专题03 函数（中考4大考点）2026年上海中考数学考前知识点筛查

该初中数学中考复习讲义聚焦“函数”专题，覆盖中考核心的函数基础知识、一次函数、反比例函数、二次函数四大考点，以“知识点梳理+分层练习”构建知识体系，通过考点筛查、方法归纳、真题训练等环节，帮助学生系统掌握函数概念、图像性质及综合应用，突破定义域、图像变换、实际问题建模等难点。 亮点在于“现实情境与数学建模”的深度融合，如设计“上海市居民水费计算”“电动车充电测试”等问题，引导学生用数学眼光观察现实世界的数量关系，用数学思维分析函数图像与实际应用的联系。设置选择、填空、解答题分层训练，配合“函数图像翻折旋转”“二次函数特征值”等创新题型，培养学生的抽象能力与创新意识，教师可据此精准定位学生薄弱点，实现高效复习，提升学生综合解题能力。

专题03函数 考前知识点筛查 知识点梳理 考点01函数基础知识 考点02一次函数 考点03反比例函数 考点04二次函数 知识点01 函数基础知识 1．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 2．直角坐标平面内，已知函数的图像经过点．如果，那么点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．直角坐标平面上有一点，其中，先将点A沿着直线翻折，得到点B，再将点B绕着原点逆时针旋转后得到点C，那么点C与点A的位置关系是（   ） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 4．从，，这三个数中随机抽取其中的两个数，分别记作和．如果点的坐标为，那么点在第二象限内的概率是____． 5．函数的定义域是________． 6．函数的定义域是__________． 7．函数y的定义域是___________． 8．已知f（x）＝，那么f（2）＝_____． 9．已知函数，请解决下列问题： (1)请按照列表、描点、连线的步骤，在平面直角坐标系中画出函数的大致图像； (2)如果一条直线与坐标轴的交点和函数图象与坐标轴的两个交点完全相同，那么这条直线的表达式是________． (3)是函数图象上的点，如果，那么的取值范围是_______． … 0 1 2 … … 2 1 0 … 10．小闵在探究纸杯叠放的高度规律时，得到了一套遗失了部分实验数据的图纸．图①是一张缺失了部分信息的函数图纸，实验数据表示的点，，都落在了线段上；图②是同一次实验的另一张缺失了部分图像的示意图，图中显示了6个相同规格的纸杯叠放后增加的高度． (1)求叠放在一起的纸杯总高度（厘米）关于纸杯数量（个）的函数解析式（不写定义域）； (2)为了保持纸杯清洁，在最上端的纸杯加装一个盖子以后，高度增加了2厘米，此时总高度为46.8厘米，求纸杯的数量． 知识点02 一次函数 11．下列函数中，函数值随着增大而减小的是（） A． B． C． D． 12．下列函数，图象不是一条直线的是（    ）． A． B． C． D． 13．如图是一把完全打开的折扇，此时扇面面积为．当扇面张开的角度为时，扇面面积为，如果，那么与关系的大致图像是（    ） A．B．C． D． 14．下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 15．将直线沿轴向下平移2个单位后得到的直线是，则__________． 16．已知正比例函数的图像经过第二、四象限，点、在该正比例函数的图像上，如果，那么________、（填“”、“”或“”） 17．已知直线与坐标轴交于、两点，那么线段的长是______． 18．已知正比例函数（）图像经过点，那么当自变量x的值增大时，y的值随之_____．（填“增大”或“减小”） 19．直线恒过定点___________． 20．已知一次函数经过点且y随x增大而减小，请写出一个满足上述条件的函数关系式：_______． 21．如果正比例函数的图像经过第一、三象限，那么的值随着的值增大而__________．（填“增大”或“减小”） 22．上海市居民自来水水费由供水费和污水处理费两部分组成，污水处理量由于损耗按照用水量的核定计算，污水处理费统一单价为2元/m3．小户型家庭供水费按年用水量分三档计费，收费标准如下表，每户每年应缴自来水水费（元）与用水量关系如图所示． 分类 第1档 第2档 第3档 用水量（m3） 不超过220 超过220不超过300的部分 超过300的部分 供水费单价（元/m3） 2.25 6.99 污水处理费（元/m3） 2.00 根据上述信息，解答下列问题： (1)第1档的自来水水费1m3的单价为_______元；图中点的纵坐标为________； (2)小华家去年的年用水量为250m3，共缴纳水费1065元．通过计算推出的值为________元； (3)已知小明家去年共缴水费2234元，求小明家去年的年用水量． 23． 综合实践 背景 我国新能源汽车产销量连续10年全球第一，2025年出口261.5万辆，纯电动汽车占比超六成．凭借环保节能的优势，电动车越来越受到青睐，预计到2035年，纯电动汽车将占据市场绝对主导地位． 素材1 工程师对某品牌的款电动车进行充电测试，用快速充电桩和慢速充电桩分别对剩余电量为的两台款电动车同时充电，充电时，各自的电量与充电时间（小时）的函数图象分别为图中的线段和． 素材2 暑假里，小明一家驾驶某品牌的款电动车从家出发去外地旅游，途中发现电量不足，便驶入服务区充电．此时，车辆剩余电量为，但服务区内的快速充电桩已满，只能先使用慢速充电桩充电．小明一家在慢速充电40分钟后，恰好有快速充电桩空出，立即改为快速充电（切换时间忽略不计）．由于行程安排，他们在服务区最多能停留1.5小时． 问题解决 (1)任务一：根据素材1，试分别对快速充电和慢速充电两种情况，写出关于的函数解析式，并分别指出自变量的取值范围． (2)任务二：当他们离开服务区时，车辆的电量能否充至？请说明理由． 24．本市某街道办了一所老年食堂，该街道老人花1000元可买到一张面值1080元的就餐卡，其中80元为政府出资补贴，凭卡就餐时，再按标价的九折在卡中扣款．张爷爷现持有一张面值1080元的就餐卡，如果从4月1日开始，在该月30天中，他每天午餐、晚餐都到老年食堂就餐．假设他的每顿餐费标价相同，均为x元，按九折付款后，到四月30日结束时，卡内余额为y元． (1)求y关于x的函数解析式，并写出定义域． (2)如果张爷爷到月底结束时，卡内还有108元结余，那么他该月每餐标价是多少元？ (3)如果张爷爷将卡内1080元全部用完，此时算上政府补贴及餐费打折，他实际共获得多少元优惠？ 知识点03 反比例函数 25．在函数的图像所在的每一个象限内，的值随的值增大而减小，那么这个函数图像可能经过的点是（  ） A． B． C． D． 26．下列关系式中，y是x的反比例函数的是（  ） A． B． C． D． 27．如果一个反比例函数的图像在它所在的每个象限内，的值随的值增大而减小，那么这个函数图像可能经过的点是（    ） A． B． C． D． 28．如果函数与的图像有公共点，那么下列的值中，满足条件的是（    ） A． B．0 C．1 D．2 29．下列函数中，是的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 30．下列对反比例函数y＝的图象的描述，正确的是（    ） A．与坐标轴有交点 B．有两支，分别在第二、四象限 C．经过点（1，3） D．函数值y随x的值增大而减小 31．在平面直角坐标系中（如图），正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)如果将正比例函数的图像向下平移3个单位，得到的新函数的图像与反比例函数图像相交于点，求的余弦值． 32．如图，在平面直角坐标系中，已知双曲线经过顶点和边上的一点，，．设边与轴正半轴的夹角为，且． (1)求双曲线的表达式； (2)如果轴，求点的坐标． 33．如图，点A在反比例函数的图像上，轴，垂足点B在x轴负半轴上，已知点B，C关于原点对称． (1)当点A的横坐标是时，求的面积； (2)当，求直线的表达式． 34．下图是通过实验测得的一种抗过敏药物服用后，随时间的变化其有效成分含量在人体血液中的变化情况，在最初30分钟含量会直线上升，然后在30分钟至200分钟间稳定在饱和状态，人体血液中含量恒为100个计量单位，之后就会逐步下降，下降过程中人体血液中有效成分含量y个计量单位与时间x分钟之间大致符合函数（，k为常数）． (1)求k的值； (2)如果这种抗过敏药物在人体血液中的含量低于40个计量单位时，就会失去抗过敏的效果，那么第二次服用这种抗过敏药物需要隔多少时间（结果精确到1小时）．（参考数据：，，） 知识点04 二次函数 35．将抛物线向上平移个单位，得到新抛物线的表达式是______． 36．如果抛物线在对称轴的右侧部分下降，那么的取值范围是___________． 37．将抛物线向上平移4个单位后，所得的新抛物线与轴的交点坐标为_________． 38．已知抛物线经过和两点，将该抛物线向右平移2个单位，那么平移后的抛物线的对称轴为_____． 39．已知抛物线，将其向右平移n个单位，使平移后所得的抛物线与坐标轴恰好只有两个公共点，那么n的值是______． 40．如果抛物线（其中a、m、k是常数，且）经过点、，那么抛物线与x轴的交点坐标是______． 41．抛物线与轴的两个交点分别为、，与轴的交点为，若，则点A坐标为___________． 42．抛物线的顶点坐标是___________． 43．将二次函数的图象向左平移个单位后经过原点，则的值为__________． 44．已知抛物线和，它们的顶点分别为和，我们称和互为“反顶点抛物线”．如果抛物线和互为“反顶点抛物线”，且的顶点在上，那么的值是______． 45．联结抛物线上任意两点的线段叫做抛物线的弦．如果抛物线的一条弦与抛物线的对称轴垂直，垂足为点，抛物线的顶点为，当时，的长称为这条抛物线的特征值．我们知道，平移不改变抛物线的特征值，那么抛物线的特征值是_______． 46．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，顶点为．直线经过点，且． (1)求直线的表达式； (2)已知抛物线也经过、两点，且开口向下，顶点为．设为抛物线与直线的交点，连接、、，当四边形是梯形时，求抛物线的表达式． 47．在平面直角坐标系中，如果某一个点的纵坐标比横坐标小1，那么我们把这样的点称为“一步点”，例如点、都是“一步点”． 在平面直角坐标系中（如图），如果某条抛物线的顶点是“一步点”，当它的顶点的横坐标为时，该抛物线与轴的交点为． (1)求这条抛物线的表达式和抛物线上的另一个“一步点”； (2)已知直线与轴、轴分别交于点、．将（1）中的抛物线平移得到一条新抛物线，如果新抛物线的顶点还是“一步点”．设点的横坐标为． ①当点在的内部时，求的取值范围； ②设新抛物线与轴的交点为，当时，求新抛物线的表达式． 48．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点． (1)若点到抛物线的对称轴的距离为2，求的值； (2)若，点为抛物线上一点，线段与轴交于点，且，求点的坐标： (3)将抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，使所得的新抛物线经过原点且顶点在直线上．如果，求抛物线的解析式． 49．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与x轴，y轴交于点A、B，点C是线段上一点，C与B不重合．以点C为顶点的二次函数的图像经过点B．将该二次函数的图像平移后得到新抛物线，点B、C的对应点分别是、，且点的坐标为，点的纵坐标为． (1)求点C的坐标及二次函数的解析式； (2)若点P是新抛物线对称轴上一点，且以P、A、C为顶点的三角形与相似，且相似比不等于1，求点P的坐标； (3)点和在新抛物线上，且对于任意实数，当时，，求实数m的取值范围． 50．已知抛物线． (1)画抛物线时，如果列出的两组数据如表（信息不完整）所示，请直接写出该抛物线的对称轴，并求此时和之间的数量关系； 1 2 2 (2)已知点为抛物线与轴的交点，点、在抛物线上，连接、、和． ①如果四边形为正方形，那么的值是 ，和之间的数量关系是 ； ②如图，当时，已知四边形为菱形，．点在抛物线上且横坐标为2，连接、，如果的面积为，求抛物线的表达式． 51．如图1，四边形中，，，，． (1)求证：，并求与的相似比k； (2)如图2，我们以直线为x轴，以过点C且垂直于线段的直线为y轴，建立平面直角坐标系，已知． ①求图像经过点A、B、C三点的二次函数解析式； ②如果我们将（1）中与的关系看作是一种图形变换，这种变换是将先绕点B按顺时针方向旋转，使点C落在上，点D落在上，再将旋转得到的三角形的边长都扩大到原来的k倍，从而得到，我们将称为的像，将称为的原像．如果是的像，而是的原像，试直接写出点E和点F的坐标：点E的坐标是，点F的坐标是． 52．在平面直角坐标系中，抛物线经过点、，与x轴的负半轴交于点C． (1)求该抛物线的表达式及点C的坐标； (2)设点D在该抛物线上（位于对称轴右侧部分），连接． ①如果与线段交于点E，且，求的正切值； ②如果与y轴交于点F，以为半径的，与以为半径的外切，求点D的坐标． 53．已知抛物线，抛物线上有点． (1)当抛物线顶点坐标为，且经过时； ①求抛物线解析式； ②点坐标为，为抛物线上第一象限的一个动点，其横坐标为，若是锐角，且，请求出的取值范围． (2)已知； ①若，与的横坐标之和为，求直线的斜率； ②若该抛物线经过点、，该抛物线与轴不同于点的交点为点，点在线段上，延长交抛物线于点，点的横坐标为，若，求的取值范围； ③若，，点为抛物线上第一象限的动点，已知、，直线与直线分别交抛物线于另一点，请问：直线是否过定点？若是，请求出定点坐标，若不是，则说明理由． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03函数 考前知识点筛查 知识点梳理 考点01函数基础知识 考点02一次函数 考点03反比例函数 考点04二次函数 知识点01 函数基础知识 1．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的性质，分母不能为0，据此计算得到的取值范围即可选出正确答案． 【详解】解：∵函数 中是分式，分式的分母不能为0， ∴ ， 解得 ， 因此函数的定义域为 ． 2．直角坐标平面内，已知函数的图像经过点．如果，那么点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】将点坐标代入即可分析求解． 【详解】解：∵函数的图像经过点， 则 ∵， ∴， 则点在第四象限． 3．直角坐标平面上有一点，其中，先将点A沿着直线翻折，得到点B，再将点B绕着原点逆时针旋转后得到点C，那么点C与点A的位置关系是（   ） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 【答案】B 【分析】先根据轴对称的坐标变换规律得到点B的坐标，再根据绕原点逆时针旋转的坐标变换规律得到点C的坐标，最后对比点A和点C的坐标，判断二者位置关系． 【详解】解：∵ 点沿直线翻折得到点B，点关于对称时横纵坐标互换， ∴ 点B的坐标为． ∵ 平面内任意点绕原点逆时针旋转后，所得点的坐标为， ∴ 将代入得，点C的坐标为． ∵ 点与点纵坐标相等，横坐标互为相反数， ∴ 点A与点C关于轴对称． 4．从，，这三个数中随机抽取其中的两个数，分别记作和．如果点的坐标为，那么点在第二象限内的概率是____． 【答案】 【分析】本题考查概率的计算，先列举出所有等可能的结果，再根据第二象限内点的坐标特征找出符合条件的结果，最后利用概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意，列举所有等可能的点，共有种等可能的结果， 分别为：，，，，，， 第二象限内点的坐标特征为横坐标小于，纵坐标大于， 符合该特征的点有个，分别为，， 根据概率公式可得点在第二象限内的概率为． 5．函数的定义域是________． 【答案】 【详解】解：依题意得，解得． 6．函数的定义域是__________． 【答案】 【详解】解：要使函数有意义，需满足分式分母不为，即， 解得 ． 7．函数y的定义域是___________． 【答案】 【分析】由于函数解析式是分式，则要求分母不为零，则可求得自变量的取值范围即函数的定义域． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围，初中求自变量取值范围的常常是三类函数：解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数；解析式是分式时，分母不为零；解析式是二次根式时，被开方数非负． 8．已知f（x）＝，那么f（2）＝_____． 【答案】1 【分析】把x=2代入f（x）=，求得答案即可． 【详解】解：当x＝2时，f（2）＝＝1， 故答案为：1． 【点睛】考查了函数值的知识，解题的关键是代入后正确的计算，难度不大． 9．已知函数，请解决下列问题： (1)请按照列表、描点、连线的步骤，在平面直角坐标系中画出函数的大致图像； (2)如果一条直线与坐标轴的交点和函数图象与坐标轴的两个交点完全相同，那么这条直线的表达式是________． (3)是函数图象上的点，如果，那么的取值范围是_______． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）先列表，再描点，最后连线画出函数图象即可； （2）根据题意可得所求的直线经过点和，据此利用待定系数法求解即可； （3）根据函数图象可得答案． 【详解】（1）解：列表如下： … 0 1 2 … … 2 1 0 … （2）解：由（1）可知函数与x轴交于点，与y轴交于点， 设经过点和的直线的表达式为， ∴， ∴， ∴经过点和的直线的表达式为， 即所求的直线的表达式为； （3）解：由函数图象可知，当时，， ∴如果，那么的取值范围是． 10．小闵在探究纸杯叠放的高度规律时，得到了一套遗失了部分实验数据的图纸．图①是一张缺失了部分信息的函数图纸，实验数据表示的点，，都落在了线段上；图②是同一次实验的另一张缺失了部分图像的示意图，图中显示了6个相同规格的纸杯叠放后增加的高度． (1)求叠放在一起的纸杯总高度（厘米）关于纸杯数量（个）的函数解析式（不写定义域）； (2)为了保持纸杯清洁，在最上端的纸杯加装一个盖子以后，高度增加了2厘米，此时总高度为46.8厘米，求纸杯的数量． 【答案】(1)； (2)纸杯的数量为30个． 【详解】（1）解：我们可以先分析图②：6个纸杯叠放增加的高度是，所以每增加1个纸杯，高度增加， 由图①知，当时，， ∴函数解析式为； （2）解：由题意得， 解得， 答：纸杯的数量为30个． 知识点02 一次函数 11．下列函数中，函数值随着增大而减小的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不同函数的增减性，只需根据各类函数的性质，逐一判断选项即可得到结果． 【详解】解：对选项A：是开口向下的二次函数，对称轴为，当时，随增大而增大，A不符合要求； 对选项B：是反比例函数，，在每个象限内随增大而增大，且在整个定义域不满足随增大而减小，B不符合要求； 对选项C：是一次函数，比例系数为，在全体实数范围内，随增大而减小，C符合要求； 对选项D：是常函数，函数值不随变化而改变，D不符合要求． 12．下列函数，图象不是一条直线的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数图象特征作出判断即可． 【详解】解：对于选项A：是二次函数，图象是一条抛物线，符合题意； 对于选项B： 是一次函数，图象是一条直线，不符合题意； 对于选项C： 是一条平行于轴的直线，不符合题意； 对于选项D： 是正比例函数，图象是一条直线，不符合题意． 13．如图是一把完全打开的折扇，此时扇面面积为．当扇面张开的角度为时，扇面面积为，如果，那么与关系的大致图像是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】设扇形的半径为r，完全打开时的角度为t，表示出，再表示出当扇面张开的角度为时，扇面面积，然后得到，进而求解即可． 【详解】解：设扇形的半径为r，完全打开时的角度为t， ∴， 当扇面张开的角度为时，扇面面积， ∴， ∴与成正比例关系， ∴与关系的大致图像是： ． 14．下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正比例函数的性质及反比例函数性质直接判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， A选项为正比例函数：∵，∴y随自变量x的值增大而增大，故A选项不符合题意； B选项正比例函数：∵，∴y随自变量x的值增大而减小，故B选项符合题意； C选项反比例函数，：∵，∴在与上，y随自变量x的值增大而减小，但，故C选项不符合题意； D选项反比例函数，：，∴在与上，y随自变量x的值增大而增大，故D选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查正比例函数的性质与反比例函数性质，解题的关键是熟练掌握两种函数的性质． 15．将直线沿轴向下平移2个单位后得到的直线是，则__________． 【答案】 【分析】利用一次函数沿y轴平移“上加下减”的规律，得到平移后的直线解析式，对比已知条件即可求出的值． 【详解】解：将直线沿y轴向下平移个单位后，得到的直线解析式为， 已知平移后得到的直线是， 因此可得， 解得． 16．已知正比例函数的图像经过第二、四象限，点、在该正比例函数的图像上，如果，那么________、（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】先根据正比例函数图象经过的象限判断比例系数的符号，再结合正比例函数的增减性，比较与的大小． 【详解】解：设该正比例函数的解析式为， 因为正比例函数的图像经过第二、四象限， 所以可得， 根据正比例函数的性质，当时，随的增大而减小. 又因为， 所以． 17．已知直线与坐标轴交于、两点，那么线段的长是______． 【答案】10 【分析】先求出、两点的坐标，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：在直线中， 令，则； 令，则，解得； ，． ． 18．已知正比例函数（）图像经过点，那么当自变量x的值增大时，y的值随之_____．（填“增大”或“减小”） 【答案】减小 【分析】本题考查正比例函数的性质．将已知点的坐标代入正比例函数解析式求出的值，根据的符号判断函数的增减性即可得到结论． 【详解】解：把代入， 可得 ， 解得， 根据正比例函数的性质，当时，函数值随自变量的增大而减小． 19．直线恒过定点___________． 【答案】 【分析】将直线解析式变形为，易知当时，，从而得到直线恒过定点． 【详解】解：∵， ∴， 当时，即时，， ∴直线恒过定点． 20．已知一次函数经过点且y随x增大而减小，请写出一个满足上述条件的函数关系式：_______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】设一次函数的表达式为，由随的增大而减小，则，图像经过点，可得的值，综合两者取值即可． 【详解】解：设一次函数的表达式为， ∵图像经过点， ∴， ∵随的增大而减小 ∴， 即取负数，当时，函数解析式为． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了一次函数的性质，开放性试题，答案不唯一，满足条件即可． 21．如果正比例函数的图像经过第一、三象限，那么的值随着的值增大而__________．（填“增大”或“减小”） 【答案】增大 【分析】根据题目信息，正比例函数的图像经过第一、三象限，可得k的值大于0，即可得出结论． 【详解】根据正比例函数的性质可知， 如果正比例函数y=kx的图像经过第一、三象限，那么k>0， 那么y的值随自变量x的值增大而增大． 故答案为：增大． 【点睛】本题考查正比例函数的性质，属于基础题，熟练掌握正比例函数的性质即可解题． 22．上海市居民自来水水费由供水费和污水处理费两部分组成，污水处理量由于损耗按照用水量的核定计算，污水处理费统一单价为2元/m3．小户型家庭供水费按年用水量分三档计费，收费标准如下表，每户每年应缴自来水水费（元）与用水量关系如图所示． 分类 第1档 第2档 第3档 用水量（m3） 不超过220 超过220不超过300的部分 超过300的部分 供水费单价（元/m3） 2.25 6.99 污水处理费（元/m3） 2.00 根据上述信息，解答下列问题： (1)第1档的自来水水费1m3的单价为_______元；图中点的纵坐标为________； (2)小华家去年的年用水量为250m3，共缴纳水费1065元．通过计算推出的值为________元； (3)已知小明家去年共缴水费2234元，求小明家去年的年用水量． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据水费的单价=供水费单价+污水处理费单价求解即可；求出用水量为的水费即可； （2）根据共缴水费元列出方程求解即可； （3）先判断，然后根据共缴水费元列出方程求解即可. 【详解】（1）解：第1档的自来水水费1m3的单价为元， ∵， ∴图中点的纵坐标为； （2）解：根据题意，得， 解得； （3）解：当时，， ∵， ∴， ∴， 解得， 答：小明家去年的年用水量. 23． 背景 我国新能源汽车产销量连续10年全球第一，2025年出口261.5万辆，纯电动汽车占比超六成．凭借环保节能的优势，电动车越来越受到青睐，预计到2035年，纯电动汽车将占据市场绝对主导地位． 素材1 工程师对某品牌的款电动车进行充电测试，用快速充电桩和慢速充电桩分别对剩余电量为的两台款电动车同时充电，充电时，各自的电量与充电时间（小时）的函数图象分别为图中的线段和． 素材2 暑假里，小明一家驾驶某品牌的款电动车从家出发去外地旅游，途中发现电量不足，便驶入服务区充电．此时，车辆剩余电量为，但服务区内的快速充电桩已满，只能先使用慢速充电桩充电．小明一家在慢速充电40分钟后，恰好有快速充电桩空出，立即改为快速充电（切换时间忽略不计）．由于行程安排，他们在服务区最多能停留1.5小时． 问题解决 (1)任务一：根据素材1，试分别对快速充电和慢速充电两种情况，写出关于的函数解析式，并分别指出自变量的取值范围． (2)任务二：当他们离开服务区时，车辆的电量能否充至？请说明理由． 【答案】(1)快速充电的函数解析式为； 慢速充电的函数解析式为； (2)解：当他们离开服务区时，车辆的电量不能充至， 理由：小时， 把代入得， 把代入得， 解得， 若充到，还需要（小时），， 车辆的电量不能充至， 当他们离开服务区时，车辆的电量不能充至. 【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可； （2）求出车辆的电量能充至所需时间，再与进行比较即可得到结论． 【详解】（1）解：设快速充电的函数解析式为， 把代入得，解得， 快速充电的函数解析式为； 设慢速充电的函数解析式为， 把，代入得，解得， 慢速充电的函数解析式为； （2）略 24．本市某街道办了一所老年食堂，该街道老人花1000元可买到一张面值1080元的就餐卡，其中80元为政府出资补贴，凭卡就餐时，再按标价的九折在卡中扣款．张爷爷现持有一张面值1080元的就餐卡，如果从4月1日开始，在该月30天中，他每天午餐、晚餐都到老年食堂就餐．假设他的每顿餐费标价相同，均为x元，按九折付款后，到四月30日结束时，卡内余额为y元． (1)求y关于x的函数解析式，并写出定义域． (2)如果张爷爷到月底结束时，卡内还有108元结余，那么他该月每餐标价是多少元？ (3)如果张爷爷将卡内1080元全部用完，此时算上政府补贴及餐费打折，他实际共获得多少元优惠？ 【答案】(1)，定义域为 (2)18元 (3)200元 【分析】（1）先求出张爷爷月份共就餐的顿数，再求出总扣款的钱数，即可得出y关于x的函数解析式，根据，且，即可求出定义域； （2）求出当时的值即可得出结果； （3）先消费的总餐费标价，再结合总优惠包括政府补贴和餐费九折优惠，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得，张爷爷月份共就餐（顿）， 每顿实际扣款为元，则总扣款为（元）， ∴y关于x的函数解析式为， ∵，且， ∴； （2）解：当时，， 解得：， 故他该月每餐标价是元； （3）解：设消费的总餐费标价为元， 由题意可得：， ∴， 故餐费九折优惠的金额为：（元）， ∵政府补贴80元， 故实际共获得优惠金额为（元）． 知识点03 反比例函数 25．在函数的图像所在的每一个象限内，的值随的值增大而减小，那么这个函数图像可能经过的点是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据函数的增减性判断的符号，再结合反比例函数中的关系判断各点是否符合要求即可． 【详解】解：对于反比例函数，在每个象限内随的增大而减小， ， 因为反比例函数中满足，因此该点横纵坐标的乘积应为正， 、，不符合要求； 、，不符合要求； 、，不满足，不符合要求； 、  ，满足，符合要求； 故选：． 26．下列关系式中，y是x的反比例函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵反比例函数的标准形式为（k为常数，） A、是正比例函数，不符合反比例函数定义，排除； B、符合的形式，其中，因此y是x的反比例函数，符合要求； C、是二次函数，不符合反比例函数定义，排除； D、是y关于的反比例函数，不是y关于x的反比例函数，不符合定义，排除． 