精品解析：黑龙江齐齐哈尔市铁锋区2025-2026学年九年级下学期二模数学试卷

初三教学质量监测数学试卷 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 有理数7的相反数是（ ） A. 7 B. C. D. 2. 随着我国航天领域的快速发展，从“天宫一号”发射升空，到天和核心舱归位，我国正式迈入了“空间站时代”．下面是有关我国航天领域的图标，其图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算错误的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图所示，将含有角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若，则的度数（　　） A. B. C. D. 5. 如图是一个由两个小正方体和一个圆锥组成的几何体，它的主视图是（　　） A. B. C. D. 6. 若关于的方程的解是非负数，则的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 7. 将分别标有“传”“承”“李”“白”“文”“化”汉字的6张卡片放在一个不透明盒子中，这些卡片除汉字不同外其余均无差别，随机抽出其中两张，抽出的卡片上汉字为“文”“化”的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 在一次野外拓展活动中，教练员要将全班50名学生恰当的分成4人小组或5人小组，则分组方案有（       ） A. 5种 B. 4种 C. 3种 D. 2种 9. 如图，在边长为4的菱形中，，动点P从点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止，过点P作的垂线交菱形的边于另一点Q，在点P运动的过程中，记的面积为y，点P运动的路程为x，则y与x之间的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线的对称轴是．下列结论：①；②；③；④，正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（每题3分，共18分） 11. “壮丽70年，数字看中国”．1952年我国国内生产总值仅为679亿元，2018年达到90万亿元，是世界第二大经济体．90万亿这个数据用科学记数法表示为__________． 12. 如图，一扇形纸扇完全打开后外侧两竹条和的夹角为，长为，贴纸部分的宽为，求纸扇两个面的贴纸部分的面积共是 ___________ ． 13. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧交于点，交于点，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，射线交于点，为的中点，连接，若，则的周长是_________． 14. 如图所示，正方形与（其中边，分别在，轴的正半轴上）的公共顶点在反比例函数的图象上，直线与，轴分别相交于点，．若这两个正方形的面积之和是，且．则的值是____________． 15. 已知等腰直角三角形和等腰直角三角形的直角顶点重合，．连接，将绕点在平面内旋转，旋转后的三角形为，若点是的中点，当三点共线时，线段的长为_____． 16. 如图，四边形是正方形，曲线…叫做“正方形的渐开线”，其中，，，，…的圆心依次按，，，循环，当时，的长为__________． 三、解答题（满分72分） 17. 解答下列各题 （1）计算： （2）因式分解： 18. 求不等式组：的最大整数解． 19. 解方程：． 20. 中国新能源产业异军突起，中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势．2023年，中国新能源汽车产销均突破900万辆，连续9年居全球第一．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图． 类型 人数 百分比 纯电 混动 氢燃料 3 油车 5 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查活动随机抽取了__________人；表中__________； （2）直接补全条形统计图； （3）计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数； （4）若此次汽车展览会的参展人员共有4000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人？ 21. 如图，是的直径，、是上的两点，，于点，延长交的延长线于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为，求图中阴影部分的面积． 22. 相距480千米的，两个城市之间需要相互运输城市应急物资，甲车从地出发，乙车从地出发，两车沿同一路线相向而行，乙车比甲车先出发1小时，并以各自的速度匀速行驶，甲车到达，两地之间的地后，因调度需要按原路原速返回地．乙车从地直达地，两车同时到达地．甲、乙两车距各自出发地的距离（单位：千米）与甲车出发的时间（单位：小时）的关系如图所示，结合图象信息解答下列问题： （1）乙车的速度是__________千米时，乙车行驶的时间__________小时； （2）求甲车从地按原路原速返回地的过程中，甲车距它出发地的距离与它出发的时间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）直接写出甲车出发多长时间两车相距80千米． 23. 综合与实践 在四边形中，，分别是边，对角线上的动点，连接，将绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在边上． 【初步探究】 （1）如图1，若四边形为菱形．，；的值为； 【类比探究】 （2）如图2，若四边形为矩形，，，为线段的中点，， ①写出图2中与相等的角，并说明理由； ②求的值； 【拓展应用】 （3）如图3，在（2）的条件下，连接，将向左下方平移，点，，的对应点分别为，，，与交于点，当线段的三等分点与点重合时，直接写出线段的长． 24. 如图1所示，已知直线与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线经过A、C两点，点B是抛物线与x轴的另一个交点，当时，y取最小值． （1）求抛物线和直线的解析式； （2）设点P是直线上一点，且，求点P的坐标； （3）若直线与（1）中所求的抛物线交于M、N两点． ①问：是否存在a的值，使得？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由； ②猜想当时，请直接写出a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三教学质量监测数学试卷 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 有理数7的相反数是（ ） A. 7 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相反数的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据相反数的定义，一个数的相反数是符号相反的数． 【详解】解：有理数7的相反数是， 故选B． 2. 随着我国航天领域的快速发展，从“天宫一号”发射升空，到天和核心舱归位，我国正式迈入了“空间站时代”．下面是有关我国航天领域的图标，其图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； C．是轴对称图形，是中心对称图形，故符合题意； D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意． 3. 下列运算错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘除法，利用运算法则逐项进行计算即可得． 【详解】A、，计算正确，不符合题意； B、，计算正确，不符合题意； C、，计算正确，不符合题意； D、和不是同类项，不能合并，计算错误，符合题意； 故选：D． 4. 如图所示，将含有角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若，则的度数（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据外角的性质可得，再根据平行线的性质可得，进而可得． 【详解】解：对图进行标注，如图： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵两条直线相互平行， ∴， ∴， 故选：B． 5. 如图是一个由两个小正方体和一个圆锥组成的几何体，它的主视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据左视图的定义选择正确选项即可. 【详解】从左看共有两层，下面一层是一个小正方形，上面一层是一个三角形，得到选项C是它的左视平面图形；正确答案选C. 【点睛】本题主要考查三视图相关知识，熟练掌握三视图的定义和画法是解答本题的关键. 6. 若关于的方程的解是非负数，则的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解含参分式方程，用含的代数式表示方程的解，再根据解是非负数、分式分母不为0两个条件，列不等式求解即可． 【详解】解：， 方程两边同时乘以去分母得， 整理得 ， ∵方程的解是非负数，且分式分母不能为0， ∴， 解得且． 7. 将分别标有“传”“承”“李”“白”“文”“化”汉字的6张卡片放在一个不透明盒子中，这些卡片除汉字不同外其余均无差别，随机抽出其中两张，抽出的卡片上汉字为“文”“化”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查利用列表法求概率，根据题意列表得出所有等可能的结果数，再找出抽出的卡片上汉字为“文”“化”的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：列表如下： 传 承 李 白 文 化 传 承，传 李，传 白，传 文，传 化，传 承 传，承 李，承 白，承 文，承 化，承 李 传，李 承，李 白，李 文，李 化，李 白 传，白 承，白 李，白 文，白 化，白 文 传，文 承，文 李，文 白，文 化，文 化 传，化 承，化 李，化 白，化 文，化 共有30种等可能的结果数，其中两次抽出的卡片上汉字为“文”“化”的结果数为2， ∴抽出的卡片上汉字为“文”“化”的概率为． 故选：B． 8. 在一次野外拓展活动中，教练员要将全班50名学生恰当的分成4人小组或5人小组，则分组方案有（       ） A. 5种 B. 4种 C. 3种 D. 2种 【答案】C 【解析】 【分析】设分成x个4人小组，y个5人小组（x、y都是非负整数），根据题意可得，然后求此方程的正整数解即可. 【详解】解：设分成x个4人小组，y个5人小组（x、y都是非负整数）， 根据题意，得， ∴， ∵x、y都是非负整数， ∴或或共有3种分组方案； 故选：C. 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，正确理解题意、得出相应的二元一次方程、会求方程的正整数解是解题的关键. 9. 如图，在边长为4的菱形中，，动点P从点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止，过点P作的垂线交菱形的边于另一点Q，在点P运动的过程中，记的面积为y，点P运动的路程为x，则y与x之间的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形性质，以及点的运动情况分三种情况讨论，①当点P在边上，且点Q在边上，②当点P在边上，且点Q在边上，③当点P在边上，且点Q在边上，再结合解直角三角形的计算，直角三角形性质，以及三角形面积公式求解，即可解题． 【详解】解：边长为4的菱形中，， ， ①当点P在边上，且点Q在边上，即时， 如图1，，，， 即图象为开口向上的抛物线； ②当点P在边上，且点Q在边上，即时， 如图2，，，， 即图象为直线； ③当点P在边上，且点Q在边上，即时， 如图3，， ，， ， ，，， 结合②可知，， ，即图象为开口向下的抛物线． 综上所述，y与x之间的函数图象大致是． 10. 如图，抛物线的对称轴是．下列结论：①；②；③；④，正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的性质和对称轴是，分别判断a、b、c的符号，即可判断①；抛物线与x轴有两个交点，可判断②；由，得，令，求函数值，即可判断③；令时，则，令时，，即可判断④；然后得到答案． 【详解】解：根据题意，则，， ∵， ∴， ∴，故①错误； 由抛物线与x轴有两个交点，则，故②正确； ∵， 令时，， ∴，故③正确； 在中， 令时，则， 令时，， 由两式相加，得，故④正确； ∴正确的结论有：②③④，共3个； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，熟练判断各个式子的符号． 二、填空题（每题3分，共18分） 11. “壮丽70年，数字看中国”．1952年我国国内生产总值仅为679亿元，2018年达到90万亿元，是世界第二大经济体．90万亿这个数据用科学记数法表示为__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：万亿． 12. 如图，一扇形纸扇完全打开后外侧两竹条和的夹角为，长为，贴纸部分的宽为，求纸扇两个面的贴纸部分的面积共是 ___________ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式：计算即可，计算时注意求的是两个面的面积． 【详解】解：， ， ． 13. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧交于点，交于点，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，射线交于点，为的中点，连接，若，则的周长是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查尺规作图、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握角平分线的作图步骤以及等腰三角形的性质是解答本题的关键． 由尺规作图可知，为的平分线，结合等腰三角形的性质可得，，利用勾股定理得，通过直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得到，即可求出的周长． 【详解】解：由题意得，为的平分线， ， ，， 由勾股定理得，， ∵点为的中点， ∴， ∴的周长为． 故答案为：． 14. 如图所示，正方形与（其中边，分别在，轴的正半轴上）的公共顶点在反比例函数的图象上，直线与，轴分别相交于点，．若这两个正方形的面积之和是，且．则的值是____________． 【答案】3 【解析】 【分析】设，，利用正方形的性质和相似三角形的判定与性质得到，的关系式，再利用求得，值，则点坐标可求，最后利用待定系数法解答即可得出结论． 【详解】解：设，， 由题意得：． 正方形与（其中边，分别在，轴的正半轴上）的公共顶点在反比例函数的图象上， ，， ， ， ， ， ， ． ， ， ， ， ， ， ， ． ． ，， ． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数的系数的几何意义，正方形的性质和相似三角形的判定与性质，利用线段的长度表示出点的坐标是解题的关键． 15. 已知等腰直角三角形和等腰直角三角形的直角顶点重合，．连接，将绕点在平面内旋转，旋转后的三角形为，若点是的中点，当三点共线时，线段的长为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】分点在之间和点在之间两种情况，分别画出图形，进行解答即可． 【详解】解：如图①，当点在之间时，延长到点G，使，连接，过点A作于点H， 由旋转可得，，，， ∴， ∵， ∴， 在中，∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵为的中点，， ∴， 如图②，当点在之间时，延长到点G，使，连接，过点A作于点H， 由旋转可得，，，， ∴， ∵， ∴， 在中，∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵为的中点，， ∴， 综上可知，为或， 故答案为： 或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的性质、旋转的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 16. 如图，四边形是正方形，曲线…叫做“正方形的渐开线”，其中，，，，…的圆心依次按，，，循环，当时，的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得所在圆的半径为，再结合弧长公式计算得出规律（为正整数），由此计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴所在圆的半径为， ∴， 同理可得，，…， 依次类推，可得（为正整数）， ∴． 三、解答题（满分72分） 17. 解答下列各题 （1）计算： （2）因式分解： 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式． 18. 求不等式组：的最大整数解． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 由得：， 由得：， ， ， ， ， 不等式组的解集为， 不等式组的最大整数解为． 19. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【详解】解： 或 解得． 20. 中国新能源产业异军突起，中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势．2023年，中国新能源汽车产销均突破900万辆，连续9年居全球第一．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图． 类型 人数 百分比 纯电 混动 氢燃料 3 油车 5 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查活动随机抽取了__________人；表中__________； （2）直接补全条形统计图； （3）计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数； （4）若此次汽车展览会的参展人员共有4000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人？ 【答案】（1）50，30 （2）解：补全条形统计图如图所示： （3） （4）估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有3600人． 【解析】 【分析】（1）用喜欢油车人数除以其所占的百分比可求得调查人数，用喜欢氢燃料人数除以调查人数可求得b，进而用1减去喜欢其他车型所占的百分比可求解a； （2）先求得n，进而可补全条形统计图； （3）用360度乘以喜欢混动所占的百分比即可求解； （4）用总人数乘以样本中喜欢新能源汽车所占的百分比即可求解． 【小问1详解】 解：本次调查活动随机抽取人数为（人）， ， ，则； 【小问2详解】 解：， 补全条形统计图略； 【小问3详解】 解：扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数为； 【小问4详解】 解：（人） 答：估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有3600人． 21. 如图，是的直径，、是上的两点，，于点，延长交的延长线于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线判定定理、扇形面积与三角形面积的计算，利用弧相等推导圆心角相等，结合直角三角形性质分析线段与角度关系是解题的关键． （1）连接，，由得圆心角，进而得，由得，由得，可得，即可得，又因是的半径即可证明； （2）由，结合得，由勾股定理可得，由即可得出． 【小问1详解】 证明：如图，连接，， ∵是的直径，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 22. 相距480千米的，两个城市之间需要相互运输城市应急物资，甲车从地出发，乙车从地出发，两车沿同一路线相向而行，乙车比甲车先出发1小时，并以各自的速度匀速行驶，甲车到达，两地之间的地后，因调度需要按原路原速返回地．乙车从地直达地，两车同时到达地．甲、乙两车距各自出发地的距离（单位：千米）与甲车出发的时间（单位：小时）的关系如图所示，结合图象信息解答下列问题： （1）乙车的速度是__________千米时，乙车行驶的时间__________小时； （2）求甲车从地按原路原速返回地的过程中，甲车距它出发地的距离与它出发的时间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）直接写出甲车出发多长时间两车相距80千米． 【答案】（1）80，6 （2） （3）甲车出发小时或小时或小时两车相距千米． 【解析】 【分析】（1）结合题意，利用速度路程时间，可得乙的速度、行驶时间； （2）找到甲车到达地和返回地时与的对应值，利用待定系数法可求出函数解析式； （3）甲、乙两车相距千米有两种情况：①相向而行：相等关系为“甲车行驶路程乙车行驶路程甲乙间距离=”，②同向而行：相等关系为“甲车距它出发地的路程乙车路程甲乙间距离=”分别根据相等关系列方程可求解． 【小问1详解】 解：∵乙车比甲车先出发小时，由图象可知乙行驶了千米， ∴乙车速度为千米/时，乙车行驶全程的时间（小时）； 【小问2详解】 解：根据题意可知甲从出发到返回地需（小时）， ∵甲车到达地后因立即按原路原速返回地， ∴结合函数图象可知，当时，；当时，； ∴甲车从C地按原路原速返回A地时，， 设甲车距它出发地的路程y与它出发的时间的函数关系式为， 将代入得， 解得， 故甲车从地按原路原速返回地时， 甲车距它出发地的路程与它出发的时间的函数关系式为； 【小问3详解】 解：由题意可知甲车的速度为（千米/时）， 设甲车出发小时两车相距千米，有以下两种情况： ①两车相向行驶时，则， 解得； ②两车同向行驶时，则， 解得； ③两车相遇之后，甲返回前，则， 解得； 答：甲车出发小时或小时或小时两车相距千米． 23. 综合与实践 在四边形中，，分别是边，对角线上的动点，连接，将绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在边上． 【初步探究】 （1）如图1，若四边形为菱形．，；的值为； 【类比探究】 （2）如图2，若四边形为矩形，，，为线段的中点，， ①写出图2中与相等的角，并说明理由； ②求的值； 【拓展应用】 （3）如图3，在（2）的条件下，连接，将向左下方平移，点，，的对应点分别为，，，与交于点，当线段的三等分点与点重合时，直接写出线段的长． 【答案】（1）；；（2）①（或），见解析；②；（3）或 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质可得，根据题意得出则，进而可得，即可得出，，根据等腰三角形的性质可得垂直平分，进而证明是等边三角形，得出，即可求解； （2）①（或），过点作于点，根据等角的余角相等得出； ②证明，得出，设，则，证明，求得，进而求得的值； ③过点作交于点，则四边形是矩形，过点作，过点Q作，则四边形是矩形，则，，由（2）可得，，进而得出，根据平移的性质得出，，证明，根据是的三等分点，可得或，进而求得或，根据正切的定义求得，根据，即可求解． 【详解】解：（1）如图，连接，， ∵四边形为菱形， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴ ∴ 又∵， ∴垂直平分， 又∵在上， ∴ ∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∵， ∴ ∴， 故答案为：；． （2）①（或），理由如下， 过点作于点， ∵ ∴ 又 ∴ ②由旋转的性质可得，， 又∵ ∴ ∴ 又∵是边的中点， ∴ 设，则 又∵ ∴ ∴ ∴即 解得： ∴， ∴； （3）如图，过点作交于点，则四边形是矩形，过点作，过点Q作，则四边形是矩形，则，， ∴， 由（2）可得， 又， ∴， ∴， 根据题意，将向左下方平移，点，，的对应点分别为，，，与交于点， ∴， ∴， 又 ∴ ∴ ∵是的三等分点， ∴或 ∴或 ∴或，或 ∴或 即或 【点睛】本题考查了菱形的性质，相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，旋转的性质，平移的性质，全等三角形的性质与判定，正切的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 24. 如图1所示，已知直线与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线经过A、C两点，点B是抛物线与x轴的另一个交点，当时，y取最小值． （1）求抛物线和直线的解析式； （2）设点P是直线上一点，且，求点P的坐标； （3）若直线与（1）中所求的抛物线交于M、N两点． ①问：是否存在a的值，使得？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由； ②猜想当时，请直接写出a的取值范围． 【答案】（1）抛物线的解析式是；直线的解析式是： （2）或 （3）①或②或 【解析】 【分析】（1）先根据抛物线，当时，y取最小值，得到抛物线的顶点坐标为，可写出抛物线的顶点式，再根据抛物线的解析式求出的坐标，然后将的坐标代入，运用待定系数法即可求出直线的解析式； （2）根据等高三角形的面积比等于底边比，因此两三角形的面积比实际是，即，可先求出的长，然后分情况讨论：①当在线段上时，过点作轴，点为垂足．由，根据相似三角形的性质定理求出的长，进而求出点的坐标；②当在的延长线上时，由，根据相似三角形的性质定理求出的长，进而求出点的坐标； （3）联立两函数的解析式，设直线与抛物线的交点为在左侧 ），则是方程的两个根，由一元二次方程根与系数关系得，，进而求出． ①由于，根据勾股定理得出，据此列出关于的方程，解方程即可求出的值； ②由于，根据勾股定理得出，据此列出关于的不等式，解不等式即可求出的范围． 【小问1详解】 解：∵抛物线，当时，取最小值， ∴抛物线的解析式是：，即； 当时，， 即点坐标是， 当时，， 解得：或2， 即点坐标是点坐标是． 将代入直线的解析式， 得， 解得：， 则直线的解析式是：； 【小问2详解】 解：过点作为垂足， ， ， ， 由勾股定理，得， 当点为线段上一点时，过点作轴，点为垂足， ， ， ， ∴， ， ， ∴点； ②当点在延长线时，作轴，点为垂足， ， ， ， ， ， 解得：， ； 综上，或； 【小问3详解】 解：①存在的值，使得， 设直线与抛物线的交点为在左侧 ）． 则为方程组的解， 由方程组消去整理，得：， ∴是方程的两个根， ∴， ∴． ∵， ∴， 即， 化简得， ∴， 整理，得， 解得：， ∴存在值，使得，其值为或； ②∵， ∴，即， 化简得， ∴， 整理，得， 解得：或， ∴当时，的取值范围是或． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，图形面积的计算方法，相似三角形的性质和判定，函数图象交点，一元二次方程根与系数关系等重要知识点，综合性强，能力要求较高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $