精品解析：2026年江苏省宿迁市沭阳县二模 数学试题

2025－2026学年度全真模拟 初三数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解： 的相反数是 ． 2. 下列国产软件图标属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. 米可智能 D. 通义千问 【答案】C 【解析】 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 【详解】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图形，符合题意； D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘除法、合并同类项、积的乘方的法则，逐一判断选项正误． 【详解】选项A：∵ ， ∴A错误． 选项B：∵ ， ∴B错误． 选项C：∵ ， ∴C正确． 选项D：∵ ， ∴D错误． 4. 我国已建成全球规模最大的光纤和移动宽带网络．截至2025年底，光缆线路总长度达到千米，其中用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中 ，为整数，确定的值时，的值等于原数变为时小数点移动的位数，原数绝对值大于等于10时，为正整数. 【详解】解：． 5. 下列事件中，确定事件为（ ） A. 在北半球看，太阳从西边升起 B. 未来三天会下雨 C. 打开电视，正在播放广告 D. 任意两个等腰三角形是相似三角形 【答案】A 【解析】 【详解】解：A 、在北半球，太阳一定从东边升起，太阳从西边升起一定不会发生，属于不可能事件，是确定事件； B 、未来三天是否下雨无法确定，可能发生也可能不发生，属于随机事件； C 、打开电视播放内容不确定，正在播放广告可能发生也可能不发生，属于随机事件； D 、任意两个等腰三角形可能相似也可能不相似，该事件是随机事件. 6. 《九章算术》被誉为人类科学史上应用数学的“算经之首”，其中有一题为“今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲乃发长安，问凡何日相逢？“其大意如下：甲从长安出发，用5天时间可到达齐国；乙从齐国出发，用7天时间可到达长安．若乙先从齐国出发2天，甲才从长安出发，问甲经过多少天与乙相遇？设甲经过x天后与乙相遇，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查一元一次方程和实际应用，设甲经过x天后与乙相遇，根据题意列出方程即可，解题关键是读懂题意，根据数量关系列出方程． 【详解】解：设甲经过x天后与乙相遇， 根据题意得：， 故选D． 7. 小明用七巧板拼成的丹顶鹤如图所示，且过点 作直线．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，得，由，得  ． 【详解】解：如图，∵， ∴， ∴． ∵， ∴ ． 8. 如图，、是双曲线上的两点，过点作轴，交于点 ，垂足为点 ，若的面积为 ， 为的中点，则的值为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作 轴于点，证明，得到，设，则，用含有，的式子表示的面积，即可计算出的值． 【详解】解：过点作 轴于点， ∵ 为的中点，轴， 轴， ∴ ， 为的中点， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴，，， ∴， ∵， 解得． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9. 若代数式有意义，则的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，列一元一次不等式求解即可． 【详解】解：由题意得：， 移项得：， 解得：.． 10. 因式分解4x2－64＝_____________． 【答案】4（x+4）（x-4） 【解析】 【分析】先提取公因式4，再利用平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b），进行分解，即可求出答案． 【详解】解：4x2-64 =4（x2-16） =4（x+4）（x-4）． 故答案为：4（x+4）（x-4）． 【点睛】本题考查了提公因式法及公式法分解因式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 11. 命题“若a＞b，则|a|＞|b|”是______命题．（填“真”或“假”） 【答案】假 【解析】 【分析】根据绝对值的性质判断真假即可． 【详解】解：∵3 ＞－5，但|3|＜|－5|， ∴命题“若a＞b，则|a|＞|b|”是假命题． 故答案为：假． 【点睛】本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 12. 平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则的值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】关于轴对称的点：横坐标互为相反数，纵坐标相同． 【详解】解： 点与点关于轴对称， ． 13. 满足不等式组的解是______． 【答案】 【解析】 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为． 14. 若一个正多边形的一个内角比一个外角大，则这个正多边形的边数是 _______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和外角之间的关系，多边形的外角和，熟练掌握知识点是解题的关键． 设这个正多边形的每个外角的度数为，则每个内角为，利用多边形的外角与相邻的内角互补得到，解方程得 ，然后根据边的外角和为，即可得到这个多边形的边数． 【详解】解：设这个正多边形的每个外角的度数为，则每个内角为， ， ， 这个多边形的边数． 故答案为：10． 15. 一个扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的半径为___________cm． 【答案】6 【解析】 【分析】根据弧长计算公式，将其变形即可求出扇形半径． 【详解】扇形的弧长为， 解得，， 故答案为：6． 【点睛】本题考查扇形的弧长公式，解题的关键是熟记弧长公式． 16. 如图，AB是圆O的直径，AC是圆O的弦，AB=2，∠BAC=30°．在图中画出弦AD，使AD=1，则∠CAD的度数为_____°． 【答案】30或90． 【解析】 【分析】根据题意作图，由AB是圆O的直径，可得∠ADB=∠AD′B=90°，继而可求得∠DAB的度数，则可求得答案． 【详解】解：如图，∵AB是圆O的直径， ∴∠ADB=∠AD′B=90°， ∵AD=AD′=1，AB=2， ∴cos∠DAB=cosD′AB=， ∴∠DAB=∠D′AB=60°， ∵∠CAB=30°， ∴∠CAD=30°，∠CAD′=90°． ∴∠CAD的度数为：30°或90°． 故答案为30或90． 【点睛】本题考查圆周角定理；含30度角的直角三角形． 17. 如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，直角三角形中较小的锐角为α，则α的余弦值为________________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意知小正方形的边长为2，大正方形的边长为10，设直角三角形中较小边长为x，则有（x+2）2+x2=102，解方程求得x=6，从而求出较长边的长度，运用三角函数定义求解． 【详解】解：由题意知，小正方形的边长为2，大正方形的边长为10． 设直角三角形中较小直角边长为x，较长的直角边（x+2）， 则有（x+2）2+x2=102， 解得，x=6， ∴较长直角边的边长为x+2=8， ∴cosα===． 【点睛】本题主要考查勾股定理和锐角三角函数的定义，解决本题的关键是要熟练掌握勾股定理和锐角三角函数的定义. 18. 如图，在平面直角坐标系中，，连接并延长至 ，连结，若满足，，则点 的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点 作 轴，垂足为 ，通过解直角三角形可求得，根据已知证明，从而可得，接着得出，然后在中求出与的长，最后证明，利用相似三角形的性质即可解答． 【详解】解：过点 作 轴，垂足为 ，则， 在中，，， 即， 解得， ． 三、解答题（本大题共10小题，19－22题每题8分，23－26题每题10分，27－28题每小题12分，共96分） 19. 计算： 【答案】2 【解析】 【详解】解： ． 20. 解方程： 【答案】 【解析】 【详解】解：去分母得， 去括号得， 移项合并得， 解得， 经检验，是原方程的解． 21. 如图，在 中，点在上，点 在 上，， ，与 相交于点． （1）证明： ； （2）若 ， ，求 的度数． 【答案】（1） 证明：在和中， ， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）利用 即可证明 ； （2）由全等三角形的性质得到 的度数，再由三角形外角的性质可得 的度数，最后由 可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 22. 某校随机对部分学生“整理错题的行为习惯”进行问卷调查．问卷主题是：“作业或考试中做错的题目你及时纠错解疑吗？”，设置的选项有：A：偶尔，B：较少，C：较多，D：一直．将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图如图． 请根据图中信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查人数是______； （2）扇形统计图中选项“较少”占的百分比中______，选项“较多”对应的圆心角是______度； （3）若该校共2400名学生，请根据统计结果估计“一直”对错题进行纠错解疑的学生约有多少名？ 【答案】（1）200 （2） ， （3） 名 【解析】 【分析】（1）用“偶尔”的人数除以占比求得抽样调查的人数； （2）用“较少”的人数除以抽样调查的人数求出占比，同样方法算出“较多”的占比，再乘以得出“较多”对应的圆心角； （3）计算出“一直”在样本中的占比，再乘以全校学生数即可． 【小问1详解】 解：对比两个统计图可知，“偶尔”的人数为 人，占比 ， ∴本次抽查的人数为 （人）， 【小问2详解】 解：“较少”的百分比为， ∴， “较多”对应的圆心角的度数为； 【小问3详解】 解：（人）． 答：“一直”对错题进行纠错解疑的学生约有840名． 23. 如图，河对岸有一灯杆，在灯光下，小丽在点D处测得自己的影长，沿 方向前进到达点F处测得自己的影长．设小丽的身高为 ，求灯杆的高度． 【答案】6.4m 【解析】 【分析】在同一时刻物高和影长成正比，根据相似三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵CD∥EF∥AB， ∴可以得到△CDF∽△ABF，△ABG∽△EFG， ∴，， 又∵CD=EF， ∴， ∵DF=3，FG=4，BF=BD+DF=BD+3，BG=BD+DF+FG=BD+7， ∴， ∴BD=9，BF=9+3=12， ∴， 解得，AB=6.4m． 答：路灯杆AB的高度为6.4m． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性质对应边成比例就可以求出结果． 24. 2026米兰冬奥会吉祥物是两只雪貂，名字分别叫“蒂娜”和“米洛”．某商店出售这两种吉祥物的毛绒玩具，每种玩具的售价相同．现有2个蒂娜和2个米洛混放在一个展示箱中，这些玩具除造型外都相同． （1）从箱中任意摸出1个玩具，摸到米洛的概率是______． （2）从箱中任意摸出1个玩具，记录造型后不放回，再从中任意摸出1个玩具，记录造型，求两次摸到的玩具是同一造型的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式直接求解； （2）通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【小问1详解】 解：从放2个蒂娜和2个米洛的展示箱中，任意摸出1个玩具是米洛的概率是； 【小问2详解】 解：记2个蒂娜为、，2个米洛为， 列表如下： —— —— —— —— ∴共有12种可能结果，其中两次摸到的玩具是同一造型的有4种， ∴两次摸到的玩具是同一造型的概率． 25. 如图，是的直径，是的切线，为切点，过点作交于点 ，连接交于点 ．求证： （1）是的切线 （2）若， ，求阴影部分面积． 【答案】（1）证明：∵是的切线， ∴ ， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵ ， ∴， 在 和 中， ， ∴， ∴ ， ∴ 又∵是的半径， ∴是的切线； （2）阴影部分面积为 【解析】 【分析】（1）由切线性质得 ，直径所对圆周角；结合得 ，由等腰三角形三线合一得；用 证，得 ，结合是半径，即可证得是的切线； （2）得半径，结合 证 为等边三角形，得；在 中算出，得四边形面积为；扇形圆心角为，面积为，即可计算出阴影面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 又∵ ， ∴ 是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴在 中，， 又∵， ∴， ∴， ∴ 的面积：， ∵， ∴， ∴；， ∴． 26. 某汽车出租公司每辆汽车月租费为3000元时，100辆汽车可以全部租出，若每辆汽车的月租费每增加50元，则少租出1辆汽车．已知每辆租出的汽车支付月维护费200元， （1）若每月租出辆汽车，则每辆汽车月租费增加______元，该出租公司的月利润______元； （2）若出租公司的月利润为304000元，则租出多少辆汽车？ （3）当每月租出多少辆汽车时，该出租公司的月利润最大？最大月利润是多少？ 【答案】（1） ； （2）80或76 （3）当每月租出辆汽车时，该出租公司的月利润最大，是元 【解析】 【分析】（1）根据若每辆汽车的月租费每增加50元，则少租出1辆汽车，列式计算每辆汽车月租费增加钱数，再根据每辆汽车月租费乘以车辆数，并减去维护费等于总收益计算该出租公司的月利润； （2）由（1）中月利润等于304000，列方程计算即可； （3）根据题意找出月利润和车辆数的函数关系式，根据二次函数的性质确定答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共100辆汽车，若每月租出辆汽车，则少租出 辆汽车， ∵若每辆汽车的月租费每增加50元，则少租出1辆汽车， ∴每辆汽车月租费增加； ∵每辆汽车月租费为（元）， ∴该出租公司的月利润为（元）； 【小问2详解】 解：， 化简得，， ， ，， 答：租出80辆或76辆汽车； 【小问3详解】 解：设每月租出辆汽车，该出租公司的月利润为y元， 由题意知，， 整理得，， ∵，∴开口向下， 当时，y有最大值，最大值为304200， 答：当每月租出78辆汽车时，该出租公司的月利润最大，最大月利润是304200元． 27. 定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的“零和点”．例如，点是函数的图象的“零和点”． （1）一次函数 的图象的“零和点”是______． （2）设函数与 的图象的“零和点”分别为点、，过点作轴，垂足为 ．当 为等腰三角形时，求 的值； （3）若将函数的图象绕轴上一点旋转 ，旋转后的图象上恰有1个“零和点”时，求的坐标． 【答案】（1） （2）或或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据“零和点”横纵坐标之和为 的定义得到，联立一次函数解析式组成方程组，解方程组即可得到一次函数图象的“零和点”坐标； （2）先分别联立反比例函数、一次函数与，求出点、的坐标，由轴得到点 坐标和 的长度，再分 、 、三种情况列方程求解，舍去三点重合不能构成三角形的情况，即可得到 的所有取值； （3）先将原二次函数配方求出顶点坐标，设出点的坐标，根据绕点旋转的性质得到旋转后新抛物线的顶点坐标和解析式，再联立新抛物线与，根据恰有个“零和点”得到一元二次方程的判别式等于 ，解方程求出的值，即可得到点的坐标． 【小问1详解】 解：根据“零和点”定义，横纵坐标之和为 ，即， 联立， 解得， ∴一次函数 的图象的“零和点”是； 【小问2详解】 解：函数与 的图象的“零和点”分别为点、， 联立， 解得或（不符合，舍去）， ∴点坐标为， ∵轴， ∴点 坐标为， ∴， 联立， 解得， ∴点坐标为， 当 为等腰三角形时，分三种情况： ①当 时， ， 解得； ②当 时， ， 解得 或， 当时，，， 与重合，不能构成三角形，故舍去， ∴ ； ③当时， ， 解得； 综上， 的值为或或 ； 【小问3详解】 解：，顶点为， 设，绕点旋转后，新抛物线顶点为，开口向下，解析式为： ， ∵旋转后的图象上恰有1个“零和点”， ∴联立有唯一解， 整理得， ， 解得， ∴点的坐标为． 28. 综合与实践 黄金分割给人以美感，其魅力在于它横跨了数学与算法、工程建筑、艺术设计、绘画摄影、生态自然、股市分析有着极其重要的作用与应用．已知线段 ，点 是线段的黄金分割点，且 ，则． 一、感知计算 （1）如图1， 是线段 的黄金分割点，且，表示以为一边的正方形的面积，表示长为 、宽为 的矩形的面积，则______．（填“”、“”或“”） 二、应用生活 （2）贝多芬《第五交响曲》全曲演奏时长约为33分钟，在整个乐曲达到高潮时，位置恰好落在全曲时长的黄金分割点处，则乐曲到达高潮的时间是______分钟（保留整数）． 三、动手操作 已知矩形纸片的宽 ，按如下步骤进行折叠操作： ①如图2，沿折痕对折，使点落在点 处，展开后得到正方形； ②如图3，将与重合对折，折痕为，再展开； ③如图4，连接，过点对折，使得点 落在点处，折痕为，再展开； ④如图5，过点对折纸片，折痕为 ，得到矩形； （3）四边形是______形． （4）证明：矩形是黄金矩形；（宽与长的比等于的矩形称为黄金矩形） （5）我国国旗五星红旗上的五角星，其轮廓由正五边形绘制而成．请你用无刻度的直尺和圆规：以已知线段为正五边形的一条对角线，作正五边形．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1） （2） （3）菱形 （4）证明：由折叠可知，正方形的边长为 ，即 ， ∵将与重合对折，折痕为， ∴是 的中点， ∴， 在 中，， 由折叠可知，， ∴， 在矩形中，宽为长为， ∴， ∵宽与长的比等于的矩形称为黄金矩形， ∴矩形是黄金矩形； （5） 【小问5】+ 【解析】 【分析】（1）根据黄金分割点的定义得到，分别求出和即可得到答案； （2）用总时长乘以即可得到答案； （3）证明，根据菱形的判定即可得到结论； （4）求出 ，，则，根据定义即可得到结论； （5）作出线段的两个黄金分割点，再分别以为圆心， 为半径画弧，相交于点B，再分别在射线 上截取，顺次连接即可． 【小问1详解】 解：∵ 是线段 的黄金分割点，且， ∴， ∴ ∴ 【小问2详解】 解：， 即乐曲到达高潮的时间是 分钟； 【小问3详解】 解：由折叠可知， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【小问4详解】 略 【小问5详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度全真模拟 初三数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列国产软件图标属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. 米可智能 D. 通义千问 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 我国已建成全球规模最大的光纤和移动宽带网络．截至2025年底，光缆线路总长度达到千米，其中用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 5. 下列事件中，确定事件为（ ） A. 在北半球看，太阳从西边升起 B. 未来三天会下雨 C. 打开电视，正在播放广告 D. 任意两个等腰三角形是相似三角形 6. 《九章算术》被誉为人类科学史上应用数学的“算经之首”，其中有一题为“今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲乃发长安，问凡何日相逢？“其大意如下：甲从长安出发，用5天时间可到达齐国；乙从齐国出发，用7天时间可到达长安．若乙先从齐国出发2天，甲才从长安出发，问甲经过多少天与乙相遇？设甲经过x天后与乙相遇，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 小明用七巧板拼成的丹顶鹤如图所示，且过点作直线．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，、是双曲线上的两点，过点作轴，交于点，垂足为点，若的面积为，为的中点，则的值为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9. 若代数式有意义，则的取值范围是______． 10. 因式分解4x2－64＝_____________． 11. 命题“若a＞b，则|a|＞|b|”是______命题．（填“真”或“假”） 12. 平面直角坐标系中，若点与点关于 轴对称，则的值为______． 13. 满足不等式组的解是______． 14. 若一个正多边形的一个内角比一个外角大，则这个正多边形的边数是 _______． 15. 一个扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的半径为___________cm． 16. 如图，AB是圆O的直径，AC是圆O的弦，AB=2，∠BAC=30°．在图中画出弦AD，使AD=1，则∠CAD的度数为_____°． 17. 如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，直角三角形中较小的锐角为α，则α的余弦值为________________． 18. 如图，在平面直角坐标系中，，连接并延长至，连结，若满足，，则点的坐标为______． 三、解答题（本大题共10小题，19－22题每题8分，23－26题每题10分，27－28题每小题12分，共96分） 19. 计算： 20. 解方程： 21. 如图，在中，点在上，点在上，， ， 与相交于点． （1）证明： ； （2）若 ， ，求 的度数． 22. 某校随机对部分学生“整理错题的行为习惯”进行问卷调查．问卷主题是：“作业或考试中做错的题目你及时纠错解疑吗？”，设置的选项有：A：偶尔，B：较少，C：较多，D：一直．将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图如图． 请根据图中信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查人数是______； （2）扇形统计图中选项“较少”占的百分比中______，选项“较多”对应的圆心角是______度； （3）若该校共2400名学生，请根据统计结果估计“一直”对错题进行纠错解疑的学生约有多少名？ 23. 如图，河对岸有一灯杆，在灯光下，小丽在点D处测得自己的影长，沿 方向前进到达点F处测得自己的影长．设小丽的身高为 ，求灯杆的高度． 24. 2026米兰冬奥会吉祥物是两只雪貂，名字分别叫“蒂娜”和“米洛”．某商店出售这两种吉祥物的毛绒玩具，每种玩具的售价相同．现有2个蒂娜和2个米洛混放在一个展示箱中，这些玩具除造型外都相同． （1）从箱中任意摸出1个玩具，摸到米洛的概率是______． （2）从箱中任意摸出1个玩具，记录造型后不放回，再从中任意摸出1个玩具，记录造型，求两次摸到的玩具是同一造型的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 25. 如图，是的直径，是的切线，为切点，过点作交于点，连接交于点．求证： （1）是的切线 （2）若， ，求阴影部分面积． 26. 某汽车出租公司每辆汽车月租费为3000元时，100辆汽车可以全部租出，若每辆汽车的月租费每增加50元，则少租出1辆汽车．已知每辆租出的汽车支付月维护费200元， （1）若每月租出辆汽车，则每辆汽车月租费增加______元，该出租公司的月利润______元； （2）若出租公司的月利润为304000元，则租出多少辆汽车？ （3）当每月租出多少辆汽车时，该出租公司的月利润最大？最大月利润是多少？ 27. 定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的“零和点”．例如，点是函数的图象的“零和点”． （1）一次函数 的图象的“零和点”是______． （2）设函数与 的图象的“零和点”分别为点、，过点作轴，垂足为．当为等腰三角形时，求的值； （3）若将函数的图象绕 轴上一点旋转 ，旋转后的图象上恰有1个“零和点”时，求的坐标． 28. 综合与实践 黄金分割给人以美感，其魅力在于它横跨了数学与算法、工程建筑、艺术设计、绘画摄影、生态自然、股市分析有着极其重要的作用与应用．已知线段 ，点是线段的黄金分割点，且 ，则． 一、感知计算 （1）如图1，是线段的黄金分割点，且，表示以为一边的正方形的面积，表示长为、宽为的矩形的面积，则______．（填“”、“ ”或“”） 二、应用生活 （2）贝多芬《第五交响曲》全曲演奏时长约为33分钟，在整个乐曲达到高潮时，位置恰好落在全曲时长的黄金分割点处，则乐曲到达高潮的时间是______分钟（保留整数）． 三、动手操作 已知矩形纸片的宽 ，按如下步骤进行折叠操作： ①如图2，沿折痕对折，使点落在点处，展开后得到正方形； ②如图3，将与重合对折，折痕为，再展开； ③如图4，连接，过点对折，使得点落在点 处，折痕为，再展开； ④如图5，过点 对折纸片，折痕为 ，得到矩形； （3）四边形是______形． （4）证明：矩形是黄金矩形；（宽与长的比等于的矩形称为黄金矩形） （5）我国国旗五星红旗上的五角星，其轮廓由正五边形绘制而成．请你用无刻度的直尺和圆规：以已知线段为正五边形的一条对角线，作正五边形．（不写作法，保留作图痕迹） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $