7.5　空间向量及其运算 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“空间向量及其运算”专题，依据课标要求覆盖空间直角坐标系、向量概念、基本定理、线性运算及数量积等核心考点，通过课标解读明确“空间向量坐标表示”“数量积应用”等高频考查维度，梳理共线共面定理、夹角计算等常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题导向+方法归纳+素养融合”，如以2020新高考Ⅰ动点轨迹题为例，用空间向量坐标法推导轨迹方程，培养数学思维与空间观念。总结向量共线判定、数量积求夹角等规律方法，设“易错陷阱警示”，助力学生掌握答题技巧，教师可据此精准突破考点，提升复习效率。

第5节　空间向量及其运算 高考总复习 2027 课标解读　1.了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标系刻画点的位置;探索并得出空间两点间的距离公式.2.理解空间向量的概念,掌握空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.3.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.4.掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直. 强基础•固本增分 研考点•精准突破 目录索引 强基础•固本增分 自主诊断 1.(人教A版选择性必修第一册1.1节习题第2题改编)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AC与BD的交点为点M,设=a,=b,=c,则下列向量中与相等的向量是(　　) A.-a+b+c B.a+b+c C.-a-b-c D.-a-b+c C 解析 )= =-a-b-c. 2.(人教A版选择性必修第一册习题1.2第2题)若{a,b,c}构成空间的一个基底,则下列向量不共面的是(　　) A.b+c,b,b-c B.a,a+b,a-b C.a+b,a-b,c D.a+b,a+b+c,c C 解析 对于A选项,b=(b+c)+(b-c),共面;对于B选项,a=(a+b)+(a-b),共面;对于C选项,a+b,a-b,c不共面;对于D选项,a+b+c=(a+b)+c,共面. 3.(人教A版选择性必修第一册1.3.2节练习第2题改编)已知a=(2,-1,3), b=(-4,2,x),且a⊥b,则x的值为　　　　　.  解析 由题意,得a·b=2×(-4)+(-1)×2+3x=0,解得x=. 4.(人教B版选择性必修第一册习题1-1 B第12题改编)已知A(2,-5,1), B(2,-2,4),C(1,-4,1),则<>=　　　　　.  解析 因为=(0,3,3),=(-1,1,0),所以||=3, ||==3,cos<>=. 而<>∈[0,π], 故<>=. 知识梳理 1.空间向量的有关概念 抓住空间向量的两个主要元素:大小与方向 名称 概念 表示 零向量 长度(模)为　　　的向量  0 单位向量 长度(模)为　　　的向量  — 相等向量 方向　　　　且模　　　　的向量  a=b 相反向量 长度　　　　而方向　　　的向量  a的相反向量为-a 共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相　　　　　　　的向量  a∥b 共面向量 平行于同一个　　　　　　的向量  — 0 1 相同　 相等 相等 相反 平行或重合 平面 微点拨 空间向量是由平面向量拓展而来的,因此空间向量的概念和性质与平面向量的概念和性质相同或相似.在学习空间向量时,与平面向量的相关内容相类比进行学习,将达到事半功倍的效果. 2.空间向量中的有关定理 定理 语言描述 共线向 量定理 对空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b⇔存在λ∈R,使a=λb  为了使λ存在且唯一 共面向 量定理 如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面⇔存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb 空间向 量基本 定理 {a,b,c}叫做空间的一个基底  如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc 微点拨 1.利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础. 2.利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题. 3.空间向量的数量积 (1)两向量的夹角 ①已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作=a,=b,则　　　叫做向量a,b的夹角,记作<a,b>.  　 (1)两个向量有相同的起点;(2)向量的方向 ②范围:0≤<a,b>≤π. (2)两个非零向量a,b的数量积: a·b=　　 　　　.  微点拨 向量的数量积满足交换律、分配律,但不满足结合律,即a·b=b·a,(a+b)·c=a·c+b·c成立,(a·b)·c=a·(b·c)不一定成立. ∠AOB |a||b|cos<a,b> 4.空间向量的坐标表示 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3). 垂直问题一般通过向量的数量积运算来解决 类型 向量表示 坐标表示 数量积 a·b 　　　　　　　　  共线 a=λb(b≠0,λ∈R) 　　 　　　　　　  垂直 a·b=0(a≠0,b≠0) 　　　　　　　　  模 |a| 夹角 <a,b>(a≠0,b≠0) cos<a,b>= a1b1+a2b2+a3b3　 a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3 　a1b1+a2b2+a3b3=0 研考点•精准突破 考点一　空间向量的运算 例1　(1)在空间四边形ABCD中,若向量=(-3,5,2),=(-7,-1,-4),点E,F分别为线段BC,AD的中点,则的坐标为(　　) A.(2,3,3) B.(-2,-3,-3) C.(5,-2,1) D.(-5,2,-1) B 考点一 考点二 考点三 思维进阶 解析 如图,取AC的中点M,连接ME,MF,如图. 则=(-,1),=(-,-,-2), 故=(-2,-3,-3). 考点一 考点二 考点三 思维进阶 (2)在四棱锥P-ABCD中,=2,若=x+y+z,则x+y+z=(　　) A.1 B.2 C. D. A 考点一 考点二 考点三 思维进阶 解析 ∵=2,∴, ∴ )- -()=, ∴x=1,y=-,z=,∴x+y+z=1.故选A. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 规律方法　空间向量线性运算中的三个关键点 考点一 考点二 考点三 思维进阶 [对点训练1](1)已知a=(2,-3,1),b=(2,0,3),c=(0,1,-2),则a+4b-3c=(　　) A.(4,-4,6) B.(-6,-6,-5) C.(10,0,7) D.(10,-6,19) D 解析 a+4b-3c=(2,-3,1)+(8,0,12)-(0,3,-6)=(10,-6,19). 考点一 考点二 考点三 思维进阶 (2)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC的中点. ①化简:=　　　　　;  ②用表示,则=　　　 　　.  　 考点一 考点二 考点三 思维进阶 解析 ①)= . ②因为), 所以)+. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 考点二　空间向量有关定理的应用 例2　(1)已知e1,e2,e3不共面,若=e1+e2+e3,=e1+λe2+μe3,且A,B,C三点共线,则λ+μ=(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 C 解析 因为A,B,C三点共线,所以=x,即e1+e2+e3=xe1+xλe2+xμe3,故解得所以λ+μ=1+1=2.故选C. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 (2)已知=(2,1,-3),=(-1,2,3),=(λ,6,-9),若P,A,B,C四点共面,则λ=(　　) A.3 B.-3 C.7 D.-7 C 解析 由P,A,B,C四点共面,可得共面, 设=x+y=(2x-y,x+2y,-3x+3y)=(λ,6,-9), 则解得故选C. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 (3)已知A,B,C三点不共线,对平面ABC外的任一点O,若点M满足 ). ①判断三个向量是否共面; ②判断点M是否在平面ABC内. 解 ①由已知=3, 所以=()+(),即=-,所以共面. ②由①知共面且过同一点M,所以M,A,B,C四点共面,从而点M在平面ABC内. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 规律方法　向量共线的判定与向量法证明四点共面的关键 考点一 考点二 考点三 思维进阶 [对点训练2](1)已知向量a=(1,1,0),b=(1,0,2),且ka-b与2a+b互相平行,则k=(　　) A.1 B.-2 C.-1 D.2 B 解析 由题意得ka-b=(k-1,k,-2),2a+b=(3,2,2). ∵ka-b与2a+b互相平行, ∴,解得k=-2.故选B. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 (2)已知O,A,B,C,D,E,F,G,H为空间9个点(如图),并且=k=k =k+m+m.求证: ①A,B,C,D四点共面; ②; ③=k. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 证明 ①因为+m,所以是共面向量.又因为有公共点A,所以A,B,C,D四点共面. ②因为=k=k=k,所以+m +m()=k()+km()=k+km=k(+m)=k,所以. ③由①及=k,可得=k=k, 所以=k-k=k()=k,即=k. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 考点三　空间向量的数量积及其应用 考向1　求空间向量的数量积 例3　(1)已知四面体ABCD,所有棱长均为2,E,F分别为棱AB,CD的中点,则=(　　) A.1 B.2 C.-1 D.-2 D 考点一 考点二 考点三 思维进阶 解析 由题意,向量的模都是2,两两夹角都为60°,则=2×2×cos 60°=2. 因为E,F分别为棱AB,CD的中点,则),)·(-2)=-2-2)=×(2+2-2×22-2×2)=-2,所以=-2.故选D. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 (2)已知O为空间直角坐标系的原点,向量=(1,2,3),=(2,1,2), =(1,1,2),且点Q在直线OP上运动,当取得最小值时,的坐标是　　　　　.  () 解析 因为点Q在直线OP上,所以设点Q(λ,λ,2λ),则=(1-λ,2-λ,3-2λ), =(2-λ,1-λ,2-2λ),=(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(3-2λ)(2-2λ)=6λ2-16λ+10 =6(λ-)2-.当λ=时,取得最小值-,此时=(). 考点一 考点二 考点三 思维进阶 规律方法　空间向量的数量积运算的两条途径 考点一 考点二 考点三 思维进阶 [对点训练3](1)若a+b=(-2,-1,2),a-b=(4,-3,-2),则a·b=(　　) A.-5 B.-1 C.5 D.7 A 解析 ∵a+b=(-2,-1,2),a-b=(4,-3,-2),则2a=(2,-4,0), ∴a=(1,-2,0),b=(-3,1,2), ∴a·b=-3-2+0=-5.故选A. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 (2)如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=CC1=4,∠BCC1=∠ACC1=, ∠ACB=,则·()=(　　) A.48 B.32 C.32+8 D.32-8 C 考点一 考点二 考点三 思维进阶 解析 ·()=()·() ==4×4×cos+4×4×cos+4×4×cos+42=8+8+8+16=32+8. 故选C. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 考向2　空间向量数量积的应用 例4　如图,已知空间四边形ABCD每条边长和对角线长都等于1,E,F,G分别是AB,AD,CD的中点. (1)求证:EG⊥AB; (2)求EG的长; (3)求异面直线AG和CE所成角的余弦值. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 (1)证明 设=a,=b,=c,则|a|=|b|=|c|=1,<a,b>=<c,b>=<a,c>=60°,所以=-=-a+b+c,所以 =(-a+b+c)·a=b·a+c·a-a2=|b||a|cos 60°+|c||a|cos 60°-|a|2 =×1×1××1×1××12=0,所以,即EG⊥AB. (2)解 因为=-a+b+c, 所以=(-a+b+c)2=(-2b·a-2c·a+2c·b+a2+b2+c2) =×(-2×-2×+2×+12+12+12)=,所以||=, 即EG的长为. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 (3)解 由题意得△ABC,△ACD,△ABD均为等边三角形且边长为1,所以AG=EC=. 又(b+c),)=)=b-a, 所以(b+c)·b2-a·b+c·b-a·c =|a||b|cos 60°+|c||b|cos 60°-|a||c|cos 60°=. 设异面直线AG和CE所成角为θ,则cos θ=|cos<>|=.所以异面直线AG和CE所成角的余弦值为. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 规律方法　空间向量数量积的三个应用 求夹角 设向量a,b的夹角为θ,则cos θ=,进而可求两异面直线所成的角 求长度 (距离) 利用公式|a|2=a·a,可将线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题 解决垂 直问题 利用a⊥b⇔a·b=0,可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题 考点一 考点二 考点三 思维进阶 [对点训练4]已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5). (1)求∠BAC及以AB,AC为邻边的平行四边形的面积; (2)若向量a分别与垂直,且|a|=3,求向量a的坐标. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 解 (1)由题知=(-2,-1,3),=(1,-3,2),所以||=||= =-2+3+6=7,所以cos∠BAC=. 因为0°≤∠BAC≤180°,所以∠BAC=60°,所以AB,AC为邻边的平行四边形的面积为||||sin∠BAC=sin 60°=14×=7. (2)设a=(x,y,z),因为向量a分别与垂直,所以令y=m,则z=m,x=m. 因为|a|=3,所以x2+y2+z2=9,得3m2=9,则m=±,解得x=y=z=或 x=y=z=-,所以a=()或a=(-,-,-). 考点一 考点二 考点三 思维进阶 思维进阶(九)　立体几何中的动态问题 立体几何中的动态问题主要是指空间动点轨迹的判断、求轨迹长度、最值与范围问题等.解答动点轨迹问题的方法有 (1)几何法:比较简单的点的轨迹比如线段、直线、平面等可以直接利用平面的性质判定. (2)定义法:较复杂的轨迹问题需要转化为平面轨迹问题,用圆锥曲线的定义或代数法判定. (3)特殊值法:根据空间图形线段长度关系取特殊值或位置进行排除. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 典例(1)如图,在正四棱锥S-ABCD中,E是BC的中点,点P在△SCD内及其边界上运动,并且总有PE⊥AC,则动点P的轨迹与△SCD组成的图形是(　　) A B C D A 考点一 考点二 考点三 思维进阶 解析 分别取CD,CS的中点F,Q,连接BD,EQ,FQ,EF. ∵E为BC的中点,∴EF∥BD. 又EF⊄平面SBD,BD⊂平面SBD,∴EF∥平面SBD.同理,EQ∥平面SBD. 又EF∩EQ=E,EF⊂平面EFQ,EQ⊂平面EFQ,∴平面EFQ∥平面SBD. 易得AC⊥平面SBD,∴AC⊥平面EFQ,当点P∈FQ时,总有PE⊥AC,∴点P的轨迹是△SCD的中位线FQ.故选A. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 (2)已知边长为1的正方形ABCD与CDEF所在的平面互相垂直,点P,Q分别是线段BC,DE上的动点(包括端点),PQ=.设线段PQ的中点M的轨迹为l,则l的长度为(　　) A. B. C. D.2 A 考点一 考点二 考点三 思维进阶 解析 以D为原点,DA,DC,DE所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系. 设P(s,1,0)(0≤s≤1),Q(0,0,t)(0≤t≤1),M(x,y,z),由中点坐标公式易知x=,y=,z=,即s=2x,t=2z. ∵|PQ|=, ∴s2+t2=1, 即4x2+4z2=1, ∴x2+z2=. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 又0≤s≤1,0≤t≤1,∴0≤x≤,0≤z≤,∴PQ中点M的轨迹方程为 轨迹为垂直于y轴,且距离原点的平面内,半径为的四分之一圆周, ∴l的长度为×2π×. 故选A. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 [对点训练](1)如图,斜线段AB与平面α所成的角为,B为斜足.平面α上的动点P满足∠PAB=,则点P的轨迹为(　　) A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分 B 考点一 考点二 考点三 思维进阶 解析 建立如图所示的空间直角坐标系, 设OB=OA=1,则B(0,1,0),A(0,0,1),P(x,y,0),则=(0,1,-1),=(x,y,-1),所以cos<>=,即3x2+(y-2)2=3,所以点P的轨迹是椭圆.故选B. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 (2)(2020·新高考Ⅰ,16)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2, ∠BAD=60°.以D1为球心,为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为　 　　.  π 考点一 考点二 考点三 思维进阶 解析 如图所示, ∵∠B1C1D1=∠B1A1D1=∠BAD=60°且B1C1=C1D1, ∴△B1C1D1为等边三角形.∴B1D1=2. 设点O1是B1C1的中点,则O1D1=,易证D1O1⊥平面BCC1B1,设P是球面与侧面BCC1B1交线上任意一点,连接O1P,则O1D1⊥O1P,∴D1P2=D1+O1P2,即5=3+O1P2,∴O1P=.即P在以O1为圆心, 以为半径的圆上. 取BB1,CC1的中点分别为E,F,则B1E=C1F=O1B1=O1C1=1,EF=2, ∴O1E=O1F=,O1E2+O1F2=EF2=4,∴∠EO1F=90°, ∴交线×2×π=π. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 (3)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为6,M为CC1的中点,P为底面A1B1C1D1上的动点,满足BP⊥AM的点P的轨迹长度为　　　　　.  3 考点一 考点二 考点三 思维进阶 解析 以D为原点,DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(6,0,0),B(6,6,0),M(0,6,3). 设P(x,y,6),x∈[0,6],y∈[0,6],则=(-6,6,3),=(x-6,y-6,6). 由BP⊥AM,得-6(x-6)+6(y-6)+3×6=0,即y=x-3. 由于x∈[0,6],y∈[0,6],所以x∈[3,6],y∈[0,3],所以点P的轨迹为平面A1B1C1D1上的直线:y=x-3,x∈[3,6],即图中的线段EF,由图知EF==3. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 $