第02讲 合并同类项 -（暑期衔接课堂）2026年暑假七年级数学衔接讲义（沪教版五四制）

第02讲 合并同类项（2大知识点+6大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 合并同类项 典型例题二 多项式的项、项数或次数 典型例题三 多项式系数、指数中字母求值 典型例题四 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 典型例题五 数字类规律探索 典型例题六 图形类规律探索 知识点01 合并同类项 1.同类项的概念：一个多项式中，字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。注意所有的常数项都是同类项。 比如：多项式a2b-a2c-4+3a2b+ab2-a2c+5-ab2中，a2b和3a2b是同类项， -a2c和-a2c是同类项，-4和5是同类项，ab2和- ab2是同类项，而a2b和-a2c不是同类项，因为它们字母不同， a2b和ab2不是同类项，因为它们虽然字母相同，但是相同字母的指数不同。 2.合并同类项的概念：按照乘法分配律把同类项合并成一项叫做合并同类项。 3.合并同类项法则 同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和指数不变。 要点诠释： (1) 注意项的系数为负数时的情况，也就是在多项式中遇到减号时，注意此时是加了一个系数为负数的项。 (2) 字母和指数不变，也就是说，合并同类项之后，仅仅是系数发生了变化，而字母和字母的指数不会发生任何变化，否则就是错误。 (3)合并同类项之前，应该先移动项，将同类项移动到一起，在移动项的时候，要注意将减号当做负号一起移动。 【即时训练】 1．（25-26七年级上·安徽阜阳·期末）下列运算正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查合并同类项，根据同类项的法则逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，计算正确，符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、和不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意； D、和不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意． 故选：A． 2．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）计算__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减，解题的关键是合并同类项．根据整式的加减运算法则，通过合并同类项进行计算即可解答． 【详解】解： 故答案为: ． 知识点02 多项式 1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式。 要点诠释：“几个”是指两个或两个以上。 2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。 要点诠释： （1）多项式的每一项包括它前面的符号。 （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式。 3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。 要点诠释： （1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数。 （2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出。 【即时训练】 1．（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）多项式的次数及最高次项的系数（   ） A．2，2 B．2， C．3， D．3，2 【答案】B 【分析】本多项式的次数是多项式中次数最高项的次数，常数项的次数为0，最高次项的系数是最高次项中的数字因数． 【详解】解：多项式的各项分别为，，， ∵是常数项，次数为0，的次数为1，的次数为2， ∴该多项式的次数为2，最高次项为，最高次项的系数为． 2．（25-26七年级上·湖南·期末）多项式的次数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】多项式的次数是最高次项的次数，计算各项次数后取最大值即可. 【详解】解：∵ 项 的次数为 ； 项 的次数为 ； 项 的次数为 ； 项 的次数为 ； 项 的次数为 ； 项 的次数为 ， ∴ 最高次数为 ， 故选：A． 【点睛】多项式的次数由最高次项决定，注意每个项的次数是所有字母的指数和. 【典型例题一 合并同类项】 【例1】（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ ∴A选项错误． ∵与不是同类项，不能合并 ∴B选项错误． ∵与是同类项，合并得 ∴C选项正确． ∵ ∴D选项错误． 【例2】（2025·贵州遵义·模拟预测）计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据合并同类项法则计算即可得到结果． 【详解】解：． 【例3】（2026·天津北辰·二模）计算的结果为________． 【答案】 【详解】解：． 【例4】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）规定运算：，则___________． 【答案】11m 【分析】本题是新定义问题，根据规定的运算定义，将 和 代入 ，然后进行有理数的减法运算. 【详解】解：根据运算规则，， 所以 故答案为：. 1．（25-26七年级上·全国·期末）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式直接合并同类项即可； （2）原式先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（25-26七年级上·辽宁盘锦·期中）化简 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了去括号和合并同类项，理解去括号法则和合并同类项计算法则是解答关键. （1）先去括号，再合并同类项求解； （2）先去小括号，再去中括号，最后合并同类项求解. 【详解】（1）解： （2）解： . 3．（24-25七年级上·安徽六安·期中）如果两个关于x，y的单项式与是同类项（其中）． (1)求a的值． (2)如果这两个单项式的和为零，求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查同类项，合并同类项，熟练掌握同类项的定义，是解题的关键： （1）根据同类项的定义，得到，进行求解即可； （2）根据两个同类项的和为0，则两个同类项的系数之和为0，得到，整体代入法求值即可． 【详解】（1）解：由题意，， 解得； （2）∵这两个单项式的和为零， ∴， ∴， ∴． 【典型例题二 多项式的项、项数或次数】 【例1】（2026·上海浦东新·二模）在多项式中，一次项是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：多项式的一次项是. 【例2】（2026·云南昆明·模拟预测）一组按规律排列的多项式：，，，，…，第个多项式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察可知每个多项式的第二项恒为，只需总结的指数变化规律即可得到第个多项式． 【详解】解：观察给出的多项式： 第个多项式 ，的指数为：， 第个多项式 ，的指数为：， 第个多项式 ，的指数为：， 第个多项式 ，的指数为：， 且每个多项式的第二项始终为， 第个多项式中，的指数为， 即第个多项式为． 【例3】（25-26七年级上·广东惠州·期中）整式是_____次_____项式． 【答案】 四 五 【分析】通过确定多项式中每个单项式的次数，找出最高次数单项式的次数作为多项式的次数，并统计单项式的个数作为项数． 【详解】解：多项式的项包括： （次数为）、（次数为）、（次数为）、（次数为）、（次数为）， ∴最高次数为，项数为， ∴多项式是四次五项式． 【例4】（25-26七年级上·山东临沂·期末）已知多项式是关于的四次三项式，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的相关概念． 根据多项式的次数和项数，最高次项为四次，且多项式有三项，得到且，进而求解即可． 【详解】解：∵多项式是关于的四次三项式， ∴且， 解得：且， ∴． 故答案为：． 1．（25-26七年级上·河南安阳·期中）已知多项式是六次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同． (1)求m，n的值； (2)请写出多项式的各项，并求出各项的系数和． 【答案】(1)， (2)各项分别为，，，1，系数和为 【分析】此题考查了整式次数与系数概念的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识． （1）根据多项式与单项式次数的定义进行求解； （2）根据多项式的定义求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 所以． 因为单项式的次数与多项式的次数相同， 所以． 所以． （2）解：多项式为， 它的项分别为，，，1． 系数和为． 2．（2025·北京海淀·模拟预测）（1）关于x，y的多项式是七次四项式，求m和n的值； （2）关于x，y的多项式不含三次项，求的值． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查多项式的相关概念，包括多项式的次数、项数以及不含特定项的条件，解决此类问题的关键是理解多项式中每一项的次数，并根据题目给出的条件建立方程． （1）多项式为七次四项式，这意味着多项式中次数最高的项的次数是7，且多项式有四项，由此可得出的次数是，的次数是3，的次数是5，的次数是2，的次数是0，由多项式的次数是7可得 ，得出m的值，同时为保证多项式是四项式可得，得出n的值即可； （2）根据题意，多项式中含有三次项有和，为了使多项式不含三次项，需满足：，，由此可得a和b的值，进而求得的值． 【详解】解：（1）根据题意可得：， 解得． （2）根据题意可得：， 解得， ∴． 3．（25-26七年级上·河南驻马店·阶段检测）甲和乙一起制作了六张卡片．两人规定：做出一张单项式卡片给甲加1分，做出一张多项式卡片给乙加1分．如图是他们做的卡片． (1)甲得了___________分； (2)请找出单项式和多项式，分别写在下面的框里； (3) 上面的多项式中，次数最高的是___________次． 【答案】(1)3 (2)见解析 (3)4 【分析】本题考查单项式和多项式定义，多项式的次数，掌握相关知识是解决问题的关键．单项式是只有字母与数字的乘积的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也叫单项式；几个单项式的和是多项式，多项式中次数最高项的次数就为多项式的次数． （1）一共有3个单项式，故甲得3分； （2）根据单项式和多项式的定义找出单项式和多项式即可； （3）根据多项式次数的定义计算每个多项式的次数并且比较即可 【详解】（1）解：单项式有， ∴甲得3分． 故答案为：3； （2） 解： （3）解：是3次多项式； 是1次多项式； 是4次多项式； 故多项式中次数最高是4次． 故答案为：4． 【典型例题三 多项式系数、指数中字母求值】 【例1】（25-26七年级上·广东珠海·期中）已知关于的多项式不含项，那么的值（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查的多项式的定义，根据题意令的系数为即可求出的值． 【详解】解：∵关于x的多项式不含项， ∴ 解得： 故选：D． 【例2】（25-26七年级上·河北沧州·期中）若多项式是一个关于、的四次三项式，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查多项式的系数、指数中的字母求值，已知字母的值，求代数式的值． 由已知可得，，从而可得，，即可得的值． 【详解】解：∵ 多项式是一个关于、的四次三项式， ∴ ， 解得， ∴ ． 故选：C． 【例3】（25-26六年级上·上海金山·期末）一次式 中，一次项系数是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式的一次项系数的概念，识别一次式中的一次项并确定其系数即可． 【详解】解：在表达式中，是一次项，其系数为， 因此一次项系数是． 故答案为：． 【例4】（25-26七年级上·陕西西安·期末）若关于的多项式有三项且次数是3，则的值为_____． 【答案】1 【分析】本题主要考查了多项式的次数和项的定义，根据多项式的次数的定义可得，根据多项式的项数的定义可得，据此求解即可． 【详解】解：∵关于的多项式有三项且次数是3， ∴， ∴， 故答案为：1． 1．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）已知式子． (1)若它是关于x的一次式，求a的值并写出常数项； (2)若它是关于x的三次二项式，求a的值并写出次数最高的项． 【答案】(1)，常数项为 (2)，最高次项为 【分析】此题主要考查了多项式的定义． （1）直接利用多项式的次数与项数的确定方法进而得出答案； （2）直接利用多项式的次数与项数的确定方法进而得出答案． 【详解】（1）解：是关于的一次式， ， 解得， ； （2）解：关于的三次二项式 ， 解得， 最高次项为：． 2．（24-25七年级下·四川达州·期中）已知代数式与积是一个关于的三次多项式，且化简后含项的系数为1，求和的值． 【答案】， 【分析】此题考查了多项式乘多项式的计算能力，运用多项式乘多项式的运算法则进行求解即可． 【详解】 ， 由题意得，，， 解得，． 3．（24-25七年级上·四川眉山·期中）已知代数式是关于的二次多项式 (1)若关于的方程的解是，求的值； (2)若关于的方程的解是正整数，求整数的值． 【答案】(1) (2)整数的值为2或或或或或 【分析】此题考查了多项式的概念，一元一次方程的解，解题的关键是掌握方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． （1）根据代数式M为二次多项式，得到，即，把与代入方程，计算即可求出k的值； （2）把代入方程，表示出y，根据y为正整数，求出整数k的值即可． 【详解】（1）解：代数式是关于x的二次多项式， ，即， 把与代入方程，得： 解得：； （2）∵ ∴， ∴， ∵关于的方程的解是正整数 ∴或或或15或或 ∴整数的值为2或或或或或． 【典型例题四 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列】 【例1】（24-25七年级上·江苏苏州·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．单项式的系数是2 B．多项式的常数项是1 C．的底数是 D．是按的降幂排列的 【答案】D 【分析】本题考查单项式的系数、多项式的常数项、乘方的底数识别以及多项式的排列顺序．需逐一分析各选项的正确性即可． 【详解】解：A. 单项式的系数是数字因数，即，而非2，故A错误； B. 多项式的常数项是，而非1，故B错误； C. 中底数是5，负号属于运算符号，若底数为应写作，故C错误； D. 是按的降幂排列的，故D正确． 故选：D． 【例2】（25-26七年级下·北京顺义·期中）以下各组多项式按字母降幂排列的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A：各项的指数依次为，不是从大到小排列，错误； 选项B：各项的指数依次为，符合降幂排列的要求，正确； 选项C：各项的指数依次为，不是从大到小排列，错误； 选项D：各项的指数依次为，不是从大到小排列，错误． 【例3】（2026·吉林长春·一模）将多项式按字母的降幂排列为_____． 【答案】 【详解】解：多项式按字母的降幂排列为． 【例4】（25-26七年级上·上海浦东新·阶段检测）把多项式按字母a的降幂排列，第2项的次数是______． 【答案】3 【分析】本题考查了多项式的降幂排列． 首先将多项式按字母的降幂排列，确定第2项为，然后计算该项的次数，即所有变量的指数之和． 【详解】解：多项式按字母的降幂排列为， 其中第2项是，该项中的指数为2，的指数为1， 因此次数为． 故答案为：3． 1．（24-25七年级上·全国·期末）已知多项式是六次四项式，单项式与该多项式的次数相同，求的值，并将多项式按x的降幂排列． 【答案】，． 【分析】本题主要考查了多项式的概念，单项式的概念，解一元一次方程等知识点， （1）根据题意得出，，求出m、n的值，进而代入代数式计算即可； （2）由（1）得出原多项式为：，再重新排列即可得到答案； 熟练掌握几个单项式的和（或者差），叫做多项式，多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数是解此题的关键． 【详解】∵多项式是六次四项式， ∴，解得：， ∵单项式与该多项式的次数相同， ∴，解得：， 将，代入得， ∴， ∴这个多项式按按x的降幂排列为：． 2．（25-26六年级上·上海·期末）已知代数式． (1)合并同类项，并按照字母m的降幂排列； (2)若与是同类项，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了整式的化简求值，同类项的定义等知识，熟练掌握合并同类项是解题的关键． （1）根据合并同类项法则计算并按照字母m的降幂排列； （2）根据同类项的定义得到，再代入求值即可． 【详解】（1）解： （2）解：∵与是同类项， ∴， ∴ ∴原式 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）已知关于x、y的多项式． (1)当时，该多项式的次数为__________，一次项为__________； (2)在（1）的条件下，若，求多项式的值； (3)我们称各项的次数都相同的多项式为齐次多项式，如就是齐次多项式，若多项式是齐次四项式，求的值； (4)若该多项式是一个六次三项式，求a的值，并把该多项式按x的升幂排列． 【答案】(1)4 ； (2)11 (3)0 (4)或 【分析】本题主要考查了多项式的定义和化简求值，也考查了新定义齐次多项式． （1）将代入多项式，再根据多项式相关的定义解答即可； （2）将代入（1）的条件下的多项式求值即可； （3）根据齐次多项式的定义，由多项式是齐次四项式得，，得出a、b的值代入计算即可； （4）分两种情况讨论：①当为六次项，时；②当为六次项，时；分别求出a、b的值，再代入原多项式，并把该多项式按x的升幂排列即可． 【详解】（1）解：当时，该多项式为，此时该多项式是一个四次三项式，所以该多项式的次数为4，一次项为， 故答案为：4，； （2）解：当时，该多项式为， 将代入，得： 原式； （3）解：由题意可知该多项式的所有项的次数为4， ∴， ∴或， ∵该多项式有四项， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：因为该多项式是一个六次三项式，而和的次数不定，所以需分以下两种情况讨论： ①当为六次项，时，此时多项式为， 即， 所以， 此时该多项式为， 将该多项式按x的升幂排列为； ②当为六次项，时， 此时多项式为， 即，所以， 此时该多项式为， 将该多项式按x的升幂排列为． 【典型例题五 数字类规律探索】 【例1】（25-26七年级下·黑龙江佳木斯·期中）观察下列一组数：，，，，…，则第个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：观察规律可得，第个数为． 【例2】（25-26六年级下·山东泰安·期中）如表，从左到右在每一个小格中都填入一个整数，使任意三个相邻的格子所填的整数之和都相等，则第个格子中的整数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据任意三个相邻的格子所填整数之和相等，确定，的值，进而推导得出格子中数字的循环周期规律，通过计算除以周期的余数，即可得到对应格子的整数． 【详解】解：任意三个相邻的格子所填的整数之和都相等， ，， ，， 数据按照，，循环，周期为， ， 第个格子中的整数与第个格子的整数相同，是． 【例3】（25-26七年级下·山东枣庄·期中）定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位．那么，，，，，，…，那么____． 【答案】 【分析】观察可以发现，每4个数为一个循环组依次循环，然后用2026除以4，根据余数的情况，即可求解． 【详解】解：∵，，，，，，…， ∴每4个数为一个循环组依次循环， ∴， ∴． 【例4】（25-26七年级上·宁夏固原·模拟预测）仿照下列式子的规律填空： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第202个等式：______． 【答案】 【分析】观察已知等式，归纳总结得到第n个等式的一般规律，再将代入规律计算即可得到结果． 【详解】观察给出的等式：第1个等式：，可写为． 第2个等式：，可写为． 第3个等式：，可写为 ．．．． 归纳规律可得，第个等式为：． 当时，． 1．（25-26七年级上·陕西西安·期中）观察下列等式，找规律： ， ， ， …… (1)填空：　　　，　　　； (2)结合（1）中的规律，试说明任意两个连续奇数的平方差是8的倍数． 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】（1）仿照已知等式写出算式即可； （2）设两个连续奇数为和，然后利用完全平方公式解答即可． 【详解】（1）解：，； （2）解：设两个连续奇数为和， ， 即． 故两个连续奇数的平方差是8的倍数． 2．（25-26七年级下·贵州遵义·阶段检测）观察下列各式：   ①；   ②；   ③； … 探索以上式子的规律： (1)写出第5个等式： (2)试写出第n个等式，并说明第n个等式成立； (3)计算． 【答案】(1) (2)，说明见解析 (3) 【分析】此题主要考查了探寻数列规律问题，认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，注意观察总结出规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出：并由此计算 （1）根据规律写出第五个即可； （2）提取公因式并进行化简即可证明等式成立； （3）先分子分母同乘以6，再利用第（2）的结论化简即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， 依题意，第n个等式： ， ∴成立； （3）解：由（2）得， ． 3．（24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）观察下列等式： ，．．．． (1)猜想并写出： _________； (2)直接写出下列各式的计算结果： ①___________． ②___________． (3)探究并计算，请写出计算过程：． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】（1）观察题目给出的等式：可得分子为1，分母为两个相邻整数的乘积的分数可化为这两个整数的倒数之差，即可得解； （2）①根据规律把各分数转化，再进行分数的加减运算即可； ②先提取，然后按照前面的运算方法计算即可； （3）将算式中每一项进行裂项变形，如，再利用裂项相消法计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，； （2）解：① ； ② ； （3）解： ． 【典型例题六 图形类规律探索】 【例1】（2026·重庆·二模）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有个圆点，第②个图中有个圆点，第③个图中有个圆点，第④个图中有个圆点，…，按照这一规律，则第⑧个图中圆点的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据所给图形，依次求出图形中圆点的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第①个图形中圆点的个数为：， 第②个图形中圆点的个数为：， 第③个图形中圆点的个数为：， …， 所以第n个图形中圆点的个数为． 当时， 第⑧个图形中圆点的个数为． 【例2】（2026·重庆渝中·二模）瓦匠师傅常按图①的方式砌墙，徒弟用大小一样的砖块模仿砌墙，如图②，第1个图用砖3块，第2个图用砖5块，第3个图用砖7块，…，则第9个图需要用砖的块数为（    ） A．15 B．17 C．19 D．21 【答案】C 【分析】先结合图形总结出规律，再计算第9个图需要用砖的块数即可． 【详解】解：由题意可得，第1个图用砖3块，第2个图用砖5块，第3个图用砖7块，…， ∴第个图用砖（块）， ∴第9个图需要用砖的块数为（块）． 【例3】（25-26七年级上·四川成都·期末）如图，将一根绳子折成四段，然后按如图所示方式剪开．剪1刀，绳子变为5段；剪2刀，绳子变为9段；依此规律，剪12刀，绳子变为_____段． 【答案】49 【分析】本题考查了根据图形的变化规律列代数式的相关知识，根据图形的变化找出其规律是解本题的关键．根据图形，找出规律，每剪1次，绳子数量增加4段，依此规律，将代入其中求值即可． 【详解】解：因为剪开次数为1，则绳子数量（段为， 剪开次数为2，则绳子数量为， 剪开次数为3，则绳子数量为， 剪开次数为4，则绳子数量为， ， 所以剪开次数为，则绳子数量为， 当时，， 故答案为：． 【例4】（25-26七年级上·陕西西安·期中）如图，这是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，第3个图案由10个基础图形组成，……则第10个图案中基础图形的个数是___________． 【答案】31 【分析】找到前几个图形的规律，进而即可求解． 【详解】解：第1个图案由4个基础图形组成，即， 第2个图案由7个基础图形组成， 第3个图案由10个基础图形组成， …， ∴第10个图案中的基础图形个数为． 1．（2026·安徽芜湖·三模）石墨烯材料是制造芯片的关键材料之一．下面各图是二维石墨烯的晶格结构，图中的黑色圆点是石墨烯二维晶格结构中的碳原子． 第1个图形中有14个碳原子，第2个图形中有18个碳原子，第3个图形中有22个碳原子，按这样的规律，请解答以下各题： (1)第4个图形中，有________个碳原子； (2)在第个图形中，碳原子的个数为________（用含的式子表示）； (3)若第个图形和第个图形中共含有2040个碳原子，求的值． 【答案】(1)26 (2) (3) 【分析】（1）根据前三个图形可得第4个图形中，碳原子的个数即可； （2）根据前4个图形可得第n个图形中，碳原子的个数即可； （3）根据题意得：第个图形含有个碳原子，第个图形中共含有个碳原子，再根据第个图形和第个图形中共含有2040个碳原子，列出方程即可． 【详解】（1）解：第1个图形中有个碳原子， 第2个图形中有个碳原子， 第3个图形中有个碳原子， 第4个图形中有个碳原子； （2）解：由（1）得：第个图形中，碳原子的个数为； （3）解：根据题意得：第个图形含有个碳原子，第个图形中共含有个碳原子， ∵第个图形和第个图形中共含有2040个碳原子， ∴， 解得：． 2．（25-26七年级上·河南周口·期中）如图所示的是小宇用“●”拼成的一列有规律的图案，仔细观察并找出规律，解答以下问题： 图一：●●●● 图二：●●●●●●● 图三：●●●●●●●●●● 图四：●●●●●●●●●●●●● 图 图一 图二 图三 图四 图五 ．．． ●的个数 4 7 ．．． (1)完成上表； (2)写出●的个数与的函数关系式，并求当时，的值． 【答案】(1)见解析 (2)．当时， 【分析】（1）观察图形变化特点逐个填写即可； （2）根据（1）图形的变化特点得出规律，即可得出关系式，然后代入求值即可． 【详解】（1）解： 根据题意填表如下： 图 图一 图二 图三 图四 图五 ．．． ●的个数 4 7 10 13 16 ．．． （2）解：第1个图中●的个数有4个； 第2个图中●的个数有（个）； 第3个图中●的个数有（个）； 第4个图中●的个数有（个）； 第5个图中●的个数有（个）； 第n个图中●的个数有（个）． 当时，． 3．（2026·安徽阜阳·二模）综合与实践 【项目主题】 班级劳动实践小组为某步行街中心道路设计铺设地砖方案． 【项目分析】 方案一 如图1，该步行街的中心道路由一种相同的矩形地砖（长为，宽为）铺成． 铺设规律探究：观察图形发现，当该步行街中心道路的面积为时，其中心道路上所有矩形（由1块或多块矩形地砖组成的矩形）总数为6个；当该步行街中心道路的面积为时，其中心道路上矩形总数为18个；当该步行街中心道路的面积为时，其中心道路上矩形总数为36个；当该步行街中心道路的面积为时，其中心道路上矩形总数为① 个，…… 方案二 如图2，该步行街的中心道路由相同的正方形、相同的等腰三角形和相同的直角三角形三种形状的地砖铺成．已知其中1块正方形地砖的面积为，1块等腰三角形地砖的面积为． 铺设规律探究：观测图形发现，当该步行街中心道路的面积为时，则需要正方形地砖3块，等腰三角形地砖10块，直角三角形地砖4块；当该步行街中心道路的面积为时，则需要正方形地砖4块，等腰三角形地砖14块，直角三角形地砖4块；当该步行街中心道路的面积为时，则需要正方形地砖② 块，等腰三角形地砖③ 块…… 【项目实施】 已知该步行街中心道路的面积为． 若采用方案一，则该步行街中心道路上矩形总数为④ 个； 若采用方案二，则该步行街中心道路需要正方形地砖⑤ 块，等腰三角形地砖⑥ 块． 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①________，②________，③________，④________，⑤________，⑥________． 【答案】①60；②5；③18；④4323600；⑤400；⑥1598 【分析】根据题意总结规律即可． 【详解】解：[项目分析]方案一：∵当该步行街中心道路的面积为时，其中心道路上所有矩形（由1块或多块矩形地砖组成的矩形）总数为个；当该步行街中心道路的面积为时，其中心道路上矩形总数为个；当该步行街中心道路的面积为时，其中心道路上矩形总数为个； ∴当该步行街中心道路的面积为时，其中心道路上矩形总数为个； 方案二：∵当该步行街中心道路的面积为时，则需要正方形地砖3块，等腰三角形地砖块，直角三角形地砖4块；当该步行街中心道路的面积为时，则需要正方形地砖4块，等腰三角形地砖块，直角三角形地砖4块； ∴当该步行街中心道路的面积为时，则需要正方形地砖5块，等腰三角形地砖块，直角三角形地砖4块；…… [项目实施]：由方案一可知：当该步行街中心道路的面积为时，其中心道路上矩形总数为个； ∴当该步行街中心道路的面积为时，其中心道路上矩形总数为个； 由方案二可知：当该步行街中心道路的面积为时，则需要正方形地砖块，等腰三角形地砖块，直角三角形地砖4块； ∴当该步行街中心道路的面积为时，则需要正方形地砖块，等腰三角形地砖块． 1．（25-26七年级上·陕西西安·期末）下列计算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的加法运算与合并同类项法则，需根据相关法则逐一判断各选项的计算是否正确 【详解】A．，故本选项不符合题意； B．，故本选项不符合题意； C．与所含相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意； D．与是同类项，合并得，计算正确，故本选项符合题意； 故选：D． 2．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）多项式是关于的四次三项式，则的值是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查多项式的次数与项数的概念，解题的关键是根据“四次三项式”的定义，同时满足最高次项次数为4、多项式有三项这两个条件． 根据“四次三项式”的定义，先确定最高次项的次数为4，再保证多项式有三项（一次项系数不为0），进而求出的值． 【详解】解：∵多项式是关于的四次三项式， ∴，且． 由，得或． 若，则，一次项消失，多项式变为二项式，不符合 “三项式” 的条件， 若，则，符合条件． ∴． 故选：A． 3．（24-25七年级下·山东潍坊·期中）观察多项式排列规律，则内应填（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是多项式概念，通过观察可知，此多项式中的各项除常数项外均为四次项，且按b升幂排列，由此可以确定括号的内容． 【详解】解：∵多项式中的各项除常数项外其余均为四次项，且按b升幂排列， ∴符合此条件的为． 故选：C． 4．（25-26七年级上·云南曲靖·模拟预测）一组多项式的规律如下：，按此规律，第个多项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将多项式拆分为a的系数、a的次数、b的系数三部分，分别找出对应规律再合并，即可得到第n个多项式． 【详解】解：推导a的系数的规律： ∵时系数为，时系数为，时系数为，时系数为 ∴第n个多项式a的系数为， 推导a的次数的规律： ∵时a的次数为，时a的次数为，时a的次数为，时a的次数为 ∴第n个多项式中a的次数为， 推导b的系数： ∵时b的系数为，时b的系数为，时b的系数为，时b的系数为， ∴n为奇数时b的系数为，n为偶数时b的系数为， 即第n个多项式中b的系数为， 综上可知，第个多项式是． 5．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）苯是一种有机化合物，可以合成一系列衍生物．如图是用小木棒摆放的苯及其衍生物的结构式，第①个图形需要9根小木棒，第②个图形需要17根，第③个图形需要25根，…，按此规律，第⑥个图形需要小木棒的根数是（     ） A．53 B．51 C．49 D．47 【答案】C 【分析】根据题意得到第n个图形需要（根），由此即可求解． 【详解】解：第①个图形需要9根小木棒， 第②个图形需要17根，即， 第③个图形需要25根，即， …… ∴第n个图形需要（根）， 第⑥个图形需要根． 6．（24-25七年级上·江苏·期中）合并同类项：____． 【答案】 【分析】本题主要考查了合并同类项，掌握合并同类项法则“字母不变、系数相加减”成为解题的关键． 根据合并同类项的运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 7．（25-26七年级上·安徽淮南·期中）多项式是关于的二次三项式，则的值为_________． 【答案】0 【分析】此题主要考查了多项式，正确利用多项式的次数与项数的定义得出m的值是解题的关键．根据二次三项式的定义，多项式的最高次数为2且项数为3，需满足指数条件及系数不为零． 【详解】解：∵多项式是关于x的二次三项式， ∴的最高次项次数为2，即，且一次项系数， 解，得或，即或， 又，即， ∴， 当时，多项式为，符合二次三项式． 故答案为：0． 8．（24-25七年级上·全国·单元测试）把多项式5a2－3ab+2b2－5a3－2按a的降幂排列为_____________，按b的降幂排列为________________． 【答案】 －5a3+5a2－3ab+2b2－2 2b2－3ab－5a3+5a2－2 【分析】按a的指数由大到小的顺序排列即可，按b的指数由大到小的顺序排列即可． 【详解】解：多项式5a2－3ab+2b2－5a3－2按a的降幂排列为－5a3+5a2－3ab+2b2－2． 按b的降幂排列为2b2－3ab－5a3+5a2－2． 故答案为：－5a3+5a2－3ab+2b2－2；2b2－3ab－5a3+5a2－2． 【点睛】本题考查了多项式的排列，注意：排列时带着项前面的符号． 9．（25-26七年级下·河南新乡·期末）我国古代的天元式可以用来表示多项式，在未知数的一次项旁标注“元”字，未知数的其他幂由与“元”的相对位置确定，高次幂在上，低次幂在下．如图1中的天元式表示多项式，则图2表示的多项式的一次项系数为__________． 【答案】248 【分析】本题考查数学常识．据此解答即可． 【详解】解：根据“天元式”规定的意义，图2表示的多项式是：， ∴一次项系数为248， 故答案为：248． 10．（2026·黑龙江绥化·二模）如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“●”的个数为3个，第2幅图中“●”的个数为8个，第3幅图中“●”的个数为15个……以此类推，则第11幅图中“●”的个数为_______个． 【答案】143 【分析】根据题意得到即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，第1幅图中“●”的个数为， 第2幅图中“●”的个数为， 第3幅图中“●”的个数为， ， 则第11幅图中“●”的个数为． 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）请你写出一个多项式，使它至少含有项，且合并同类项后的结果是． 【答案】．（答案不唯一） 【分析】本题考查了整式的加减，多项式有关概念，根据题意写出多项式，然后通过合并同类项法则即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得：．（答案不唯一） 12．（24-25七年级上·吉林·期末）已知多项式是六次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同，求． 【答案】 【分析】本题考查了多项式，由多项式是六次四项式求得m，再由单项式的次数是6，进一步求得n，代入求得即可． 【详解】解：∵多项式是六次四项式， ∴，                                       ∴，                                              ∵单项式的次数与多项式的次数相同， ∴， ∴，                                           ∴． 13．（25-26七年级上·吉林松原·期中）已知多项式是关于x、y的八次四项式． (1)的值是____________，多项式的常数项是____________； (2)把这个多项式按的降幂重新排列． 【答案】(1)6； (2) 【分析】本题考查了多项式的概念及降幂排列，熟练掌握多项式的相关定义是解题的关键． （1）根据多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，利用多项式是关于x、y的八次四项式，求出m的值，再根据常数项的定义得出常数项即可； （2）根据降幂排列的定义求解即可． 【详解】（1）解：由题意知， 解得：， 多项式的常数项是， 故答案为：6；； （2）解：按x的降幂排列为． 14．（25-26七年级上·全国·寒假作业）阅读材料并回答：规定正整数的“运算”是：①当为奇数时，；②当为偶数时，（连续乘以，一直算到H为奇数止）， 例如：数3经过1次“运算”的结果是22，经过2次“运算”的结果是11，经过3次“运算”的结果是46． 请解答： (1)数257经过257次“H运算”得到的结果． (2)若“H运算”②的结果总是常数a，求a的值． 【答案】(1)16 (2)1或13 【分析】本题考查了数字类规律的题目，读懂题意，找出其中的规律，是解题的关键． （1）按照①②运算一次一次的输入，得出它们的结果，从中发现规律，从第10次开始偶数次等于1，奇数次等于16，从而求得数257经过257次“H运算”得到的结果； （2）对的值分析可得一定是个奇数，然后按照运算①计算，并变成幂的形式即可得的值． 【详解】（1）解：1次， 2次， 3次， 4次， 5次， 6次， 7次， 8次， 9次， 10次， 11次， 12次第10次， 所以从第10次开始， 偶数次等于1， 奇数次等于16， 257是奇数， 所以第257次是16； （2）解：若对一个正整数进行若干次“H运算”后出现循环， 此时“H”运算的结果总是a，则a一定是个奇数． 那么，对a进行H运算的结果是偶数， 再对进行“H运算”，即： 乘以的结果仍是a， 于是，也即， 即， 因为a是正整数 所以或， 解得或， 当时，； 当时，， 所以a为1或13． 15．（25-26七年级上·山西晋中·期末）下面是小天同学的学习日记，请仔细阅读并完成相应的任务． 问题解决策略：归纳． 【问题】将长方形区域分割成三角形的过程：在长方形内取一定数量的点，保证连同长方形的4个顶点，逐步连接这些点，所有连线不再相交产生新的点，直到长方形内所有区域都变成三角形．当长方形内有35个点时，可分得多少个三角形？ 长方形内点的个数 1 2 3 4 三角形的个数 4 6 8 10 【探索】首先，分析简单图形．如图1，研究长方形内有1个点，2个点，3个点，4个点的情形．其次，初步发现规律．几种简单情形的数据如上表，发现长方形内点的个数每增加1，三角形的个数就增加2．因此当长方形内有35个点时，分得三角形的个数是．最后，解释并表达规律当长方形内有个点时，分得的三角形的个数为……小结：在运用归纳策略寻找规律时，要先在若干个简单情形中找到相应的规律．初步发现规律后，可以通过更多的情形验证，再考虑一般情况，最后试着给出合理的解释，并用数学语言简洁的表达规律． 【回顾反思】 （1）如果长方形内有100个点可以分得___________个三角形；如果长方形内有个点，那么可分得___________个三角形； 请用归纳策略解答下列问题： （2）如图2：现用灰、白两种颜色的五边形地砖按如图所示的规律拼成若干个蝴蝶形图案．对某城市的人行道路进行铺设，第一幅蝴蝶”形图案中灰色地砖有四块第二幅蝴蝶”形图案中灰色地砖有7块，则第17幅蝴蝶形图案中灰色地砖有___________块． 【答案】（1）202，；（2）52 【分析】本题主要考查了图形类规律的探索，列代数式，解题的关键是找出图形个数的规律． （1）根据图形个数，列代数式表示出个数规律即可； （2）根据图形个数，列代数式表示出个数规律即可． 【详解】解：（1）长方形内有100个点可以分得的三角形个数为（个）， 长方形内有个点，那么可分得的三角形的个数为（个）， 故答案为：202，； （2）第一幅蝴蝶”形图案中灰色地砖有4块， 第二幅蝴蝶”形图案中灰色地砖有7块， 第三幅蝴蝶”形图案中灰色地砖有10块， …… 第幅蝴蝶”形图案中灰色地砖有块， ∴第17幅蝴蝶形图案中灰色地砖有块， 故答案为：52． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 合并同类项（2大知识点+6大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 合并同类项 典型例题二 多项式的项、项数或次数 典型例题三 多项式系数、指数中字母求值 典型例题四 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 典型例题五 数字类规律探索 典型例题六 图形类规律探索 知识点01 合并同类项 1.同类项的概念：一个多项式中，字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。注意所有的常数项都是同类项。 比如：多项式a2b-a2c-4+3a2b+ab2-a2c+5-ab2中，a2b和3a2b是同类项， -a2c和-a2c是同类项，-4和5是同类项，ab2和- ab2是同类项，而a2b和-a2c不是同类项，因为它们字母不同， a2b和ab2不是同类项，因为它们虽然字母相同，但是相同字母的指数不同。 2.合并同类项的概念：按照乘法分配律把同类项合并成一项叫做合并同类项。 3.合并同类项法则 同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和指数不变。 要点诠释： (1) 注意项的系数为负数时的情况，也就是在多项式中遇到减号时，注意此时是加了一个系数为负数的项。 (2) 字母和指数不变，也就是说，合并同类项之后，仅仅是系数发生了变化，而字母和字母的指数不会发生任何变化，否则就是错误。 (3)合并同类项之前，应该先移动项，将同类项移动到一起，在移动项的时候，要注意将减号当做负号一起移动。 【即时训练】 1．（25-26七年级上·安徽阜阳·期末）下列运算正确的为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）计算__________． 知识点02 多项式 1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式。 要点诠释：“几个”是指两个或两个以上。 2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。 要点诠释： （1）多项式的每一项包括它前面的符号。 （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式。 3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。 要点诠释： （1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数。 （2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出。 【即时训练】 1．（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）多项式的次数及最高次项的系数（   ） A．2，2 B．2， C．3， D．3，2 2．（25-26七年级上·湖南·期末）多项式的次数为（   ） A． B． C． D． 【典型例题一 合并同类项】 【例1】（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·贵州遵义·模拟预测）计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【例3】（2026·天津北辰·二模）计算的结果为________． 【例4】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）规定运算：，则___________． 1．（25-26七年级上·全国·期末）化简： (1)； (2)． 2．（25-26七年级上·辽宁盘锦·期中）化简 (1)； (2)． 3．（24-25七年级上·安徽六安·期中）如果两个关于x，y的单项式与是同类项（其中）． (1)求a的值． (2)如果这两个单项式的和为零，求的值． 【典型例题二 多项式的项、项数或次数】 【例1】（2026·上海浦东新·二模）在多项式中，一次项是（    ） A．3 B． C． D． 【例2】（2026·云南昆明·模拟预测）一组按规律排列的多项式：，，，，…，第个多项式是（     ） A． B． C． D． 【例3】（25-26七年级上·广东惠州·期中）整式是_____次_____项式． 【例4】（25-26七年级上·山东临沂·期末）已知多项式是关于的四次三项式，则的值为_____． 1．（25-26七年级上·河南安阳·期中）已知多项式是六次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同． (1)求m，n的值； (2)请写出多项式的各项，并求出各项的系数和． 2．（2025·北京海淀·模拟预测）（1）关于x，y的多项式是七次四项式，求m和n的值； （2）关于x，y的多项式不含三次项，求的值． 3．（25-26七年级上·河南驻马店·阶段检测）甲和乙一起制作了六张卡片．两人规定：做出一张单项式卡片给甲加1分，做出一张多项式卡片给乙加1分．如图是他们做的卡片． (1)甲得了___________分； (2)请找出单项式和多项式，分别写在下面的框里； (3) 上面的多项式中，次数最高的是___________次． 【典型例题三 多项式系数、指数中字母求值】 【例1】（25-26七年级上·广东珠海·期中）已知关于的多项式不含项，那么的值（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·河北沧州·期中）若多项式是一个关于、的四次三项式，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【例3】（25-26六年级上·上海金山·期末）一次式 中，一次项系数是_______． 【例4】（25-26七年级上·陕西西安·期末）若关于的多项式有三项且次数是3，则的值为_____． 1．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）已知式子． (1)若它是关于x的一次式，求a的值并写出常数项； (2)若它是关于x的三次二项式，求a的值并写出次数最高的项． 2．（24-25七年级下·四川达州·期中）已知代数式与积是一个关于的三次多项式，且化简后含项的系数为1，求和的值． 3．（24-25七年级上·四川眉山·期中）已知代数式是关于的二次多项式 (1)若关于的方程的解是，求的值； (2)若关于的方程的解是正整数，求整数的值． 【典型例题四 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列】 【例1】（24-25七年级上·江苏苏州·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．单项式的系数是2 B．多项式的常数项是1 C．的底数是 D．是按的降幂排列的 【例2】（25-26七年级下·北京顺义·期中）以下各组多项式按字母降幂排列的是（     ） A． B． C． D． 【例3】（2026·吉林长春·一模）将多项式按字母的降幂排列为_____． 【例4】（25-26七年级上·上海浦东新·阶段检测）把多项式按字母a的降幂排列，第2项的次数是______． 1．（24-25七年级上·全国·期末）已知多项式是六次四项式，单项式与该多项式的次数相同，求的值，并将多项式按x的降幂排列． 2．（25-26六年级上·上海·期末）已知代数式． (1)合并同类项，并按照字母m的降幂排列； (2)若与是同类项，求代数式的值． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）已知关于x、y的多项式． (1)当时，该多项式的次数为__________，一次项为__________； (2)在（1）的条件下，若，求多项式的值； (3)我们称各项的次数都相同的多项式为齐次多项式，如就是齐次多项式，若多项式是齐次四项式，求的值； (4)若该多项式是一个六次三项式，求a的值，并把该多项式按x的升幂排列． 【典型例题五 数字类规律探索】 【例1】（25-26七年级下·黑龙江佳木斯·期中）观察下列一组数：，，，，…，则第个数是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26六年级下·山东泰安·期中）如表，从左到右在每一个小格中都填入一个整数，使任意三个相邻的格子所填的整数之和都相等，则第个格子中的整数是（    ） A． B． C． D． 【例3】（25-26七年级下·山东枣庄·期中）定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位．那么，，，，，，…，那么____． 【例4】（25-26七年级上·宁夏固原·模拟预测）仿照下列式子的规律填空： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第202个等式：______． 1．（25-26七年级上·陕西西安·期中）观察下列等式，找规律： ， ， ， …… (1)填空：　　　，　　　； (2)结合（1）中的规律，试说明任意两个连续奇数的平方差是8的倍数． 2．（25-26七年级下·贵州遵义·阶段检测）观察下列各式：   ①；   ②；   ③； … 探索以上式子的规律： (1)写出第5个等式： (2)试写出第n个等式，并说明第n个等式成立； (3)计算． 3．（24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）观察下列等式： ，．．．． (1)猜想并写出： _________； (2)直接写出下列各式的计算结果： ①___________． ②___________． (3)探究并计算，请写出计算过程：． 【典型例题六 图形类规律探索】 【例1】（2026·重庆·二模）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有个圆点，第②个图中有个圆点，第③个图中有个圆点，第④个图中有个圆点，…，按照这一规律，则第⑧个图中圆点的个数是（     ） A． B． C． D． 【例2】（2026·重庆渝中·二模）瓦匠师傅常按图①的方式砌墙，徒弟用大小一样的砖块模仿砌墙，如图②，第1个图用砖3块，第2个图用砖5块，第3个图用砖7块，…，则第9个图需要用砖的块数为（    ） A．15 B．17 C．19 D．21 【例3】（25-26七年级上·四川成都·期末）如图，将一根绳子折成四段，然后按如图所示方式剪开．剪1刀，绳子变为5段；剪2刀，绳子变为9段；依此规律，剪12刀，绳子变为_____段． 【例4】（25-26七年级上·陕西西安·期中）如图，这是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，第3个图案由10个基础图形组成，……则第10个图案中基础图形的个数是___________． 1．（2026·安徽芜湖·三模）石墨烯材料是制造芯片的关键材料之一．下面各图是二维石墨烯的晶格结构，图中的黑色圆点是石墨烯二维晶格结构中的碳原子． 第1个图形中有14个碳原子，第2个图形中有18个碳原子，第3个图形中有22个碳原子，按这样的规律，请解答以下各题： (1)第4个图形中，有________个碳原子； (2)在第个图形中，碳原子的个数为________（用含的式子表示）； (3)若第个图形和第个图形中共含有2040个碳原子，求的值． 2．（25-26七年级上·河南周口·期中）如图所示的是小宇用“●”拼成的一列有规律的图案，仔细观察并找出规律，解答以下问题： 图一：●●●● 图二：●●●●●●● 图三：●●●●●●●●●● 图四：●●●●●●●●●●●●● 图 图一 图二 图三 图四 图五 ．．． ●的个数 4 7 ．．． (1)完成上表； (2)写出●的个数与的函数关系式，并求当时，的值． 3．（2026·安徽阜阳·二模）综合与实践 【项目主题】 班级劳动实践小组为某步行街中心道路设计铺设地砖方案． 【项目分析】 方案一 如图1，该步行街的中心道路由一种相同的矩形地砖（长为，宽为）铺成． 铺设规律探究：观察图形发现，当该步行街中心道路的面积为时，其中心道路上所有矩形（由1块或多块矩形地砖组成的矩形）总数为6个；当该步行街中心道路的面积为时，其中心道路上矩形总数为18个；当该步行街中心道路的面积为时，其中心道路上矩形总数为36个；当该步行街中心道路的面积为时，其中心道路上矩形总数为① 个，…… 方案二 如图2，该步行街的中心道路由相同的正方形、相同的等腰三角形和相同的直角三角形三种形状的地砖铺成．已知其中1块正方形地砖的面积为，1块等腰三角形地砖的面积为． 铺设规律探究：观测图形发现，当该步行街中心道路的面积为时，则需要正方形地砖3块，等腰三角形地砖10块，直角三角形地砖4块；当该步行街中心道路的面积为时，则需要正方形地砖4块，等腰三角形地砖14块，直角三角形地砖4块；当该步行街中心道路的面积为时，则需要正方形地砖② 块，等腰三角形地砖③ 块…… 【项目实施】 已知该步行街中心道路的面积为． 若采用方案一，则该步行街中心道路上矩形总数为④ 个； 若采用方案二，则该步行街中心道路需要正方形地砖⑤ 块，等腰三角形地砖⑥ 块． 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①________，②________，③________，④________，⑤________，⑥________． 1．（25-26七年级上·陕西西安·期末）下列计算中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）多项式是关于的四次三项式，则的值是（    ） A． B． C． D．或 3．（24-25七年级下·山东潍坊·期中）观察多项式排列规律，则内应填（　　） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·云南曲靖·模拟预测）一组多项式的规律如下：，按此规律，第个多项式是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）苯是一种有机化合物，可以合成一系列衍生物．如图是用小木棒摆放的苯及其衍生物的结构式，第①个图形需要9根小木棒，第②个图形需要17根，第③个图形需要25根，…，按此规律，第⑥个图形需要小木棒的根数是（     ） A．53 B．51 C．49 D．47 6．（24-25七年级上·江苏·期中）合并同类项：____． 7．（25-26七年级上·安徽淮南·期中）多项式是关于的二次三项式，则的值为_________． 8．（24-25七年级上·全国·单元测试）把多项式5a2－3ab+2b2－5a3－2按a的降幂排列为_____________，按b的降幂排列为________________． 9．（25-26七年级下·河南新乡·期末）我国古代的天元式可以用来表示多项式，在未知数的一次项旁标注“元”字，未知数的其他幂由与“元”的相对位置确定，高次幂在上，低次幂在下．如图1中的天元式表示多项式，则图2表示的多项式的一次项系数为__________． 10．（2026·黑龙江绥化·二模）如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“●”的个数为3个，第2幅图中“●”的个数为8个，第3幅图中“●”的个数为15个……以此类推，则第11幅图中“●”的个数为_______个． 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）请你写出一个多项式，使它至少含有项，且合并同类项后的结果是． 12． （24-25七年级上·吉林·期末）已知多项式是六次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同，求． 13．（25-26七年级上·吉林松原·期中）已知多项式是关于x、y的八次四项式． (1)的值是____________，多项式的常数项是____________； (2)把这个多项式按的降幂重新排列． 14．（25-26七年级上·全国·寒假作业）阅读材料并回答：规定正整数的“运算”是：①当为奇数时，；②当为偶数时，（连续乘以，一直算到H为奇数止）， 例如：数3经过1次“运算”的结果是22，经过2次“运算”的结果是11，经过3次“运算”的结果是46． 请解答： (1)数257经过257次“H运算”得到的结果． (2)若“H运算”②的结果总是常数a，求a的值． 15．（25-26七年级上·山西晋中·期末）下面是小天同学的学习日记，请仔细阅读并完成相应的任务． 问题解决策略：归纳． 【问题】将长方形区域分割成三角形的过程：在长方形内取一定数量的点，保证连同长方形的4个顶点，逐步连接这些点，所有连线不再相交产生新的点，直到长方形内所有区域都变成三角形．当长方形内有35个点时，可分得多少个三角形？ 长方形内点的个数 1 2 3 4 三角形的个数 4 6 8 10 【探索】首先，分析简单图形．如图1，研究长方形内有1个点，2个点，3个点，4个点的情形．其次，初步发现规律．几种简单情形的数据如上表，发现长方形内点的个数每增加1，三角形的个数就增加2．因此当长方形内有35个点时，分得三角形的个数是．最后，解释并表达规律当长方形内有个点时，分得的三角形的个数为……小结：在运用归纳策略寻找规律时，要先在若干个简单情形中找到相应的规律．初步发现规律后，可以通过更多的情形验证，再考虑一般情况，最后试着给出合理的解释，并用数学语言简洁的表达规律． 【回顾反思】 （1）如果长方形内有100个点可以分得___________个三角形；如果长方形内有个点，那么可分得___________个三角形； 请用归纳策略解答下列问题： （2）如图2：现用灰、白两种颜色的五边形地砖按如图所示的规律拼成若干个蝴蝶形图案．对某城市的人行道路进行铺设，第一幅蝴蝶”形图案中灰色地砖有四块第二幅蝴蝶”形图案中灰色地砖有7块，则第17幅蝴蝶形图案中灰色地砖有___________块． 学科网（北京）股份有限公司 $