20.3 二次根式的加减 课件 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“二次根式的加减”，以二次根式化简为基础，通过“逐点导讲练”构建学习支架，衔接同类二次根式概念、加减法则及混合运算，帮助学生形成知识脉络。 其亮点是通过例题解析（如判断同类二次根式、混合运算）和“逆用法则”“整体代入法”等技巧总结，培养学生运算能力与推理意识。学生能提升解题技能，教师可借助系统资源优化教学，提高课堂效率。

20.3 二次根式的加减 学习目标 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 课时讲解 1 课时流程 2 同类二次根式 二次根式的加减 二次根式的混合运算 学习目标 知识点 同类二次根式 知1－讲 1 1. 同类二次根式 与整式中同类项相类似，我们把像3、－2与4这样的几个二次根式，称为同类二次根式 . 感悟新知 知1－讲 特别提醒 判断是否为同类二次根式只看化成最简二次根式后被开方数是否相同，与根号前面的因数(式0无关. 感悟新知 知1－讲 2. 合并的方法 合并同类二次根式与合并同类项相类似，将根号外的因数或因式相加，根指数和被开方数不变，合并的依据是乘法分配律的逆向运用，即：a＋b＝(a＋b) (m ≥ 0). 感悟新知 知1－练 例 1 下列根式中，与不是同类二次根式的是( ) A. B. C. D. 解题秘方：首先把选项中每个根式都化成最简二次根式，然后找出被开方数不是3的二次根式. 感悟新知 知1－练 解：A. ＝＝＝；B. ＝＝； C. ＝＝＝；D. ＝＝2 . 答案：C 感悟新知 知1－练 1-1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是( ) A. B. C. D. C 感悟新知 知1－练 计算：3+ - 2+. 解题秘方：：先找出同类二次根式，再合并同类二次根式即可． 解： 原式 ＝ 3 - 2+(+) ＝ +4. 例 2 感悟新知 知1－练 2-1. 计算：3(+)+3( - 2). 解：3(+)+3( - 2) ＝3+3+3 - 6 ＝6 - 3. 感悟新知 知2－讲 知识点 二次根式的加减 2 1. 二次根式加减的法则 二次根式相加减，先把各个二次根式化简，再将同类二次根式合并 . 感悟新知 知2－讲 2. 二次根式加减运算的步骤 (1)“化”：将每个二次根式都化成最简二次根式； (2)“ 找”：找出同类二次根式； (3)“并”：将同类二次根式合并成一项 . 感悟新知 知2－讲 特别提醒 1. 化成最简二次根式后被开方数不相同的二次根式不能合并，但是不能丢弃，它们也是结果的一部分 . 2. 整式加减运算中的交换律、结合律、去括号法则、添括号法则在二次根式运算中仍然适用. 感悟新知 知2－练 计算：(1)－＋； (2)＋－－. 解题秘方：紧扣二次根式加减法法则进行计算 . 解：(1)原式 ＝2－4＋＝－. (2)原式＝3＋－－＝. 例 3 感悟新知 知2－练 3-1. 计算： (1)9＋7－5； (2)＋－； (3)3x－5x＋7x. 感悟新知 知3－讲 知识点 二次根式的混合运算 3 1. 二次根式的混合运算种类 二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合运算 . 2. 二次根式的混合运算顺序 与整式的混合运算顺序相同，先算乘方，再算乘除，最后算加减，若有括号就先算括号里面的 . 感悟新知 知3－讲 说明 幂的运算法则、多项式乘法法则和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用. 感悟新知 知3－讲 特别提醒 1. 二次根式混合运算的结果应写成最简二次根式(或整式)的形式 . 2. 在进行计算时，能用乘法公式的要尽量使用乘法公式，同时注意合理地运用运算律 . 感悟新知 知3－练 计算： (1)(－5)×；(2)(5＋)(5－2)； (3)(4－8＋÷2. 解题秘方：紧扣二次根式的混合运算顺序计算即可. 例 4 感悟新知 知3－练 解：(1)原式＝ ×－5×＝－5＝ －15. (2)原式＝25－10＋5－2＝25－10＋10－6＝19. (3)原式＝(8－2＋4)÷2＝10÷2＝5. 感悟新知 知3－练 4-1. [中考·重庆] 估计(＋)的值应在( ) A. 7 和8 之间 B. 8 和9 之间 C. 9 和10 之间 D. 10 和11 之间 B 感悟新知 知3－练 3-2. 计算： (1)－×； (2)(5＋)÷. 感悟新知 知3－练 计算： (1)(2+3)(2 - 3)； (2)(1 - )2； (3)(+)(–)– ( - 1)2. 解题秘方：利用二次根式的乘法公式和加减法法则计算. 例 5 感悟新知 知3－练 解：(1)(2+3)(2 - 3)＝(2)2 - 32＝20 - 9＝11. (2)(1 - )2＝12 - 2××1+()2＝4 - 2. (3)(+)(–)– ( - 1)2 ＝()2 – ()2 – [()2 - 2××1+12] ＝5 – 6 - 5+2 - 1 ＝ - 7+2. 感悟新知 知3－练 5-1. 计算： (1)(5＋)×(5－) ； (2)(＋2)2； 感悟新知 知3－练 (3)(2－)2 . (4)(+)( - ) - . 原式＝()2 - ()2 - 4＝7 – 3 - 4＝0. 感悟新知 二次根式的加减 二次根式的 加减 运算种类 运算顺序 同类二次根式 运算法则 混合 运算 课堂小结 方法 “逆用法则”巧解二次根式的混合运算 1 计算： (1)(+– )2 - ( - – )2； (2)(1+ - )(1- +)； (3)(3+2)100(3 - 2)101. 解题秘方：逆用“乘法公式”和“幂的运算法则”进行计算. 例 6 综合应用创新 解：(1)原式＝(+ -+ - - )×(+ - - ++)＝(2 - 2)×2＝4 - 12. (2)原式＝[1+ (–)]×[1- ( - )]＝12 - ( - )2＝ 1 - (5 - 2)＝2 - 4. (3)原式＝(3+2)100(3 - 2)100(3 - 2)＝[(3+2)(3 - 2)]100×(3 - 2)＝1100×(3 - 2)＝3 - 2. 综合应用创新 技巧点拨 紧扣“乘法公式”和“幂的运算法则”的特征进行灵活计算. 根据式子形式，逆用乘法公式或整式的乘法法则进行计算，能大大简化运算过程. 综合应用创新 方法 “定义法”求值 2 已知a，b是正整数，且 + ＝，求a，b的值. 解题秘方：紧扣“ + ＝，即，可以合并”这一特征解答. 例 7 综合应用创新 解：由+＝，可 知，是可以合并的二次根式. ∵＝＝2，∴可设＝m，＝n. ∴m+n＝2，即(m+n)＝2. ∴m+n＝2. 又∵a，b为正整数，∴m，n为正整数. ∴m＝n＝1.∴a＝b＝17. 综合应用创新 技巧点拨 解答本题的技巧在于巧用“+＝，即，是可以合并的二次根式”，也就是说它们可以化为被开方数相同的最简二次根式，利用这一特征解决问题. 若按思维习惯把已知等式两边平方，这样等式中的两个未知数a，b是无法求出的. 综合应用创新 方法 “整体代入法”求值 3 已知x＝(+)，y＝( - )，求代数式x2 - xy+ y2的值. 解题秘方：根据所求代数式的结构特点，将其转化为含有x+y与xy的代数式，分别求x+y与xy的值，整体代入进行计算. 例 8 综合应用创新 解： ∵x＝(+)，y＝( - )， ∴x+y＝，xy＝. ∴x2 - xy+ y2＝(x+y)2 - 3xy ＝()2 - 3× ＝. 综合应用创新 方法点拨 用整体思想求代数式的值的方法： 求关于x，y的对称式(即交换两个字母的位置后，代数式不变)的值，一般先求出x + y，xy，x - y，等的值，然后将所求对称式进行适当变形，使之成为只含有x + y， xy，x - y，等的式子，最后将其值整体代入即可求解. 综合应用创新 方法 “估值作差法”求值 4 已知a，b分别是3 - 的整数部分和小数部分，求 (a - )(b - 1)的值. 解题秘方：用“估值法”紧扣“小数部分＝原数-整数部分”确定字母的值进行求值. 例 9 综合应用创新 解： ∵1<2<4， ∴1<<2. ∴ - 2< - < - 1. ∴1<3 - <2. ∴a＝1，b＝3 - - 1＝2 - . ∴(a - )(b - 1)＝(1 - )(2 - - 1)＝(1 - )2＝3 - 2. 综合应用创新 知识储备 任何一个无理数都可以表示为整数部分与小数部分的和的形式，确定其整数部分的方法是先将该无理数确定在两个连续整数之间，然后确定出整数部分，进而确定其小数部分. 综合应用创新 方法 “化简代入法”求值 5 已知a＝，求- 的值. 解题秘方：化简a和所求代数式，将a和代入原式求值. 例10 综合应用创新 解：a＝＝＝2 - . 显然0<a<1，故＝1 - a. 所以- ＝ - ＝a – 1 - ＝a - 1+. 由a＝，得＝2+. 故原式＝2 - - 1+(2+)＝3. 综合应用创新 技巧总结 解化简求值问题的技巧： 1 . 当代数式复杂而字母的值单一时，一般先化简代数式，再把字母的值代入； 2. 当代数式复杂且字母的值含有运算时，一般先将代数式和字母的值同时化简，再把化简后字母的值代入化简后的代数式. 综合应用创新 易错点 进行二次根式的混合运算时，出现运算顺序错误 计算：1 - 12÷×2. 错解：原式＝1 - 12÷(×2) ＝1 - 12÷12 ＝0. 例11 综合应用创新 正解： 原式＝1 - 12××2 ＝1 - 2×2 ＝1 – 12 ＝ - 11. 综合应用创新 诊误区： 二次根式的混合运算顺序与有理数的混合运算顺序相同，此题中应先做除法运算，后做乘法运算，不能认为后两个数相乘简单就先计算乘法，从而导致错 误. 综合应用创新 解：原式＝9＋14－20＝3； 原式＝2＋2－＝2＋； 原式＝3－10＋21＝14. 解：原式＝2－＝2－3＝－； 原式＝ ×＝5＋＝5＋＝. 解：原式＝52－()2＝25－7＝18； 原式＝5＋4＋4＝9＋4； 解：原式＝12－4＋2＝14－4. $