21.1 一元二次方程 课件 2026-2027学年数学华东师大版九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的定义、一般形式及解（根），通过对比一元一次方程引入新知，结合“三要素”辨析与实例讲解，构建从旧知到新知的学习支架，课时流程涵盖逐点导讲练、课堂小结及作业提升。 其亮点在于以“定义三要素”“一般形式表格”强化抽象能力，通过分类例题（如实际问题列方程、整体代入求代数式值）培养模型意识与推理意识，结合中考考法与易错点解析，助力学生夯实基础，教师可高效开展教学。

21.1 认识一元二次方程 学习目标 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 课时讲解 1 课时流程 2 一元二次方程的定义 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的解(根) 学习目标 知识点 一元二次方程的定义 知1－讲 1 1. 定义 整式方程中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程 . 2. 一元二次方程的“三要素” 一是整式方程，二是只含一个未知数，三是整理后未知数的最高次数是 2. 感悟新知 知1－讲 特别提醒 次数是 2 的项的系数的取值范围不明 确的方程不一定是一 元二次方程，如：(m－2)x2＋3x－8＝0不一定是关 于x的一元二次方程. 感悟新知 知1－练 例 1 下列方程：① x2＋y－6＝0；② x2＋＝2；③ x2－x－2＝0；④ 2x2－3x＝2(x2－2). 其中是一元二次方程的有_______.(填序号) 解题秘方：紧扣一元二次方程的“三要素”进行识别 . ③ 感悟新知 知1－练 解：①含有两个未知数；②不是整式方程； ③符合一元二次方程的“三要素”； ④整理后未知数的最高次数不是2 . 判断一个方程是否是一元二次方程，要从原方程及整理后的方程两方面进行判断 . 感悟新知 知1－练 1－1. [期中·新乡] 下列方程是关于x的一元二次方程的是( ) A. x＋－2＝0 B. ax2＋x＋3＝0 C. (x＋1)2＝2 D. 2x3＋x2＋2＝0 C 感悟新知 知2－讲 知识点 一元二次方程的一般形式 2 1. 一元二次方程的一般形式 ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是已知数，a ≠0 )，其中a、 b、c分别叫做二次项系数、 一次项系数和常数项. 特别提醒 如果方程ax2＋bx＋c＝0是一元二次方程，则必隐含a≠0 这一条件 . 感悟新知 知2－讲 2. 特殊形式 特殊形式 二次项系数 一次项系数 常数项 ax2＋bx＝0(a≠0，b≠0) a b 0 ax2＋c＝0(a≠0，c≠0) a 0 c ax2＝0(a≠0) a 0 0 感悟新知 知2－练 把下列一元二次方程化为一般形式，并指出方程的二次项系数、一次项系数和常数项. (1)(x＋1)(x－2)＝4； (2)2(x－3)(x＋4)＝x2－10； (3)(2x＋1)(x－2)＝5－3x. 例 2 感悟新知 知2－练 思路导引： 感悟新知 知2－练 解：(1)整理方程，得x2－x－6＝0. 其中二次项系数为1，一次项系数为 －1，常数项为 －6. (2)整理方程，得x2＋2x－14＝0. 其中二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为－14 . (3)整理方程，得2x2－7＝0. 其中二次项系数为2，一次项系数为0，常数项为 －7. 一次项及常数项都可为0. 注意不要漏掉“－”号 . 感悟新知 知2－练 2－1. 将一元二次方程3x2－2＝－4x化成一般形式 ax2＋bx＋c＝0(a>0)后，一次项和常数项分别是( ) A. －4，2 B. －4x，2 C. 4x，－2 D. 3x2，2 C 感悟新知 知2－练 2－2. [期末·开封]若关于x的方程(k－1)x2＋2x－3＝0 是一元二次方程，则k的值可以是_______. (写出一个即可) 0 (答案不唯一) 感悟新知 知3－讲 知识点 一元二次方程的解(根) 3 1. 定义 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根 . 感悟新知 知3－讲 2. 检验一元二次方程根的步骤 步骤 1：将已知数值分别代入一元二次方程的左右两边求值. 步骤 2：若方程左右两边的值相等，则这个数是一元二次方程的解(根)；否则，这个数不是一元二次方程的解(根). 感悟新知 知3－讲 特别解读 如果一个数是一元二次方程的解(根)，那么这个数一定能使方程左右两边的值相等 . 感悟新知 知3－练 判断x＝2，x＝3 是不是一元二次方程 x2－x＝6的根 . 例 3 解题秘方：紧扣一元二次方程根的定义进行判断 . 学了一元二次方程的解法后还可以通过解方程进行判断 . 感悟新知 知3－练 解：将x＝2代入方程，得左边＝4－2 ＝2， ∵右边＝6，2 ≠ 6，∴ x＝2不是原方程的根 . 将x＝3代入方程，得左边＝9－3＝6， ∵右边＝6，6 ＝6， ∴ x＝3 是原方程的根 . 感悟新知 知3－练 3－1. [期中·许昌]若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)满 足9a＋3b＋c＝0，9a－3b＋c＝0，则该一元二次方程的根是( ) A. 6，3 B. 6，－3 C. 3，－3 D. 6，－6 C 感悟新知 认识一元二次方程 一元二次方程 定义 一般形式 解(根) 方程模型 课堂小结 题型 利用一元二次方程的定义求字母的值 1 已知方程2xa－xb－x2＋4＝0是关于x的一元二次方程，求a，b的值. 例 4 解题秘方：根据一元二次方程的定义， 该方程需满足：未知数的最高次数是2且二次项系数不为0， 所以指数a，b的取值只能是0，1或2. 综合应用创新 解：当a，b的值是0或1时， 方程的最高次项是二次项－x2， 满足条件，所以有或或或 当a＝2时， 方程为x2－xb＋4＝0， 所以有或 综合应用创新 当b＝2时， 方程为2xa－2x2＋4＝0， 所以有或 综上可知，a，b的值为或或或或或或或 综合应用创新 特别提醒 对于此类问题要注意分类讨论思想的应用，讨论要全面，不可漏掉任何一种情况. 综合应用创新 题型 利用一元二次方程根的定义求值 2 已知x＝2是关于x的一元二次方程x2－2a＝0的一个根，则一次函数y＝ax－1的图象不经过第____象限. 例 5 类型 1 求方程中字母的值 二 综合应用创新 解题秘方：紧扣一元二次方程根的定义， 将根代入方程中求字母的值是解题的关键. 解： 将x＝2代入方程，得×22－2a＝0，∴a＝3. ∴y＝3x－1. 一次函数y＝3x－1的图象不经过第二象限. 综合应用创新 方法点拨 已知一元二次方程的根，求方程中字母的值时，利用方程的根的定义，将方程的根代入方程中转化为以所求字母为未知数的方程，通过解方程求出字母的值. 综合应用创新 已知a是一元二次方程x2－19x＋1＝0的一个根，试求a2－18a＋的值. 例 6 类型 2 求代数式的值 解题秘方：将x＝a代入一元二次方程x2－19x＋1＝0，再对等式变形，利用整体代入法求代数式的值. 综合应用创新 解： ∵a是x2－19x＋1＝0的一个根，∴a2－19a＋1＝0. ∴a2＋1＝19a，a2＝19a－1. ∴原式＝19a－1－18a＋＝a－1＋＝＝＝18. 综合应用创新 解法提醒 因为代数式a2－18a＋中含有a2，且其中一项的分母为a2＋1，所以把 a2－19a＋1＝0 变形为a2＋1＝19a和a2＝19a－1，从而把a2＋1和a2转化为一次式，再代入待求式子中整理化简，计算出结果. 综合应用创新 已知a2＋3a＋1＝0，b2＋3b＋1＝0 (a≠b)，请构造一个以a，b为根的一元二次方程(以x为未知数)，并求x2＋3x＋2的值. 例 7 类型 3 构造一元二次方程求值 解题秘方：观察两个等式的结构，结合一元二次方程根的定义求解. 综合应用创新 解： ∵a2＋3a＋1＝0，b2＋3b＋1＝0(a≠b)， ∴由一元二次方程的根的定义，可知以a，b为根的一元二次方程(以x为未知数) 是x2＋3x＋1＝0. ∴x2＋3x＋2＝(x2＋3x＋1)＋1＝1. 综合应用创新 技巧点拨 根据一元二次方程的根的定义，若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根，则ax12＋bx1＋c＝0， ax22＋bx2＋c＝0.反之，同样成立. 综合应用创新 若关于x的一元二次方程ax2＋bx－1＝0 (a≠0)有一根为x＝1，则一元二次方程a(x－1)2＋b(x－1)－1＝0必有一根为_______. 例 8 类型 4 求关联方程的解 x＝2 综合应用创新 解题秘方：两个方程的结构相同， 可以借助第一个方程的根来确定第二个方程的根. 解： ∵一元二次方程a(x－1)2＋b(x－1)－1＝0与ax2＋bx－1＝0(a≠0)的结构相同， 且一元二次方程ax2＋bx－1＝0 (a≠0) 有一根为x＝1，∴x－1＝1，解得x＝2. 综合应用创新 解题通法 若两个方程的结构相同，将第二个方程中含x的代数式看成一个整体，则可以得到其取值与第一个方程的解相同，进而求出第二个方程的解． 综合应用创新 题型 根据实际问题列一元二次方程 3 我国通过药品集中采购，大大减轻了群众的医药负担.如果某种药品经过两次降价，价格从140元/盒下调至35元/盒，设平均每次降价的百分率为x，可以列方程为________________ . 例 9 140(1－x)2＝35 综合应用创新 解题秘方：设基准量为a， 平均变化率为x， 则变化两次后的量为a(1±x)2. 解： 由题意知第一次降价后的价格为140(1－x) 元/盒， 第二次降价后的价格为140(1－x)2元/盒，则可以列方程为140(1－x)2＝35. 综合应用创新 方法点拨 根据实际问题列一元二次方程的一般步骤： 综合应用创新 已知关于x的一元二次方程(m－2)x2＋6x－m2－m＝0 有一个根是 1，求 m的值 . 例10 易错点 忽视一元二次方程二次项系数不为0而致错 错解：∵ x＝1 是方程(m－2)x2＋6x－m2－m＝0的一个根， ∴ m－2＋6－m2－m＝0，即4－m2＝0， ∴ m＝±2. 综合应用创新 正解：(接错解) ∵方程(m－2)x2＋6x－m2－m＝0 是关于x的一元二次方程， ∴ m－2 ≠ 0，即 m ≠ 2. ∴ m＝－2. 综合应用创新 诊误区： 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中二次项系数a≠0 是一元二次方程的隐含条件，求出的字母的值要满足二次项系数不为0. 综合应用创新 考法 利用一元二次方程根的定义求字母的值 1 [中考·达州] 已知关于x的方程x2＋mx－3＝0的一个根是1，则m的值为________. 例11 2 试题评析： 本题考查的是一元二次方程根的定义， 根据一元二次方程根的定义列出方程是解题的关键. 解：∵关于x的方程x2＋mx－3＝0的一个根是1， ∴1＋m－3＝0，解得m＝2. 中考风向标 考法 利用一元二次方程根的定义求式子的值 2 已知m是方程x2＋4x－1＝0的一个根，则(m＋5)(m－1)的值为________. －4 例12 中考风向标 试题评析：本题考查的是一元二次方程根的定义， 把方程的根代入方程并将所得的式子和待求式灵活变形， 运用整体代入法求值. 解： 把x＝m代入x2＋4x－1＝0， 得m2＋4m－1＝0，即m2＋4m＝1. ∴(m＋5)(m－1)＝m2＋4m－5＝1－5＝－4. 中考风向标 考法 根据实际问题建立一元二次方程模型 3 [中考·福建 ] 为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5 m的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6 m2的矩形菜地作为实践基地，如图21.1－1所示. 例13 中考风向标 设矩形的一边长为x m，根据题意可列方程为( ) A. 5x2＝6 B. 5(1＋x2)＝6 C. x(5－x)＝6 D. 5(1＋x)2＝6 中考风向标 试题评析：本题考查了根据实际问题列一元二次方程， 先用含x的式子表示出矩形的另一条边长， 再利用矩形的面积公式， 列出方程即可. 解： 因为矩形的一边长为x m， 所以另一边长为(5－x)m，由题意， 得x(5－x) ＝6． 答案： C 中考风向标 1. 关于x的一元二次方程(m－3)x2＋m2x＝ 9x＋5化为一般形式后不含一次项，则m的值为( ) A. 0 B. ±3 C. 3 D. －3 D 综合素养训练 2. 已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋a2－1＝0有一个根为x＝ 0，则a的值为( ) A. 0 B. ±1 C. 1 D. －1 D 综合素养训练 3. 若x＝1是关于x的一元二次方程x2＋ax＋2b＝0的解，则2a＋4b＝( ) A. －2 B. －3 C. －1 D. －6 A 综合素养训练 4. 若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋5＝0(a≠0) 有一个根为2 027， 则方程a(x＋1)2＋b(x＋1)＝－5必有一个根为( ) A. 2 027 B. 2 025 C. 2 024 D. 2 026 D 综合素养训练 5. 中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》 中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何.” 其大意是： 一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为x步，根据题意可列方程为(　　) A. x(60－x)＝864 B. x(x－60)＝864 C. x(60＋x)＝864 D. 2[x＋(x＋60)]＝864 A 综合素养训练 6. [期中·驻马店] 若关于x的方程(k－1)x|k|＋1－kx＋1＝0是一元二次方程， 则k的值为______. －1 综合素养训练 7. 已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，如果a，b，c满足3a＋2b＋c＝1，我们就称这个一元二次方程为波浪方程. (1)判断方程x2＋3x－8＝0是否为波浪方程，并说明理由. 解：方程x2＋3x－8＝0为波浪方程． 理由：∵a＝1，b＝3，c＝－8， ∴3a＋2b＋c＝3＋6－8＝1， ∴方程x2＋3x－8＝0为波浪方程． 综合素养训练 (2) 已知关于x的波浪方程ax2＋bx－1＝0的一个根是x＝2，求a，b的值. 解：∵关于x的方程ax2＋bx－1＝0为波浪方程， ∴3a＋2b＋c＝1．又∵c＝－1，∴3a＋2b＝2.① ∵x＝2是关于x的方程ax2＋bx－1＝0的一个根， ∴4a＋2b－1＝0.② 联立①②，解得a＝－1，b＝. 综合素养训练 $