20.3 二次根式的加减（培优课件）-2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次根式的加减运算，核心为同类二次根式的概念及“化简、找同类、合并”步骤。课堂从复习最简二次根式切入，通过实例观察引出同类二次根式定义，再类比整式加减法则，构建从概念到运算的学习支架，衔接前后知识。 其亮点在于运用类比迁移（体现数学思维的推理意识），结合分层练习（基础判断、提升运算）和易错总结（概念混淆等），培养学生运算能力。如用“合并同类项”类比“合并同类二次根式”，混合运算中运用乘法公式，帮助学生建立知识联系，提升解题准确性，教师可直接用于课堂教学，提高效率。

华东师大版数学九年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月13日 20.3 二次根式的加减 第20章 二次根式 20.3 二次根式的加减 练习题 一、核心知识点梳理 二次根式加减运算的核心是合并同类二次根式，同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的根式。二次根式加减运算法则：先将所有二次根式化为最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式，合并时只合并根号外的系数，被开方数和根号保持不变。非同类二次根式不能合并，直接保留原式。解题核心步骤可总结为：一化简、二找同类、三合并。 二、基础练习题（夯实基础） 1. 判断下列各组是否为同类二次根式： （1）$$\sqrt{2}$$与$$\sqrt{8}$$ （2）$$\sqrt{3}$$与$$\sqrt{12}$$ （3）$$\sqrt{5}$$与$$\sqrt{10}$$ 三、提升练习题（巩固拔高） 1. 混合加减运算： （1）$$2\sqrt{12}-6\sqrt{\frac{1}{3}}+3\sqrt{48}$$ （2）$$\sqrt{27}-\sqrt{12}+\sqrt{\frac{1}{3}}$$ 2. 化简求值：已知$$a=\sqrt{3}$$，求代数式$$2\sqrt{12a}-\sqrt{3a}+\frac{1}{2}\sqrt{48a}$$的值。 3. 易错辨析：判断计算是否正确，错误请改正。$$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$$ 四、参考答案与详细解析 基础题解析 1.（1）是，$$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$$，化简后被开方数均为2；（2）是，$$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$$，化简后被开方数均为3；（3）否，化简后被开方数不同，不属于同类二次根式。 2.（1）原式$$=(1+3)\sqrt{2}=4\sqrt{2}$$；（2）原式$$=(5-1)\sqrt{3}=4\sqrt{3}$$；（3）原式$$=3\sqrt{2}+\sqrt{2}=4\sqrt{2}$$。 提升题解析 1.（1）原式$$=4\sqrt{3}-2\sqrt{3}+12\sqrt{3}=14\sqrt{3}$$；（2）原式$$=3\sqrt{3}-2\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$$。 2. 先化简原式：$$4\sqrt{3a}-\sqrt{3a}+2\sqrt{3a}=5\sqrt{3a}$$，代入$$a=\sqrt{3}$$，得$$5\sqrt{3\times\sqrt{3}}=5\times3^\frac{3}{4}$$，简化求值结果为$$5\sqrt[4]{27}$$。若代入$$a=3$$，结果为$$15$$。 3. 计算错误。$$\sqrt{2}$$与$$\sqrt{3}$$不是同类二次根式，无法直接合并加减，原式不能化简，保留原式即可。 五、易错总结 1. 概念混淆：误认为所有二次根式都可以直接加减，只有化简后的同类二次根式才能合并，非同类根式不可合并；2. 省略化简步骤：直接对原式根式计算，未先化为最简二次根式，导致无法识别同类根式；3. 合并出错：合并时错误改动被开方数，或遗漏根号外的系数符号；4. 运算粗心：多项混合运算中漏项、系数计算失误。解题需严格遵循“先化简、再辨类、后合并”的步骤，杜绝盲目计算。 学习目标 1.理解可以合并的二次根式的含义，会判断几个二次根式是不是可以合并的二次根式.(重点) 2.理解和掌握二次根式加减的方法，会正确进行二次根式的加减运算.(难点) 3. 通过类比整式的加减法，体会化归思想，提高 计算能力，培养认真细致的良好学习习惯. 学习目标 二次根式计算、化简的结果符合什么要求？ (1) 被开方数不含分母； (2) 被开方数中所有因数(或因式)的幂的指数都小于2 最简二次根式 观察下列二次根式有什么共同特征： 每组的二次根式的被开方数相同 同类二次根式 （1） ··· （2） ··· 1 经过化简后，各根式被开方数相同，像这样的几个二次根式被称为同类二次根式. 下列根式又有什么共同特征？ (3) ··· (1)说出 的三个同类二次根式； (2)下列各式中哪些是同类二次根式? 答案不唯一，如 先化成最简二次根式，再作判断. 答： 巩固概念 二次根式的加减法则及运用 2 例1 计算： 解： 思考：计算： 分析 先将各二次根式化简： =____________________. =____________________. 解 （化成最简二次根式） （合并同类型） 思考：如何合并同类二次根式？ 合并同类二次根式的方法是： （1）化为最简二次根式 （2）系数相加减 （3）二次根式不变 归纳总结 二次根式的加减法则： 类比合并同类项，说说计算过程有什么规律？ 　　二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式（同类二次根式）进行合并. 一化 二找 三合并 知识要点 例2 计算： 解： 典例精析 1. 计算： 解： 练一练 2. 计算： (1) ； (2) . 解：(1) (2) 思考：比较二次根式的加减与整式的加减，你能得出什么结论？ 二次根式的加减实质是合并同类二次根式 (被开方数相同). 整式的加减的实质是合并同类项． （1） （2） 计算： 　　思考：（1）中，先计算什么？后计算什么，最后的目标是什么？（2）呢？ 二次根式的混合运算方法 3 　　与有理数、实数运算一样，在混合运算中先乘除， 后加减； 　　对于（1）：先算乘，再化简，若有相同的二次根 式进行合并，最后的目标是二次根式是最简二次根式； 　　对于（2）：先算除，再化简，若有相同的二次根 式进行合并，把所有的二次根式化成最简二次根式． （1） （2） 解： （1） 　　思考：（1）中，每一步的依据是什么？ 　　第一步的依据是：分配律或多项式乘单项式； 　　第二步的依据是：二次根式乘法法则； 　　第三步的依据是：二次根式化简． 解： （2） 思考：(2) 中，每一步的依据是什么？ 第一步的依据是：多项式除以单项式法则； 第二步的依据是：二次根式除法法则． 3.计算： 练一练 二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，体现在：运算律、运算顺序、乘法法则、乘法公式仍然适用. 平方差公式：(a + b)(a - b) = a2 - b2； (a + b)2 = a2 + 2ab + b2； (a - b)2 = a2 - 2ab + b2； 完全平方公式： 知识要点 例3 计算： 典例精析 = 2 - 1 = 1. 解： 4. 计算： (1) ； 解：(1) 原式＝ (2) ； (2) 原式＝ 练一练 1. 计算： 解： 解： 解题反思：(1) 有括号的先去括号再进行运算； (2) 被开方数不相同的最简二次根式是不能合并的. 随堂练习 把二次根式看成“项”，(1)、(2)、(3) 分别可以看成整式乘法中“单项式×多项式”、“多项式÷单项式”、“多项式×多项式”的运算. 3. 计算： （1） （2） （3） 提示 随堂练习 看看和你做的一样吗？ （1） 解： （2） （3） 随堂练习 3. 计算： 用了公式 (a + b)(a - b)=a2 - b2 用了公式 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 随堂练习 1.同类二次根式的定义. 2.二次根式加减运算的步骤: (1)把各个二次根式化成最简二次根式； (2)把各个同类二次根式合并. 3.如何合并同类二次根式 与合并同类项类似，把同类二次根式的系数相加减，作为结果的系数，根号及根号内部都不变. 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式. 课堂小结 谈一谈本节课自己的收获和感受？ （1） 以前学过的运算法则在二次根式的混合运算中依然成立； （2）计算结果最后一定要化成最简形式； （3）二次根式的混合运算与整式的运算非常类似，即运算性质和运算律是一致的，体现了数式通性的特点； （4）计算时要做到准确熟练. 课堂小结 $