27．如果一个反比例函数的图像在它所在的每个象限内，的值随的值增大而减小，那么这个函数图像可能经过的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设反比例函数解析式为， ∵该反比例函数在每个象限内，随的增大而减小， ∴， A、 ，符合要求； B 、 ，不符合要求； C 、 ，不符合要求； D 、反比例函数中，图像不经过原点，不符合 要求． 28．如果函数与的图像有公共点，那么下列的值中，满足条件的是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】两个函数图象有公共点，说明联立两个函数的解析式得到的方程组有非零解，利用平方的非负性得到的取值范围，再结合选项判断即可． 【详解】解：∵函数与的图象有公共点， ∴联立有解，且． 消去得：， 两边同乘（）得：， 整理得：， ∵（）， ∴，即分子分母同号． 可得两种情况： ①，解得； ②，解得； 结合选项，只有满足条件． 29．下列函数中，是的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据反比例函数的定义，逐一判断各选项即可得出结论． 【详解】解：A、是二次函数，不符合反比例函数定义，该选项不符合题意； B、的分母不是的单项式，不符合反比例函数定义，该选项不符合题意； C、，符合反比例函数定义，该选项符合题意； D、是正比例函数，不符合反比例函数定义，该选项不符合题意． 30．下列对反比例函数y＝的图象的描述，正确的是（    ） A．与坐标轴有交点 B．有两支，分别在第二、四象限 C．经过点（1，3） D．函数值y随x的值增大而减小 【答案】C 【分析】根据反比例函数的性质判断即可． 【详解】解：A、反比例函数y＝的图象与坐标轴无交点，故A错误； B、∵k＝3＞0， ∴双曲线的两个分支，分别在第一、三象限，故B错误； C、∵1×3＝3＝k， ∴反比例函数y＝的图象经过点（1，3），故C正确； D、∵k＞0， ∴函数值y在每个象限内随x的值增大而减小，故D错误， 故选：C． 【点睛】本体法考查反比例函数的图像及性质，熟知反比例函数的图像性质是关键 31．在平面直角坐标系中（如图），正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)如果将正比例函数的图像向下平移3个单位，得到的新函数的图像与反比例函数图像相交于点，求的余弦值． 【答案】(1)； (2)的余弦值为 【分析】（1）先求得点，再利用待定系数法求解即可； （2）利用平移的性质求得平移后函数的表达式为，联立求得点，再求得，作于点，求得各边的长以及边上的高，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵正比例函数的图像经过点， ∴， ∴点， ∵反比例函数的图像经过点， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：将正比例函数的图像向下平移3个单位，则平移后函数的表达式为， 联立得， 解得或， 当时，， ∴点， 设直线交轴于点，直线的表达式为， ∴， 解得， ∴直线的表达式为， 令，则， 解得， ∴点， ∴， 作于点， ，，， ∵， ∴， ∴， ， ∴的余弦值． 32．如图，在平面直角坐标系中，已知双曲线经过顶点和边上的一点，，．设边与轴正半轴的夹角为，且． (1)求双曲线的表达式； (2)如果轴，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图：过C作轴于D，解直角三角形可得、，即；再利用待定系数法求解即可； （2）先求得，如图：过A作轴于E， 再解直角三角形可得，即点A的纵坐标为；再根据轴可得点B的纵坐标为，然后再求点B的横坐标即可解答． 【详解】（1）解：如图：过C作轴于D， ∵，． ∴，即，解得：， ∴， ∴， 设双曲线的表达式为， ∵C在双曲线上， ∴，解得：， ∴双曲线的表达式为． （2）解：∵，， ∴， ∴， 如图：过A作轴于E， ∵，． ∴，即，解得：， ∴点A的纵坐标为， ∵轴， ∴点B的纵坐标为， ∵点B在双曲线上， ∴点B的横坐标为， ∴． 33．如图，点A在反比例函数的图像上，轴，垂足点B在x轴负半轴上，已知点B，C关于原点对称． (1)当点A的横坐标是时，求的面积； (2)当，求直线的表达式． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）由题意易得，则有，，然后可得，，进而问题可求解； （2）由题意易得，则有，设，由题意知，，，然后得出点A、C的坐标，进而利用待定系数法进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入反比例函数得：， ∴， ∵轴， ∴，， ∵点B，C关于原点对称， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵点B，C关于原点对称， ∴， ∴， 设，由题意知，，， 把代入反比例函数得：， 解得：，（负根舍去） ∴， 设直线的解析式为，则有， ，解得：， ∴直线的解析式为． 34．下图是通过实验测得的一种抗过敏药物服用后，随时间的变化其有效成分含量在人体血液中的变化情况，在最初30分钟含量会直线上升，然后在30分钟至200分钟间稳定在饱和状态，人体血液中含量恒为100个计量单位，之后就会逐步下降，下降过程中人体血液中有效成分含量y个计量单位与时间x分钟之间大致符合函数（，k为常数）． (1)求k的值； (2)如果这种抗过敏药物在人体血液中的含量低于40个计量单位时，就会失去抗过敏的效果，那么第二次服用这种抗过敏药物需要隔多少时间（结果精确到1小时）．（参考数据：，，） 【答案】(1) (2)这种抗过敏药物约隔5小时需服用一次 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出上升段的表达式，然后把代入求出时间，再把代入（1）中的函数表达式求出时间，即可求出时间差． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴； （2）解：设上升段的表达式为，代入可得，， 解得， ∴上升段的表达式为， 当时，则； 由（1）得下降过程中的函数， 在中，当时，， 解得或（舍去）， ∴ 答：隔5小时需服用第二次． 知识点04 二次函数 35．将抛物线向上平移个单位，得到新抛物线的表达式是______． 【答案】 【分析】根据二次函数图象平移规则“左加右减，上加下减”，向上平移直接在函数表达式整体加上平移的单位，即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线向上平移个单位， ∴得到新抛物线的表达式是． 36．如果抛物线在对称轴的右侧部分下降，那么的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质，抛物线在对称轴右侧部分下降，说明抛物线开口向下，据此可得的取值范围． 【详解】解：抛物线在对称轴的右侧部分下降， 抛物线开口向下， ， 故答案为：． 37．将抛物线向上平移4个单位后，所得的新抛物线与轴的交点坐标为_________． 【答案】 【分析】根据二次函数图象的平移规律得到新抛物线的解析式，再利用y轴上点的横坐标为，代入解析式求出纵坐标，即可得到交点坐标 ． 【详解】解：∵ 将抛物线向上平移个单位， 根据平移的“上加下减”规律，可得新抛物线解析式为： ， 整理得 . ∵ 抛物线与轴交点的横坐标为， 将代入新抛物线解析式，得， ∴ 所得新抛物线与轴的交点坐标为 ． 38．已知抛物线经过和两点，将该抛物线向右平移2个单位，那么平移后的抛物线的对称轴为_____． 【答案】直线 【分析】先根据抛物线上纵坐标相等的两点坐标求出原抛物线的对称轴，再根据抛物线平移规律得到平移后抛物线的对称轴． 【详解】∵抛物线经过和两点，两点纵坐标相等， ∴两点关于抛物线的对称轴对称， ∴原抛物线的对称轴为：直线， ∵将抛物线向右平移个单位时，对称轴同步向右平移个单位， ∴平移后抛物线的对称轴为直线 ． 39．已知抛物线，将其向右平移n个单位，使平移后所得的抛物线与坐标轴恰好只有两个公共点，那么n的值是______． 【答案】3 【分析】根据题意得出原点在平移后的抛物线上，将代入平移后的抛物线解析式求解即可； 【详解】解：， 原抛物线判别式， 令得， 则原抛物线与轴交点为， 左右平移不改变抛物线的判别式，因此平移后抛物线始终与轴有2个交点，且一定与轴有1个交点， ∵平移后所得的抛物线与坐标轴恰好只有两个公共点，平移后的抛物线与轴恒有两个不同交点，与轴恒有一个交点，要使总共只有两个公共点，则必然是其中一个轴交点与轴交点重合于原点， 即原点在平移后的抛物线上， 抛物线向右平移个单位，平移后解析式为：， 将代入得：， 解得：（舍去）， 因此的值为． 40．如果抛物线（其中a、m、k是常数，且）经过点、，那么抛物线与x轴的交点坐标是______． 【答案】和 【分析】由题意可得抛物线是由抛物线向右平移个单位得到的，结合平移的性质计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：抛物线是由抛物线向右平移个单位得到的， ∵抛物线（其中a、m、k是常数，且）经过点、， ∴抛物线与x轴的交点坐标为和，即和． 41．抛物线与轴的两个交点分别为、，与轴的交点为，若，则点A坐标为___________． 【答案】 【分析】先设抛物线与x轴交点坐标，根据抛物线性质得到与y轴交点C的坐标，再结合推导得到边的关系，结合根与系数的关系求出参数c的值，解方程得到抛物线与x轴交点，确定A点坐标． 【详解】解：设，，且，坐标原点为O， 对于抛物线，令，得，即， 令，得，整理得， 由根与系数的关系得，， 如图， ∵，， ∴，， ∴， 又 ∴， ∴，即， ∵抛物线开口向下，与x轴有两个交点， ∴，且， ∴， ∴， 代入，得，即， 解得或（舍去），不符合抛物线与x轴交于两个点的条件. 将代入得， 解得，， ∵， ∴， ∴点A坐标为 ． 42．抛物线的顶点坐标是___________． 【答案】 【分析】根据顶点式的性质确定顶点坐标即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 43．将二次函数的图象向左平移个单位后经过原点，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律“左加右减”是解题的关键．根据二次函数图象平移规律“左加右减”，得到平移后的函数解析式，再代入原点坐标求解即可． 【详解】解：将二次函数的图象向左平移个单位后，新函数解析式为． 由于图象经过原点，代入点得：， 即， 整理得， 或， 或， ， ． 故答案为：． 44．已知抛物线和，它们的顶点分别为和，我们称和互为“反顶点抛物线”．如果抛物线和互为“反顶点抛物线”，且的顶点在上，那么的值是______． 【答案】或 【分析】利用二次函数顶点解析式以及待定系数法进行求解． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为， 根据题意得，， 将代入解析式得， 解得或． 45．联结抛物线上任意两点的线段叫做抛物线的弦．如果抛物线的一条弦与抛物线的对称轴垂直，垂足为点，抛物线的顶点为，当时，的长称为这条抛物线的特征值．我们知道，平移不改变抛物线的特征值，那么抛物线的特征值是_______． 【答案】 【分析】由于平移不改变抛物线的特征值，抛物线的特征值是即为抛物线的特征值，据此画出图象结合新定义求解即可． 【详解】解：∵平移不改变抛物线的特征值， ∴抛物线的特征值即为抛物线的特征值，如图： 此时抛物线的对称轴为轴， ∵，轴 ∴，即 设，则， ∴， 将点代入，则， 解得或（舍去） ∴． 46．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，顶点为．直线经过点，且． (1)求直线的表达式； (2)已知抛物线也经过、两点，且开口向下，顶点为．设为抛物线与直线的交点，连接、、，当四边形是梯形时，求抛物线的表达式． 【答案】(1)直线的表达式 (2)抛物线或 【分析】本题主要考查二次函数与几何的结合，涉及待定系数法求解析式，求一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，两点之间的距离，以及梯形的性质，解题的关键是应用分类讨论思想． （1）根据待定系数法求得抛物线，即可知点，过点M作轴，交x轴于点C，交直线l于点N，可证明，有，结合两点之间距离求得，利用待定系数法即可求得直线的表达式； （2）根据题意的，利用待定系数法求得抛物线，则点，联立方程求得点，结合梯形的性质若，过点N作轴于点C，过点M作平行于x轴的直线与过点D作轴于点C，线段与x轴交于点F，则点，且，有，两点之间距离公式求得a（当a值接近0时不满足题干要求的梯形字母顺序，故舍去）；若，过点M作轴于点G，过点D作平行于x轴的直线与过点N作轴于点H，同理可得，点，求得a即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点， ∴， 解得， 则抛物线， ∴点， 如图，过点M作轴，交x轴于点C，交直线l于点N， 则，， ∵， ∴， ∴， 则， ∴， ∵点和点， ∴，， 则，解得， ∴点 ∴设直线l的解析式为， ∵直线经过点和点N， ∴， 解得 则直线的表达式； （2）解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线经过、两点， ∴， 解得， 则抛物线， ∵抛物线顶点为， ∴， 联立， 解得，， 则点， ∵四边形是梯形， ∴，或， ①如图，若，过点N作轴于点C，过点M作平行于x轴的直线与过点D作轴于点C，线段与x轴交于点F， 则，，点，点， ∴， ∴， ∵点，点，点，点，点， ∴，，，， 则， 解得，（构不成梯形，舍去）， 那么，抛物线； ②若，过点M作轴于点G，过点D作平行于x轴的直线与过点N作轴于点H， 同理可得，点，点， ∴，，，，， 则， 解得，（构不成梯形，舍去）， 那么，抛物线． 47．在平面直角坐标系中，如果某一个点的纵坐标比横坐标小1，那么我们把这样的点称为“一步点”，例如点、都是“一步点”． 在平面直角坐标系中（如图），如果某条抛物线的顶点是“一步点”，当它的顶点的横坐标为时，该抛物线与轴的交点为． (1)求这条抛物线的表达式和抛物线上的另一个“一步点”； (2)已知直线与轴、轴分别交于点、．将（1）中的抛物线平移得到一条新抛物线，如果新抛物线的顶点还是“一步点”．设点的横坐标为． ①当点在的内部时，求的取值范围； ②设新抛物线与轴的交点为，当时，求新抛物线的表达式． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征． （1）根据“一步点”的定义，抛物线的顶点的横坐标为时，顶点坐标为，设抛物线的表达式为，将代入求解即可；设抛物线上的“一步点”坐标为，则，联立，，求解即可； （2）①先确定点、的坐标，根据顶点是“一步点”， 且点的横坐标为，得到，当点在的内部时，则点在第一象限且在直线下方，据此求解；②由平移性质可知，新抛物线的表达式为，令，得，求出，，根据建立方程求解即可． 【详解】（1）解：根据“一步点”的定义，抛物线的顶点的横坐标为时，顶点坐标为， 设抛物线的表达式为， 将代入得， ， 解得， 抛物线的表达式为，即， 设抛物线上的“一步点”坐标为，则， 将代入抛物线表达式得，， 解得，， 当时，，点为， 当时，，点为； （2）①对于， 令，得，， 令，得，， 顶点是“一步点”， 且点的横坐标为， ， 若点在的内部，则点在第一象限且在直线下方， ， 解得， 的取值范围是； ②由平移性质可知，新抛物线的表达式为， 令，得 ，， 过点作轴于点，则， ，， 在中，， 在中，， ， ，解得， 当时，，与原抛物线重合，不合题意，舍去， 当时，， 新抛物线的表达式为． 48．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点． (1)若点到抛物线的对称轴的距离为2，求的值； (2)若，点为抛物线上一点，线段与轴交于点，且，求点的坐标： (3)将抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，使所得的新抛物线经过原点且顶点在直线上．如果，求抛物线的解析式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据对称轴公式可得抛物线的对称轴为y轴或在y轴右侧，则可求出抛物线的对称轴为直线，进而得到，再利用待定系数法求解即可； （2）可求出；过点A作轴于点E，过点B作轴于点F，则，证明，求出，据此可得答案； （3）由待定系数法可得，则抛物线的解析式为，可得新抛物线的解析式为，抛物线的顶点坐标为，即可得到，解方程得到，；根据新抛物线经过原点，得到，解方程求出m的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴，即抛物线的对称轴为y轴或在y轴右侧， ∵点到抛物线的对称轴的距离为2， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， 把点A的坐标代入得， ∴， ∴； （2）解：当时，则， 把点A的坐标代入得， ∴， ∴； 如图所示，过点A作轴于点E，过点B作轴于点F，则， ∴， ∴， ∵，，即， ∴， ∴， 在中，当时，， 解得， ∴点B的坐标为； （3）解：∵抛物线经过点． ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∵将抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位后得到新抛物线， ∴新抛物线的解析式为， ∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线的顶点在直线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（舍去）或， ∴； ∵新抛物线经过原点， ∴， ∴， ∴， ∴ 解得或（舍去）， ∴新抛物线的解析式为． 49．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与x轴，y轴交于点A、B，点C是线段上一点，C与B不重合．以点C为顶点的二次函数的图像经过点B．将该二次函数的图像平移后得到新抛物线，点B、C的对应点分别是、，且点的坐标为，点的纵坐标为． (1)求点C的坐标及二次函数的解析式； (2)若点P是新抛物线对称轴上一点，且以P、A、C为顶点的三角形与相似，且相似比不等于1，求点P的坐标； (3)点和在新抛物线上，且对于任意实数，当时，，求实数m的取值范围． 【答案】(1)， (2)点P的坐标为 (3) 【分析】（1）先求出点B的坐标进而得出的长度；过点C作轴于点H，由平移的性质可得，原抛物线中B，C两点的纵坐标的差与新抛物线中，两点的纵坐标的差相等，据此可得点C的坐标，最后利用抛物线顶点式将点B，C代入即可求得抛物线表达式； （2）由原抛物线对称轴得到新抛物线的对称轴，在中得到三边的长度，根据与的相似比不为1，可得出当符合题意，利用余弦的定义求得的长度，进而得出点P的坐标； （3）先求出平移后的新抛物线解析式，将点D代入求出其坐标，由时，恒成立，可设，求得点F的横坐标，进而得出m的取值范围． 【详解】（1）解：对于一次函数， 令，得：， ∴， ∴， 如图，过点C作轴于点H， ∵，点的纵坐标为， ∴， ∵将原二次函数的图象平移后得到新抛物线，点，分别是B，C的对应点， ∴， 即， ∵， ∴， 将代入，得， ∴， ∵点C为二次函数的顶点， ∴设二次函数的解析式为， 将代入得：， 解得：， ∴二次函数． （2）解：二次函数的对称轴为， ∵向右移个单位长度得到二次函数的对称轴， ∴二次函数的对称轴为， 如图，在中，， ∴轴， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵与的相似比不为1， 当时，易证得，不符合题意， 当时，， ∴， ∴点P的坐标为． （3）解：由（2）知，， 将点代入得：， ∴， 设，则， ∵时，恒成立， ∴， ∴． 50．已知抛物线． (1)画抛物线时，如果列出的两组数据如表（信息不完整）所示，请直接写出该抛物线的对称轴，并求此时和之间的数量关系； 1 2 2 (2)已知点为抛物线与轴的交点，点、在抛物线上，连接、、和． ①如果四边形为正方形，那么的值是 ，和之间的数量关系是 ； ②如图，当时，已知四边形为菱形，．点在抛物线上且横坐标为2，连接、，如果的面积为，求抛物线的表达式． 【答案】(1)抛物线的对称轴是， (2)①， ② 【分析】（1）根据表中两个点的坐标可知，抛物线经过点和，并且这两点对称，所以可知对称轴为； （2）根据正方形的性质可知抛物线的对称轴是，所以；根据正方形的对角线互相平分且相等，把点、的坐标表示出来，并表示出的长度，根据找出和的关系； （3）根据菱形的性质，可知点的坐标，把点的坐标代入抛物线的解析式，可得抛物线的解析式为，点的坐标，点的坐标为，用待定系数法求出直线的解析式，根据解析式求出点的坐标，从而可知，根据的面积为，可得，解方程求出的值，再根据求出的值，从而得到抛物线的解析式． 【详解】（1）解：由表可知，抛物线经过点和， 抛物线的对称轴是， ， 抛物线的解析式是， 把点的坐标代入可得： （2）①解：当时，可得：， 点的坐标为， 四边形是正方形，是正方形的对角线， 点、关于对称， 抛物线的对称轴是， ； ，点、的纵坐标是， 可得：， 整理得：， 解得：， 点的坐标为，点的坐标为， ， 可得：， ， 解得：或（不符合题意，舍去）； ②解：如下图所示，连接，、， 四边形为菱形， ，，， ， ， ， ，， 点的坐标是， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式为，点的坐标， 点的横坐标为， ， 点的坐标为， 设直线的解析式是， 则有， 解得： ， 直线的解析式是， 当时，可得：， 点的坐标为, ， ， ， ， ， 抛物线的解析式为． 51．如图1，四边形中，，，，． (1)求证：，并求与的相似比k； (2)如图2，我们以直线为x轴，以过点C且垂直于线段的直线为y轴，建立平面直角坐标系，已知． ①求图像经过点A、B、C三点的二次函数解析式； ②如果我们将（1）中与的关系看作是一种图形变换，这种变换是将先绕点B按顺时针方向旋转，使点C落在上，点D落在上，再将旋转得到的三角形的边长都扩大到原来的k倍，从而得到，我们将称为的像，将称为的原像．如果是的像，而是的原像，试直接写出点E和点F的坐标：点E的坐标是，点F的坐标是． 【答案】(1)证明见解析， (2)①；②， 【分析】（1）由等边对等角和平行线的性质得到，即可证明；设，则，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可； （2）①首先解直角三角形求出，，然后得到，利用待定系数法求解即可； ②如图，过点E作轴于点G，根据题意得到，，解直角三角形求出，，进而求出点E的坐标；同理求出点F的坐标． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴； 设，则 ∴，即 ∴ ∴； （2）解：①如图，过点C作于点E 由（1）得， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴设二次函数解析式为 将代入得， ∴ ∴二次函数解析式为； ②如图，过点E作轴于点G ∵是的像 ∴， ∴， ∴ ∴点E的坐标为； 如图， ∵是的原像 ∴， ∴ ∴点F的坐标是． 52．在平面直角坐标系中，抛物线经过点、，与x轴的负半轴交于点C． (1)求该抛物线的表达式及点C的坐标； (2)设点D在该抛物线上（位于对称轴右侧部分），连接． ①如果与线段交于点E，且，求的正切值； ②如果与y轴交于点F，以为半径的，与以为半径的外切，求点D的坐标． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（1）把点、代入抛物线解析式可求解，然后令可求点C的坐标； （2）①根据题意作图，则过点E作于点G，然后可得，则根据相似三角形的性质可得点E坐标，进而问题可求解；②由题意可知，然后过点D作于点H，设点，则有，进而问题可求解． 【详解】（1）解：把点、代入抛物线解析式得： ， 解得：， ∴抛物线的表达式为； 令，则有， 解得：， ∴； （2）解：①如图所示： 过点E作于点G， ∴， ∴， ∴， ∵点、， ∴，即是等腰直角三角形， ∵， ∴，即， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 由（1）可知， ∴， ∴； ②如图所示： ∵以为半径的与以为半径的外切， ∴与相切于点F，即， 过点D作于点H， ∴，， ∴， ∴， 设点，则有，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴； 当点D在x轴的下方时，显然，所以以为半径的与以为半径的不会外切． 【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系及二次函数的综合，熟练掌握圆与圆的位置关系及二次函数的综合问题是解题的关键． 53．已知抛物线，抛物线上有点． (1)当抛物线顶点坐标为，且经过时； ①求抛物线解析式； ②点坐标为，为抛物线上第一象限的一个动点，其横坐标为，若是锐角，且，请求出的取值范围． (2)已知； ①若，与的横坐标之和为，求直线的斜率； ②若该抛物线经过点、，该抛物线与轴不同于点的交点为点，点在线段上，延长交抛物线于点，点的横坐标为，若，求的取值范围； ③若，，点为抛物线上第一象限的动点，已知、，直线与直线分别交抛物线于另一点，请问：直线是否过定点？若是，请求出定点坐标，若不是，则说明理由． 【答案】(1)①；② (2)①；②；③直线过定点，定点坐标为 【分析】（1）①先设顶点式，再将代入计算即可； ②设交轴于点，过点作的垂线，交抛物线于点，交轴于点，在抛物线上取点，使得，作直线交轴于点，作于点，利用计算出点．利用相似三角形和三角函数计算出，，从而求出．使用待定系数法求出直线的解析式，再与抛物线联立，求出点，同理可得．根据题意可知，点在点和点之间，且不与点重合，从而得到的取值范围； （2）①设点的坐标为，点的坐标为，直线的函数解析式为，将点坐标代入后，作差即可； ②先求出抛物线的解析式为，设点的坐标为，求出直线的解析式后，得到点，则，．表示出和的面积后，构造不等式并求解即可； ③由题意可知，抛物线为，设，求出直线的解析式后，与抛物线联立，求出点，同理可得．使用待定系数法求出直线的解析式为，观察可得，该直线过定点． 【详解】（1）解：①∵抛物线顶点坐标为， ∴可设抛物线的解析式为， 将代入，得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； ②如图，设交轴于点，过点作的垂线，交抛物线于点，交轴于点，在抛物线上取点，使得，作直线交轴于点，作于点， 设直线的函数解析式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴， 将代入，得， ∴点的坐标为， 由勾股定理可得，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴点的坐标为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 在直角中，， ∴， ∴， 解得， ∴， 在直角中，， ∴， ∴点的坐标为， 设直线的函数解析式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 联立直线与抛物线，得， ， 解得或， ∴点的坐标为， 同理，直线的函数解析式为， 联立直线与抛物线，得， ， 解得或， ∴点的坐标为， ∵是锐角，且， ∴点在点和点之间，且不与点重合， ∴； （2）解：①由题意可知，抛物线的解析式为， 设点的坐标为，点的坐标为，则， 设直线的函数解析式为， 将，代入，得， ， 将，并化简，得， ， 因式分解，得， ∵，， ∴，即， ∴直线的斜率为； ②将点，代入，得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴点的坐标为， 将代入，得， ， 解得或， ∴点的坐标为， 如图， 由题意可知，， ∴， 设直线的函数解析式为， 将点，，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 将代入，解得， ∴点的坐标为， ∴，， ，， ∵， ∴， 移项并合并，得， 因式分解，得， ∴， 解得或， ∵， ∴； ③∵，，， ∴抛物线的解析式为， 设点的坐标为， 设直线的函数解析式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 联立直线与抛物线，得， ， 解得或， ∴点的坐标为， 同理，点的坐标为， 设直线的函数解析式为， 将，，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 当时，为定值， ∴直线过定点． 【点睛】本题一次函数与二次函数结合的综合题，熟练掌握待定系数法求函数解析式并具有扎实的代数计算功底是解题关键． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $