20.1 认识二次根式（教学设计）-2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦二次根式的概念、有意义条件及双重非负性，通过正方形花坛边长、直角三角形斜边等生活实例导入，关联已学的算术平方根知识，搭建从具体到抽象的学习支架。 特色在于以情境探究培养数学眼光，通过概念辨析（如判断√(-2)是否为二次根式）发展数学思维，结合分层练习（基础题与提升题）强化数学语言表达，助力学生提升抽象概括能力，为教师提供清晰的教学流程与重难点突破策略。

20.1　认识二次根式20.1 认识二次根式 教学设计 一、教材分析 《认识二次根式》是八年级下册二次根式章节的开篇内容，是学生在掌握平方根、算术平方根知识基础上的延伸拓展。二次根式是初中数学重要的代数式形式，不仅是后续学习二次根式化简、运算的基础，也是勾股定理、一元二次方程、二次函数等知识的重要铺垫，在初中数学知识体系中起到承上启下的关键作用。本节课通过具象实例抽象数学概念，培养学生的符号意识与数学抽象思维，帮助学生建立代数式学习的系统思维。 二、学情分析 八年级学生已经熟练掌握有理数、算术平方根的概念与计算方法，具备一定的观察、归纳和简单推理能力。但学生对“含字母的代数式取值范围”“式子的双重属性”理解较为薄弱，难以快速理解二次根式的双重非负性。同时，学生容易混淆平方根与二次根式的概念，在判断二次根式、确定字母取值范围时容易出错，需要通过实例辨析、分层练习突破难点。 三、教学目标 1. 知识与技能：理解二次根式的定义，熟记二次根式的表示形式，能准确判断一个式子是否为二次根式；掌握二次根式有意义的条件，能熟练求解二次根式中字母的取值范围，理解二次根式的双重非负性。 2. 过程与方法：通过情境探究、实例观察、小组讨论，经历二次根式概念的形成过程，提升抽象概括、逻辑推理和归纳总结的数学能力。 3. 情感态度与价值观：感受二次根式在实际生活中的应用，体会数学源于生活、用于生活，激发数学学习兴趣，培养严谨的数学思维习惯。 四、教学重难点 重点：二次根式的概念，二次根式有意义的条件。 难点：理解二次根式的双重非负性，并能运用其解决简单的求值、取值问题。 五、教学准备 多媒体课件、课堂练习题单、几何图形教具 六、教学过程 （一）情境导入，激趣设疑（5分钟） 课件展示生活实例：1. 已知正方形花坛面积为8平方米，求花坛边长；2. 直角三角形两条直角边分别为3和5，求斜边长度。引导学生列式，得到√8、√34等式子。 提问学生：这些式子有什么共同特征？和之前学的算术平方根有什么联系？通过问题引发学生思考，引出本节课课题——认识二次根式，让学生感知二次根式的实际应用价值。 （二）探究新知，构建概念（20分钟） 1. 归纳二次根式定义：结合导入实例，回顾算术平方根的定义，引导学生观察总结：形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式。其中“√”是二次根号，a是被开方数。教师强调核心要点：二次根式必须含有二次根号，且被开方数必须是非负数。 2. 概念辨析练习：出示√5、√(-2)、√x（x<0）、³√4等式子，让学生判断是否为二次根式，通过对比辨析，明确二次根式的两大判定条件，规避易错点。 3. 探究双重非负性：教师引导学生思考，√a（a≥0）表示非负数a的算术平方根，由此推导双重非负性：一是被开方数a≥0，二是二次根式的值√a≥0。结合实例讲解，让学生理解这一性质的本质，为后续解题奠定基础。 4. 求解字母取值范围：结合例题讲解：求√(x-3)中x的取值范围。总结解题方法：二次根式有意义，只需保证被开方数为非负数，列不等式求解即可。拓展简单综合题型，巩固解题思路。 （三）巩固练习，学以致用（12分钟） 设计分层练习题：基础题，判断各式是否为二次根式、求简单二次根式中字母的取值范围；提升题，利用二次根式非负性求解简单代数式的值。学生独立完成后，小组互评，教师针对共性错误集中讲解，查漏补缺，强化重难点知识。 （四）课堂小结，梳理知识（5分钟） 引导学生自主梳理本节课知识点：二次根式的定义、判定条件、双重非负性、字母取值范围的求解方法。教师补充总结，构建完整的知识框架，帮助学生内化知识。 （五）布置作业（3分钟） 1. 基础作业：课后习题，巩固二次根式判定与取值范围求解；2. 拓展作业：搜集生活中二次根式的应用实例，加深知识理解。 七、板书设计 20.1 认识二次根式 1. 定义：形如√a（a≥0）的式子 2. 判定条件：含二次根号、被开方数非负 3. 双重非负性：a≥0，√a≥0 4. 应用：求字母取值范围、求值 八、教学反思 本节课以生活情境导入，贴合学生认知规律，通过探究、辨析、练习层层递进落实教学目标。大部分学生能够掌握二次根式的基础概念与简单应用，但部分学生对双重非负性的灵活运用能力不足。后续教学中，需增加综合性题型训练，加强易错点对比讲解，同时多引导学生自主探究，进一步提升学生的逻辑推理和知识运用能力。 1．能用二次根式表示实际问题中的数量及数量关系，体会研究二次根式的必要性；(难点) 2．能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念及性质，会求二次根式中被开方数中字母的取值范围．(重点) 一、情境导入 问题1：你能用带有根号的式子填空吗？ (1)面积为3的正方形的边长为________，面积为S的正方形的边长为________． (2)一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130m2，则它的宽为________m. (3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s)与落下的高度h(单位：m)满足关系h＝5t2，如果用含有h的式子表示t，则t＝______． 问题2：上面得到的式子，，，分别表示什么意义？它们有什么共同特征？ 二、合作探究 探究点一：二次根式的定义 下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？ (1)；(2)；(3)； (4)；(5)；(6)(x≤3)； (7)(x≥0)；(8)；(9)； (10)(ab≥0)． 解析：要判断一个根式是不是二次根式，一是看根指数是不是2，二是看被开方数是不是非负数． 解：因为，，＝，(x≤3)，，(ab≥0)中的根指数都是2，且被开方数为非负数，所以都是二次根式.的根指数不是2，，(x≥0)，的被开方数小于0，所以不是二次根式． 方法总结：判断一个式子是不是二次根式，要看所给的式子是否具备以下条件：(1)带二次根号“”；(2)被开方数是非负数． 探究点二：二次根式有意义的条件 【类型一】 根据二次根式有意义求字母的取值范围 求使下列式子有意义的x的取值范围． (1)；(2)；(3). 解析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0且分母不等于0，列不等式(组)求解． 解：(1)由题意得4－3x＞0，解得x＜.当x＜时，有意义； (2)由题意得解得x≤3且x≠2.当x≤3且x≠2时，有意义； (3)由题意得解得x≥－5且x≠0.当x≥－5且x≠0时，有意义． 方法总结：含二次根式的式子有意义的条件： (1)如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是各个二次根式中的被开方数都必须是非负数；(2)如果所给式子中含有分母，则除了保证二次根式中的被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 【类型二】 利用二次根式的非负性求解 (1)已知a、b满足＋|b－|＝0，解关于x的方程(a＋2)x＋b2＝a－1； (2)已知x、y都是实数，且y＝＋＋4，求yx的平方根． 解析：(1)根据二次根式的非负性和绝对值的非负性求解即可；(2)根据二次根式的非负性即可求得x的值，进而求得y的值，进而可求出yx的平方根． 解：(1)根据题意得解得则(a＋2)x＋b2＝a－1，即－2x＋3＝－5，解得x＝4； (2)根据题意得解得x＝3.则y＝4，故yx＝43＝64，±＝±8，∴yx的平方根为±8. 方法总结：二次根式和绝对值都具有非负性，几个非负数的和为0，这几个非负数都为0. 探究点三：和二次根式有关的规律探究性问题 先观察下列等式，再回答下列问题． ①＝1＋－＝1； ②＝1＋－＝1； ③＝1＋－＝1. (1)请你根据上面三个等式提供的信息，写出的结果； (2)请你按照上面各等式反映的规律，试写出用 含n的式子表示的等式(n为正整数)． 解析：(1)从三个等式中可以发现，等号右边第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分母为n，第三个分数的分母就是n＋1，结果是一个带分数，整数部分是1，分数部分的分子也是1，分母是前项分数的分母的积；(2)根据(1)找的规律写出表示这个规律的式子． 解：(1)＝1＋－＝1； (2)＝1＋－＝1(n为正整数)． 方法总结：解答规律探究性问题，都要通过仔细观察找出字母和数之间的关系，通过阅读找出题目隐含条件并用关系式表示出来． 三、板书设计 1．二次根式的定义 一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式． 2．二次根式有意义的条件 被开方数(式)为非负数；有意义⇔a≥0. 通过将新知识与旧知识进行联系与对比，随后由学生熟悉的实际问题出发，用已有的知识进行探究，由此引入二次根式．在教学过程中让学生感受到研究二次根式是实际的需要，体会到数学与实际生活间的紧密联系，以此充分激发学生学习的兴趣． 学科网（北京）股份有限公司 $