2025--2026学年人教版数学七年级下册期末知识点复习大全

2026年统编版数学七年级下册期末知识点复习大全（含例题解析） 第七章 相交线与平行线 核心知识点详解 1.相交线 对顶角：有公共顶点，且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线的两个角。对顶角相等。 邻补角：有公共顶点和一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角。邻补角互补（和为 180°）。 垂线：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直。 性质 1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 性质 2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。 2.平行线 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 平行线的判定（由角的关系推线的平行）： 同位角相等，两直线平行 内错角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行 平行线的性质（由线的平行推角的关系）： 两直线平行，同位角相等 两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互补 3.平移 定义：把一个图形整体沿某一直线方向移动一定的距离。 性质： 平移前后图形的形状、大小完全相同 对应点所连线段平行（或在同一直线上）且相等 对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等 高频考点 + 典型例题 考点：对顶角、邻补角的计算 例题：如图，直线 AB、CD 相交于点 O，OE 平分∠AOC，∠BOD=70°，求∠BOE 的度数。 解析： 因为∠AOC 与∠BOD 是对顶角，所以∠AOC=∠BOD=70° 因为 OE 平分∠AOC，所以∠AOE=1/2∠AOC=35° 因为∠AOB 是平角（180°），所以∠BOE=180°-∠AOE=180°-35°=145° 答案：145° 易错点提示 混淆平行线的判定和性质：判定是 "知角证线"，性质是 "知线证角" 点到直线的距离是长度，不是垂线段本身 平移作图时，要确保所有对应点的平移方向和距离都相同 第八章 实数 核心知识点详解 1.平方根与算术平方根 算术平方根：若（），则叫做的算术平方根，记作。0 的算术平方根是 0。 平方根：若，则叫做的平方根，记作。 性质： 正数有两个平方根，它们互为相反数 0 的平方根是 0 负数没有平方根 2.立方根 定义：若，则叫做的立方根，记作。 性质： 正数的立方根是正数 负数的立方根是负数 0 的立方根是 0 任意实数都有且只有一个立方根 3.实数 分类： 有理数：整数和分数（有限小数或无限循环小数） 无理数：无限不循环小数（如，，等） 实数与数轴上的点一一对应 实数的性质：相反数、绝对值、倒数的意义与有理数完全相同 实数的运算：有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然适用 高频考点 + 典型例题 考点 1：求平方根、算术平方根和立方根 例题：求下列各数的值： (1) (2) (3) 解析： (1) 因为，所以（算术平方根，结果为正） (2) 因为，所以（平方根，结果有两个） (3) 因为，所以（立方根，符号与被开方数相同） 答案：(1) 12 (2) ±0.9 (3) -4 考点 2：实数的混合运算（必考计算题） 例题：计算： 解析： 先分别计算各项： （因为，绝对值后取相反数） 再进行加减运算： 答案： 易错点提示 混淆算术平方根和平方根：表示算术平方根（非负），表示平方根（两个） 认为负数有平方根（负数没有平方根，但有立方根） 对无理数的概念理解不清：是无理数，不是分数；是有理数 第九章 平面直角坐标系 核心知识点详解 1.平面直角坐标系的有关概念 由两条互相垂直、原点重合的数轴组成，水平的数轴叫 x 轴（横轴），竖直的数轴叫 y 轴（纵轴）。 四个象限的划分及坐标特征： 第一象限：(+,+) 第二象限：(-,+) 第三象限：(-,-) 第四象限：(+,-) 坐标轴上的点： x 轴上的点：纵坐标为 0，即 (x, 0) y 轴上的点：横坐标为 0，即 (0, y) 坐标轴上的点不属于任何象限 2.点的坐标特征 关于 x 轴对称的点：横坐标相同，纵坐标互为相反数，即 (a, b)→(a, -b) 关于 y 轴对称的点：纵坐标相同，横坐标互为相反数，即 (a, b)→(-a, b) 关于原点对称的点：横、纵坐标都互为相反数，即 (a, b)→(-a, -b) 平行于坐标轴的直线上的点： 平行于 x 轴的直线：纵坐标相同 平行于 y 轴的直线：横坐标相同 3.坐标与图形的变化 平移： 左右平移：横坐标变化，纵坐标不变（左减右加） 上下平移：纵坐标变化，横坐标不变（上加下减） 对称：关于 x 轴、y 轴、原点对称的点的坐标变化规律 高频考点 + 典型例题 考点 1：各象限内及坐标轴上点的坐标特征 例题：若点 P (a, b) 在第二象限，则点 Q (-a, b-1) 在第几象限？ 解析： 因为点 P (a, b) 在第二象限，所以 a<0，b>0 所以 - a>0，b-1 的符号不确定（可能正、负或 0） 当 b>1 时，b-1>0，点 Q 在第一象限 当 b=1 时，b-1=0，点 Q 在 x 轴正半轴上 当 0<b<1 时，b-1<0，点 Q 在第四象限 答案：第一象限、第四象限或 x 轴正半轴上 考点 2：坐标与图形的平移（必考） 例题：将点 A (-2, 3) 先向右平移 3 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，求平移后点 A 的坐标。 解析： 向右平移 3 个单位：横坐标加 3，即 - 2+3=1 向下平移 2 个单位：纵坐标减 2，即 3-2=1 所以平移后点 A 的坐标为 (1, 1) 答案：(1, 1) 易错点提示 平移规律记错：左减右加，上加下减（注意是坐标本身加减，不是相反） 混淆关于 x 轴和 y 轴对称的点的坐标变化 认为坐标轴上的点属于某个象限 第十章 二元一次方程组 核心知识点详解 1.二元一次方程组的有关概念 二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的整式方程。 二元一次方程组：由两个（或两个以上）二元一次方程组成的方程组。 二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值。 二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解。 2.二元一次方程组的解法 代入消元法： 从一个方程中求出一个未知数的表达式 把这个表达式代入另一个方程，消去一个未知数 解一元一次方程，求出一个未知数的值 回代求出另一个未知数的值 加减消元法： 把两个方程中同一个未知数的系数化为相等或相反 把两个方程的两边分别相加或相减，消去这个未知数 解一元一次方程，求出一个未知数的值 回代求出另一个未知数的值 3.实际问题与二元一次方程组 解题步骤：审（审题）→设（设未知数）→列（列方程组）→解（解方程组）→验（检验）→答（作答） 常见类型：和差倍分问题、行程问题、工程问题、配套问题、利润问题等 高频考点 + 典型例题 考点 1：解二元一次方程组（必考计算题） 例题：解方程组： 解法一（代入消元法）： 由第二个方程得：x=2y 把 x=2y 代入第一个方程：2×2y+y=5 → 5y=5 → y=1 把 y=1 代入 x=2y：x=2×1=2 所以方程组的解为 解法二（加减消元法）： 第一个方程 ×2 得：4x+2y=10 与第二个方程相加：(4x+2y)+(x-2y)=10+0 → 5x=10 → x=2 把 x=2 代入第二个方程：2-2y=0 → y=1 所以方程组的解为 考点 2：二元一次方程组的实际应用（必考大题） 例题：某商店购进甲、乙两种商品共 100 件，甲种商品每件进价 15 元，售价 20 元；乙种商品每件进价 35 元，售价 45 元。若商店计划销售完这批商品后能获利 800 元，问甲、乙两种商品应各购进多少件？ 解析： 设购进甲种商品 x 件，购进乙种商品 y 件 根据题意列方程组： 化简第二个方程：5x+10y=800 → x+2y=160 用第二个方程减去第一个方程：(x+2y)-(x+y)=160-100 → y=60 把 y=60 代入第一个方程：x+60=100 → x=40 检验：40+60=100（件），5×40+10×60=200+600=800（元），符合题意 答案：购进甲种商品 40 件，乙种商品 60 件 易错点提示 代入消元时，代入错误的方程（应代入另一个方程，不是原方程） 加减消元时，漏乘常数项或符号错误 解完方程组后不检验，特别是实际问题 实际问题中单位不统一或答非所问 第十一章 不等式与不等式组 核心知识点详解 1.不等式的有关概念 不等式：用不等号（>、<、≥、≤、≠）表示大小关系的式子。 不等式的解：使不等式成立的未知数的值。 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解组成的集合。 一元一次不等式：含有一个未知数，未知数的次数是 1 的不等式。 2.不等式的性质 性质 1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。 性质 2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 性质 3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 3.一元一次不等式的解法 步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为 1 注意：系数化为 1 时，若系数为负数，不等号方向必须改变 4.一元一次不等式组 定义：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组。 解集：几个不等式解集的公共部分。 解集口诀： 同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）。 5.实际问题与一元一次不等式 解题步骤：审→设→列→解→验→答 关键词：至少（≥）、最多（≤）、不超过（≤）、不少于（≥）等 高频考点 + 典型例题 考点 1：解一元一次不等式（必考计算题） 例题：解不等式：，并把解集在数轴上表示出来。 解析： 去分母（两边乘 6）：2 (2x-1)-3 (5x+1)≤6 去括号：4x-2-15x-3≤6 移项：4x-15x≤6+2+3 合并同类项：-11x≤11 系数化为 1（两边除以 - 11，不等号方向改变）：x≥-1 数轴表示：在数轴上找到 - 1 这个点，画实心圆点，向右画射线 答案：x≥-1 考点 2：解一元一次不等式组（必考） 例题：解不等式组：，并写出它的所有整数解。 解析： 解第一个不等式：3x-1<2x+2 → 3x-2x<2+1 → x<3 解第二个不等式：x+3≥2 → x≥-1 所以不等式组的解集为 - 1≤x<3 它的所有整数解为 - 1, 0, 1, 2 答案：解集为 - 1≤x<3，整数解为 - 1, 0, 1, 2 易错点提示 不等式两边乘（或除以）同一个负数时，忘记改变不等号的方向（最常见错误） 去分母时，漏乘不含分母的项 解不等式组时，求公共部分错误 实际问题中忽略不等号的等号情况（如 "至少" 对应≥，"最多" 对应≤） 第十二章 数据的收集、整理与描述 核心知识点详解 1.统计调查 全面调查：考察全体对象的调查。优点是结果准确，缺点是工作量大。 抽样调查：只抽取一部分对象进行调查，然后根据调查数据推断全体对象的情况。优点是省时省力，缺点是结果有误差。 相关概念： 总体：要考察的全体对象 个体：组成总体的每一个考察对象 样本：被抽取的所有个体组成的一个样本 样本容量：样本中个体的数目（没有单位） 2.直方图 频数：落在各个小组内的数据的个数。 频率：频数与数据总数的比（频率 = 频数 ÷ 数据总数）。 画直方图的步骤： 计算最大值与最小值的差（极差） 决定组距与组数 列频数分布表 画频数分布直方图 高频考点 + 典型例题 考点 1：全面调查与抽样调查的选择 例题：下列调查中，适合用全面调查的是（ ） A. 调查一批灯泡的使用寿命 B. 调查全国中学生的视力情况 C. 调查本班同学的身高情况 D. 调查某品牌饮料的合格率 解析： A 选项：调查灯泡的使用寿命具有破坏性，适合抽样调查 B 选项：全国中学生人数太多，适合抽样调查 C 选项：本班同学人数较少，适合全面调查 D 选项：调查饮料的合格率具有破坏性，适合抽样调查 答案：C 考点 2：频数分布直方图的解读（必考大题） 例题：某班同学参加环保知识竞赛，将竞赛成绩（得分取整数）进行整理后分成 5 组，绘制成频数分布直方图（如图）。已知图中从左到右前 4 个小组的频率分别是 0.05, 0.15, 0.35, 0.30，第 5 小组的频数是 6。 求：(1) 该班共有多少名同学？ (2) 成绩在哪个分数段的人数最多？有多少人？ (3) 若成绩在 80 分以上（含 80 分）为优秀，求该班的优秀率。 解析： (1) 第 5 小组的频率 = 1-0.05-0.15-0.35-0.30=0.15 总人数 = 频数 ÷ 频率 = 6÷0.15=40（名） (2) 成绩在 70.5~80.5 分的人数最多 人数 = 40×0.35=14（人） (3) 80 分以上的频率 = 0.30+0.15=0.45 优秀率 = 0.45×100%=45% 答案：(1) 40 名 (2) 70.5~80.5 分，14 人 (3) 45% 易错点提示 混淆总体、个体、样本的概念（总体是全体对象，样本是被抽取的部分） 样本容量没有单位 计算频率时出错（频率 = 频数 ÷ 总数，不是总数 ÷ 频数） 画直方图时，组距与组数选择不当 期末复习重点总结 必考题型及分值分布（参考） 题型 分值 主要考查内容 计算题 28-32 分 实数混合运算、解二元一次方程组、解一元一次不等式（组） 几何题 22-26 分 相交线与平行线的性质与判定、平面直角坐标系中的图形变换 应用题 20-25 分 二元一次方程组实际应用、一元一次不等式（组）实际应用 统计题 8-12 分 频数分布表和直方图的解读与绘制 选择填空 15-20 分 各章节基础知识点 高效复习建议 1.计算题专项训练：每天做 5-10 道计算题，确保计算准确，这是得分的基础 2.几何证明题规范训练：注意证明步骤的逻辑性和书写格式，每一步都要有依据 3.应用题分类突破：把常见的应用题类型（行程、工程、利润、配套等）各做 3-5 道，掌握解题思路 4.错题本整理：把平时做错的题目整理出来，分析错误原因，考前重点复习 5.模拟考试：做 2-3 套期末模拟试卷，熟悉考试节奏和题型分布 学科网（北京）股份有限公司 $