26.4 第1课时 几何图形的最大面积（导学案）-2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦二次函数解决几何图形最大面积问题，通过复习抛物体高度与时间的二次函数关系导入，衔接二次函数基本性质，搭建从函数性质到实际应用的学习支架。 以实际问题为载体，通过追问与思考引导学生用数学眼光观察变量关系，培养数学思维，典例与变式题训练用数学语言建立模型解决问题，分层设计提升应用意识和创新意识，助力学生高效掌握重点。

第26章 二次函数 26.4 实际问题与二次函数 第1课时 几何图形的最大面积 【学习目标】 学习目标：1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系. 2.会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值. 3.能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题. 重点：能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题. 难点：能正确分析实际问题中变量之间的二次函数关系. 【复习导入】 将一个物体抛向空中，时间与高度将成二次函数关系，那么你想知道该物体最多可以抛多高吗？ 【合作探究】 探究点1： 求二次函数的最大（或最小）值 例1 在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度 h (单位：m) 与起跳后的时间 t (单位：s)之间的关系式是 h = －4.9t2 + 2.8t + 11．运动员起跳后经过多长时间达到最高点？运动员跳水过程中重心的最大高度是多少？(结果保留小数点后一位) 追问1：这个问题研究的是哪两个变量之间的关系？ 追问2：如何判断运动员起跳后经过多长时间达到最高点？ 追问3：根据观察，小球的最高点对应函数图象的哪个点呢？ 追问4：小球的运动中最大高度对应函数中的哪个值？ 追问5 如何求出小球的最大高度？ 函数 h = －4.9t2 + 2.8t + 11的图象，直观地反映了运动员跳水过程中重心高度的变化，由此你能描述运动员的整个运动过程吗？ 想一想 思考1 二次函数的最值由什么决定？ 思考2 当自变量x为全体实数时，二次函数的最值是多少？ 思考3 当自变量x限定范围时，二次函数的最值如何确定？ 典例精析 例1 求下列函数的最大值与最小值. (1) (2) 探究点2：二次函数与几何图形面积的最值 例2 如图，利用一面墙(墙的长度不限)，用 20 m 长的篱笆围成一个矩形菜园，如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？ 变式题 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园.当墙长18 m时，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ 要点归纳：二次函数解决几何面积最值问题的方法 1. 求出函数解析式和自变量的取值范围； 2. 当自变量的取值范围没有限制时，可直接利用公式求它的最大值或最小值； 3. 当自变量的取值范围有所限制时，可先配成顶点式，然后画出函数图象的草图，再结合图象和自变量的范围求函数最值. 链接中考 1. 如图，嘉嘉欲借助院子里的一面长 15 m 的墙，想用长为 40 m 的网绳围成一个矩形 ABCD 给奶奶养鸡，怎样使矩形 ABCD 的面积最大呢? 同学淇淇帮她解决了这个问题，淇淇的思路是：设 BC 的边长为 x m. 矩形 ABCD 的面积为 S m2 不考虑其他因素，请帮他们回答下列问题： (1) 求 S 与 x 的函数关系式. 直接写出 x 的取值范围； (2) x 为何值时，矩形 ABCD 的面积最大? 当堂反馈 1.用长度一定的绳子围成一个矩形，若矩形的一边长x(m)与面积y(m2)满足函数关系式y＝－(x－12)2＋144(0＜x＜24)，则该矩形的面积最大为　　. 2.已知一个直角三角形两直角边的和为30，则这个直角三角形面积的最大值为　　. 3.如图，将小球沿与地面成某个角度的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线.若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系h＝20t－5t2，则小球飞行的最大高度为　　. 4.如图，用总长度为12m的不锈钢材料设计成如图所示的外观为矩形的框架，所有横档和竖档分别与AD，AB平行，求矩形框架ABCD的最大面积. 书写通关 解：设　 　. 根据题意得　 　. 当x＝　　时，S矩形ABCD取得最大值，最大面积为　 　. 答：　 　. 5.如图，正方形纸片ABCD的边长为4，将它剪去4个全等的直角三角形，得到四边形EFGH.设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y. (1)求y关于x的函数解析式. (2)四边形EFGH的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由. 参考答案 例1 追问1：运动员的重心相对于水面的高度 h 与起跳后的时间 t 之间的关系 追问2：画出二次函数图象. 追问3：顶点. 追问4：顶点的纵坐标. 追问5 解：对于二次函数 h = －4.9t2 + 2.8t + 11，当 时，h 有最大值 因此，运动员起跳后大约 0.3 s 时，其重心达到最高点，最大高度为 11.4 m. 想一想 思考1 二次函数的最值由a的符号、对称轴的位置及自变量的取值范围决定. 思考2 当a＞0时，y最小值=，此时x=.当a＜0时，y最大值=，此时x=. 思考3 先判断x=是否在限定范围内，若在，则二次函数在x=时，取得一个最值，另一个最值需考察限定范围的端点处来决定；若不在，则根据二次函数的增减性确定二次函数的最值. 典例精析 例1 解：（1）y=,即y=∵， 所以当x=时，y最小值=当x=1时，y最大值=1+3-2=2. （2）y=∵，即x在对称轴的右侧.函数的值随着x的增大而减小.所以当x=-3时，y最大值=当x=1时，y最小值= 探究点2： 二次函数与几何图形面积的最值 典例精析 例2 解：设垂直于墙的一边长为 x m，则平行于墙的边长为 (20 − 2x) m， 矩形菜园的面积 S = x(20 − 2x)，即 S = −2x2 + 20x (0＜x＜10). 当 时，S 有最大值 因此，当垂直于墙的边长为 5 m 时，这个矩形菜园的面积最大，最大面积为 50 m². 变式：解：设垂直于墙的边长为x m，由（1）知S＝－2x2＋60x=-2(x2－30x)=-2(x－15)2+450， ∵x＞0，60 − 2x＞0，60 − 2x≤18，∴ 21≤ x＜30. ∵ 15＜21， 当21≤ x ＜30时，S随x的增大而减小，当 x =21时，S取得最大值， 此时S=-2×(21－15)2+450=378（m2）. 链接中考 1. 当堂反馈 1.　144m2. 2.112.5　. 3.　20m　. 4. 解：设　AB＝xm　. 根据题意得　S矩形ABCD＝AB·AD＝x·＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4　. 当x＝　2　时，S矩形ABCD取得最大值，最大面积为　4m2　. 答：　矩形框架ABCD的最大面积为4m2　. 5.解：(1)∵正方形纸片ABCD的边长为4，4个直角三角形全等， ∴AB＝AD＝BC＝CD＝4，BE＝AH＝4－x，∠A＝∠D＝90°， EH＝HG＝FG＝EF，∠AEH＝∠GHD. ∵∠AEH＋∠AHE＝90°，∴∠AHE＋∠DHG＝90°. ∴∠EHG＝90°.∴四边形EFGH是正方形. ∴y＝EH2＝AE2＋AH2＝x2＋(4－x)2＝2x2－8x＋16(0＜x＜4). (2)存在.∵y＝2x2－8x＋16＝2(x－2)2＋8，2＞0， ∴y有最小值，最小值为8.即四边形EFGH的面积存在最小值， 最小值为8. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $