=0是函数f(x)在x=x0处有极值的必要不充分条件. f'(x)=0 f'(x)=0 极大值 极小值 名师导学第一轮总复习 高三数学 6 2.函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值. (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则　 　为函数的最小值，　 　为函数的最大值;若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则　 　为函数的最大值，　 　为函数的最小值.  (3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下: ①求函数y=f(x)在(a，b)内的　 　;  ②将函数y=f(x)的各　 　与　 　处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.  f(a) f(b) f(a) f(b) 极值 极值 端点 名师导学第一轮总复习 高三数学 7 3.优化问题 与实际问题相关的利润最大、用料最省、效率最高等问题通常称为优化问题. 4.导数在优化问题中的应用 名师导学第一轮总复习 高三数学 8 课前自测 9 概念辨析 1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数f(x)在区间(a，b)上不存在最值.(　　) (2)函数的极小值一定是函数的最小值.(　　) (3)函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，则点(a，f(a))叫做函数y=f(x)的极小值点.(　　) (4)设f(x)是区间[a，b]上的连续函数，且在(a，b)内可导，则f(x)在区间[a，b]上可能没有极值点.(　　) (5)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值.(　　) × × × √ √ 名师导学第一轮总复习 高三数学 10 教材改编 2.[选择性必修2p92T1](多选)已知函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示，则下列判断正确的是(　　) A.f(x)在x= -4时取极小值 B.f(x)在x= -2时取极大值 C.1.5是f(x)的极小值点 D.3是f(x)的极小值点 AC [解析] 由导函数f'(x)的图象可得，当x=-4时，其左边的导数小于零，右边的导数大于零，所以f(x)在x= -4时取极小值，所以A正确; 当x=1.5时，其左边的导数小于零，右边的导数大于零，所以1.5是f(x)的极小值点，所以C正确; 而x= -2和x=3，左右两边的导数值同号，所以-2和3不是函数的极值点，所以B，D错误.故选AC. 名师导学第一轮总复习 高三数学 11 3.[选择性必修2p94T1]函数f(x)=xln x在上的最大值是　　　.  2e2 [解析] 由f(x)=xln x，得f'(x)=ln x+1， 令f'(x)=0，得x=，当<x≤e2时，f'(x)>0， 所以f(x)在上递增， 所以f(x)的最大值为f(e2)=e2ln e2=2e2. 名师导学第一轮总复习 高三数学 12 4.[选择性必修2p92练习1]已知函数f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示，则函数f(x)的极大值点是　　　　，极小值点是　　　　.  x2 x4 [解析] 因为x2，x4点的导数都为零，且这两点左右两侧的导数值异号，所以x2，x4是函数的极值点.因为当x∈(x1，x2)时，f'(x)>0，当x∈(x2，x3)时，f'(x)<0，所以x2是极大值点.因为当x∈(x3，x4)时，f'(x)<0，当x∈(x4，x5)时，f'(x)>0，所以x4是极小值点. 名师导学第一轮总复习 高三数学 13 5.[选择性必修2p104复习参考题15]用半径为R的圆形铁皮剪出一个圆心角为α的扇形，制成一个圆锥形容器，当扇形的圆心角α=　　　　　时，容器的容积最大.  π [解析] 设圆锥的底面半径为r，高为h，体积为V，则r2+h2=R2， 因此V= πr2h= π(R2-h2)h= πR2h-πh3(0<h<R). V'= πR2-πh2， 令V'=0，解得h= R，所以当h= R时容积最大. 将h= R代入r2+h2=R2，得r= R. 由Rα=2πr，得α= π，即圆心角为α= π时容积最大. 名师导学第一轮总复习 高三数学 14 考点突破 15 考点1 利用导数研究函数的极值 角度1.根据函数图象判断极值 例1　如图是y=f(x)的导数y=f'(x)的图象，则下面判断正确的是(　　) A.在(-3，1)内f(x)是增函数 B.在(3，4)内f(x)是减函数 C.在x=2时f(x)取得极小值 D.当x=4时f(x)取得极大值 B 名师导学第一轮总复习 高三数学 16 [解析] x∈时，f'(x)<0 ，此时f(x)在上单调递减， x∈时，f'(x)>0 ，此时f(x)在上单调递增， x∈(2，4)时，f'(x)<0，此时f(x)在(2，4)上单调递减， x∈(4，5)时，f'(x)>0，此时f(x)在(4，5)上单调递增， ∵f(x)在x=2处左增右减，故在x=2时f(x)取得极大值， ∵f(x)在x=4处左减右增，故在x=4时f(x)取得极小值.故选B. [小结]由图象判断函数y=f(x)的极值,要抓住两点: 1.由y=f'(x)的图象与x轴的交点,可得函数y=f(x)的可能极值点. 2.由导函数y=f'(x)的图象可以看出y=f'(x)的值的正负，从而可得函数y=f(x)的单调性.两者结合可得极值点.   名师导学第一轮总复习 高三数学 17 角度2.求已知函数的极值(极值点) 例2　函数f(x)=e(x+1)-ln x，求f(x)的极小值. [解析] 函数f的定义域为，f'=e-= ， 由f'>0，得x>，即f在上单调递增; 由f'<0，得0<x<，即f在区间上单调递减， 所以f的极小值为f=e+1-ln =e+2. 名师导学第一轮总复习 高三数学 18 [小结]求函数f(x)极值的一般解题步骤 ①确定函数的定义域; ②求导数f'(x); ③解方程f'(x)=0,求出函数定义域内的所有根; ④列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x0左右两侧值的符号. 名师导学第一轮总复习 高三数学 19 角度3.已知极值(点)求参数 例3　(1)(2025·四川成都·模拟预测)若函数f(x)=aex-x3存在唯一极值点，则实数a的取值范围为　　　　 .  [解析] f'(x)=aex-x2，因为f(x)=aex-x3存在唯一极值点，所以f'(x)=aex-x2=0存在唯一变号根.即a= 存在唯一变号根，设g(x)= ，g'(x)= ， 函数g(x)在(-∞，0)上单调递减，在(0，2)上单调递增，在(2，+∞)上单调递减，g(2)= ， 当x→-∞时，g(x)→+∞;当x→+∞时，g(x)→0+， 则实数a的取值范围为. 名师导学第一轮总复习 高三数学 20 (2)函数f(x)=ex-ax-a3.若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围. [解析] 解法一:因为f(x)的定义域为R，且f'(x)=ex-a， 若a≤0，则f'(x)≥0对任意x∈R恒成立， 可知f(x)在R上单调递增，无极值，不合题意; 若a>0，令f'(x)>0，解得x>ln a;令f'(x)<0，解得x<ln a; 可知f(x)在(-∞，ln a)内单调递减，在(ln a，+∞)内单调递增， 则f(x)有极小值f(ln a)=a-aln a-a3，无极大值， 由题意可得:f(ln a)=a-aln a-a3<0， 即a2+ln a-1>0， 构建g(a)=a2+ln a-1，a>0， 名师导学第一轮总复习 高三数学 21 则g'(a)=2a+>0， 可知g(a)在(0，+∞)内单调递增，且g(1)=0， 不等式a2+ln a-1>0等价于g(a)>g(1)，解得a>1， 所以a的取值范围为(1，+∞). 解法二:因为f(x)的定义域为R， 且f'(x)=ex-a， 若f(x)有极小值，则f'(x)=ex-a有零点， 令f'(x)=ex-a=0，可得ex=a， 可知y=ex与y=a有交点，则a>0， 若a>0，令f'(x)>0，解得x>ln a;令f'(x)<0，解得x<ln a; 名师导学第一轮总复习 高三数学 22 可知f(x)在(-∞，ln a)内单调递减，在(ln a，+∞)内单调递增， 则f(x)有极小值f(ln a)=a-aln a-a3，无极大值，符合题意， 由题意可得:f(ln a)=a-aln a-a3<0， 即a2+ln a-1>0， 构建g(a)=a2+ln a-1，a>0，因为y=a2，y=ln a-1在(0，+∞)内单调递增， 可知g(a)在(0，+∞)内单调递增，且g(1)=0，不等式a2+ln a-1>0等价于g(a)>g(1)， 解得a>1，所以a的取值范围为(1，+∞). 名师导学第一轮总复习 高三数学 23 [小结]根据函数极值情况求参数的两个要领 ①列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解. ②验证:求解后验证根的合理性. 名师导学第一轮总复习 高三数学 24 1.函数f(x)=-3x+2ln x的极小值为(　　) A.2ln 2-6 B.ln 2- C.ln 2-6 D.2ln 2-4 D [解析] 由题意知:f'(x)=x-3+==(x>0)， 当x∈(0，1)时，f'(x)>0，f(x)单调递增; 当x∈(1，2)时，f'(x)<0，f(x)单调递减; 当x∈(2，+∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增， 所以f(x)的极小值为f(2)=2ln 2-4，故选D. 跟踪练习 名师导学第一轮总复习 高三数学 25 2.(多选)定义在R上的可导函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示，则(　 　) A.-2是函数f(x)的极大值点，-1是函数f(x)的极小值点 B.0是函数f(x)的极小值点 C.函数f(x)的单调递增区间是(0，+∞) D.函数f(x)的单调递减区间是(-∞，0) BCD [解析] 由题意可得，当x<0时，f'(x)≤0，当且仅当x=-2时取等号， 当x>0时， f'(x)>0， 所以函数f(x)的单调递减区间是(-∞，0)，单调递增区间是(0，+∞)， 所以0是函数f(x)的极小值点，所以B，C，D正确，A错误.故选BCD. 名师导学第一轮总复习 高三数学 26 3.已知函数f(x)=eax+2x，若f(x)存在大于0的极值点，则(　　) A.a<-2 B.a<- C.-<a<0 D.0<a<2 A [解析] ∵f(x)=eax+2x，∴f'(x)=aeax+2， ∵f(x)存在大于0的极值点， ∴aeax+2=0存在大于0的根，则aeax=-2有解，∴a<0，故f'(x)单调递增， 由aeax+2=0可得x=ln， ∴ln>0， 则ln<0，∴0<-<1 ，解得a<-2， 名师导学第一轮总复习 高三数学 27 当x∈时，f'(x)<0，f(x)单调递减; 当x∈时，f'(x)>0，f(x)单调递增， 所以f(x)在x=·ln取得极小值，且ln>0，满足题意. 故选A. 名师导学第一轮总复习 高三数学 28 4.(2025·湖北·模拟预测)已知函数f(x)=-4x+aln x(a∈R)有两个极值点. (1)求实数a的取值范围; [解析] 由题意得，f'(x)=x-4+=，x∈(0，+∞). 因为f(x)有两个极值点，所以方程x2-4x+a=0有两个不相等的正根， 所以解得0<a<4. 检验:当0<a<4时，由f'(x)=0得x=2-或x=2+. 所以f(x)在(0，2-)上单调递增，在(2-，2+)上单调递减， 在(2+，+∞)上单调递增，满足题意. 所以实数a的取值范围为(0，4). 名师导学第一轮总复习 高三数学 29 [解析]证明:由(1)知x1+x2=4，x1x2=a， 所以f(x1)+f(x2)=(+)-4(x1+x2)+aln(x1x2)=aln a-a-8， 所以f(x1)+f(x2)+10-ln a=(a-1)ln a-a+2. 令g(x)=(x-1)ln x-x+2(0<x<4)，则g'(x)=ln x-. 令h(x)=g'(x)=ln x-，则h'(x)=+>0， 所以g'(x)在(0，4)上单调递增. (2)记两个极值点分别为x1，x2，证明:f(x1)+f(x2)+10>ln a. 名师导学第一轮总复习 高三数学 30 因为g'(1)=-1<0，g'(2)=ln 2->0， 所以函数g'(x)存在唯一零点x0∈(1，2)，即ln x0=，且当x∈(0，x0)时，g'(x)<0，g(x)单调递减;当x∈(x0，4)时，g'(x)>0，g(x)单调递增， 所以当x=x0时，g(x)存在最小值，即g(x0)=(x0-1)ln x0-x0+2=3-. 因为x0∈(1，2)，所以2<x0+<， 所以g(x)min>0，所以f(x1)+f(x2)+10>ln a. 名师导学第一轮总复习 高三数学 31 考点2 利用导数研究函数的最值 角度1.不含参函数的最值 例4　(1)(2025高三下·广东·阶段考)函数y=x2-4ln x的最小值为　　　　.  2-2ln 2 [解析] y'=2x-=，x>0，令y'=0得x=. 当x∈(0，)时，y'<0，当x∈(，+∞)时，y'>0， 所以函数y=x2-4ln x在(0，)单调递减，在(，+∞)单调递增， 所以y=x2-4ln x的最小值为y=2-2ln 2. 名师导学第一轮总复习 高三数学 32 (2)已知函数f(x)=(x2-4x+1)ex.当x∈[-2，4]时，函数y=f(x)的最大值为　　　　，最小值为　　　　.  e4 -2e3 [解析] 因为f'(x)=(x-3)(x+1)ex，所以函数f(x)在区间[-2，-1)上单调递增，在(-1，3)上单调递减，在(3，4]上单调递增. 可得:x=-1时，函数f(x)取得极大值;当x=3时，函数f(x)取得极小值.又f(-1)=，f(3)=-2e3，f(-2)=，f(4)=e4，则e4>>>-2e3， 所以，当x=4时，函数f(x)取得最大值为e4，当x=3时，函数f(x)取得最小值为-2e3. 名师导学第一轮总复习 高三数学 33 [小结]掌握求函数f(x)在区间[a,b]上的最值的方法 (1)若函数在区间[a,b]上单调递增或递减,f(a)与f(b)一个为最大值,一个为最小值; (2)若函数在闭区间[a,b]内有极值,要先求出[a,b]上的极值,与f(a),f(b)比较,最大的是最大值,最小的是最小值,可列表完成; (3)函数f(x)在区间(a,b)上有唯一一个极值点,这个极值点就是最大(或最小)值点,此结论在导数的实际应用中经常用到. 名师导学第一轮总复习 高三数学 34 角度2.含参函数的最值 例5　(2025·辽宁·三模)已知函数f(x)=a(x+1)ex(a≠0).求f(x)的最值. [解析] 由已知f'(x)=a(x+2)ex，当a>0时，由f'(x)<0解得x<-2，由f'(x)>0解得x>-2， f(x)在(-∞，-2)上单调递减，在(-2，+∞)上单调递增， 所以f(x)min=f(-2)= -，没有最大值; 当a<0时，由f'(x)<0解得x>-2，由f'(x)>0解得x<-2， f(x)在(-∞，-2)上单调递增，在(-2，+∞)上单调递减， 所以f(x)max=f(-2)= -，没有最小值. 综上，当a>0时，f(x)min=f(-2)= -，没有最大值; 当a<0时，f(x)max=f(-2)= -，没有最小值. 名师导学第一轮总复习 高三数学 35 [小结]若所给函数f(x)含参数，则需通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值. 名师导学第一轮总复习 高三数学 36 5.函数f(x)=ln x+在定义域内的最小值为(　　) A.1 B. C. D. D [解析] 函数f(x)的定义域为(0，+∞)，且f'(x)= - = ， 由f'(x)>0得x>，f'(x)<0得0<x<， 则f(x)在(0，)上单调递减，在(，+∞)上单调递增， 所以f(x)的最小值为f()= . 故选D. 跟踪练习 名师导学第一轮总复习 高三数学 37 6.(2025·江苏扬州·三模)若函数f(x)=a(ex+a)-x的最小值为2，则实数a的值是　　　　　.  1 [解析] 由f(x)=a(ex+a)-x，求导可得f'(x)=aex-1， 当a>0时，令f'(x)=0，可得x=-ln a， 由f'(x)<0可得x<-ln a，由f'(x)>0得x>-ln a， 所以函数f(x)在(-∞，-ln a)上单调递减， 在(-ln a，+∞)上单调递增， 故f(x)min=f(-ln a)=a+ln a=2，解得a=1; 当a=0时，f(x)=-x，显然函数f(x)在R上单调递减，故不合题意; 当a<0时，f'(x)=aex-1<0，函数f(x)在R上单调递减，故不合题意. 名师导学第一轮总复习 高三数学 38 7.已知函数f(x)=ln x+x2-2ax，a∈R. (1)当a>0时，讨论f(x)的单调性; [解析] 因为f(x)=ln x+x2-2ax，x>0，所以f'(x)= +2x-2a= ， 令g(x)=2x2-2ax+1，则Δ=4a2-8=4(a2-2)，因为a>0， 当0<a≤时，Δ≤0，则g(x)≥0，即f'(x)≥0，此时f(x)在(0，+∞)上单调递增; 当a>时，Δ>0，由g(x)=0，得x3= ，x4= ，且x3<x4， 当0<x<x3或x>x4时，g(x)>0，即f'(x)>0; 当x3<x<x4时，g(x)<0，即f'(x)<0， 所以f(x)在(0，x3)，(x4，+∞)上单调递增，在(x3，x4)上单调递减， 名师导学第一轮总复习 高三数学 39 综上，当0<a≤时，f(x)在(0，+∞)上单调递增， 当a>时，f(x)在(0，x3)，(x4，+∞)上单调递增，在(x3，x4)上单调递减， 其中x3=，x4=. 名师导学第一轮总复习 高三数学 [解析]由(1)可知，x3，x4为f(x)的两个极值点，且x3<x4， 所以x1=x3，x2=x4，且x1，x2是方程2x2-2ax+1=0的两不相等正根， 此时a>，x1+x2=a>0，x1·x2=， 所以x1∈，x2∈，且有2ax1=2+1，2ax2=2+1， (2)若函数f(x)有两个极值点x1，x2(x1<x2)，求2f(x1)-f(x2)的最小值. 名师导学第一轮总复习 高三数学 41 则2f(x1)-f(x2)=2(ln x1+-2ax1)-(ln x2+-2ax2) =2(ln x1+-2-1)-(ln x2+-2-1)= -2+2ln x1-ln x2+-1 =-2+2ln-ln x2-1= - - ln -2ln 2-1. 令t=，则t∈，令g(t)=t- - ln t-2ln 2-1， 则g'(t)=1+- = ， 当t∈时，g'(t)<0，则g(t)单调递减， 当t∈(1，+∞)时，g'(t)>0，则g(t)单调递增， 所以g(t)min=g(1)= - ，所以2f(x1)-f(x2)的最小值为 - . 名师导学第一轮总复习 高三数学 42 考点3 导数在实际问题中的应用 例6　某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率). (1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域; 名师导学第一轮总复习 高三数学 43 [解析]因为蓄水池侧面的总成本为100×2πrh=200πrh元，底面的总成本为160πr2元， 所以蓄水池的总成本为(200πrh+160πr2)元. 根据题意，得200πrh+160πr2=12000π， 所以h=(300-4r2)，从而V(r)=πr2h=(300r-4r3). 由题意得r>0，又由h>0可得r<5， 故函数V(r)的定义域为(0，5). 名师导学第一轮总复习 高三数学 44 [解析]因为V(r)=(300r-4r3)，所以V'(r)=(300-12r2). 令V'(r)=0，解得r1=5，r2= -5(舍去). 当r∈(0，5)时，V'(r)>0， 故V(r)在(0，5)上为增函数; 当r∈(5，5)时，V'(r)<0， 故V(r)在(5，5)上为减函数. 由此可知，V(r)在r=5处取得最大值， 此时h=8.即当r=5，h=8时，该蓄水池的体积最大. (2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大. 名师导学第一轮总复习 高三数学 45 [小结]利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x). (2)求函数的导数f'(x),解方程f'(x)=0. (3)比较函数在区间端点和f'(x)=0的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值. (4)回归实际问题,结合实际问题作答. 名师导学第一轮总复习 高三数学 46 8.在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，根据以往经验，潜水员下潜的平均速度为v(米/单位时间)，每单位时间的用氧量为(升)，在水底作业10个单位时间，每单位时间用氧量为0.9(升)，返回水面的平均速度为(米/单位时间)，每单位时间用氧量为1.5(升)，记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为y(升). (1)求y关于v的函数关系式; 跟踪练习 名师导学第一轮总复习 高三数学 47 [解析] (1)由题意，下潜用时(单位时间)， 用氧量为×=+(升); 水底作业时的用氧量为10×0.9=9(升); 返回水面用时=(单位时间)， 用氧量为×1.5=(升)， ∴总用氧量y=++9(v>0). 名师导学第一轮总复习 高三数学 48 [解析](2)y'=-=， 令y'=0，得v=10. 当0<v<10时，y'<0，函数单调递减; 当v>10时，y'>0，函数单调递增. ∴当0<c<10时，函数在[c，10)上单调递减，在(10，15]上单调递增， ∴当v=10时，总用氧量最少; 当c≥10时，函数在[c，15]上单调递增，此时v=c时，总用氧量最少. 综上可知，若0<c<10，当v=10时，总用氧量最少; 若c≥10，当v=c时，总用氧量最少. (2)若c≤v≤15(c>0)，求当下潜速度v取什么值时，总用氧量最少. 名师导学第一轮总复习 高三数学 49 走进高考 1.(2025·全国二卷)若2是函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-a)的极值点，则f(0)=　　　　　.  -4 [解析] 由题意有f(x)=(x-1)(x-2)(x-a)， 所以f'(x)=(x-a)(x-1)+(x-1)(x-2)+(x-a)(x-2)， 因为2是函数f(x)的极值点，所以f'(2)=2-a=0，得a=2， 当a=2时，f'(x)=2(x-2)(x-1)+(x-2)2=(x-2)(3x-4)， 当x∈时，f'(x)>0，f(x)单调递增，当x∈时，f'(x)<0，f(x)单调递减， 当x∈(2，+∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增， 所以x=2是函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-a)的极小值点，符合题意. 所以f(0)=-1×(-2)×(-a)=-2a=-4. 名师导学第一轮总复习 高三数学 50 本课结束 谢谢观看 51 $