精品解析：上海市杨浦区2025-2026学年高二下学期期末样题数学试卷

2025学年度第二学期期末（样题） 高二年级数学学科试卷 2026年6月 考生注意： 1．本试卷共5页，21道试题，满分150分．考试时间120分钟，可以使用计算器． 2．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分． 3．务必用钢笔或水笔在答题纸相应位置正面清楚地填写姓名等信息． 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第1—6题每题4分，第7—12题每题5分，请在答题纸相应编号的空格内直接写结果． 1. 2和4的等差中项为_________． 2. 抛物线的焦点的坐标为______． 3. 抛掷枚质地均匀的正方体形状的骰子，得到的点数是偶数的概率为_________． 4. 半径为1的球的表面积为________. 5. 等比数列的首项为1、公比为2，其前6项的和的值为_________． 6. 圆的圆心坐标为_________． 7. 某校统计一组学生的单日志愿者服务时长（单位：分钟），如下是根据统计数据绘制的茎叶图，以时长的十位数字为“茎”排列在左侧、以时长的个位数字为“叶”排列在右侧： 该组学生单日志愿者服务时长的中位数为_________分钟． 8. 已知向量，，若与垂直，则实数的值为_________． 9. 某社区开展青少年实践活动，现有人在线报名，在线平台根据报名先后顺序将这人分为两组，两组成员的年龄（单位：岁）如下： 甲组：12、10、17、16、16、13、15、11； 乙组：13、15、11、10、11、16、14． 社区计划将甲组的人调到乙组，使得甲、乙两组人员的平均年龄都变大，则应该将甲组年龄为_________岁的成员换到乙组． 10. 正方体中，为正方形的中心，若，则的值为_________． 11. 如图，在空间中，由点引出三条射线、、，从中任取两条射线与点构成的角均为．在上取点，使得线段的长度为．过点作直线交于点，且；过点作直线交于点，且；过点作直线交于点，且；…，以此类推，得到一系列点（为正整数）．连接点和，则直线与直线所成角的余弦值为_________． 12. 已知双曲线：的左右焦点分别是、，在双曲线的右支上取2026个不同的点、、…、，要求同时满足下列两个条件： ①，（且）是锐角三角形； ②令，数列是共有2026项的等差数列， 则数列的公差的一个可能的值为_________（答案不唯一）． 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，第13—14题每题4分，第15—16题每题5分，每题有且只有一个正确选项，请在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑． 13. 下列平面图形旋转后能得到如图所示几何体的为（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 14. 已知事件和互斥，下列等式一定成立的为（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 15. 若数列满足，则称是差增数列． 对于以下两个命题： ①若是差增数列，则是严格增数列； ②若由的奇数项组成的子数列和偶数项组成的子数列都是差增数列，则是差增数列， 下列判断正确的为（ ） A. ①是真命题，②是假命题； B. ①是假命题，②是真命题； C. ①是真命题，②是真命题； D. ①是假命题，②是假命题． 16. 甲同学要计算图中伞面布料的面积．他观察发现伞面有8根伞骨支撑，测量得到伞口处长为90厘米，伞拱高为28厘米． 甲作假设： ①忽略伞面布料重叠和接缝的面积；②___________________________________． 甲根据假设和已知条件建立数学模型，计算得到伞面布料的面积约为6905平方厘米，则假设②为（ ） A. 将伞面视作圆锥的侧面； B. 将伞面视作正八棱锥的侧面； C. 将伞面视作圆台的侧面和上底面之和，其上底面的半径视作下底面半径的三分之二； D. 将伞面视作正八棱台的侧面和上底面之和，其上底面边长视作下底面边长的三分之二． 