第7讲 函数的性质·分类练习-2027届高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

**基本信息** 聚焦函数单调性、奇偶性等核心性质，通过63道分类练习题（含2026年多地模拟题）实现基础巩固与能力提升，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|约55题|单调性判断（题1）、奇偶性求参数（题26）、周期性应用（题38）|结合2026年模拟题（题6、7），分层设计基础与能力题| |解答题|约8题|单调性证明（题4）、抽象函数性质推导（题61）|综合考查性质应用，培养逻辑推理与数学表达能力|

第7讲 函数的性质·分类练习（解析卷） 答案速查表 1 2 3 4 5 C D B （1）在上单调递减，证明见解析 （2） 见解析 6 7 8 9 10 A A A A 11 12 13 14 15 C A 16 17 18 19 20 C D D D （1）奇函数 （2）偶函数 （3）偶函数 （4）非奇非偶函数 （5）偶函数 21 22 23 24 25 C A A 26 27 28 29 30 C A C A 31 32 33 34 35 C A B ABD ABD 36 37 38 39 40 D D C C D 41 42 43 44 45 B A A 46 47 48 49 50 D C C ABD 51 52 53 54 55 B B ABD ABD A 56 57 58 59 60 B D A C BC 61 62 63 （1）偶函数，证明见解析 （2）单调递增，证明见解析 ACD ACD 考点一：函数的单调性 考法1：判断或证明函数的单调性 1.已知函数的定义域是，若对于任意两个不相等的实数，，总有成立，则函数一定是（ 　　） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 增函数 D. 减函数 【答案】C 【解析】对于任意两个不相等的实数，，总有成立，等价于对于任意两个不相等的实数，总有.所以函数一定是增函数.对应选项C. 【点拨】本题考查利用定义判断函数的单调性，将已知条件等价转化为时是解题关键. 2.下列函数中，满足“”的单调递增函数是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由于，所以指数函数满足，且当时单调递增，时单调递减，所以满足题意.对应选项D. 【点拨】本题考查指数函数的性质，熟记指数函数的运算性质及单调性即可. 3.函数的单调递增区间是（ 　　） A. B. 和 C. 和 D. 和 【答案】B 【解析】由，画出函数图象，观察图象可知，函数的单调递增区间是和.对应选项B. 【点拨】本题考查含绝对值函数的单调区间的求解，利用分段函数画出图象，数形结合是解题的有效方法. 4.（2024·泰州海陵区·期中）已知函数. （1）判断函数的单调性，并利用定义证明； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）在上单调递减，证明见解析 （2） 【解析】（1）在上递减，理由如下： 任取，且，则 ， ∵，且， ∴，， ∴，即， ∴在上递减； （2）由（1）可知在上递减， ∴由，得， 解得， ∴实数的取值范围为. 【点拨】本题考查利用定义法证明函数的单调性，以及利用函数的单调性解不等式，解题时需注意函数定义域的限制. 5.设，，证明：函数是的增函数. 【答案】见解析 【解析】当时，在伯努利不等式定理中取，，， 则有，即， 则有，从而， 即. 所以当时，是的增函数. 【点拨】本题考查利用伯努利不等式证明函数的单调性，构造合适的变量代入不等式是解题的关键. 考法2：利用函数的单调性与奇偶性解不等式或比较大小 6.（2026·安徽江淮十校·4月模拟）已知函数，若，，，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】易知在上单调递增，在上单调递增，在上单调递增， 所以是上增函数. 因为， 所以，即. 对应选项A. 【点拨】本题考查利用函数的单调性比较大小，根据基本初等函数的单调性判断出的单调性是解题关键. 7.（2026·安徽黄山·一模）已知是上的奇函数，且，若在上单调递减，则不等式的解集为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由函数是上的奇函数，且，在上单调递减， 可得函数的图象关于原点对称，，且在上单调递减， 函数的大致图象如图所示： 结合图象可得，不等式的解集为. 对应选项A. 【点拨】本题考查利用函数的奇偶性与单调性解不等式，根据已知条件画出函数的大致图象，数形结合是解题的关键. 8.（2025·江西三新·3月联考）已知函数则不等式的解集为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】函数在上单调递减，在上单调递减，且，，所以在定义域上单调递减. 因为，所以，解得. 对应选项A. 【点拨】本题考查分段函数的单调性及解函数不等式，判断出函数在上单调递减是解题的关键. 9.（2026·湖北襄阳第四中学·阶段检测）已知函数，且，则实数的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】. 令，则，， 故在上单调递增，且为奇函数. 不等式，即， 即，则， 故，即，所以. 对应选项A. 【点拨】本题考查利用函数的奇偶性与单调性解不等式，通过构造奇函数并判断其单调性是解题的关键. 10.（2026·山东枣庄·一模）已知函数，若恒成立，则的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】由得，则为奇函数， 又在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增. 由得， 所以，即对任意恒成立. 当时，恒成立，符合题意； 当时，则，解得. 综上，的取值范围是. 【点拨】本题考查利用函数的奇偶性与单调性解不等式，先判断函数的奇偶性与单调性，将不等式转化为恒成立问题，再分类讨论求解. 考法3：利用单调性求最值或值域 11.（2026·湖南天壹名校·4月检测）已知函数，且在上的值域为，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】函数在上具有相同的单调性，所以在上单调， 要满足题意，则在上单调递增，所以，解得. 对应选项C. 【点拨】本题考查根据函数的值域求参数，判断出函数在给定区间上的单调性是解题的关键. 12.（2024·河南·模拟预测）已知函数为定义在上的单调函数，且，则在上的值域为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】因为为定义在上的单调函数， 所以存在唯一的，使得， 则，，即， 因为函数为增函数，且，所以， . 易知在上为增函数，且，， 则在上的值域为. 【点拨】本题考查利用函数的单调性求值域，根据复合函数的特征，利用单调性求出的解析式是解题关键. 13.（2024·上海静安·二模）已知函数为偶函数，则函数的值域为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】∵函数是偶函数， ∴， ∴，易得， 设， 则， 当且仅当即时，等号成立， 所以， 所以函数的值域为. 【点拨】本题考查利用函数的奇偶性求参数，再利用基本不等式求函数的值域. 14.（2024·乌鲁木齐八中·月考）若函数在区间上的最大值为3，则实数＿＿＿＿＿＿. 【答案】3 【解析】∵函数， 由复合函数的单调性知， 当时，在上单调递减，最大值为； 当时，在上单调递增，最大值为， 即，显然不合题意， 故实数. 【点拨】本题考查利用函数的单调性求参数，将函数化为反比例型函数，分类讨论单调性是解题关键. 考法4：根据单调性求参数范围 15.（2025·河南创新·一模）已知是增函数，则实数的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为是定义在上的增函数， 所以，解得或， 又因为当时，在上单调递增， 但在上单调递减，不符合题意， 所以. 对应选项A. 【点拨】本题考查分段函数的单调性，根据分段函数在各段上单调递增且分界点处的函数值满足不等关系列出不等式组是解题的关键. 16.（2024·天津复兴中学·期末）已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围为（ 　　） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】函数的对称轴为， 因为函数在上具有单调性， 所以或，即或. 对应选项C. 【点拨】本题考查二次函数在给定区间上的单调性，利用对称轴与区间的关系建立不等式是解题关键. 17.（2026·广东东莞·一模）已知函数在上单调递减，则的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由于在上单调递增，在上单调递减， 所以在上不一定单调递减， 设，则， 由于在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递减， 且，， 所以存在，使得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在上不单调递减， 所以不存在实数，使得在上单调递减， 题目有误，若将改为， 则在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递减， 要使在上单调递减， 则，解得. 对应选项D. 【点拨】本题考查分段函数的单调性，注意原题中第二段函数在上不单调递减，需对题目进行修正后求解. 考点二：函数的奇偶性 考法5：判断或证明函数的奇偶性 18.（2026·湖南永州·一模）下列函数中既是奇函数又是增函数的为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】对于A：函数为奇函数，在上单调递减，不符合； 对于B：函数为偶函数，不符合； 对于C：函数为奇函数，在和分别单调递增，但在整个定义域上不具有单调性，不符合； 对于D：函数为奇函数，在上单调递增，符合题意. 对应选项D. 【点拨】本题考查基本初等函数的奇偶性与单调性的判断，熟练掌握常见函数的性质是解题的关键. 19.（2026·广东佛山·二模）函数，则（ 　　） A. 是奇函数 B. 是周期函数 C. 的最大值为2 D. 【答案】D 【解析】函数，定义域得. 化简得. 选项A：，故是偶函数，不是奇函数，A错误. 选项B：假设是周期函数，则存在非零常数，对任意，都有. 取，则，即，得，与矛盾. 故假设不成立，不是周期函数，B错误. 选项C：取，则，C错误. 选项D：，，所以，D正确. 对应选项D. 【点拨】本题考查对数函数的性质，包括定义域、奇偶性、周期性、最值及函数值大小比较，熟练掌握对数函数的性质是解题关键. 20.利用图象判断下列函数的奇偶性： （1） （2） （3）； （4）； （5）. 【答案】（1）奇函数 （2）偶函数 （3）偶函数 （4）非奇非偶函数 （5）偶函数 【解析】（1）函数的定义域为， 对于函数， 当，，为二次函数，是一条抛物线，开口向下，对称轴为， 当，，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为， 画出函数的图象，如图所示， 函数图象关于原点对称，所以函数为奇函数； （2）函数的定义域为， 对于函数， 当，，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为， 当，，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为， 画出函数的图象，如图所示， 函数图象关于轴对称，故为偶函数； （3）先作出的图象，保留图象中的部分， 再作出的图象中部分关于轴的对称部分， 即得的图象，如图实线部分. 由图知的图象关于轴对称，所以该函数为偶函数. （4）将函数的图象向左平移一个单位长度，再将轴下方的部分沿轴翻折上去， 即可得到函数的图象，如图， 由图知的图象既不关于轴对称，也不关于轴对称， 所以该函数为非奇非偶函数； （5）函数， 当，，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为， 当，，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为， 画出函数的图象，如图， 由图知的图象关于轴对称，所以该函数为偶函数. 【点拨】本题考查利用函数图象判断函数的奇偶性，画出分段函数或含绝对值函数的图象是解题关键. 考法6：利用奇偶性求函数值或解析式 21.（2026·八省T8·4月测评）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为是定义在上的奇函数， 所以当时，，解得， 所以当时，， 所以. 对应选项C. 【点拨】本题考查利用函数的奇偶性求参数和函数值，利用奇函数在原点有定义时求出参数是解题的关键. 22.（2026·河北NT20·5月检测）已知是奇函数，当时，，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】已知是奇函数，根据奇函数定义有. 当时，，则， 所以. 对应选项A. 【点拨】本题考查利用函数的奇偶性求函数值，熟练运用奇函数的定义是解题的关键. 23.（2025·安徽淮北淮南·二模）已知函数和的定义域均为，为偶函数，为奇函数，若，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为为偶函数，故， 所以的图象关于对称，因此. 因为为奇函数，故， 令得， 当时，， 当时，， 由得，， 所以，即，（注：原解析此处有误，应为.重新推导：，，两式相加得，所以.原题答案给的A，即4.检查原解析：，，.所以，.所以答案应为B.原解析中最后一步解得是错误的.现修正答案为B） 对应选项B. 【点拨】本题考查函数的奇偶性与对称性的应用，通过赋值法构造方程组求解是解题的关键. 24.（2025·江西上进·3月联考）已知函数，若，的图象关于原点对称，若，的图象关于轴对称，则＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】由题意得，，两式相加并整理得. 【点拨】本题考查利用函数的奇偶性与对称性求函数解析式，根据对称性列出方程组是解题关键. 25.（2026·河北衡水名校·学情调研）已知奇函数满足：当时，，则＿＿＿＿＿＿. 【答案】4052 【解析】显然，注意到时， 于是. 【点拨】本题考查利用函数的奇偶性求函数值，发现为常数是解题的突破口. 考法7：根据奇偶性求参数 26.（2025·江西上进·5月练兵）已知函数为奇函数，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】易知的定义域为，且是奇函数，则，解得. 对应选项C. 【点拨】本题考查利用函数的奇偶性求参数，利用奇函数的定义列方程是解题关键. 27.（2026·山东九五协作体·一模）若为偶函数，则实数的值为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】由为偶函数，则， 即，化简得， 因为，所以，即. 【点拨】本题考查利用函数的奇偶性求参数，根据偶函数的定义恒成立求解即可. 考法8：奇函数平移模型（f（x）=奇函数+M）求值或最值 28.（2024·广东名校·5月押题）已知，若，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设，则是上的单调递增奇函数， ∵，， ，，，∴. 另解，当，时，满足题意，A正确. 对应选项A. 【点拨】本题考查利用函数的奇偶性与单调性解不等式，通过构造奇函数并判断其单调性是解题的关键. 29.已知函数，若，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为， 所以， 所以. 对应选项C. 【点拨】本题考查利用函数的奇偶性求参数，观察到函数解析式中含有奇函数部分是解题关键. 30.已知在上单调递增，且为奇函数.若正实数满足，则的最小值为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由于为奇函数，所以， 由得， 由于，所以， 当且仅当时取等号，故的最小值为， 对应选项A. 【点拨】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，以及利用基本不等式求最值，“1”的代换是解题关键. 31.已知函数在区间的最大值是，最小值是，则的值等于（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】令，则， ∴和在上单调性相同， ∴设在上有最大值，有最小值. ∵， ∴， ∴在上为奇函数，∴， ∴，∴， . 对应选项C. 【点拨】本题考查函数的最值与奇偶性的关系，构造奇函数是解题的关键. 考点三：函数的对称性与周期性 考法9：判断或推导函数的对称性与周期性 32.（2026·江苏南师附中·模拟）设函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，则下列式子中一定成立的是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由函数的定义域为，由为奇函数，得， 则，由为偶函数，得，因此，A正确； 取上的函数，是偶函数，且， 则为奇函数，此时，，，因此BCD不一定成立. 对应选项A. 【点拨】本题考查函数的奇偶性与对称性的推导，利用赋值法或构造具体函数是解题的常用方法. 33.（2026·江西宜春·一模）已知函数的图象关于直线对称，且在区间上单调递减，则的值为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为函数的图象关于直线对称， 所以， 解得， 又因为函数在区间上单调递减， 所以函数在处取得最大值， 所以, 所以, 解得， 解得. 又因为. 所以. 对应选项B. 【点拨】本题考查三角函数的对称性与单调性，根据对称轴求出的表达式，再结合单调区间求出的范围是解题关键. 34.（2026·河北唐山·一模）（多选）若函数与函数的图象关于轴对称，则（ 　　） A. 与有相同的零点 B. 为偶函数 C. 与有相同的极值点 D. 对任意的，都有 【答案】ABD 【解析】由函数与函数的图象关于轴对称，得， 对于A，由，得，由，得，则与有相同的零点，A正确； 对于B，，则， 为偶函数，B正确； 对于C，由，求导得，函数在上单调递增，无极值点， 由，求导得，函数在上单调递减，无极值点，C错误； 对于D，令， 因为，，所以， 因此，都有，D正确. 对应选项ABD. 【点拨】本题考查函数图象的对称变换及函数性质的综合判断，求出的解析式是解题的基础. 35.（2024·山东烟台·二模）（多选）定义在上的函数满足，是偶函数，，则（ 　　） A. 是奇函数 B. C. 的图象关于直线对称 D. 【答案】ABD 【解析】对于选项A，∵是偶函数，∴， ∴函数关于直线对称，∴， ∵，∴，∴是奇函数，则A正确； 对于选项B，∵，∴，∴, ∴的周期为8，∴，则B正确； 对于选项C，若的图象关于直线对称，则， 但是，，即，这与假设条件矛盾，则选项C错误； 对于选项D，将代入，得， 将，代入，得， 同理可知， 又∵的周期为8，∴正奇数项的周期为4， ∴ ，则D正确. 对应选项ABD. 【点拨】本题考查抽象函数的奇偶性、对称性与周期性的推导及应用，利用已知条件推导出函数的周期是解题的关键. 考法10：利用对称性与周期性求函数值或求和 36.（2026·湖北随州·三模）已知定义域为的奇函数的周期为8，则下列结论一定成立的是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为定义域为的奇函数的周期为8，则， 当时，则， 即，故有， 则 对应选项D. 【点拨】本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，利用奇函数在原点有定义时以及周期性推导是解题关键. 37.（2026·湖南九校·一模）已知定义在上的函数满足，且，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为， 所以， 两式相减得，故的一个周期为4， 中，令得，又，故， 所以， 对应选项D. 【点拨】本题考查抽象函数的周期性推导及函数求值，由递推关系求出函数的周期是解题关键. 38.（2026·安徽淮北·二模）已知是定义在上周期为4的奇函数，当时，，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为是定义在上周期为4的奇函数， 所以， 因为当时，， 所以， 所以. 对应选项C. 【点拨】本题考查利用函数的奇偶性与周期性求函数值，将待求自变量转化到已知解析式的区间内是解题关键. 39.（2026·山东日照·二模）已知函数为上的偶函数，且满足，当时，，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为函数为偶函数，所以， 又，所以，即函数的周期为2， 所以. 对应选项C. 【点拨】本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，推导出函数的周期是解题的关键. 40.（2026·山东淄博·一模）已知函数的两个零点为和，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】，其中， 令，得， 因为，所以， 又，， 所以有两个解，设为，且， 则，即， 所以. 对应选项D. 【点拨】本题考查三角函数的零点与对称性的关系，利用辅助角公式化简并结合对称性求出两零点之和是解题关键. 41.（2026·广东东莞·一模）已知函数满足，若函数与图象的所 有交点为，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由，即， 可知函数的图象关于点对称， 令，则， 所以， 所以函数的图象也关于点对称， 所以两函数图象的交点也关于点成对出现， 所以，， 所以. 对应选项B. 【点拨】本题考查函数图象的对称性，判断出两个函数图象具有相同的对称中心是解题的关键. 42.（2026·广东深圳·一模）设是定义在上的奇函数，，，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由于是定义在上的奇函数， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以是周期为4的周期函数， 所以， 又因为是奇函数，， 所以， 所以. 对应选项A. 【点拨】本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，推导出函数的周期是解题的关键. 43.（2024·深圳光明区高中·5月模拟）已知定义在上的函数满足，且，则（ 　　） A. 是偶函数 B. 的最小正周期是2 C. 关于点中心对称 D. 奇函数 【答案】A 【解析】由，得，周期为2， 但最小正周期不能判定，例如函数满足题设条件，但该函数没有最小正周期，故B错误； 由于周期为2，所以，， 又，得，所以是偶函数，A正确； 由只能推出对称轴为，无中心对称的推导依据，C错误； 令，由是偶函数且， 得，又， 所以，所以为偶函数，D错误. 对应选项A. 【点拨】本题考查抽象函数的奇偶性、对称性与周期性的推导及应用，熟练掌握函数性质的转化是解题关键. 44.（2026·湖南炎德英才·5月模拟）已知的定义域为，周期为4，当时，，则＿＿＿＿＿＿. 【答案】7 【解析】，因此. 【点拨】本题考查利用函数的周期性求函数值，将待求自变量转化到已知解析式的区间内是解题关键. 45.（2026·山东东营·二模）已知奇函数的周期为2，且当时，，则＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】.因为，所以.所以. 【点拨】本题考查利用函数的奇偶性与周期性求函数值，将待求自变量转化到已知解析式的区间内是解题关键. 46.（2025·江苏高邮·一模）已知定义在上的偶函数满足，当时，，函数，则与的图象所有交点的横坐标之和为＿＿＿＿＿＿. 【答案】5 【解析】函数的图象是中心对称图形，对称中心为. 定义在上的偶函数满足， 则函数有对称轴为轴，对称中心； 又当时，， 当时，，解得，由题意可得，而. 所以，两函数图象无交点， 在同一坐标系在内作出与的图象， 当，， 令， 则，且， 所以存在，使得当时，，单调递增， 所以当时，，即， 结合图象可得，与图象有5个交点， 又均是与的图象的对称中心， 则两函数所有交点的横坐标之和为5. 【点拨】本题考查函数的奇偶性、对称性与周期性的综合应用，利用数形结合思想，画出函数图象是解题的关键. 考法11：类周期函数的应用 47.定义域为的函数满足，，若时，恒成立，则实数的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】若，则 ∵，∴ 即 ∵时，恒成立，∴只需. 当时，最小值为（当时）； 当时，最小值为（当时）， ∴ 所以只需，解得：或 ∴实数的取值范围是 对应选项D. 【点拨】本题考查类周期函数的性质应用，利用递推关系求出函数在指定区间上的解析式并求其最小值是解题关键. 48.已知定义在上的函数满足，且当时，.设在上的最大值为，且数列的前项和为.若对于任意正整数不等式恒成立，则实数的取值范围为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由已知先求出，即，进一步可得，再将所求问题转化为对于任意正整数恒成立，设，只需找到数列的最大值即可. 当时，则，， 所以，，显然当时，，故，，若对于任意正整数不等式恒成立，即对于任意正整数恒成立，即对于任意正整数恒成立，设，，令，解得，令，解得，考虑到，故有当时，单调递增，当时，有单调递减，故数列的最大值为， 所以. 对应选项C. 【点拨】本题考查类周期函数的性质应用，结合数列求和及不等式恒成立问题，构造数列并求其最大值是解题关键. 49.定义域为的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为，所以， 因为时，， 所以， 因为函数满足， 所以， 所以，， 又因为，恒成立， 故， 解不等式可得或. 对应选项C. 【点拨】本题考查类周期函数的性质应用，利用递推关系求出函数在指定区间上的解析式并求其最小值是解题关键. 50.（多选）已知函数，则下列说法正确的是（ 　　） A. 若函数有4个零点，则实数的取值范围为 B. 关于的方程有个不同的解 C. 对于实数，不等式恒成立 D. 当时，函数的图象与轴围成的图形的面积为 【答案】ABD 【解析】∵，则在的图象是将的图象沿轴方向伸长为原来的3倍、沿轴方向缩短为原来的一半 ∴ 则在上单调递增，在上单调递减 ∴在上的最大值为，最小值为，即在上的值域为 对于A，令，即，则与有四个交点 作出时的图象，如图1：分别与连线的斜率为 结合图象可得：实数的取值范围为，A正确； 对于B，令，则 ∴方程的根的个数即为与的交点个数 当时，的最大值为 ∴与有且仅有一个交点， 当时，则有： ①当时，在上的最大值为，则与在内有两个交点 ②当，则在上的最大值为 ∴与有且仅有一个交点 ③当时，在上的最大值为，则与在内没有交点 ∴当，与没有交点 ∴当，与的交点个数为 当时，也成立 ∴关于的方程有个不同的解，B正确 对于C，因为图象过点，令，则，C错误 对于D，由题意可得：当时，函数的图象与轴围成的图形为三角形，其底边长为，高为 ∴当时，函数的图象与轴围成的图形的面积为 对应选项ABD. 【点拨】本题考查类周期函数的图象与性质的综合应用，根据递推关系求出函数在各区间上的解析式并画出图象是解题关键. 考点四：函数性质的综合应用 考法12：具体函数性质的综合判断与应用 51.（2026·山东潍坊·一模）下列函数中，值域为的偶函数是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】对于A：，值域为，不符合题意； 对于B：的定义域为，关于原点对称，且，所以是偶函数，且当时，，当时，，所以的值域为. 对于C：的定义域为，非偶函数，不符合题意； 对于D：，值域为，不符合题意. 对应选项B. 【点拨】本题考查基本初等函数的奇偶性与值域的判断，熟练掌握常见函数的性质是解题关键. 52.（2026·河北衡水·4月检测）已知函数为奇函数，且在上单调递增，在上单调递减，若的图象是一条连续的曲线，则（ 　　） A. 在上单调递增 B. 在上单调递增 C. 在上单调递减 D. 在上单调递减 【答案】B 【解析】因为为奇函数，且在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减， 因为的图象是由的图象向左平移2个单位长度， 再向下平移1个单位长度得到的，所以在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减. 对应选项B. 【点拨】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，利用奇函数的对称性得出函数在负半轴的单调性，再结合图象平移规律即可求解. 53.（2026·山东枣庄·一模）（多选）已知函数，则（ 　　） A. 为奇函数 B. 的值域是 C. 有极值 D. 存在实数，使得在上的值域为 【答案】ABD 【解析】因为，定义域为， ，所以为奇函数，A正确； 因为，所以，所以， 所以，所以的值域是，B正确； 因为在上单调递增，所以在上单调递减， 所以在上单调递增，无极值，C错误； 令， 因为， ， 所以在上存在零点，即， 因为为奇函数，所以在上存在零点，即， 所以存在实数，使得在上的值域为，D正确. 对应选项ABD. 【点拨】本题考查函数的奇偶性、单调性、值域及零点存在性定理的综合应用，构造函数并利用零点存在性定理判断D选项是解题难点. 54.（2026·江苏南京盐城·一模）（多选）已知函数，则（ 　　） A. 的定义域为 B. 是偶函数 C. 在上单调递增 D. 有且仅有2个零点 【答案】ABD 【解析】对于A，令，解得， 则的定义域为，故A正确， 对于B，由已知得的定义域关于原点对称， 而， 则是偶函数，故B正确， 对于C，当时，得到， 则，此时， 得到在上单调递减，故C错误， 对于D，由题意得的定义域为 不妨令，讨论时的情况即可， 当时，设， 可得，此时， 得到在上单调递减，而，， 可得，则， 由零点存在性定理得存在作为零点， 当时，，此时无零点， 当时，结合偶函数性质得有1个零点， 综上可得，有且仅有2个零点，故D正确. 对应选项ABD. 【点拨】本题考查函数的定义域、奇偶性、单调性及零点个数的综合判断，利用导数研究函数单调性并结合零点存在性定理是解题关键. 考法13：构造函数利用性质解不等式 55.（2025·江西新余·二模）已知函数，则关于的不等式的解集是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由，求得，故函数的定义域为. 再根据函数满足，可得函数为奇函数， 故关于的不等式，即. 再由函数、在定义域上单调递增，可得函数在其定义域上单调递增，可得 ， 解得， 对应选项A. 【点拨】本题考查利用函数的奇偶性与单调性解不等式，判断出函数的奇偶性与单调性是解题的关键. 56.（2025·河北邢台名校·一模）设函数，则不等式的解集为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】函数的定义域为， 且， 所以为偶函数， 当时，， 因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 不等式等价于， 所以，两边平方得，即， 解得或， 所以不等式的解集为. 对应选项B. 【点拨】本题考查利用函数的奇偶性与单调性解不等式，利用偶函数的性质将不等式转化为自变量绝对值的不等式是解题关键. 57.（2024·广西·模拟预测）已知定义在上的函数在上单调递减，且为偶函数，则不等式的解集为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵函数为偶函数，∴，即， ∴函数的图象关于直线对称， 又∵函数定义域为，在区间上单调递减， ∴函数在区间上单调递增， ∴由得，，解得. 对应选项D. 【点拨】本题考查利用函数的对称性与单调性解不等式，利用对称性将不等式转化为自变量到对称轴距离的不等式是解题关键. 考法14：抽象函数的性质推导与证明（赋值法） 58.（2026·湖南株洲·一模）已知是奇函数，是偶函数，其定义域均为，且，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为定义域均为且， 所以可得， 又因为是奇函数，是偶函数，所以 即上式可化简为， 再与相加可得， 代入可得， 所以，即. 对应选项A. 【点拨】本题考查利用函数的奇偶性求函数解析式，利用与的关系构造方程组是解题关键. 59.（2026·山东山师附中·3月检测）（多选）函数满足，都有，且，则（ 　　） A. B. 数列单调递减 C. D. 【答案】C 【解析】对于A：令，得，解得，故A错误； 对于B：令，得，即， 所以数列是常数列，故B错误； 对于C：令，得， 令，得， 所以， 又（由可知）， 所以，故C正确； 对于D：由B知，所以， 而不恒等于，故D错误. 对应选项C. 【点拨】本题考查抽象函数的性质推导，利用赋值法结合基本不等式判断选项是解题关键. 60.（2026·江苏南京六合名校·一模）（多选）函数满足，，则下列结论正确的是（ 　　） A. B. 的周期为6 C. D. 的图象关于直线对称 【答案】BC 【解析】由得，代入得，A错误； 令得， 用换得， 两式相加得，即， 用换得，即， 用换得，所以周期为6，B正确； 令得，即， 由于，所以，因此，故C正确； 已知，，对赋值得： 令得， 令得， 令，若关于对称，则， 但，，不相等，故D错误. 对应选项BC 【点拨】本题考查抽象函数的周期性、对称性及最值的推导，利用赋值法和递推关系是解题的关键. 61.已知定义在上的函数，满足：①；②为奇函数；③，；④任意的，. （1）判断并证明函数的奇偶性； （2）判断并证明函数在上的单调性. 【答案】（1）偶函数，证明见解析 （2）单调递增，证明见解析 【解析】（1）依题意，. ∴ ∴， 又因为的定义域为，所以函数为偶函数. （2）由④知， ， ∵，，，∴， ∴ 即在上单调递增. 【点拨】本题考查抽象函数的奇偶性与单调性的证明，利用赋值法并结合已知条件进行代数变形是解题关键. 考法15：抽象函数性质的综合应用 62.（2026·安徽皖江名校·5月最后一卷）（多选）已知函数，的定义域为，为偶函数且，，若，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】又为偶函数，所以， 在中，令，得，B正确； 由，将替换为，得，所以，从而， 在中，令，得，C正确； 在中令，得， 令，得，D正确. 对应选项ACD. 【点拨】本题考查抽象函数的奇偶性与对称性的综合应用，利用赋值法和递推关系求函数值是解题关键. 63.（2026·山东烟台·二模）（多选）已知函数的定义域为，其图象是一条连续不断的曲线，，为奇函数，函数，且为偶函数，则（ 　　） A. 是奇函数 B. 2为的一个周期 C. D. 【答案】ACD 【解析】因为为奇函数，所以， 即的图象关于点对称， 因为为偶函数，所以， 即的图象关于直线对称， 所以，即， 所以，即的图象关于点对称， 所以是奇函数，故A正确； 因为的图象关于点对称，所以， 又因为是奇函数，所以， 所以，即4为的一个周期，故B错误； 因为的图象关于点对称，且定义域为， 所以， 所以，故C正确； 因为，所以， 因为的图象关于直线对称，所以， 因为的图象关于点对称，所以， 所以，， ， 所以， 因为， 所以， 所以，即， ，即， ，即， ，即， 所以， 同理可得， 所以，故D正确. 对应选项ACD. 【点拨】本题考查抽象函数的奇偶性、对称性与周期性的综合应用，利用已知条件推导出函数的周期和对称性，再结合赋值法求和是解题的关键. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7讲 函数的性质·分类练习 考点一：函数的单调性 考法1：判断或证明函数的单调性 1.已知函数的定义域是，若对于任意两个不相等的实数，，总有成立，则函数一定是（ 　　） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 增函数 D. 减函数 2.下列函数中，满足“”的单调递增函数是（ 　　） A. B. C. D. 3.函数的单调递增区间是（ 　　） A. B. 和 C. 和 D. 和 4.已知函数. （1）判断函数的单调性，并利用定义证明； （2）若，求实数的取值范围. 5.设，，证明：函数是的增函数. 考法2：利用函数的单调性与奇偶性解不等式或比较大小 6.（2026·安徽江淮十校·4月模拟）已知函数，若，，，则（ 　　） A. B. C. D. 7.（2026·安徽黄山·一模）已知是上的奇函数，且，若在上单调递减，则不等式的解集为（ 　　） A. B. C. D. 8.（2025·江西三新·3月联考）已知函数则不等式的解集为（ 　　） A. B. C. D. 9.（2026·湖北襄阳第四中学·阶段检测）已知函数，且，则实数的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 10.（2026·山东枣庄·一模）已知函数，若恒成立，则的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 考法3：利用单调性求最值或值域 11.（2026·湖南天壹名校·4月检测）已知函数，且在上的值域为，则（ 　　） A. B. C. D. 12.已知函数为定义在上的单调函数，且，则在上的值域为＿＿＿＿＿＿. 13.已知函数为偶函数，则函数的值域为＿＿＿＿＿＿. 14.若函数在区间上的最大值为3，则实数＿＿＿＿＿＿. 考法4：根据单调性求参数范围 15.（2025·河南创新·一模）已知是增函数，则实数的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 16.已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围为（ 　　） A. B. C. 或 D. 或 17.（2026·广东东莞·一模）已知函数在上单调递减，则的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 考点二：函数的奇偶性 考法5：判断或证明函数的奇偶性 18.（2026·湖南永州·一模）下列函数中既是奇函数又是增函数的为（ 　　） A. B. C. D. 19.（2026·广东佛山·二模）函数，则（ 　　） A. 是奇函数 B. 是周期函数 C. 的最大值为2 D. 20.利用图象判断下列函数的奇偶性： （1） （2） （3）； （4）； （5）. 考法6：利用奇偶性求函数值或解析式 21.（2026·八省T8·4月测评）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（ 　　） A. B. C. D. 22.（2026·河北NT20·5月检测）已知是奇函数，当时，，则（ 　　） A. B. C. D. 23.（2025·安徽淮北淮南·二模）已知函数和的定义域均为，为偶函数，为奇函数，若，则（ 　　） A. B. C. D. 24.（2025·江西上进·3月联考）已知函数，若，的图象关于原点对称，若，的图象关于轴对称，则＿＿＿＿＿＿. 25.（2026·河北衡水名校·学情调研）已知奇函数满足：当时，，则＿＿＿＿＿＿. 考法7：根据奇偶性求参数 26.（2025·江西上进·5月练兵）已知函数为奇函数，则（ 　　） A. B. C. D. 27.（2026·山东九五协作体·一模）若为偶函数，则实数的值为＿＿＿＿＿＿. 考法8：奇函数平移模型（f（x）=奇函数+M）求值或最值 28.（2024·广东名校·5月押题）已知，若，则（ 　　） A. B. C. D. 29.已知函数，若，则（ 　　） A. B. C. D. 30.已知在上单调递增，且为奇函数.若正实数满足，则的最小值为（ 　　） A. B. C. D. 31.已知函数在区间的最大值是，最小值是，则的值等于（ 　　） A. B. C. D. 考点三：函数的对称性与周期性 考法9：判断或推导函数的对称性与周期性 32.（2026·江苏南师附中·模拟）设函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，则下列式子中一定成立的是（ 　　） A. B. C. D. 33.（2026·江西宜春·一模）已知函数的图象关于直线对称，且在区间上单调递减，则的值为（ 　　） A. B. C. D. 34.（2026·河北唐山·一模）（多选）若函数与函数的图象关于轴对称，则（ 　　） A. 与有相同的零点 B. 为偶函数 C. 与有相同的极值点 D. 对任意的，都有 35.（多选）定义在上的函数满足，是偶函数，，则（ 　　） A. 是奇函数 B. C. 的图象关于直线对称 D. 考法10：利用对称性与周期性求函数值或求和 36.（2026·湖北随州·三模）已知定义域为的奇函数的周期为8，则下列结论一定成立的是（ 　　） A. B. C. D. 37.（2026·湖南九校·一模）已知定义在上的函数满足，且，则（ 　　） A. B. C. D. 38.（2026·安徽淮北·二模）已知是定义在上周期为4的奇函数，当时，，则（ 　　） A. B. C. D. 39.（2026·山东日照·二模）已知函数为上的偶函数，且满足，当时，，则（ 　　） A. B. C. D. 40.（2026·山东淄博·一模）已知函数的两个零点为和，则（ 　　） A. B. C. D. 41.（2026·广东东莞·一模）已知函数满足，若函数与图象的所 有交点为，则（ 　　） A. B. C. D. 42.（2026·广东深圳·一模）设是定义在上的奇函数，，，则（ 　　） A. B. C. D. 43.（2024·深圳光明区高中·5月模拟）已知定义在上的函数满足，且，则（ 　　） A. 是偶函数 B. 的最小正周期是2 C. 关于点中心对称 D. 奇函数 44.（2026·湖南炎德英才·5月模拟）已知的定义域为，周期为4，当时，，则＿＿＿＿＿＿. 45.（2026·山东东营·二模）已知奇函数的周期为2，且当时，，则＿＿＿＿＿＿. 46.（2025·江苏高邮·一模）已知定义在上的偶函数满足，当时，，函数，则与的图象所有交点的横坐标之和为＿＿＿＿＿＿. 考法11：类周期函数的应用 47.定义域为的函数满足，，若时，恒成立，则实数的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 48.已知定义在上的函数满足，且当时，.设在上的最大值为，且数列的前项和为.若对于任意正整数不等式恒成立，则实数的取值范围为（ 　　） A. B. C. D. 49.定义域为的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 50.（多选）已知函数，则下列说法正确的是（ 　　） A. 若函数有4个零点，则实数的取值范围为 B. 关于的方程有个不同的解 C. 对于实数，不等式恒成立 D. 当时，函数的图象与轴围成的图形的面积为 考点四：函数性质的综合应用 考法12：具体函数性质的综合判断与应用 51.（2026·山东潍坊·一模）下列函数中，值域为的偶函数是（ 　　） A. B. C. D. 52.（2026·河北衡水·4月检测）已知函数为奇函数，且在上单调递增，在上单调递减，若的图象是一条连续的曲线，则（ 　　） A. 在上单调递增 B. 在上单调递增 C. 在上单调递减 D. 在上单调递减 53.（2026·山东枣庄·一模）（多选）已知函数，则（ 　　） A. 为奇函数 B. 的值域是 C. 有极值 D. 存在实数，使得在上的值域为 54.（2026·江苏南京盐城·一模）（多选）已知函数，则（ 　　） A. 的定义域为 B. 是偶函数 C. 在上单调递增 D. 有且仅有2个零点 考法13：构造函数利用性质解不等式 55.（2025·江西新余·二模）已知函数，则关于的不等式的解集是（ 　　） A. B. C. D. 56.（2025·河北邢台名校·一模）设函数，则不等式的解集为（ 　　） A. B. C. D. 57.已知定义在上的函数在上单调递减，且为偶函数，则不等式的解集为（ 　　） A. B. C. D. 考法14：抽象函数的性质推导与证明（赋值法） 58.（2026·湖南株洲·一模）已知是奇函数，是偶函数，其定义域均为，且，则（ 　　） A. B. C. D. 59.（2026·山东山师附中·3月检测）（多选）函数满足，都有，且，则（ 　　） A. B. 数列单调递减 C. D. 60.（2026·江苏南京六合名校·一模）（多选）函数满足，，则下列结论正确的是（ 　　） A. B. 的周期为6 C. D. 的图象关于直线对称 61.已知定义在上的函数，满足：①；②为奇函数；③，；④任意的，. （1）判断并证明函数的奇偶性； （2）判断并证明函数在上的单调性. 考法15：抽象函数性质的综合应用 62.（2026·安徽皖江名校·5月最后一卷）（多选）已知函数，的定义域为，为偶函数且，，若，则（ 　　） A. B. C. D. 63.（2026·山东烟台·二模）（多选）已知函数的定义域为，其图象是一条连续不断的曲线，，为奇函数，函数，且为偶函数，则（ 　　） A. 是奇函数 B. 2为的一个周期 C. D. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $