专题13 锐角三角函数及其应用（80题）（上海专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 专题13 锐角三角函数及其应用（80题） 一、填空题 1．（2025·上海·中考真题）某公司需要员工上班时通过门禁，在门禁上方设置了人脸扫描仪，已知扫描仪（线段）的竖直高度2.7米，某人（线段）身高为1.8米，扫描仪测得，那么该人与扫描仪的水平距离为 米．（备用数据：，，，精确到米） 2．（2024·上海·中考真题）在平行四边形中，是锐角，将沿直线翻折至所在直线，对应点分别为，，若，则 ． 二、解答题 3．（2023·上海·中考真题）如图，在中，弦的长为8，点C在延长线上，且．    (1)求的半径； (2)求的正切值． 4．（2022·上海·中考真题）我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆AB的长． (1)如图1所示，将一个测角仪放置在距离灯杆AB底部a米的点D处，测角仪高为b米，从C点测得A点的仰角为α，求灯杆AB的高度．（用含a，b，ａ的代数式表示） (2)我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义图2所示，现将一高度为2米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着BC方向移动1.8米至DE的位置，此时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度 5．（2021·上海·中考真题）已知在中，，，为边上的中线． （1）求的长； （2）求的值． 一、单选题 6．（2025·上海青浦·二模）如图，河对岸有一座建筑物，在C，D（C、D、B在同一直线上）处用测角仪器分别测得顶部A的仰角为，．已知米，建筑物高是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 7．（2025·上海松江·二模）我们把一个等腰三角形的腰与底边的比值叫做这个等腰三角形的“特征值”．设等腰△的特征值是，下列命题中假命题是（    ） A．如果，那么△是直角三角形 B．如果，那么△有一内角为 C．如果△是直角三角形，那么 D．如果△有一内角为，那么 8．（2025·上海·二模）边长为a的正十边形的半径是（   ） A．； B． C． D． 9．（2025·上海徐汇·一模）已知锐角A的正切值为，那么（  ） A． B． C． D． 10．（2025·上海崇明·一模）如果斜坡的坡度，那么斜坡的坡角等于（    ） A． B． C． D． 11．（2025·上海静安·一模）如果锐角A的余弦值为，下列关于锐角A的取值范围的说法中，正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（2025·上海长宁·一模）在直角坐标平面内有一点，那么射线与轴正半轴的夹角的正弦值等于（） A． B． C． D． 13．（2025·上海虹口·一模）在中，已知，，，那么的正切值为（   ） A． B． C． D． 14．（2025·上海杨浦·一模）在中，，，，那么的值是（   ） A． B． C． D． 15．（2025·上海崇明·一模）在锐角中，如果各边长都缩小为原来的，那么的正弦值（    ） A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的 C．大小不变 D．不能确定 16．（2025·上海普陀·一模）在中，，如果，那么的值是（   ） A． B． C． D． 17．（2025·上海杨浦·一模）小海在距离地面高60米的热气球中测得地面上的着落点的俯角为，那么此时热气球离着落点的距离约是（   ）（参考数据：，，） A．75米 B．80米 C．100米 D．米 18．（2025·上海嘉定·一模）如图，在直角梯形中，，，如果对角线，那么的值是（   ） A． B． C． D． 19．（2025·上海闵行·一模）如图是一个学校司令台的示意图，司令台离地面的高为2米，平台的长为1米，用7米长的地毯从点到点正好铺满整个台阶（含各级台阶的高），那么斜坡的坡比是（    ） A． B． C． D． 20．（2025·上海青浦·一模）如图，点是航拍飞机在某一高度时的位置，是地平线，，，是某大型建筑物的斜面．从点观测点的偏角是（   ） A． B． C． D． 21．（2025·上海金山·一模）已知中，，，，那么下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 22．（2025·上海黄浦·一模）在中，已知，，那么的值为（   ） A． B． C． D． 23．（2025·上海松江·一模）在中，，，，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 24．（2025·上海奉贤·一模）在测量过程中，常常会遇到仰角和俯角，图中是俯角的角是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 25．（2025·上海奉贤·三模）如图，一个矩形木箱沿坡比为的斜面下滑，米，当木箱滑至如图位置时，米，那么木箱端点F离地面的高度是 米． 26．（2025·上海奉贤·二模）如图1为《天工开物》记载的用于舂捣谷物的工具---“碓(duì)”的结构简图，图2为其平面示意图．已知于点B，与水平线l相交于点O，．如果分米，分米，，那么点C到水平线l的距离为 分米． 27．（2025·上海宝山·二模）如图，将宽均为1的两张矩形纸片，交叉放置，形成的锐角为，那么重叠部分（阴影部分）的周长是 ．（结果用含的三角比的代数式表示） 28．（2025·上海静安·二模）有一斜坡的坡度，斜坡上最高点到地面的距离为米，那么这个斜坡的长度为 米． 29．（2025·上海徐汇·二模）如图，梯形中，，，，，那么的值是 ． 30．（2025·上海徐汇·二模）如图，甲、乙两楼的楼间距为10米，小杰在甲楼楼底处测得乙楼楼顶的仰角为，在乙楼楼底处测得甲楼楼顶的仰角为，那么乙楼比甲楼高 米（结果保留根号）． 31．（2025·上海金山·二模）如图，小海想测量塔的高度，塔在围墙内，小海只能在围墙外测量．这时无法测得观测点到塔的底部的距离，于是小海在观测点处仰望塔顶，测得仰角为，再往塔的方向前进米至观测点处，测得塔顶的仰角为，点、、在一直线上，小海测得塔的高度为 米（小海的身高忽略不计，用含、的三角比和的式子表示）． 32．（2025·上海·二模）沿一斜坡向上走12米，高度上升4米，这个斜坡的坡度： ． 33．（2025·上海·二模）如图，在正方形中，点分别在边上．连接，若，则的正切值为 ． 34．（2025·上海长宁·一模）如图，点A位于点的北偏西方向，点位于点的东北方向，线段为一条东西向的公路的一部分，如果点到公路的距离是米，那么公路的长为 ． 35．（2025·上海静安·一模）如图，在中，是的中线，，，，那么的长为 ． 36．（2025·上海长宁·一模）如图，在矩形中，，．点在边上，连接，将沿着翻折，点的对应点是点，连接．如果，那么点到的距离为 ． 37．（2025·上海静安·一模）如图，已知的三个顶点均在小正方形的方格顶点上，那么的值是 ． 38．（2025·上海静安·一模）已知一坡面的坡度，那么这个坡角等于 ． 39．（2025·上海普陀·一模）已知中，，是边上的高，．如果，那么 ． 40．（2025·上海普陀·一模）如图，斜坡的长为7米，在斜坡的顶部D处有一棵高为3米的小树（点A、D、C在一直线上），，在坡底B处测得树的顶端A的仰角为，那么这个斜坡的坡度为 ． 41．（2025·上海宝山·一模）如图，在中，，如果、分别是边，的中点，，的面积是，那么的正切值是 ． 42．（2025·上海宝山·一模）如图，在中，，D是斜边上任意一点，点E、F分别是的重心，那么四边形的面积是 ． 43．（2025·上海宝山·一模）计算： ． 44．（2025·上海长宁·一模）如图，已知在中，高、相交于点，，，那么的长为 ． 45．（2025·上海长宁·一模）已知在中，，，那么的正弦值等于 ． 46．（2025·上海闵行·一模）用含特殊锐角的三角比的式子表示： ． 47．（2025·上海杨浦·一模）在中，，，垂足为点，，，那么的长为 48．（2025·上海杨浦·一模）如图，小岛在港口的西南方向，一艘船从港口沿正南方向航行12海里后到达处，在处测得小岛在它的南偏西方向，那么小岛离港口有 海里．（结果保留根号） 49．（2025·上海嘉定·一模）在等腰中，，如果，那么的值是 ． 50．（2025·上海普陀·一模）如图，中，，的中垂线分别与、交于点E、D．如果，，那么的余弦值为 ． 51．（2025·上海杨浦·一模）已知矩形（），点是边的中点，将沿翻折，点的对应点恰好落在对角线上，那么 ． 52．（2025·上海徐汇·一模）如图，热气球探测器显示，从热气球处测得一栋楼顶部处的仰角是，测得这栋楼的底部处的俯角是，热气球与这栋楼的水平距离是30米，那么这栋楼的高度是 米（精确到0.1米）．（参考数据：，） 53．（2025·上海徐汇·一模）如图，货船在灯塔的北偏西方向，客船在灯塔的东北方向，客船在货船的正东方向，如果货船与客船相距50千米，那么客船与灯塔的距离约是 千米（结果保留根号）． 54．（2025·上海徐汇·一模）如图，在中，于，如果，那么的值是 ． 55．（2025·上海徐汇·一模）如图，在中，，点分别在边，上，，如果，那么的长是 ． 56．（2025·上海闵行·一模）在中，，，，那么直角边长为 ． 57．（2025·上海金山·一模）如图，一座大楼前的残疾人通道是斜坡，用表示，沿着通道走米可进入楼厅，楼厅比楼外的地面高米，那么残疾人通道的坡度为 ．（结果保留根号的形式） 58．（2025·上海黄浦·一模）如图，已知点O是的重心，，，如果，那么点A、O的距离为 ． 59．（2025·上海青浦·一模）在中，，点D、E分别在边上，且垂直平分．联结，如果，那么 ． 60．（2025·上海青浦·一模）如图，梯形是某水库大坝的横截面．已知坝高，如果将坡度为的斜坡改为坡度为的斜坡，那么大坝底部应加宽 ．（结果保留根号） 61．（2025·上海黄浦·一模）在直角坐标平面内有一点，那么与x轴正半轴夹角的余弦值是 ． 62．（2025·上海奉贤·一模）已知一个斜坡的坡角为，坡度为，那么 ． 63．（2025·上海奉贤·一模）等腰三角形中， 分别是边上的中线，且 ，那么 ． 64．（2025·上海奉贤·一模）在平面直角坐标系的第一象限内有一点，射线与x轴正半轴的夹角为，如果，那么点P坐标为 ． 三、解答题 65．（2025·上海普陀·三模）如图，小明利用无人机测大楼的高度．在空中点测得：到地面上一点处的俯角，距离米，到楼顶点处的俯角．已知点与大楼的距离为70米．（点共线且图中所有的点都在同一平面内） (1)求点到地面的距离； (2)求大楼的高度．（结果保留根号） 66．（2025·上海松江·二模）图1是某商场入口处摆放的“楼层导购图”展板．图2是其横断面的示意图． 信息1：经过测量得到：，，，．（底座的高度忽略不计） 信息为顾客看展板时眼睛所在的位置，，垂足在的延长线上，当视线与展板垂直时，称点为“最佳观察点”． 任务（1）：求展板最低点到地面的距离； 任务（2）：如果，当点为“最佳观测点”时，求点到的距离．（参考数据：） 67．（2025·上海奉贤·二模）先化简，再求值：，其中． 68．（2025·上海崇明·二模）在有毒、缺氧或浓烟等危险环境开展侦查、搜救是消防救援的核心工作之一，救援人员常面临人身安全威胁，关键时刻需要可靠伙伴——消防机器狗，它能深入室内高危区，打通室内室外壁垒进行搜救，搭载的远距通讯模块，可实现远程操控与实时传图，为救援决策提供可视化信息． 图1是被困人员所处的楼梯横断面示意图．楼梯斜坡用表示，转角平台用表示，地面用表示．已知，垂足为米，米，米． (1)求斜坡的坡比； (2)如图2，当机器狗爬到斜坡上点处时，探测仪测得被困人员头顶的仰角为，继续前行到点处，恰好能搜集到被困人员全身的影像，此时探测仪在线段的延长线上，记作点．图2示意图中所有点均处于同一平面，，垂足分别为米，米，求的长．（参考数据：） 69．（2025·上海闵行·二模）如图，在中，为中线，平分，且，分别交、于点、，，交于点，，． (1)求的长； (2)求的值． 70．（2025·上海杨浦·二模）如图，在中，，，，是中线，作，交边于点E． (1)求的长； (2)求的正切值． 71．（2025·上海闵行·模拟预测）如图，已知在中，，平分，，垂足为点D，，交边于点E，，求的值． 72．（2025·上海徐汇·一模）小华（考虑为线段垂直于地面）家门口的一条笔直街道上有两棵竖直生长的树．他站在街道上的A处抬头看点E，发现刚好能看到点C，此时仰角为，他向前走之后，站在点D处仰望点E，仰角为．已知小华身高，求的高度．（近似值：，精确到两位小数） 73．（2025·上海崇明·一模）九年级数学活动小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面的中点处竖直上升米到达处，测得实验楼顶部的俯角为，综合楼顶部的俯角为，已知实验楼高度为米，且图中点在同一平面内，求综合楼的高度． （参考数据：；，精确到米．） 74．（2025·上海崇明·一模）计算：． 75．（2025·上海宝山·一模）为了方便居民出入小区，小区业委会决定对大门口的一段斜坡进行改造．原坡面是矩形（如图1），米，米，斜坡的坡角为．计划将斜坡改造成坡比为的斜坡（如图2所示），坡面的宽度不变． (1)求改造后斜面底部延伸出来的部分（）的长度； (2)改建这条斜坡需要多少立方米的混凝土材料？ ∵米， ∴（米），（米）， 在中，， ∴（米）， ∴米， 76．（2025·上海普陀·一模）计算：． 77．（2025·上海长宁·一模）如图是某地下车库的剖面图，某综合实践小组将无人机放在坡道起点A处，让无人机飞到点处，与底板平行，测得米，此时在点处又测得坡道上的点的俯角为．接着让无人机飞到点处，，与底板平行，测得米． (1)求坡道的坡度； (2)已知地面、地下车库的顶板都与底板平行且它们到底板的距离相等，无人机从点飞到点处，，测得米，此时在点处测得点的俯角为，在不考虑其他因素的前提下，有一辆高度为3米的货车能否进入该地下车库？请说明理由． （参考数据：，，） 78．（2025·上海长宁·一模）如果一个锐角的正弦值等于黄金分割数，那么我们称这个角叫做黄金角．如图，在中，，是黄金角，点在边上，且，连接． (1)找出图中相等的线段并说明理由； (2)如果，求的长． 79．（2025·上海长宁·一模）计算：． 80．（2025·上海虹口·一模）计算：． 试卷第14页，共15页 试卷第15页，共15页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 专题13 锐角三角函数及其应用（80题） 一、填空题 1．（2025·上海·中考真题）某公司需要员工上班时通过门禁，在门禁上方设置了人脸扫描仪，已知扫描仪（线段）的竖直高度2.7米，某人（线段）身高为1.8米，扫描仪测得，那么该人与扫描仪的水平距离为 米．（备用数据：，，，精确到米） 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，过点作于点，由题意，得，线段的和差求出的长，解，求出的长即可．添加辅助线构造直角三角形，是解题的关键． 【详解】解：过点作于点，则：米， ∵米， ∴米， 在中，， ∴米； 故答案为：． 2．（2024·上海·中考真题）在平行四边形中，是锐角，将沿直线翻折至所在直线，对应点分别为，，若，则 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查了平行四边形的翻折，求余弦值，等腰三角形的判定及性质，解题的关键是利用分类讨论的思想进行求解． 【详解】解：当在之间时，作下图， 根据，不妨设， 由翻折的性质知：， 沿直线翻折至所在直线， ， 。 ， 过作的垂线交于， ， ， 当在的延长线上时，作下图， 根据，不妨设， 同理知：， 过作的垂线交于， ， ， 故答案为：或． 二、解答题 3．（2023·上海·中考真题）如图，在中，弦的长为8，点C在延长线上，且．    (1)求的半径； (2)求的正切值． 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）延长，交于点，连接，先根据圆周角定理可得，再解直角三角形可得，由此即可得； （2）过点作于点，先解直角三角形可得，从而可得，再利用勾股定理可得，然后根据正切的定义即可得． 【详解】（1）解：如图，延长，交于点，连接，    由圆周角定理得：， 弦的长为8，且， ， 解得， 的半径为． （2）解：如图，过点作于点，     的半径为5， ， ， ， ， ，即， 解得， ，， 则的正切值为． 【点睛】本题考查了圆周角定理、解直角三角形、勾股定理等知识点，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键． 4．（2022·上海·中考真题）我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆AB的长． (1)如图1所示，将一个测角仪放置在距离灯杆AB底部a米的点D处，测角仪高为b米，从C点测得A点的仰角为α，求灯杆AB的高度．（用含a，b，ａ的代数式表示） (2)我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义图2所示，现将一高度为2米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着BC方向移动1.8米至DE的位置，此时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度 【答案】(1)atanα+b米 (2)3.8米 【分析】（1）由题意得BD=a，CD=b，∠ACE=α，根据四边形CDBE为矩形，得到BE=CD=b，BD=CE=a，在Rt∆ACE中，由正切函数tanα= ，即可得到AB的高度； （2）根据AB∥ED，得到∆ABF~∆EDF，根据相似三角形的对应边成比例得到 ，又根据AB∥GC，得出∆ABH~∆GCH，根据相似三角形的对应边成比例得到 联立得到二元一次方程组解之即可得； 【详解】（1）解：如图 由题意得BD=a，CD=b，∠ACE=α ∠B=∠D=∠CEB=90° ∴四边形CDBE为矩形， 则BE=CD=b，BD=CE=a， 在Rt∆ACE中，tanα= ， 得AE=CE=CE×tanα=a tanα 而AB=AE+BE， 故AB= a tanα+b 答：灯杆AB的高度为atanα+b米 （2）由题意可得，AB∥GC∥ED，GC=ED=2，CH=1，DF=3，CD=1.8 由于AB∥ED， ∴∆ABF~∆EDF， 此时 即①， ∵AB∥GC ∴∆ABH~∆GCH， 此时， ② 联立①②得 ， 解得： 答：灯杆AB的高度为3.8米 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，锐角三角函数的应用，以及二元一次方程组，解题的关键是读懂题意，熟悉相似三角形的判定与性质． 5．（2021·上海·中考真题）已知在中，，，为边上的中线． （1）求的长； （2）求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）在Rt△ABC中，利用三角函数即可求出AB，故可得到AC的长； （2）过点F作FG⊥BD，利用中位线的性质得到FG，CG，再根据正切的定义即可求解． 【详解】（1）∵， ∴ ∴AB=10 ∴=； （2）过点F作FG⊥BD， ∵为边上的中线． ∴F是AD中点 ∵FG⊥BD， ∴ ∴FG是△ACD的中位线 ∴FG=3 CG= ∴在Rt△BFG中，=． 【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知三角函数的定义． 一、单选题 6．（2025·上海青浦·二模）如图，河对岸有一座建筑物，在C，D（C、D、B在同一直线上）处用测角仪器分别测得顶部A的仰角为，．已知米，建筑物高是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】根据题意，在中得到，在中表示出，利用，求得结果． 本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 【详解】解：设， ∵在中，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得 ，即， 故选：A． 7．（2025·上海松江·二模）我们把一个等腰三角形的腰与底边的比值叫做这个等腰三角形的“特征值”．设等腰△的特征值是，下列命题中假命题是（    ） A．如果，那么△是直角三角形 B．如果，那么△有一内角为 C．如果△是直角三角形，那么 D．如果△有一内角为，那么 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数，根据“特征值”的定义，再利用等腰三角形的性质，根据等腰三角形的特征值求出三角形的两的角的度数，或根据等腰三角形中角的度数求出它们的特征值，根据计算结果判断各选项的正误即可． 【详解】解：A选项：当时，可设腰长为，则底长为， ， △是直角三角形是直角三角形， 故 A选项正确，不符合题意； B选项：如下图所示，过作于点， ， 设，则， ，且， ， ， ， 故B选项正确，不符合题意； C选项：如下图所示，，， ， ， 故C选项正确，不符合题意； D选项：当这个角底角为时，由选项可知，此时， 当顶角为时， 如下图所示，，， 过作于点， 在△中，设，则，， ， 在△中，， ， 故D选项错误，符合题意； 故选：D． 8．（2025·上海·二模）边长为a的正十边形的半径是（   ） A．； B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角函数，正多边形的性质，根据题意画出图形，过点O作交与点M，再根据等腰三角形三线合一的性质得出，，最后根据余弦的定义求解即可得出答案． 【详解】解：如图，正十边形的中心角， 过点O作交与点M， ∴，，． ∴， ∴ 故选：A． 9．（2025·上海徐汇·一模）已知锐角A的正切值为，那么（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数的知识，先根据锐角A的正切值为估算出锐角A的范围，然后逐项分析即可．由特殊角的三角函数值可判断C和D，设锐角A的对边为，邻边为2，根据正余弦的定义可判断A和B． 【详解】解：∵， ∴，故D正确，C错误； 设锐角A的对边为，邻边为2a，则斜边为， ∴，故A不正确； 故B不正确． 故选D． 10．（2025·上海崇明·一模）如果斜坡的坡度，那么斜坡的坡角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握坡度坡角的定义及求解方法是解题的关键．根据坡角的正切值为坡度求解即可． 【详解】解：设坡角为，则， ∴， 故选：B． 11．（2025·上海静安·一模）如果锐角A的余弦值为，下列关于锐角A的取值范围的说法中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，熟知锐角三角函数的余弦函数值随角增大而减小是解答此题的关键．先求出，及的近似值，然后得出结论即可． 【详解】解：，，， 又∵，余弦函数随角增大而减小，且， ∴． 故选：C． 12．（2025·上海长宁·一模）在直角坐标平面内有一点，那么射线与轴正半轴的夹角的正弦值等于（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查直角三角形的边角关系、勾股定理，通过作辅助线构造直角三角形是解决问题的关键．构造直角三角形，由坐标得出线段的长，再根据勾股定理求出斜边的长，根据余弦的意义求出结果即可． 【详解】解：过点作轴，垂足为， 在中，由题意得：， ， ，， ， ， 故选：A． 13．（2025·上海虹口·一模）在中，已知，，，那么的正切值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查锐角三角函数定义，勾股定理，利用勾股定理求得的长度，然后求得的正切值即可． 【详解】解：∵在中，已知， ∴， ∴， 故选：D． 14．（2025·上海杨浦·一模）在中，，，，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求角的正弦值，熟练掌握正弦的定义是解题的关键． 由正弦的定义即可直接得出答案． 【详解】解：如图， ， 故选：． 15．（2025·上海崇明·一模）在锐角中，如果各边长都缩小为原来的，那么的正弦值（    ） A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的 C．大小不变 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据锐角三角函数的定义，即可得到答案． 【详解】解：在锐角中，每个边都缩小为原来的，那么每个角的大小都不变， ∴的正弦值不变， 故选：C ． 16．（2025·上海普陀·一模）在中，，如果，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查互余两角三角函数的关系，根据互余两角三角函数的关系进行解答即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， 故选：B． 17．（2025·上海杨浦·一模）小海在距离地面高60米的热气球中测得地面上的着落点的俯角为，那么此时热气球离着落点的距离约是（   ）（参考数据：，，） A．75米 B．80米 C．100米 D．米 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意画出图形，根据平行线的性质得出，根据正弦函数定义得出（米）即可． 【详解】解：由题意得：，， ∴， 在中，米， ∴（米）， 此时热气球离着落点的距离约是100米， 故选：C． 18．（2025·上海嘉定·一模）如图，在直角梯形中，，，如果对角线，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角函数的比值关系，平行线的性质，熟悉掌握角三角函数的比值关系是解题的关键． 利用角的等量代换和三角函数的比值关系求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 19．（2025·上海闵行·一模）如图是一个学校司令台的示意图，司令台离地面的高为2米，平台的长为1米，用7米长的地毯从点到点正好铺满整个台阶（含各级台阶的高），那么斜坡的坡比是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键． 过点作于，根据矩形的性质求出，根据题意求出，再根据坡比的概念计算即可． 【详解】解：如图，过点作于，则四边形为矩形， 米， 由题意得： (米)， ∴斜坡的坡比是： 故选： B． 20．（2025·上海青浦·一模）如图，点是航拍飞机在某一高度时的位置，是地平线，，，是某大型建筑物的斜面．从点观测点的偏角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用的仰角俯角问题，熟练掌握俯角的定义是解题的关键．根据俯角的定义即可得到结论． 【详解】∵，是地平线， ∴从点观测点的俯角是， 故选：B． 21．（2025·上海金山·一模）已知中，，，，那么下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求锐角三角函数值，根据锐角三角函数的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，，，； 故选A． 22．（2025·上海黄浦·一模）在中，已知，，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了解直角三角形，关键是熟练锐角三角函数的定义．画出图形，表示出，再根据的定义求解即可 【详解】解：如图所示，，    则． 故选A． 23．（2025·上海松江·一模）在中，，，，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查锐角三角函数定义，根据锐角三角函数的定义即可求得答案． 【详解】解：已知，，， ∴， ∴A、，故选项错误； B、，故选项错误； C、，故选项错误； A、，故选项正确； 故选：D． 24．（2025·上海奉贤·一模）在测量过程中，常常会遇到仰角和俯角，图中是俯角的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据俯角的定义解答即可．本题考查了仰角，俯角，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，是俯角的是． 故选：C． 二、填空题 25．（2025·上海奉贤·三模）如图，一个矩形木箱沿坡比为的斜面下滑，米，当木箱滑至如图位置时，米，那么木箱端点F离地面的高度是 米． 【答案】 【分析】本题考查的是坡度的含义，解直角三角形的应用，过作于，交于点，证明，结合坡度的含义求解，，再求解，从而可得答案． 【详解】解：过作于，交于点， ∵斜坡的坡比为， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴，， ∵， ∴， 在中，， 设，则， ∴， 解得：， ∴， ∴米， ∴木箱端点离地面的距离是米； 故答案为：． 26．（2025·上海奉贤·二模）如图1为《天工开物》记载的用于舂捣谷物的工具---“碓(duì)”的结构简图，图2为其平面示意图．已知于点B，与水平线l相交于点O，．如果分米，分米，，那么点C到水平线l的距离为 分米． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．延长，交直线l于点G，先证明，然后求出，最后根据列方程求解即可． 【详解】解：延长，交直线l于点G， ， ， ， ， ， ， 在中， ， 设（分米），则（分米）， （分米）， ， 在中，， ， 解得（分米）， （分米）． 故答案为：． 27．（2025·上海宝山·二模）如图，将宽均为1的两张矩形纸片，交叉放置，形成的锐角为，那么重叠部分（阴影部分）的周长是 ．（结果用含的三角比的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，萎形的判定与性质，解直角三角形，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【详解】解：当两个宽度均为1的矩形交叉形成锐角时，重叠部分为菱形． 菱形的边长由矩形宽度在垂直方向上的投影决定． 由于每个矩形的宽度为1，且两矩形夹角为，菱形的高为1， ∴菱形的边长为：， 因此，菱形的周长为， 故答案为∶． 28．（2025·上海静安·二模）有一斜坡的坡度，斜坡上最高点到地面的距离为米，那么这个斜坡的长度为 米． 【答案】3 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题，熟练掌握坡度的定义是解题的关键． 根据坡度的定义求解即可． 【详解】解：设这个斜坡的水平距离为x米， 根据题意得：，解得：， ∴这个斜坡的长度（米）， 答：这个斜坡的长度为3米． 故答案为：3． 29．（2025·上海徐汇·二模）如图，梯形中，，，，，那么的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是梯形是性质、解直角三角形、平行四边形的判定和性质．过点C作，交的延长线于E，根据平行四边形的性质求出，根据勾股定理求出，再根据正弦的定义计算即可． 【详解】解：如图，过点C作，交的延长线于E， 则， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 故答案为：． 30．（2025·上海徐汇·二模）如图，甲、乙两楼的楼间距为10米，小杰在甲楼楼底处测得乙楼楼顶的仰角为，在乙楼楼底处测得甲楼楼顶的仰角为，那么乙楼比甲楼高 米（结果保留根号）． 【答案】/ 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．在和中，利用三角函数的定义分别求得和的长，据此计算即可求解． 【详解】解：在中，米． 在中，米， 米． 故答案为：． 31．（2025·上海金山·二模）如图，小海想测量塔的高度，塔在围墙内，小海只能在围墙外测量．这时无法测得观测点到塔的底部的距离，于是小海在观测点处仰望塔顶，测得仰角为，再往塔的方向前进米至观测点处，测得塔顶的仰角为，点、、在一直线上，小海测得塔的高度为 米（小海的身高忽略不计，用含、的三角比和的式子表示）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查解直角三角形的应用，仰角的定义，要求学生能借助仰角找到直角三角形各边之间的联系，从而求解．在中，的对边是，邻边是，则，表示出，在中，表示出，结合即可求解． 【详解】解：设米． 在中，， ， 在中，， ， ， ， ∴， 答：塔的高度约为米． 故答案为：． 32．（2025·上海·二模）沿一斜坡向上走12米，高度上升4米，这个斜坡的坡度： ． 【答案】 【分析】本题考查了坡比的计算，掌握坡比的计算方法是关键． 根据坡比等于垂直高度于水平宽度的比计算即可． 【详解】解：沿一斜坡向上走12米，高度上升4米， ∴水平宽度（米）， ∴， 故答案为： ． 33．（2025·上海·二模）如图，在正方形中，点分别在边上．连接，若，则的正切值为 ． 【答案】 【分析】根据正方形的性质得到，，运用勾股定理得到，如图所示，连接，过点作于点，可证明得到，则是的中线，得到，，在中由正切值的计算方法即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， 如图所示，连接，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴是的中线， ∴， ∴， 在中，， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理定理，全等三角形的判定和性质，正弦、正切值的计算，掌握正切值的计算方法是关键． 34．（2025·上海长宁·一模）如图，点A位于点的北偏西方向，点位于点的东北方向，线段为一条东西向的公路的一部分，如果点到公路的距离是米，那么公路的长为 ． 【答案】米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用-方向角问题，从实际问题中抽象出直角三角形并利用解直角三角形的知识求解是解题的关键． 如图：过点C作于点D，由题意得，，在和中解直角三角形即可解答． 【详解】解：如图：过点C作于点D， 由题意得：米，， 在中，米， 在中，米， ∴，即公路的长为米． 故答案为：米． 35．（2025·上海静安·一模）如图，在中，是的中线，，，，那么的长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形的计算，勾股定理，合理构造辅助线得到，证明，是解题的关键． 如图所示，过点作于点，过点作延长线于点，可得，由勾股定理解得（负值舍去），再证明，得到，求出，，则，设，则，在中，运用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作延长线于点， ∵是的中线，， ∴， 在中，， ∴， ∴，即， 解得，（负值舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，，则， 设，则， 在中，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 整理得，， 解得，，（不符合题意，舍去）， ∴， ∴， 故答案为：8 ． 36．（2025·上海长宁·一模）如图，在矩形中，，．点在边上，连接，将沿着翻折，点的对应点是点，连接．如果，那么点到的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，翻折变换（折叠问题），掌握折叠的性质是解题的关键．根据题意画出图形，根据，，得出，再通过相等的角的三角函数值相等，即可求出结果． 【详解】解：过点作于点， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 37．（2025·上海静安·一模）如图，已知的三个顶点均在小正方形的方格顶点上，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形函数、勾股定理．首先根据网格求出三角形的三边，在三角形中过点作，利用三角形的面积公式求出的长度，再根据正弦的定义求出结果． 【详解】解：如下图所示，过点作， 在中，，， ， 当以为的底边时，对应的高为， ， ， 解得：， ． 故答案为： ． 38．（2025·上海静安·一模）已知一坡面的坡度，那么这个坡角等于 ． 【答案】30 【分析】本题考查了坡度的计算，特殊角的三角函数值的计算，理解坡度的含义，掌握特殊角的三角函数的计算是解题的关键． 根据坡度坡面的垂直高度和水平宽度的比值，即坡角的正切值，其中是斜坡与水平面之间的夹角，由此即可求解． 【详解】解：设坡角为， ∴， ∴, 故答案为： ． 39．（2025·上海普陀·一模）已知中，，是边上的高，．如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了余切的定义，根据已知可得，进而根据余切的定义，得出，即可求解． 【详解】解：如图所示， 中，，是边上的高， ∴ ∵． ∴ ∵， ∴， 故答案为：． 40．（2025·上海普陀·一模）如图，斜坡的长为7米，在斜坡的顶部D处有一棵高为3米的小树（点A、D、C在一直线上），，在坡底B处测得树的顶端A的仰角为，那么这个斜坡的坡度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，设米，则米，根据垂直定义可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义可得米，再在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】解：设米， ∵米， ∴米， ∵， ∴， 在中，， ∴米， 在中，， ∴， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴米，（米）， ∴这个斜坡的坡度， 故答案为：． 41．（2025·上海宝山·一模）如图，在中，，如果、分别是边，的中点，，的面积是，那么的正切值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了三角形中位线的性质与判定，求正切；根据三角形中位线定理得出的长，再结合的面积得出的长，进而得出的长，最后将转化为即可解决问题． 【详解】解：、分别是边，的中点， 是的中位线， ，． 又，， ，， 垂直平分， ， ． 的面积是， ， 则， ． 在中， ， ∴． 故答案为：． 42．（2025·上海宝山·一模）如图，在中，，D是斜边上任意一点，点E、F分别是的重心，那么四边形的面积是 ． 【答案】8 【分析】本题考查解直角三角形，三角形的重心，先求出的长，进而得出的面积，再分别连接并延长，根据重心的性质得出它们与的交点为同一点，最后得出及的面积分别为和面积的即可解决问题． 【详解】解：在中，． ∴， ∴， ∴． 连接并延长，分别交于点，N， ∵E，F分别为和的重心， ∴点M为中点，点N为中点， ∴M，N重合． ∵点E为的重心， ∴， ∴，， ∴． 同理可得，， ∴， 即四边形的面积为8． 故答案为：8． 43．（2025·上海宝山·一模）计算： ． 【答案】0 【分析】利用特殊锐角三角函数值计算即可． 本题考查了特殊角的三角函数值，熟记三角函数值是解题的关键 【详解】解： ， 故答案为：0． 44．（2025·上海长宁·一模）如图，已知在中，高、相交于点，，，那么的长为 ． 【答案】/ 【分析】此题重点考查同角的余角相等、勾股定理、解直角三角形等知识，正确运用勾股定理、解直角三角形是解题的关键． 根据同角的余角相等得到，由解直角三角形的知识得出和的长，由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：在中，高、相交于点， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 45．（2025·上海长宁·一模）已知在中，，，那么的正弦值等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正弦的定义，等腰三角形的性质等知识，过点A作于点H，过点C作于点K．根据等腰三角形的性质和勾股定理得出，再根据等面积法求出，再根据三角形正弦的定义求解即可． 【详解】解：如图，过点A作于点H，过点C作于点K． ∵，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ 故答案为∶． 46．（2025·上海闵行·一模）用含特殊锐角的三角比的式子表示： ． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据的正弦值等于求解即可． 【详解】解∶∵， ∴， 故答案为：． 47．（2025·上海杨浦·一模）在中，，，垂足为点，，，那么的长为 【答案】 【分析】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，余弦的定义，已知余弦求边长等知识点，熟练掌握余弦的定义是解题的关键． 由可得，由可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，则，即，由此即可求出的长． 【详解】解：如图， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 48．（2025·上海杨浦·一模）如图，小岛在港口的西南方向，一艘船从港口沿正南方向航行12海里后到达处，在处测得小岛在它的南偏西方向，那么小岛离港口有 海里．（结果保留根号） 【答案】/ 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．作于D，设海里，，则，根据可得，列出方程，求出x的值，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：过点A作于点D， 根据题意得：（海里）， ， 设海里，则海里， ∴, 解得：， ∴， ∵， ∴， 解得，． 49．（2025·上海嘉定·一模）在等腰中，，如果，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查求角的正弦值，勾股定理．过点作，根据，不妨设，，设，勾股定理列出方程求出的长，进而求出的长，再根据正弦的定义即可求解． 【详解】解：过点作，如图，设， ∵， ∴不妨设，则：， 在中，， 在中，， ∴，即：， 解得：， ∴， ∴， 在中，， 故答案为：． 50．（2025·上海普陀·一模）如图，中，，的中垂线分别与、交于点E、D．如果，，那么的余弦值为 ． 【答案】/ 【分析】连接，先利用等腰三角形的性质可得，再利用线段垂直平分线的性质可得，从而可得，然后利用等量代换可得：，从而可证，最后利用相似三角形的性质求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：连接， ∵， ， ∵是的垂直平分线， ， ， ， ， ∴， ， ∴， ∴或（舍去）， ， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 51．（2025·上海杨浦·一模）已知矩形（），点是边的中点，将沿翻折，点的对应点恰好落在对角线上，那么 ． 【答案】/ 【分析】延长交于点，连接，由矩形的性质可得，，，由两直线平行内错角相等可得，由折叠的性质可得，，，由等边对等角可得，利用邻补角互补可得，由对顶角相等可得，进而可得，由等角对等边可得，由点是边的中点可得，进而可得，利用可证得，于是可得，进而可得，则，，即，，，利用勾股定理可得，然后根据即可得出答案． 【详解】解：如图，延长交于点，连接， 四边形是矩形， ，，， ， 将沿翻折，点落到点处， ，，， ， ， ， 又， ， ， ， ， 点是边的中点， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求角的正切值，矩形的性质，两直线平行内错角相等，折叠的性质，等边对等角，利用邻补角互补求角度，对顶角相等，等角对等边，线段中点的有关计算，全等三角形的判定与性质，线段的和与差，勾股定理等知识点，熟练掌握折叠的性质及勾股定理是解题的关键． 52．（2025·上海徐汇·一模）如图，热气球探测器显示，从热气球处测得一栋楼顶部处的仰角是，测得这栋楼的底部处的俯角是，热气球与这栋楼的水平距离是30米，那么这栋楼的高度是 米（精确到0.1米）．（参考数据：，） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题、锐角三角函数，解答此类问题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答． 过点作于点， 则米， 在中和中， 根据锐角三角函数中的正切可以分别求得和的长，从而可以求得的长，本题得以解决． 【详解】解：过点作于点，由题意可得， 米， ， 在中， ， ∴(米)， 在中， ， (米)， 即这栋楼的高度是米. 故答案为： ． 53．（2025·上海徐汇·一模）如图，货船在灯塔的北偏西方向，客船在灯塔的东北方向，客船在货船的正东方向，如果货船与客船相距50千米，那么客船与灯塔的距离约是 千米（结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，过点P作于点C，则，由题意得，，在和中解直角三角形即可解答． 【详解】解：过点P作于点C， 则， 由题意得， ∴， ∴， 设千米，则千米， 在中，， 即， 解得， ∴千米． 故答案为：． 54．（2025·上海徐汇·一模）如图，在中，于，如果，那么的值是 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了解直角三角形，熟记锐角三角函数定义是解题的关键．根据直角三角形的性质求出，则，再根据锐角三角函数定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， 设，， ∴， ∴， 故答案为：． 55．（2025·上海徐汇·一模）如图，在中，，点分别在边，上，，如果，那么的长是 ． 【答案】3 【分析】本题考查解直角三角形．熟练掌握锐角三角函数和勾股定理，是解题的关键． 根据正弦值求出的长，根据勾股定理求出的长，根据，得到，进而求出的长，再根据，求出的长即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴． 56．（2025·上海闵行·一模）在中，，，，那么直角边长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查解直角三角形．先根据余弦定义求得即可． 【详解】解：如图， ∵在中，，，， ∴， 故答案为：4． 57．（2025·上海金山·一模）如图，一座大楼前的残疾人通道是斜坡，用表示，沿着通道走米可进入楼厅，楼厅比楼外的地面高米，那么残疾人通道的坡度为 ．（结果保留根号的形式） 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、坡度，熟练掌握利用正切求坡度是解题关键．先利用勾股定理求出的长，再利用正切求坡度即可得． 【详解】解：由题意得：米，米，， ∴， ∴， ∴残疾人通道的坡度为， 故答案为：． 58．（2025·上海黄浦·一模）如图，已知点O是的重心，，，如果，那么点A、O的距离为 ． 【答案】10 【分析】此题主要考查了三角形的重心，解直角三角形，平行线分线段成比例．连接并延长交于点E，在的延长线上取一点H，使，连接，延长交于点F，解得，，证明四边形是矩形得，，然后利用平行线分线段成比例求得得，据此可得点A、O的距离． 【详解】解：连接并延长交于点E，在的延长线上取一点H，使，连接，延长交于点F，如图所示： ∵，， ∴在中，， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∵点O是的重心， ∴，都是的中线， ∴，， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴点A、O的距离为10． 故答案为：10． 59．（2025·上海青浦·一模）在中，，点D、E分别在边上，且垂直平分．联结，如果，那么 ． 【答案】/0.6 【分析】本题主要考查了解直角三角形及线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线的性质及正切和余弦的定义是解题的关键．根据题意画出示意图，再结合线段垂直平分线的性质及余弦和正切的定义即可解决问题． 【详解】解：如图所示， 垂直平分， ∵， 设，， 在中， 在中， 故答案为：． 60．（2025·上海青浦·一模）如图，梯形是某水库大坝的横截面．已知坝高，如果将坡度为的斜坡改为坡度为的斜坡，那么大坝底部应加宽 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．根据垂直的定义得到，根据三角函数的定义得到，于是得到)． 【详解】解：， 大坝底部应加宽． 故答案为： 61．（2025·上海黄浦·一模）在直角坐标平面内有一点，那么与x轴正半轴夹角的余弦值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了解直角三角形、勾股定理等知识点．作轴于点M，构造直角三角形，根据三角函数的定义求解． 【详解】解：如图，作轴于点M，， 根据勾股定理可得， ∴， 故答案为：． 62．（2025·上海奉贤·一模）已知一个斜坡的坡角为，坡度为，那么 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—坡度、坡角问题，由题意可设斜坡的垂直高度为，则水平宽度为，由勾股定理可得斜坡长度，再由余弦的定义求解即可． 【详解】解：∵坡度， ∴设斜坡的垂直高度为，则水平宽度为， ∴由勾股定理可得斜坡长度为， ∴， 故答案为：． 63．（2025·上海奉贤·一模）等腰三角形中， 分别是边上的中线，且 ，那么 ． 【答案】3 【分析】设与交于Q，连接并延长交于点，由题意得，点为的重心，则为中点，，则为等腰直角三角形，设，则，即可求解． 【详解】解：设与交于Q，连接并延长交于点， 由题意得，点为的重心， ∴为中点， ∵， ∴， ∵，为中点 ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴设，则， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了求一个角的正切值，等腰三角形的性质，重心的性质，直角三角形的性质等知识，熟练掌握知识点是解题的关键． 64．（2025·上海奉贤·一模）在平面直角坐标系的第一象限内有一点，射线与x轴正半轴的夹角为，如果，那么点P坐标为 ． 【答案】 【分析】过点P作轴于点M，利用三角函数的定义，勾股定理，点的坐标的意义解答． 本题考查了正弦函数的应用，勾股定理，坐标的确定，熟练掌握正弦函数，勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图，过点P作轴于点M， ∵，， ∴， ∴， ∴点． 故答案为：． 三、解答题 65．（2025·上海普陀·三模）如图，小明利用无人机测大楼的高度．在空中点测得：到地面上一点处的俯角，距离米，到楼顶点处的俯角．已知点与大楼的距离为70米．（点共线且图中所有的点都在同一平面内） (1)求点到地面的距离； (2)求大楼的高度．（结果保留根号） 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查解直角三角形的应用，涉及俯角问题，读懂题意，数形结合，准确选择三角函数求解是解决问题的关键． （1）由平行线的性质得到，在中，解直角三角形即可得到答案； （2）延长交于点，如图所示，在中，解直角三角形求出，再由矩形的判定与性质得到相关线段长，最后在中，解直角三角形即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中，，则（米）， 答：点到地面的距离为米； （2）解：延长交于点，如图所示： 在中，，则（米）， ∵米， ∴（米）， ∵， ∴四边形为矩形， ∴米，米， 在中，，则（米）， ∴（米）， 答：大楼的高度为米． 66．（2025·上海松江·二模）图1是某商场入口处摆放的“楼层导购图”展板．图2是其横断面的示意图． 信息1：经过测量得到：，，，．（底座的高度忽略不计） 信息为顾客看展板时眼睛所在的位置，，垂足在的延长线上，当视线与展板垂直时，称点为“最佳观察点”． 任务（1）：求展板最低点到地面的距离； 任务（2）：如果，当点为“最佳观测点”时，求点到的距离．（参考数据：） 【答案】任务1：展板最低点到地面的距离为；任务2：当点为“最佳观测点”时，求点到的距离为 【分析】（1）过作于，过点作于，作于，解直角三角形求出，，最后求出结果即可； （2）过点作于点，作于点，设，则，根据，求出结果即可． 【详解】解：（1）如图2，过作于，过点作于，作于， 在中，，， ， ， ， 又， ， ， ， 在中，， ， 答：展板最低点到地面的距离为； （2）如图，过点作于点，作于点， 由（1）知，， ， ，， ， ， ， 设， ， ，，， ， 在中，， ， ， 答：当点为“最佳观测点”时，求点到的距离为． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数定义，作出辅助线． 67．（2025·上海奉贤·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】，原式 【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，利用特殊角的三角函数值化简，再把的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ； ， 把代入，原式． 68．（2025·上海崇明·二模）在有毒、缺氧或浓烟等危险环境开展侦查、搜救是消防救援的核心工作之一，救援人员常面临人身安全威胁，关键时刻需要可靠伙伴——消防机器狗，它能深入室内高危区，打通室内室外壁垒进行搜救，搭载的远距通讯模块，可实现远程操控与实时传图，为救援决策提供可视化信息． 图1是被困人员所处的楼梯横断面示意图．楼梯斜坡用表示，转角平台用表示，地面用表示．已知，垂足为米，米，米． (1)求斜坡的坡比； (2)如图2，当机器狗爬到斜坡上点处时，探测仪测得被困人员头顶的仰角为，继续前行到点处，恰好能搜集到被困人员全身的影像，此时探测仪在线段的延长线上，记作点．图2示意图中所有点均处于同一平面，，垂足分别为米，米，求的长．（参考数据：） 【答案】(1)斜坡的坡比为； (2)的长米． 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）过点作，交于点，根据矩形的性质得到，进而得到，根据勾股定理求出，即可求解； （2）过点作交于点，作交延长线于点，根据题意可知，解直角三角形得到米，进而得到米，根据坡比得到，在中，示得米，即可求解． 【详解】（1）解：过点作，交于点，如图： ， ∴， ∴四边形是矩形， ， ，， ， 在中，， ∴斜坡的坡比为； （2）解：过点作交于点，作交延长线于点，如图： 根据题意可知： ， 在中，， 米， 米， 由， ， ， 在中，米， 米， ∴的长米． 69．（2025·上海闵行·二模）如图，在中，为中线，平分，且，分别交、于点、，，交于点，，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据三角函数计算出，，从而得到，结合角平分线得到，即可得到答案； （2）根据垂直得到，从而得到，，即可得到答案． 【详解】（1）解析： ，， ，， ∴， ∵平分， ∴， ； （2）解： 为中线， 为中点， ，， ∴， ∴， ∴ 为中点， ， 同理可得，， ， ， ∵， ， ． 【点睛】本题考查解直角三角形及三角形相似的判定与性质，解题的关键是根据题意找到直角三角形，合理的应用三角函数． 70．（2025·上海杨浦·二模）如图，在中，，，，是中线，作，交边于点E． (1)求的长； (2)求的正切值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先解直角三角形得到，勾股定理求出，然后证明出，得到，，然后代数求解即可； （2）如图所示，过点E作于点F，求出，然后利用求出，然后解直角三角形求解即可． 【详解】（1）∵在中，， ∴，即 解得 ∴ ∵是中线 ∴ ∴ ∵， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴，即 ∴； （2）如图所示，过点E作于点F ∵， ∴ ∴，即 ∴ ∵，即 ∴ ∴ ∴． 【点睛】此题考查了解直角三角形，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 71．（2025·上海闵行·模拟预测）如图，已知在中，，平分，，垂足为点D，，交边于点E，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，平行线的性质，角平分线的定义，先证明，得，，再运用，得出，，结合勾股定理列式计算，再证明，得出，则，所以，即可作答．正确掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交于点F， 平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在中，， ∴设，则， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 则， ∴. 72．（2025·上海徐汇·一模）小华（考虑为线段垂直于地面）家门口的一条笔直街道上有两棵竖直生长的树．他站在街道上的A处抬头看点E，发现刚好能看到点C，此时仰角为，他向前走之后，站在点D处仰望点E，仰角为．已知小华身高，求的高度．（近似值：，精确到两位小数） 【答案】树的高分别为和 【分析】本题考查解直角三角形的应用及相似三角形的应用，勾股定理，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．作于M交于N，连结．先求得，再由，可得，求得，再用勾股定理得，得出．再由，可得，再列比例式求解即可， 【详解】解：作于M交于N，连结． 由题可知，． ． , ∴, ∵， ， ，即， ∴， ∴， ∴． ∵， ， ∴， 即， ． ∴． ∴． 答：树的高分别为和． 73．（2025·上海崇明·一模）九年级数学活动小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面的中点处竖直上升米到达处，测得实验楼顶部的俯角为，综合楼顶部的俯角为，已知实验楼高度为米，且图中点在同一平面内，求综合楼的高度． （参考数据：；，精确到米．） 【答案】约为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，作，垂足为，由题意可得，，米，， 米，即得，分别解和，求出、即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：作，垂足为，则， 由题意可知：，，米，， 米， ∴米， 在中，， 米 ， ， 在中，， 米， 米， 答：综合楼的高度约为米． 74．（2025·上海崇明·一模）计算：． 【答案】 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值的混合运算．代入特殊角的三角函数值，再进行二次根式的混合运算即可． 【详解】解： ． 75．（2025·上海宝山·一模）为了方便居民出入小区，小区业委会决定对大门口的一段斜坡进行改造．原坡面是矩形（如图1），米，米，斜坡的坡角为．计划将斜坡改造成坡比为的斜坡（如图2所示），坡面的宽度不变． (1)求改造后斜面底部延伸出来的部分（）的长度； (2)改建这条斜坡需要多少立方米的混凝土材料？ 【答案】(1)改造后斜面底部延伸出来的部分（）的长度为米 (2)改建这条斜坡需要立方米的混凝土材料 【分析】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，数形结合，正确地作出辅助线利用三角函数定义求解是解题的关键． （1）过作交的延长线于，根据直角三角形的性质得到（米），（米），由，得到（米），于是得到米； （2）根据三角形的面积公式得到平方米，于是得到结论． 【详解】（1）解：过作交的延长线于，如图所示： ∵米， ∴（米），（米）， 在中，， ∴（米）， ∴米， 答：改造后斜面底部延伸出来的部分（）的长度为米； （2）解：∵平方米， ∴立方米， 答：改建这条斜坡需要立方米的混凝土材料． 76．（2025·上海普陀·一模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，将特殊角的三角函数值代入求解． 【详解】解： ． 77．（2025·上海长宁·一模）如图是某地下车库的剖面图，某综合实践小组将无人机放在坡道起点A处，让无人机飞到点处，与底板平行，测得米，此时在点处又测得坡道上的点的俯角为．接着让无人机飞到点处，，与底板平行，测得米． (1)求坡道的坡度； (2)已知地面、地下车库的顶板都与底板平行且它们到底板的距离相等，无人机从点飞到点处，，测得米，此时在点处测得点的俯角为，在不考虑其他因素的前提下，有一辆高度为3米的货车能否进入该地下车库？请说明理由． （参考数据：，，） 【答案】(1) (2)该货车能进入该地下车库，理由见解析 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形是解题的关键． （1）由题意得：，，如图：过点作于点，易证四边形是矩形，则、；然后在和中解直角三角形即可解答； （2）由题意得：，再在中解直角三角形可得，如图：过点作于点，根据勾股定理和解直角三角形可得，设，则，则，解得，进而求得，最后与3米比较即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：， 如图：过点作于点， ∴ ∴四边形是矩形． ∴， 在中，， ∴  解得：． ∴ 在中，， ∴， ∴． （2）解：由题意得： 在中，，，， ∴， 如图：过点作于点， 在中，，，， 设，则， ∴，解得 ∴， ∵  即该货车能进入该地下车库． 78．（2025·上海长宁·一模）如果一个锐角的正弦值等于黄金分割数，那么我们称这个角叫做黄金角．如图，在中，，是黄金角，点在边上，且，连接． (1)找出图中相等的线段并说明理由； (2)如果，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了黄金分割点、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，掌握黄金分割的定义是解题的关键． （1）由黄金分割结合已知条件可得，再结合黄金分割角的定义可得，则即可解答； （2）先证明可得，然后将代入即可解答． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴点是线段的黄金分割点， ∴， 在中，，是黄金角， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵，   ∴， ∴， ∵， ∴． 79．（2025·上海长宁·一模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角形函数值的混合运算，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键．直接利用特殊角的三角函数值代入，进而计算得出答案． 【详解】解：原式 ． 80．（2025·上海虹口·一模）计算：． 【答案】 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值的混合运算．把特殊角的三角函数值代入后计算即可． 【详解】解： 试卷第66页，共66页 试卷第65页，共66页 学科网（北京）股份有限公司 $$