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤． 17. 如图，已知四棱锥的底面是正方形，平面，． （1）求异面直线与所成角的大小； （2）求证：平面． 18. 已知三条直线：，：，：，． （1）若，求的值； （2）若、、不能围成三角形，求的值． 19. 为了解学生使用图书馆情况，某高中按年级进行分层抽样抽取100名学生，以他们一周使用图书馆的时间（单位：小时）作为样本，调查发现样本中的数据均小于5，这100个数据在各区间内的频数记录如下表（、、、、均为自然数）： 使用时间 高一 5 12 3 2 高二 6 16 5 3 4 高三 4 （1）已知该高中三个年级一共有500名学生，其中高一年级有150名学生，求的值； （2）用区间的中点值给区间内每个数据赋值，估计高二年级学生一周使用图书馆的平均时间； （3）现从样本中任意抽取1个数据，记事件为“抽到的数据是高二学生的”，记事件为“抽到的数据在”，判断事件和事件是否独立，并说明理由． 20. 如图，“斗”是中国古代标准容积量器，其形状可视作一个正四棱台．已知该正四棱台的高为厘米，厘米，厘米． （1）求证：； （2）求与平面所成角的大小；注：. （3）古代的米店里用“斗”给顾客量米时，为了显示诚信，用斗量米并用木尺刮平斗口后，会特意再抓一把米小心翼翼地添在斗口中央，让米堆起来形成一个“尖”的形状．假设将这个“尖”视作以为底面的正四棱锥，记作．根据物理学中“休止角”的理论，大米的休止角约为，即可视作二面角的最大值为．若忽略“斗”壁的厚度，求这个“斗”加上“尖”最多可以装大米多少立方厘米．（保留到整数位） 21. 已知椭圆：，点、分别是椭圆位于轴、轴正半轴的两个顶点，点是椭圆上位于第一象限的一个动点． （1）求椭圆的离心率； （2）设点关于原点中心对称的点为，求四边形面积的最大值； （3）点满足，直线与椭圆的另一个交点为点．过点做垂直于轴的直线，设直线交线段于点，若点满足，求证：直线过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年度第二学期期末（样题） 高二年级数学学科试卷 2026年6月 考生注意： 1．本试卷共5页，21道试题，满分150分．考试时间120分钟，可以使用计算器． 2．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分． 3．务必用钢笔或水笔在答题纸相应位置正面清楚地填写姓名等信息． 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第1—6题每题4分，第7—12题每题5分，请在答题纸相应编号的空格内直接写结果． 1. 2和4的等差中项为_________． 【答案】 【解析】 【详解】设为2和4的等差中项，则，因此. 2. 抛物线的焦点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【详解】因为， 所以该抛物线的焦点坐标为，即焦点的坐标为. 3. 抛掷枚质地均匀的正方体形状的骰子，得到的点数是偶数的概率为_________． 【答案】## 【解析】 【详解】抛掷枚质地均匀的正方体骰子，朝上一面的点数的所有可能结果为，共6种， 且每种结果出现的可能性相等，其中点数为偶数的结果为，共种， 所以抛掷枚质地均匀的正方体形状的骰子，得到的点数是偶数的概率为. 4. 半径为1的球的表面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】由球的表面积公式即可得到答案. 【详解】, , ， 故答案为: 【点睛】本题考查球的表面积公式;属于基础题. 5. 等比数列的首项为1、公比为2，其前6项的和的值为_________． 【答案】 【解析】 【详解】依题意，等比数列首项，公比，，得. 6. 圆的圆心坐标为_________． 【答案】 【解析】 【详解】将方程转化为圆的标准方程得：，所以圆心坐标为. 7. 某校统计一组学生的单日志愿者服务时长（单位：分钟），如下是根据统计数据绘制的茎叶图，以时长的十位数字为“茎”排列在左侧、以时长的个位数字为“叶”排列在右侧： 该组学生单日志愿者服务时长的中位数为_________分钟． 【答案】 【解析】 【分析】根据茎叶图统计出样本数据的总个数，结合中位数的定义，找出处于中间位置的两个数值并计算其平均数即可. 【详解】由茎叶图可知，该组数据共有个. 将这组数据从小到大排列，由于样本容量为偶数， 所以中位数为排序后第个数与第个数的平均数. 观察茎叶图可知，前个数分别为， 第个数为，第个数为， 故该组学生单日志愿者服务时长的中位数为（分钟）． 8. 已知向量，，若与垂直，则实数的值为_________． 【答案】 ## 【解析】 【分析】先根据向量线性运算的坐标法则求出与的坐标，再利用两垂直向量数量积为0列方程求解参数. 【详解】首先根据向量线性运算的坐标表示计算： 由， 得： ， . 因为与垂直，根据向量垂直的充要条件，两向量数量积为0， 即：  代入坐标展开计算：  整理得，解得. 9. 某社区开展青少年实践活动，现有人在线报名，在线平台根据报名先后顺序将这人分为两组，两组成员的年龄（单位：岁）如下： 甲组：12、10、17、16、16、13、15、11； 乙组：13、15、11、10、11、16、14． 社区计划将甲组的人调到乙组，使得甲、乙两组人员的平均年龄都变大，则应该将甲组年龄为_________岁的成员换到乙组． 【答案】 13 【解析】 【详解】由题可得：甲组年龄平均数为：，乙组年龄平均数为：， 要想使甲组的1人调到乙组后甲、乙两组人员的平均年龄都变大，只需保证甲里面调出的1人年龄小于，大于即可， 所以调出的人年龄为13岁. 10. 正方体中，为正方形的中心，若，则的值为_________． 【答案】1 【解析】 【分析】由正方体的结构特征，应用空间向量加减、数乘的几何意义得、，进而得到与的线性关系式，即可得. 【详解】因为点是底面的中心， 所以, 因为 , 所以， 由，则，，， 所以. 11. 如图，在空间中，由点引出三条射线、、，从中任取两条射线与点构成的角均为．在上取点，使得线段的长度为．过点作直线交于点，且；过点作直线交于点，且；过点作直线交于点，且；…，以此类推，得到一系列点（为正整数）．连接点和，则直线与直线所成角的余弦值为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】首先根据的递推关系求出的通项公式，然后利用向量的夹角公式求解. 【详解】在中，，，， 由题意可得，所以数列为等比数列，， 点所在的射线规律为，，， ，，， ，，， ，，， 向量， ， ， 直线与直线所成角为， . 12. 已知双曲线：的左右焦点分别是、，在双曲线的右支上取2026个不同的点、、…、，要求同时满足下列两个条件： ①，（且）是锐角三角形； ②令，数列是共有2026项的等差数列， 则数列的公差的一个可能的值为_________（答案不唯一）． 【答案】0.001（答案不唯一） 【解析】 【分析】先计算出双曲线的焦点坐标，再计算出的表达式从而算出的范围，最后计算出公差的范围. 【详解】由题可得，故， 因此焦点，离心率. 设，则， 因为，所以. 根据焦半径公式得，故的最小值为. 因为为锐角三角形， 故， ， ，又， 综上，得， 因此， 因此区间长度， 所以，解得. 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，第13—14题每题4分，第15—16题每题5分，每题有且只有一个正确选项，请在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑． 13. 下列平面图形旋转后能得到如图所示几何体的为（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合选项，利用旋转体的定义，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，由选项A的图形，旋转一周后，得到一个上半部分为圆锥，下半部分为圆柱的几何体，符合题意； 对于B，由选项B的图形，旋转一周后，得到一个上半部分为圆锥，下半部分为圆台的几何体，不符合题意； 对于C，由选项C的图形，旋转一周后，得到一个上半部分为圆锥，下半部分为圆锥的几何体，不符合题意； 对于D，由选项D的图形，旋转一周后，得到一个上半部分为圆锥，中间部分为圆柱，下半部分为圆锥的几何体，不符合题意； 14. 已知事件和互斥，下列等式一定成立的为（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用互斥事件的定义和互斥事件的概率加法公式，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，若事件和互斥，且不妨设， 此时，所以A不一定正确； 对于B，由事件和互斥，可得，所以， 因为不一定为，所以与不一定相等，所以B不正确； 对于C，由互斥事件的概率加法公式，若事件和互斥， 可得，所以C正确； 对于D，若事件和互斥，且不妨设， 则，所以D不一定正确； 15. 若数列满足，则称是差增数列． 对于以下两个命题： ①若是差增数列，则是严格增数列； ②若由的奇数项组成的子数列和偶数项组成的子数列都是差增数列，则是差增数列， 下列判断正确的为（ ） A. ①是真命题，②是假命题； B. ①是假命题，②是真命题； C. ①是真命题，②是真命题； D. ①是假命题，②是假命题． 【答案】D 【解析】 【分析】通过举出反例验证命题的真假. 【详解】对于命题①，设数列为， 则，这几项满足差增数列条件， 但数列不是严格增数列.故命题①为假命题. 对于命题②，设奇数项，偶数项， 奇数项差为， 偶数项差为：当时，； 当时，， 显然奇数项与偶数项组成的子数列满足差增数列， 但，不满足差增数列， 因此数列不是差增数列，故命题②为假命题. 16. 甲同学要计算图中伞面布料的面积．他观察发现伞面有8根伞骨支撑，测量得到伞口处长为90厘米，伞拱高为28厘米． 甲作假设： ①忽略伞面布料重叠和接缝的面积；②___________________________________． 甲根据假设和已知条件建立数学模型，计算得到伞面布料的面积约为6905平方厘米，则假设②为（ ） A. 将伞面视作圆锥的侧面； B. 将伞面视作正八棱锥的侧面； C. 将伞面视作圆台的侧面和上底面之和，其上底面的半径视作下底面半径的三分之二； D. 将伞面视作正八棱台的侧面和上底面之和，其上底面边长视作下底面边长的三分之二． 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件计算各选项对应几何体的表面积，将计算结果与题目给出的6905平方厘米进行比对验证. 【详解】由题意可知，伞口处长为厘米，即底面外接圆直径，解得厘米，伞拱高厘米． 对于选项A，若将伞面视作圆锥的侧面，则母线长厘米， 侧面积平方厘米，与不符，故A错误； 对于选项B，若将伞面视作正八棱锥的侧面，底面为正八边形，其外接圆半径厘米． 如图，取边中点，连接， 则， 所以，底面边长厘米， 底面边心距厘米， 侧面等腰三角形底边上的高（斜高）厘米， 侧面积平方厘米，与题意相符，故B正确； 对于选项C，若视作圆台，下底半径，上底半径，高， 母线， 侧面积， 加上上底面积，总面积远大于，故C错误； 对于选项D，伞面视作正八棱台的侧面和上底面之和，其上底面边长视作下底面边长的三分之二， 如图，取边中点，取边中点，连接， 则， 下底面边长厘米， 下底面边心距厘米， 上底面边长厘米， 上底面边心距厘米， 侧面等腰梯形的高（斜高）厘米 所以，正八棱台侧面积平方厘米， 上底面面积为平方厘米 所以，正八棱台的侧面积与上底面面积和为平方厘米，算也远大于平方厘米，故D错误． 综上所述，假设②为将伞面视作正八棱锥的侧面． 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤． 17. 如图，已知四棱锥的底面是正方形，平面，． （1）求异面直线与所成角的大小； （2）求证：平面． 【答案】（1） （2）证明：平面，平面， ， 又，平面， 平面； 【解析】 【分析】（1）连接，求出，利用线面垂直的性质得到，求出，再由异面直线所成角的定义可知就是异面直线与所成角或其补角，利用余弦定理求角即可； （2）又线面垂直的性质可得，再根据线面垂直的判定证明即可． 【小问1详解】 解：连接， 则， 平面，平面， ， ， ， 就是异面直线与所成角或其补角， ， 故异面直线与所成角的大小为； 【小问2详解】 略 18. 已知三条直线：，：，：，． （1）若，求的值； （2）若、、不能围成三角形，求的值． 【答案】（1） （2） 或或或 【解析】 【分析】（1）利用两直线垂直的一般式系数关系直接求解； （2）不能围成三角形分三线共点、至少两条直线平行两类情况分类讨论求解 【小问1详解】 对于直线和，垂直的充要条件为， 代入、的系数得： ，解得 【小问2详解】 三条直线不能围成三角形分两类： ① 三线共点：联立和的方程，解得交点为， 代入得： ，化简得，解得或； ② 存在平行直线：若，则，解得，此时两直线平行； 若，则，解得，此时两直线平行； 若，则，即，无实根，不存在符合条件的， 综上，的取值为、、、. 19. 为了解学生使用图书馆情况，某高中按年级进行分层抽样抽取100名学生，以他们一周使用图书馆的时间（单位：小时）作为样本，调查发现样本中的数据均小于5，这100个数据在各区间内的频数记录如下表（、、、、均为自然数）： 使用时间 高一 5 12 3 2 高二 6 16 5 3 4 高三 4 （1）已知该高中三个年级一共有500名学生，其中高一年级有150名学生，求的值； （2）用区间的中点值给区间内每个数据赋值，估计高二年级学生一周使用图书馆的平均时间； （3）现从样本中任意抽取1个数据，记事件为“抽到的数据是高二学生的”，记事件为“抽到的数据在”，判断事件和事件是否独立，并说明理由． 【答案】（1） （2）小时 （3）事件与事件不独立，理由如下： 由题意，，且， 因，则， 所以事件与事件不独立. 【解析】 【小问1详解】 由题意，所抽取的100名学生中高一学生人数为人， 所以，可得； 【小问2详解】 由题意，高二年级学生一周使用图书馆的平均时间为小时； 【小问3详解】 略 20. 如图，“斗”是中国古代标准容积量器，其形状可视作一个正四棱台．已知该正四棱台的高为厘米，厘米，厘米． （1）求证：； （2）求与平面所成角的大小；注：. （3）古代的米店里用“斗”给顾客量米时，为了显示诚信，用斗量米并用木尺刮平斗口后，会特意再抓一把米小心翼翼地添在斗口中央，让米堆起来形成一个“尖”的形状．假设将这个“尖”视作以为底面的正四棱锥，记作．根据物理学中“休止角”的理论，大米的休止角约为，即可视作二面角的最大值为．若忽略“斗”壁的厚度，求这个“斗”加上“尖”最多可以装大米多少立方厘米．（保留到整数位） 【答案】（1）证明：由正四棱台的性质，与相交于一点， 所以四点共面， 平面平面， 平面平面， 平面平面， 所以. （2） （3）立方厘米 【解析】 【分析】（1）根据面面平行的性质定理证明线线平行； （2）首先作出正四棱台的高，过作高的平行线得到线面角，求解； （3）作出二面角的平面角，根据已知条件得到高的最大值，然后分别求体积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设上、下底面的中心为， 平面，， 过作交于点，则平面， 即为与平面所成的角， 由已知可得，， 在中，，， ， 则. 【小问3详解】 由题意可得面， 取的中点，，， 所以为二面角的平面角， ， 二面角的最大值为， 所以， ， ， 立方厘米． 21. 已知椭圆：，点、分别是椭圆位于轴、轴正半轴的两个顶点，点是椭圆上位于第一象限的一个动点． （1）求椭圆的离心率； （2）设点关于原点中心对称的点为，求四边形面积的最大值； （3）点满足，直线与椭圆的另一个交点为点．过点做垂直于轴的直线，设直线交线段于点，若点满足，求证：直线过定点． 【答案】（1） （2） （3）证明：，则， 易知，设，， 联立，， ， 则，又，所以， 则， 即， ， ， 故直线过定点． 【解析】 【分析】（1）根据离心率的定义直接计算； （2）设，联立可得，结合基本不等式求最值即可； （3）设，，联立可得，进而得到直线，再求即可得到过定点． 【小问1详解】 解：椭圆：， 则， 则椭圆的离心率； 【小问2详解】 解：由题可知， 点关于原点中心对称的点为，则三点共线，连接， 由题可知直线的斜率存在，且，设， 联立，得，解得， 则， 点到直线的距离，点到直线的距离， ，当且仅当时取等， 故四边形面积的最大值为； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $