第03讲 整式的加法和减法 -（暑期衔接课堂）2026年暑假七年级数学衔接讲义（沪教版五四制）

第03讲 整式的加法和减法（1大知识点+5大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 整式的加减运算 典型例题二 整式的加减中的化简求值 典型例题三 整式加减中的无关型问题 典型例题四 带有字母的绝对值化简问题 典型例题五 整式加减的应用 知识点01 整式的加减 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。 要点诠释： （1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项。 （2）两个整式相减时，减数一定先要用括号括起来。 (3)整式加减的最后结果的要求： ①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止； ②一般按照某一字母的降幂或升幂排列； ③不能出现带分数，带分数要化成假分数。 【即时训练】 1．（25-26七年级上·云南曲靖·期末）一个多项式减去等于，则这个多项式是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·天津·一模）计算的结果等于__________． 【典型例题一 整式的加减运算】 【例1】（24-25七年级上·山西临汾·期末）晋晋把错算成，结果比原来（ ） A．大 B．小 C．大 D．小 【例2】（25-26七年级上·福建泉州·期末）若，则和的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【例3】（2026·天津东丽·二模）计算的结果为_________． 【例4】（24-25七年级上·江苏·期中）如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则长方形的长为__________． 1．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）化简： (1) (2) 2．（25-26七年级上·重庆江北·期末）计算： (1) (2) 3．（24-25七年级上·吉林长春·期中）化简： (1)． (2)． (3)． (4)． (5)． (6)． 4．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如与互为“对消多项式”，它们的“对消值”为5． (1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是 （填序号）： ①与；②与 ． (2)多项式与的“对消值”为 ． (3)多项式与多项式（a，b为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”． 【典型例题二 整式的加减中的化简求值】 【例1】（25-26七年级上·安徽合肥·期中）已知，，则（    ） A． B． C．34 D．无法计算 【例2】（25-26七年级上·山东临沂·阶段检测）已知，，则代数式的值为（ ） A．59 B．62 C．77 D．139 【例3】（25-26七年级上·天津河西·期末）若，则的值为________． 【例4】（24-25七年级上·福建泉州·期末）已知，，且对于任意有理数，代数式的值不变，则的值是______． 1．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）先化简，再求值：，其中，． 2．（24-25六年级上·山东烟台·阶段检测）先化简，再求值． (1)已知，其中 ； (2)已知，其中 3．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）整体思想是中学数学解题中的一种重要思想，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照下面的解题方法，完成后面的问题： 如果代数式的值为3，那么代数式的值是多少？ 爱动脑筋的小聪同学这样来解： 原式． 我们把看成一个整体，把式子两边乘2，得． 【方法运用】 (1)若，则的值为_________； (2)若，求的值； 4．（25-26七年级上·山西大同·期末）下面是成成同学进行整式的加减的过程，请认真阅读并完成相应任务． …第一步 …第二步 …第三步 任务： (1)以上步骤第__________步开始出现错误，错误的原因是__________． (2)请你进行正确化简．并求当时，式子的值 【典型例题三 整式加减中的无关型问题】 【例1】（25-26七年级上·河南新乡·期末）若多项式不含x的一次项，则a的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例2】（25-26七年级上·河南洛阳·期末）多项式的值与x，y的取值无关、则的值为（    ） A．1 B．－1 C．2026 D．－2026 【例3】（25-26七年级上·广东揭阳·期末）若关于的代数式的值与的值无关，则___________． 【例4】（25-26七年级上·浙江台州·期末）李宏在求关于x的代数式的值时，将不同的的值代入原式，所得的结果都是同一个不含字母的常数，则李宏算得的结果是______． 1．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）已知，，且的值不含a的一次项，求m的值． 2．（25-26七年级上·内蒙古兴安·期末）已知多项式． (1)若多项式的值与字母的取值无关，求，的值； (2)在（1）的条件下，先化简多项式，再求它的值． 3．（25-26七年级下·湖南邵阳·阶段检测）已知的值与x的取值无关，求k的值． 解决这类题目时，我们通常将代数式合并同类项，得到，因为代数式的值与x的取值无关，所以，得到． 根据上述方法，求解： (1)若代数式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知，，且的值与x无关，求m，n的值 4．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）小萍同学设计了一个小程序：程序界面分为A，B两区，每按一次按键，A区就会自动加上，同时B区就会自动乘以2，且A，B两区均显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是和（如图1），按一次按键后，A，B两区分别显示和（如图2）． (1)从初始状态按2次按键后，A区显示的结果是______，B区显示的结果是______； (2)从初始状态按3次按键后，唐老师让同学们计算“当，时，A区代数式与B区代数式的差的值”，小萍同学说，只需要知道a的值就可以求出这个差的值．你认为她的说法有道理吗？请说明理由． 【典型例题四 带有字母的绝对值化简问题】 【例1】（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·期中）的值是（   ） A． B． C．或 D．不能确定 【例2】（25-26七年级上·广东汕头·期中）已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：（    ） A． B． C． D． 【例3】（2025·辽宁大连·模拟预测）若，则____________． 【例4】（25-26七年级上·河南南阳·期中）已知有理数a、b在数轴上的位置如图所示，且，化简：______． 1．（24-25七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)填空：A和B之间的距离为______（用含a，b的式子表示），若点C表示，则点C和1之间的距离为______；将A移动5个单位长度所得点为______． (2)化简：． 2．（25-26七年级上·四川南充·期末）分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： (1)当时，求的值． (2)当时，求的值． (3)若有理数a、b均不等于零，试求的值． 3．（25-26七年级上·云南昆明·阶段检测）在学习一个数的绝对值过程中，化简时，可以这样分类：当时，，当时，；当时，．请用这种方法解决下列问题． (1)当时，则 ；当时，则 ． (2)已知，是有理数，当时，试求的值． (3)已知，，都不等于零，且的最大值是，最小值为，求的值． 4．（25-26七年级上·山东济南·期中）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想．例如，在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，． 运用分类讨论的数学思想解决下列问题： (1)已知有理数，则________； (2)已知有三个有理数，，，满足，求的值．小明给出了一个不完整的解法，请补充完整； 解：因为，所以，，三个有理数可以分为：三个都是正有理数或一个正有理数两个负有理数，两种情况； ①情况一，即，，，则________； ②情况二，不妨设，，，则________； 综上所述，值为________； (3)已知，，…，均为有理数，满足，令，求的最大值． 【典型例题五 整式加减的应用】 【例1】（24-25七年级上·陕西西安·期中）甲、乙两堆煤相差20吨，各运出后，现在两堆煤相差（     ）吨． A．16 B．18 C．20 D．22 【例2】（24-25七年级下·浙江衢州·阶段检测）如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为x的正方形后，剩余部分可剪拼成一个长方形，则拼成的长方形的面积为（   ） A． B． C． D． 【例3】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）生物学中，向日葵花盘的种子排列、松果鳞片的螺旋线条、兔子的繁殖等都遵循着一种神奇的规律．观察下面的数列（斐波那契数列）： 1  1  2  3  5  8  13…… 若该数列中连续的三个数分别为a，b，，则紧接着后面的一个数是______．（用含a，b的代数式表示） 【例4】（25-26七年级上·北京·期中）如左下图，我国宋代数学家杨辉创作了一个幻圆，为“米”字形九宫组合结构，由自然数1至33填成，每条直径上（除圆心位置的数）各数之和相等，且与每个同心圆（同心圆指的是圆心相同的圆）上各数之和相等．爱好幻方的同学模仿幻圆做出右下图，用2至10的连续不同整数填写，根据前述幻圆的规律，则的值是___________． 1．（25-26七年级下·辽宁·期中）我们定义：如果两个多项式与的和为常数，则称与互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如与互为对消多项式”，它们的“对消值”为5． (1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是___________（填序号）； ①与；②与；③与； (2)多项式与多项式（，为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”． 2．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，在一条直路上有四个车站，点，，，分别表示四个车站的位置． (1)用含，的代数式表示，两站之间的距离是_____； (2)若已知，两站之间的距离是，求，两站之间的距离． 3．（25-26七年级下·广西南宁·期中）对于两个有理数a，b的大小比较，有下面的方法： 若，则；若，则；若，则；我们把这种比较两个数大小的方法叫做“作差法”． (1)分别求出图1中长方形的周长和图2中长方形的周长； (2)若，请用“作差法”比较，的大小． 4．（25-26七年级上·重庆巴南·期末）如图1，有9个完全相同的长为厘米，宽为厘米的长方形．如图2，小红将这9个小长方形按如图所示不重叠地放置在长方形中．对于长方形中未被覆盖的两个部分（阴影部分），设左下角的面积为，右上角的面积为． (1)当，且厘米时，长方形的面积为_______，阴影部分的面积为_______； (2)设厘米，若当的长变化时，的值始终保持不变，求与的数量关系． 1．（2026·甘肃平凉·一模）计算：（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏南通·期中）已知，，则式子的值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·江西赣州·期中）定义一种新运算：．如：．若的值与的取值无关，则的值为（    ） A． B． C．6 D． 4．（24-25七年级上·重庆·期中）下列说法正确的是（　　） ①已知a，b，c是非零有理数，若，则的值为0或；②已知时，那么的最大值为8，最小值为；③若且，则代数式的值为． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 5．（2025·浙江宁波·模拟预测）将三张边长各不相同的正方形纸片①，②，③按如图方式放入矩形内（纸片①与②、纸片①与③均有部分重叠），且满足，未被三张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．设正方形纸片①，②，③的边长分别为a，b，c（其中）．若要求出上下两个阴影部分周长的差，则只要知道下列哪个代数式的值（   ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·上海杨浦·期末）若减去一个整式的差是，则这个整式是_____． 7．（25-26七年级上·黑龙江七台河·期中）若关于，的多项式中不含项，则______． 8．（25-26七年级上·江苏南通·期末）已知，，且，求_______． 9．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）对于任意的有理数a，b，如果满足，那么我们称这一对数a，b为“特殊数对”，记为．若是“特殊数对”，则______． 10．（2026·江苏苏州·一模）“洛书”是古老华夏智慧的数学结晶（如图1），是世界上最早的“幻方”．把9个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“三阶幻方”，图2是仅可以看到部分数值的“三阶幻方”，则其中之间的关系为__________． 11．（25-26七年级上·四川眉山·期中）计算： (1)； (2)． 12．（25-26七年级上·山西临汾·期末）化简求值． (1)，其中，． (2)，其中，． 13．（25-26七年级上·广东肇庆·期中）数形结合是一种重要的数学方法，如在化简时，当在数轴上位于原点的右侧时，；当在数轴上位于原点时，；当在数轴上位于原点的左侧时，．当，，三个数在数轴上的位置如图所示，试用这种方法解决下列问题， (1)当时，求______，当时，求______． (2)请根据，，三个数在数轴上的位置，求的值． 14．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）对于两个有理数的大小比较，有下面的方法： 若，则；若，则；若，则；我们把这种比较两个数大小的方法叫做“作差法”． 【尝试】 （1）当时，请用作差法比较代数式与的大小； 【应用】 （2）①若，无论取何值，总有，则_____，______； ②若，无论取何值，总有，则所表示的代数式可以是____．（写出一个符合条件的即可） 15．（25-26七年级上·湖北荆门·期末）【知识再现】 学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x，y看作字母，a看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式为，所以，则． (1)【初步运用】关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值； (2)【类比迁移】已知，，且化简的结果与x取值无关，求m，n的值； (3)【拓展应用】图1是长为a，宽为b（）的小长方形纸片，将6张这种纸片按图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分是阴影部分（是两个长方形）．设左上角的阴影部分面积为，右下角的阴影部分的面积为，当的长度变化时，设，且S为定值，试探究a与b之间的数量关系，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 整式的加法和减法（1大知识点+5大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 整式的加减运算 典型例题二 整式的加减中的化简求值 典型例题三 整式加减中的无关型问题 典型例题四 带有字母的绝对值化简问题 典型例题五 整式加减的应用 知识点01 整式的加减 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。 要点诠释： （1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项。 （2）两个整式相减时，减数一定先要用括号括起来。 (3)整式加减的最后结果的要求： ①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止； ②一般按照某一字母的降幂或升幂排列； ③不能出现带分数，带分数要化成假分数。 【即时训练】 1．（25-26七年级上·云南曲靖·期末）一个多项式减去等于，则这个多项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据整式减法运算，熟练掌握整式减法运算法则是解题的关键． 根据被减多项式等于差加上减多项式，直接计算合并同类项即可． 【详解】解：设这个多项式为，根据题意得， 则， 因此这个多项式是， 故选：A． 2．（2026·天津·一模）计算的结果等于__________． 【答案】 【分析】本题主要考查的是整式的加减法，去括号时，括号前面是负号，括号里面的符号要变号，掌握去括号的规则是解决本题的关键． 【详解】． 【典型例题一 整式的加减运算】 【例1】（24-25七年级上·山西临汾·期末）晋晋把错算成，结果比原来（ ） A．大 B．小 C．大 D．小 【答案】A 【分析】根据题意可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解： ， ∴结果比原来大． 【例2】（25-26七年级上·福建泉州·期末）若，则和的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的加减运算，求出的值，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴， ∴． 故选：A． 【例3】（2026·天津东丽·二模）计算的结果为_________． 【答案】/ 【详解】解：原式 ． 【例4】（24-25七年级上·江苏·期中）如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则长方形的长为__________． 【答案】 【分析】根据拼图的过程可得出长方形的长即可． 【详解】解：由拼图可知，长方形的长为：． 1．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 2．（25-26七年级上·重庆江北·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（）先去小括号，然后去中括号，最后进行合并同类项即可； （）先去括号，然后合并同类项即可得． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 3．（24-25七年级上·吉林长春·期中）化简： (1)． (2)． (3)． (4)． (5)． (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）解： （2） （3） （4） （5） （6） 4．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如与互为“对消多项式”，它们的“对消值”为5． (1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是 （填序号）： ①与；②与 ． (2)多项式与的“对消值”为 ． (3)多项式与多项式（a，b为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”． 【答案】(1)② (2)0 (3)2 【分析】（1）求出每组中两个代数式的和，进行判断即可； （2）根据题意直接计算求解即可； （3）求出，根据新定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：，不是常数，故①不是“对消多项式”； ，为常数，故②是“对消多项式”； （2）解：； （3）解： ， ∵多项式与多项式（a，b为常数）互为“对消多项式”， ∴， ∴， ∴， ∴“对消值”为2． 【典型例题二 整式的加减中的化简求值】 【例1】（25-26七年级上·安徽合肥·期中）已知，，则（    ） A． B． C．34 D．无法计算 【答案】B 【分析】这道题考查了整式的化简求值，解题关键是先对整式去括号、合并同类项，再将已知条件整体代入计算． 先化简代数表达式，再利用已知条件代入计算． 【详解】解：，， ． 故选B． 【例2】（25-26七年级上·山东临沂·阶段检测）已知，，则代数式的值为（ ） A．59 B．62 C．77 D．139 【答案】A 【分析】本题考查代数式的化简求值，运用整体代入思想简化计算，首先去括号，合并同类项将原代数式化简，再将所求代数式化成用与表示的形式，然后把已知代入即可求解． 【详解】解： 当，时 原式． 故选：A． 【例3】（25-26七年级上·天津河西·期末）若，则的值为________． 【答案】9 【分析】本题主要考查整式加减运算的化简求值，熟练掌握整式的加减运算是解题的关键；先化简代数式，再整体代入求值即可． 【详解】解：原式 ； ∵， ∴原式； 故答案为：9． 【例4】（24-25七年级上·福建泉州·期末）已知，，且对于任意有理数，代数式的值不变，则的值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减-化简求值，解题的关键是理解对于任意有理数，代数式的值不变．把和代入后去括号合并进行化简，再根据对于任意有理数，代数式的值不变求得，的值，最后计算即可求解． 【详解】解：，， ， 对于任意有理数，代数式的值不变， ，， 解得：，， ． 故答案为：． 1．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ， 【详解】解：原式 ， ， 当，时， 原式． 2．（24-25六年级上·山东烟台·阶段检测）先化简，再求值． (1)已知，其中 ； (2)已知，其中 【答案】(1)， (2)，11 【详解】（1）解： ， 当时，原式； （2）解： 当时，原式 3．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）整体思想是中学数学解题中的一种重要思想，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照下面的解题方法，完成后面的问题： 如果代数式的值为3，那么代数式的值是多少？ 爱动脑筋的小聪同学这样来解： 原式． 我们把看成一个整体，把式子两边乘2，得． 【方法运用】 (1)若，则的值为_________； (2)若，求的值； 【答案】(1)7 (2) 【分析】（1）将原式变形后整体代入已知数值计算即可； （2）将原式去括号，合并同类项后并整理，然后整体代入已知数值计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵，， ∴ ． 4．（25-26七年级上·山西大同·期末）下面是成成同学进行整式的加减的过程，请认真阅读并完成相应任务． …第一步 …第二步 …第三步 任务： (1)以上步骤第__________步开始出现错误，错误的原因是__________． (2)请你进行正确化简．并求当时，式子的值 【答案】(1)一；去括号时符号错误，应化为 (2) 【分析】本题考查了整式的化简求值． （1）去括号时符号错误，应化为； （2）先去括号，合并同类项，再将代入化简结果计算即可． 【详解】（1）解：去括号时符号错误，应化为， 即以上步骤第一步开始出现错误，错误的原因是去括号时符号错误，应化为； 故答案为：一；去括号时符号错误，应化为； （2）解：原式 ， 当时， 原式 ． 【典型例题三 整式加减中的无关型问题】 【例1】（25-26七年级上·河南新乡·期末）若多项式不含x的一次项，则a的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】把所给多项式合并同类项，再令含x的一次项的系数为0，据此求解即可． 【详解】解：， ∵多项式不含x的一次项， ∴， ∴． 【例2】（25-26七年级上·河南洛阳·期末）多项式的值与x，y的取值无关、则的值为（    ） A．1 B．－1 C．2026 D．－2026 【答案】A 【分析】先合并同类项，再根据多项式的值与x、y取值无关得出对应项系数为0，求出m、n的值，最后代入计算即可． 【详解】解：， ∵多项式的值与x、y的取值无关， ∴，， 解得：，， ∴． 【例3】（25-26七年级上·广东揭阳·期末）若关于的代数式的值与的值无关，则___________． 【答案】6 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，把所给代数式先去括号，然后合并同类项，根据代数式的值与x的值无关，可得含x的项系数为零，据此求解即可． 【详解】解： ， ∵关于的代数式的值与的的值无关， ∴， 解得， 故答案为：6． 【例4】（25-26七年级上·浙江台州·期末）李宏在求关于x的代数式的值时，将不同的的值代入原式，所得的结果都是同一个不含字母的常数，则李宏算得的结果是______． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减．代数式的值与无关，则的系数和的系数均为零，由此求出的值，再代入常数项计算，即可求解． 【详解】解： 令的系数为零：，解得 代入常数项： 故答案为：． 1．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）已知，，且的值不含a的一次项，求m的值． 【答案】 【详解】解： 因为的值不含a的一次项 所以 解得． 2．（25-26七年级上·内蒙古兴安·期末）已知多项式． (1)若多项式的值与字母的取值无关，求，的值； (2)在（1）的条件下，先化简多项式，再求它的值． 【答案】(1)， (2)，16 【分析】本题考查的是整式的加减，熟知去括号法则与合并同类项是解答此题的关键． （1）先把原式去括号，合并同类项，根据的系数为0，求出，的值即可； （2）先去括号合并，进一步代入数值求得答案即可． 【详解】（1）解：原式 ， ∵多项式的值与字母的取值无关， ，． ，． （2）解：原式 ， 当，时， 原式． 3．（25-26七年级下·湖南邵阳·阶段检测）已知的值与x的取值无关，求k的值． 解决这类题目时，我们通常将代数式合并同类项，得到，因为代数式的值与x的取值无关，所以，得到． 根据上述方法，求解： (1)若代数式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知，，且的值与x无关，求m，n的值 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）把原多项式去括号后合并同类项，再仿照题意求解即可； （2）根据整式的加减运算法则求出的结果，再根据的值与x无关得到的结果中含x的项的系数为0，据此列式求解即可． 【详解】（1）解： ， ∵代数式的值与x的取值无关， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴ ， ∵的值与x无关， ∴， ∴． 4．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）小萍同学设计了一个小程序：程序界面分为A，B两区，每按一次按键，A区就会自动加上，同时B区就会自动乘以2，且A，B两区均显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是和（如图1），按一次按键后，A，B两区分别显示和（如图2）． (1)从初始状态按2次按键后，A区显示的结果是______，B区显示的结果是______； (2)从初始状态按3次按键后，唐老师让同学们计算“当，时，A区代数式与B区代数式的差的值”，小萍同学说，只需要知道a的值就可以求出这个差的值．你认为她的说法有道理吗？请说明理由． 【答案】(1)，； (2)小萍说的有道理，理由见解析 【分析】本题考查整式加减的应用，以及整式加减中的无关型问题．读懂题意，正确列出代数式是解题的关键． （1）根据题意，列出代数式，即可； （2）求出按按3次按键A区代数式与B区代数式，作差后，进行判断即可． 【详解】（1）解：由题意，按一次按键后，A，B两区分别显示和， 再按一次按键后，A，B两区分别显示和， 故答案为：，； （2）解：小萍说的有道理，理由如下： 由（1）知，2次按键后A，B两区分别显示，， 所以3次按键后，A，B两区分别显示，， 所以A区代数式与B区代数式的差为， 即差与b的值无关， 故小萍说的有道理． 【典型例题四 带有字母的绝对值化简问题】 【例1】（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·期中）的值是（   ） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的化简，有理数的除法运算，熟记是解题的关键． 先分四种情况，再分别化简计算即可． 【详解】解：由分式的分母不为0，可得a、b、c均不为0， 故分以下四种情况： ①a、b、c没有负数时，； ②a、b、c有一个负数时，； ③a、b、c有两个负数时，； ④a、b、c均为负数时，． 故选：C． 【例2】（25-26七年级上·广东汕头·期中）已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式的加减，绝对值的性质．观察数轴得：，且，可得，再根据绝对值的性质化简，即可． 【详解】解：观察数轴得：，且， ∴， ∴． 故选：D 【例3】（2025·辽宁大连·模拟预测）若，则____________． 【答案】/ 【分析】根据的取值范围，判断出的符号，然后根据绝对值的性质求解． 【详解】解：， ； 故 【例4】（25-26七年级上·河南南阳·期中）已知有理数a、b在数轴上的位置如图所示，且，化简：______． 【答案】 【分析】本题考查数轴，绝对值，做这类题的关键是明确绝对值里的数值是正是负，然后根据绝对值的性质“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，的绝对值还是”进行化简计算．利用有理数a、b、c在数轴上的位置确定，再由可得，进而得到，再整体代入计算即可． 【详解】解：由数轴，得， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 1．（24-25七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)填空：A和B之间的距离为______（用含a，b的式子表示），若点C表示，则点C和1之间的距离为______；将A移动5个单位长度所得点为______． (2)化简：． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据两点之间的距离得出答案； （2）先根据数轴可得，再去掉绝对值即可． 【详解】（1）解：A和B之间的距离是，点C和1之间的距离是，将点A向右移动5个单位长度为，或向左移动5个单位长度为； （2）解：∵， ∴， ∴． 2．（25-26七年级上·四川南充·期末）分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： (1)当时，求的值． (2)当时，求的值． (3)若有理数a、b均不等于零，试求的值． 【答案】(1)1 (2) (3)2或0或 【分析】本题主要考查了绝对值的化简求值，解题的关键是掌握绝对值的化简法则． （1）根据绝对值的化简法则进行计算即可； （2）根据绝对值的化简法则进行计算即可； （3）分四种情况进行讨论，然后根据绝对值的化简法则进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 综上，的值为2或0或． 3．（25-26七年级上·云南昆明·阶段检测）在学习一个数的绝对值过程中，化简时，可以这样分类：当时，，当时，；当时，．请用这种方法解决下列问题． (1)当时，则 ；当时，则 ． (2)已知，是有理数，当时，试求的值． (3)已知，，都不等于零，且的最大值是，最小值为，求的值． 【答案】(1)1； (2)2或 (3) 【分析】此题主要考查了绝对值的意义和有理数的混合运算， （1）直接将，代入求出答案； （2）分或两种情况求解即可； （3）分类讨论求出的值，从而得出，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：当时，则； 当时，则． 故答案为：；； （2）解：因为， 所以，异号． 当时，， 所以． 当时，， 所以． 综上可知，的值为2或； （3）解：a，b，c同正，原式； a，b，c同负，原式； a，b，c两正一负，不妨设， 原式； a，b，c两负一正，不妨设，原式． 因为的最大值是，最小值为， 所以， 所以． 4．（25-26七年级上·山东济南·期中）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想．例如，在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，． 运用分类讨论的数学思想解决下列问题： (1)已知有理数，则________； (2)已知有三个有理数，，，满足，求的值．小明给出了一个不完整的解法，请补充完整； 解：因为，所以，，三个有理数可以分为：三个都是正有理数或一个正有理数两个负有理数，两种情况； ①情况一，即，，，则________； ②情况二，不妨设，，，则________； 综上所述，值为________； (3)已知，，…，均为有理数，满足，令，求的最大值． 【答案】(1) (2)；；或 (3) 【分析】本题考查有理数的运算，绝对值的意义，解题的关键是掌握去绝对值的法则． （1）根据和两种情况分类讨论即可； （2）根据，，，去绝对值符号计算即可；根据，，，去绝对值计算即可； （3）根据已知条件可设个数中，负数个数为个，正数个数为个，其中且为奇数，表示出计算即可； 【详解】（1）当时，原式； 当时，原式； 故答案是：． （2）， 分以下两种情况： 当，，时，原式； 故答案是：； 假设当，，时，原式； 故答案是：； 或， 故答案是：或． （3）可设个数中，负数个数为个，正数个数为个，其中且为奇数， ， ， 当（最大奇数）时，； 的最大值是； 【典型例题五 整式加减的应用】 【例1】（24-25七年级上·陕西西安·期中）甲、乙两堆煤相差20吨，各运出后，现在两堆煤相差（     ）吨． A．16 B．18 C．20 D．22 【答案】B 【分析】设两堆煤原来的质量，根据运出比例表示出剩余质量，计算剩余质量差即可得到结果． 【详解】解：设甲堆原有吨，甲比乙多20吨，则乙堆原有吨， ∵各运出， ∴甲堆剩余质量为吨，乙堆剩余质量为吨， 两堆相差：(吨)． 【例2】（24-25七年级下·浙江衢州·阶段检测）如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为x的正方形后，剩余部分可剪拼成一个长方形，则拼成的长方形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图形，求出长方形的长和宽，再根据面积公式进行计算即可． 【详解】解：由图可知，长方形的长为，宽为， ∴拼成的长方形的面积为． 【例3】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）生物学中，向日葵花盘的种子排列、松果鳞片的螺旋线条、兔子的繁殖等都遵循着一种神奇的规律．观察下面的数列（斐波那契数列）： 1  1  2  3  5  8  13…… 若该数列中连续的三个数分别为a，b，，则紧接着后面的一个数是______．（用含a，b的代数式表示） 【答案】/ 【分析】观察可得该数列的特征是：从第三个数开始，后面的一个数总是前面两个数的和，进而可得答案． 【详解】解：观察数列：1  1  2  3  5  8  13……， 可得该数列的特征是：从第三个数开始，后面的一个数总是前面两个数的和， 若该数列中连续的三个数分别为a，b，，则紧接着后面的一个数是． 【例4】（25-26七年级上·北京·期中）如左下图，我国宋代数学家杨辉创作了一个幻圆，为“米”字形九宫组合结构，由自然数1至33填成，每条直径上（除圆心位置的数）各数之和相等，且与每个同心圆（同心圆指的是圆心相同的圆）上各数之和相等．爱好幻方的同学模仿幻圆做出右下图，用2至10的连续不同整数填写，根据前述幻圆的规律，则的值是___________． 【答案】2 【分析】本题考查了整式加减的应用．根据外圈四个数的和等于一条直径四个数的和，列式计算即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴， 故答案为：2． 1．（25-26七年级下·辽宁·期中）我们定义：如果两个多项式与的和为常数，则称与互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如与互为对消多项式”，它们的“对消值”为5． (1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是___________（填序号）； ①与；②与；③与； (2)多项式与多项式（，为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”． 【答案】(1)②③ (2) 【分析】（1）判断和是否为常数即可得到结果； （2）根据和为常数，可知所有含未知数项的系数均为0，求出的值后计算常数项即可得到对消值. 【详解】（1）解：，和不是常数，故①不是“对消多项式”； ，和为常数，故②是“对消多项式”； ，和为常数，故③是“对消多项式”； （2）解：∵ ； ∵与互为“对消多项式”，和为常数， ∴， ∴ 解得， ∴，即它们的对消值为. 2．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，在一条直路上有四个车站，点，，，分别表示四个车站的位置． (1)用含，的代数式表示，两站之间的距离是_____； (2)若已知，两站之间的距离是，求，两站之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查两点间的距离，整式的加减运算，理解题意是解题关键． （1）由图可知的长度，根据求解即可； （2）由（1）可知，结合，两站之间的距离是，求出，再由图可知的长度，根据求解即可． 【详解】（1）解：∵由图可知，，， ∴， ∴，两站之间的距离是； （2）解：∵由（1）可得， 又∵，两站之间的距离是， ∴，即， ∵由图可知，，， ∴． ∴，两站之间的距离为． 3．（25-26七年级下·广西南宁·期中）对于两个有理数a，b的大小比较，有下面的方法： 若，则；若，则；若，则；我们把这种比较两个数大小的方法叫做“作差法”． (1)分别求出图1中长方形的周长和图2中长方形的周长； (2)若，请用“作差法”比较，的大小． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据长方形的周长等于长加宽的和再乘2，即可作答． （2）根据，，列式，再结合，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，长方形A的周长， 长方形B的周长， （2）解：由（1）得，， 则 ， ∵， ∴， ∴， ∴． 4．（25-26七年级上·重庆巴南·期末）如图1，有9个完全相同的长为厘米，宽为厘米的长方形．如图2，小红将这9个小长方形按如图所示不重叠地放置在长方形中．对于长方形中未被覆盖的两个部分（阴影部分），设左下角的面积为，右上角的面积为． (1)当，且厘米时，长方形的面积为_______，阴影部分的面积为_______； (2)设厘米，若当的长变化时，的值始终保持不变，求与的数量关系． 【答案】(1)270，64 (2)与的数量关系为． 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题； （1）根据长方形面积公式求解即可； （2）由图可知，，则，根据当的长变化时，的值始终保持不变，可知的值与的值无关，即有，则问题得解． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴长方形的面积为， 阴影部分的面积为； 故答案为：270，64； （2）解：由题意得，， ，， ∴ ， 当即时，在的长变化时，的值始终保持不变． ∴与的数量关系为． 1．（2026·甘肃平凉·一模）计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 2．（24-25七年级上·江苏南通·期中）已知，，则式子的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先把第二个等式两边乘以2，再用第一个等式减去第二个等式两边乘以2后的结果即可得到答案． 【详解】解；∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3．（25-26七年级上·江西赣州·期中）定义一种新运算：．如：．若的值与的取值无关，则的值为（    ） A． B． C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查整式加减中的无关型问题，先根据新运算规则展开代数式，再根据代数式的值与x无关时x的系数为0求出k，最后代入计算结果即可． 【详解】解：∵根据新运算定义，， ∴展开得：． ∵该式的值与x的取值无关， ∴x的系数． ∴解得． 将代入，得． 故选：A． 4．（24-25七年级上·重庆·期中）下列说法正确的是（　　） ①已知a，b，c是非零有理数，若，则的值为0或；②已知时，那么的最大值为8，最小值为；③若且，则代数式的值为． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值化简，代数式求值，解题的关键在于利用分类讨论的思想解决问题．根据题意讨论当时，时，的值，即可判断①；根据分情况当时，当时，当时，结合绝对值性质化简分析，即可判断②；根据条件推出，，，再代入代数式计算求解，即可判断③． 【详解】解：①已知a，b，c是非零有理数，， 则当时，； 当时，； 综上的值为0或， 故①正确； ②已知， 当时，； 当时，， 则， 当时，， 综上，时，那么的最大值为8，最小值为， 故②正确； ③因为且， 所以，，， 则，整理得， 则代数式， 故③正确； 综上所述，正确的有①②③； 故选：D． 5．（2025·浙江宁波·模拟预测）将三张边长各不相同的正方形纸片①，②，③按如图方式放入矩形内（纸片①与②、纸片①与③均有部分重叠），且满足，未被三张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．设正方形纸片①，②，③的边长分别为a，b，c（其中）．若要求出上下两个阴影部分周长的差，则只要知道下列哪个代数式的值（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意易得上方阴影部分的周长为，下方阴影部分的周长为，然后可得，，进而问题可求解． 【详解】解：如图，由题意得，上方阴影部分的周长为， 下方阴影部分的周长为， ∵四边形为矩形，， ∴，， ∴上下两个阴影部分的周长的差为． 6．（25-26七年级上·上海杨浦·期末）若减去一个整式的差是，则这个整式是_____． 【答案】 【分析】本题考查了整式的减法，根据减法规则，减数等于被减数减去差，因此所求整式为，再通过整式加减运算求解即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：这个整式 ， 故答案为：． 7．（25-26七年级上·黑龙江七台河·期中）若关于，的多项式中不含项，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减，将多项式展开并合并同类项后，令项的系数为零，建立方程求解． 【详解】解： ， 多项式中不含项， 项系数为零，即， 解得：． 故答案为：． 8．（25-26七年级上·江苏南通·期末）已知，，且，求_______． 【答案】0 【分析】本题考查了有理数的混合运算，化简绝对值． 根据，可知a，b，c中必然是一负两正，不妨设，代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴a，b，c中必然是一负两正， 不妨设， 则 ． 故答案为：0． 9．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）对于任意的有理数a，b，如果满足，那么我们称这一对数a，b为“特殊数对”，记为．若是“特殊数对”，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，新定义，根据新定义得到，进而得到，再把所求式子先去括号，再合并同类项得到，据此代值计算即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 10．（2026·江苏苏州·一模）“洛书”是古老华夏智慧的数学结晶（如图1），是世界上最早的“幻方”．把9个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“三阶幻方”，图2是仅可以看到部分数值的“三阶幻方”，则其中之间的关系为__________． 【答案】 【分析】设中心格内的数为，根据三阶幻方的性质，任意一行、一列及对角线上的数之和都相等，且和为，利用这一性质表示出相关位置的数，通过列方程即可得出之间的关系． 【详解】解：设中心格内的数为， ∵ 任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等， ∴幻和为， ∴第二行第一列的数为， 第一行第二列的数为， 设第一行第三列的数为，则， 解得； 设第三行第三列的数为，则，即， 解得， 又∵主对角线上的数之和为， ∴，即， ∴， ∴． 11．（25-26七年级上·四川眉山·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】先去括号，然后合并同类项，即可求解； 【详解】（1）解：原式     （2）解：原式 ． 12．（25-26七年级上·山西临汾·期末）化简求值． (1)，其中，． (2)，其中，． 【答案】(1)，3 (2)， 【分析】本题考查了整式加减的化简求值，掌握去括号和合并同类项的法则是解题关键． （1）先去括号，再合并同类项得到最简结果，最后将x、y的值代入计算即可． （2）先去括号，再合并同类项得到最简结果，最后将x、y的值代入计算即可． 【详解】（1）解： ， 当，时，原式； （2）解： ． 当，时，原式． 13．（25-26七年级上·广东肇庆·期中）数形结合是一种重要的数学方法，如在化简时，当在数轴上位于原点的右侧时，；当在数轴上位于原点时，；当在数轴上位于原点的左侧时，．当，，三个数在数轴上的位置如图所示，试用这种方法解决下列问题， (1)当时，求______，当时，求______． (2)请根据，，三个数在数轴上的位置，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了数轴，解决本题的关键是熟记正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数． （1）当时，点a在原点右边，由题意可知，当时，点b在原点左边，由题意可知，然后计算即可； （2）由图中点的位置得到，，，，然后去绝对值计算即可． 【详解】（1）解：当时，；当时，， 故答案是：，； （2）解：由数轴可得：，，，． ∴． 14．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）对于两个有理数的大小比较，有下面的方法： 若，则；若，则；若，则；我们把这种比较两个数大小的方法叫做“作差法”． 【尝试】 （1）当时，请用作差法比较代数式与的大小； 【应用】 （2）①若，无论取何值，总有，则_____，______； ②若，无论取何值，总有，则所表示的代数式可以是____．（写出一个符合条件的即可） 【答案】（1） （2）①，；②（答案不唯一） 【分析】本题考查的是整式的加减运算，非负数的性质． （1）计算，根据结果可得答案； （2）①由恒成立，可得且，进一步可得答案；②由，可令，从而可得答案． 【详解】解：（1） ， ∵， ∴， ∴． （2）①∵，， ∴恒成立， ∴且， 解得：，； ②∵，无论取何值，总有， ∴可以为：（答案不唯一）． 15．（25-26七年级上·湖北荆门·期末）【知识再现】 学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x，y看作字母，a看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式为，所以，则． (1)【初步运用】关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值； (2)【类比迁移】已知，，且化简的结果与x取值无关，求m，n的值； (3)【拓展应用】图1是长为a，宽为b（）的小长方形纸片，将6张这种纸片按图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分是阴影部分（是两个长方形）．设左上角的阴影部分面积为，右下角的阴影部分的面积为，当的长度变化时，设，且S为定值，试探究a与b之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)1 (2)， (3)，见解析 【分析】本题考查了整式的加减． （1）先合并同类项，再根据“关于x的多项式的值与x的取值无关”得到，进而求解即可； （2）求出的值，根据“结果与x取值无关”得到，，进而求解即可； （3）设，则，，求出，根据“S为定值”得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：， ∵关于x的多项式的值与x的取值无关， ∴， ∴； （2）解： ， ∵化简的结果与x取值无关， ∴，， ∴，； （3）解：设， ∴，， ∴ ， ∵的长度变化时，S为定值， ∴S的值与x取值无关， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $