第七章 7.5 空间直线、平面的垂直 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“空间直线、平面的垂直”核心考点，涵盖定义、判定与性质定理、线面角、二面角等高考必查内容。对接高考评价体系，通过近五年真题分析明确线面垂直判定（占比35%）、面面垂直性质应用（占比30%）等高频考点，归纳判定证明、空间角计算、翻折问题三大常考题型，备考针对性强。 课件亮点在于“真题溯源+分层训练+素养提升”策略，以2023全国甲卷三棱柱题为例，解析面面垂直判定与四棱锥高计算的“转化思想”，培养逻辑推理和空间观念素养。设置易错点警示（如线面垂直需“相交直线”）和答题模板，帮助学生掌握得分技巧，教师可据此精准教学，助力高效冲刺。

空间直线、平面的垂直 落实主干知识 1.直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直. (2)判定定理与性质定理   文字语言 图形表示 符号表示 判定 定理 如果一条直线与一个平面内的______________垂直，那么该直线与此平面垂直   性质 定理 垂直于同一个平面的两条直线平行   _________ _________ _________ _________ _________ ⇒l⊥α 两条相交直线 ⇒a∥b _________ _________ 2.直线和平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的 所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是______；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是___. (2)范围：________. 射影 90° 0° 3.二面角 (1)定义：从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角. (2)二面角的平面角：如图，在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作 的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角. (3)二面角的范围： . 两个半平面 垂直于棱l [0，π] 4.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. (2)判定定理与性质定理   文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果一个平面过另一个平面的______，那么这两个平面垂直   ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的 ，那么这条直线与另一个平面垂直   垂线 交线 _________ _________ _________ _________ ⇒l⊥α 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)若直线l与平面α内的两条直线都垂直，则l⊥α.(　　) (2)若直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.(　　) (3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面. (　　) (4)若α⊥β，a⊥β，则a∥α.(　　) 自主诊断 × √ × × 2.(2025·重庆模拟)已知α，β为空间中不重合的平面，m，n为空间中不重合的直线，下列命题正确的是 A.若m∥n，n⊂α，则m∥α B.若m∥α，n⊥α，则m⊥n C.若m∥β，α⊥β，则m⊥α D.若α⊥β，n⊂α，则n⊥β √ 解析　 A选项，若m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂α，所以A选项错误； B选项，若m∥α，则在α内存在直线l，使得m∥l， 又n⊥α，l⊂α，故n⊥l，则m⊥n，所以B选项正确； C选项，若m∥β，α⊥β，则可能m⊂α或m∥α或m与α相交，所以C选项错误； D选项，若α⊥β，n⊂α，则可能n⊂β或n∥β或n与β相交，所以D选项错误. 3.(多选)如图，PA是圆柱的母线，AB是圆柱的底面直径，C是圆柱底面圆周上的任意一点(不与A，B重合)，则下列说法正确的是 A.PA⊥平面ABC B.BC⊥平面PAC C.AC⊥平面PBC D.三棱锥P-ABC的四个面都是直角三角形 √ √ √ 解析　因为PA是圆柱的母线，AB是圆柱的底面直径，C是圆柱底面圆周上的任意一点(不与A，B重合)，则PA⊥平面ABC，故A正确； 而BC⊂平面ABC，则PA⊥BC， 又AC⊥BC，PA∩AC=A，PA，AC⊂平面PAC，则有BC⊥平面PAC，故B正确； 由A知，△PAB，△PAC都是直角三角形， 由B知，△ABC，△PBC都是直角三角形，故D正确； 假定AC⊥平面PBC，PC⊂平面PBC， 则AC⊥PC，即∠PCA=90°， 而在△PAC中∠PAC=90°，矛盾， 所以AC⊥平面PBC不正确，故C错误. 4.(2026·北京模拟)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD是边长为1的正方形，D1B与平面ABCD所成的角为，则棱AA1的长为　　　　　；二面角 B-DD1-C的大小为　　　. 解析　由题意，在长方体ABCD-A1B1C1D1中， 四边形ABCD是边长为1的正方形，且D1B与平面ABCD所成的角为， 所以D1D⊥平面ABCD， 因为DB⊂平面ABCD， 所以D1D⊥DB， 故D1B与平面ABCD所成的角为∠D1BD=， 所以△D1DB为等腰直角三角形，D1D=DB=， 所以AA1=. 又因为DC⊥DD1，且平面BDD1∩平面DD1C=DD1， 所以二面角B-DD1-C的平面角为∠CDB=. 1.灵活应用两个重要结论 (1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面. (2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法). 2.掌握三种垂直关系的转化 微点提醒 线线垂直 线面垂直 面面垂直 返回 探究核心题型 例1　(苏教版必修第二册P187习题13.2(3)T15)已知∠BAC在平面α内，P∉α，∠PAB=∠PAC.求证：点P在平面α内的射影在∠BAC的平分线上. 题型一　直线与平面垂直的判定与性质 证明　作PO⊥α，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为O，E，F，连接OE，OF，OA，如图， ⇒Rt△PAE≌Rt△PAF⇒AE=AF. 例1　(苏教版必修第二册P187习题13.2(3)T15)已知∠BAC在平面α内，P∉α，∠PAB=∠PAC.求证：点P在平面α内的射影在∠BAC的平分线上. 证明　 ⇒⇒⇒AB⊥OE. 同理AC⊥OF. 在Rt△AOE和Rt△AOF中，AE=AF，OA=OA， 所以Rt△AOE≌Rt△AOF，从而∠EAO=∠FAO. 故点P在平面α内的射影O在∠BAC的平分线上. 证明线面垂直的常用方法及关键 (1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质. (2)证明线面垂直的关键是证明线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质. 思维升华 跟踪训练1　如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点，证明： (1)CD⊥AE； 证明　在四棱锥P-ABCD中， ∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD， ∴PA⊥CD， ∵AC⊥CD，PA∩AC=A，PA，AC⊂平面PAC， ∴CD⊥平面PAC，而AE⊂平面PAC， ∴CD⊥AE. 跟踪训练1　如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点，证明： (2)PD⊥平面ABE. 证明　由PA=AB=BC，∠ABC=60°， 可得AC=PA. ∵E是PC的中点，∴AE⊥PC. 由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD=C，PC，CD⊂平面PCD，∴AE⊥平面PCD，而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD. 跟踪训练1　如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点，证明： (2)PD⊥平面ABE. 证明　∵PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD， ∴PA⊥AB. 又∵AB⊥AD且PA∩AD=A，PA，AD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD， 而PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD. 又∵AB∩AE=A，AB，AE⊂平面ABE，∴PD⊥平面ABE. 例2　(2023·全国甲卷)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB=90°. (1)证明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C； 题型二　平面与平面垂直的判定与性质 证明　因为A1C⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， 所以A1C⊥BC， 又因为∠ACB=90°，即AC⊥BC， 因为A1C，AC⊂平面ACC1A1，A1C∩AC=C， 所以BC⊥平面ACC1A1， 又因为BC⊂平面BB1C1C，所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C. 例2　(2023·全国甲卷)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB=90°. (2)设AB=A1B，AA1=2，求四棱锥A1-BB1C1C的高. 解　如图，过点A1作A1O⊥CC1于点O. 因为平面ACC1A1⊥平面BB1C1C，平面ACC1A1∩平面BB1C1C=CC1，A1O⊂平面ACC1A1， 所以A1O⊥平面BB1C1C， 所以四棱锥A1-BB1C1C的高为A1O. 因为A1C⊥平面ABC，AC，BC⊂平面ABC， 所以A1C⊥BC，A1C⊥AC， 例2　(2023·全国甲卷)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB=90°. (2)设AB=A1B，AA1=2，求四棱锥A1-BB1C1C的高. 解　在Rt△ABC与Rt△A1BC中， 因为A1B=AB，BC=BC， 所以Rt△ABC≌Rt△A1BC， 所以A1C=AC. 设A1C=AC=x，则A1C1=x， 所以O为CC1的中点，OC1=AA1=1， 例2　(2023·全国甲卷)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB=90°. (2)设AB=A1B，AA1=2，求四棱锥A1-BB1C1C的高. 解　又因为A1C⊥AC，所以A1C2+AC2=A， 即x2+x2=22，解得x=， 所以A1O===1， 所以四棱锥A1-BB1C1C的高为1. (1)判定面面垂直的方法 ①面面垂直的定义.②面面垂直的判定定理. (2)面面垂直性质的应用 ①面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”.②若两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面. 思维升华 跟踪训练2　如图①所示，△ABC和△ACD都是直角三角形，AB=BC=，∠CAD=30°.如图②所示，把△ABC沿AC边折起，使△ABC所在平面与△ACD所在平面垂直，连接BD. (1)求证：平面ABD⊥平面BCD； 证明　∵在图②中，平面ABC⊥平面ACD，且交线为AC，DC⊂平面ACD，DC⊥AC， ∴DC⊥平面ABC， ∵AB⊂平面ABC，∴DC⊥AB， 又∵AB⊥BC，BC∩DC=C，BC，DC⊂平面BCD， ∴AB⊥平面BCD，又AB⊂平面ABD， ∴平面ABD⊥平面BCD. 跟踪训练2　如图①所示，△ABC和△ACD都是直角三角形，AB=BC=，∠CAD=30°.如图②所示，把△ABC沿AC边折起，使△ABC所在平面与△ACD所在平面垂直，连接BD. (2)求点C到平面ABD的距离. 解　∵平面ABD⊥平面BCD，且交线为BD. 如图，过点C作CH⊥BD于点H，则CH⊥平面ABD， 即CH的长为点C到平面ABD的距离. 在Rt△ABC中，AC==2， 在Rt△ACD中，DC=AC·tan∠CAD=2， 由(1)可知DC⊥BC， 跟踪训练2　如图①所示，△ABC和△ACD都是直角三角形，AB=BC=，∠CAD=30°.如图②所示，把△ABC沿AC边折起，使△ABC所在平面与△ACD所在平面垂直，连接BD. (2)求点C到平面ABD的距离. 解　在Rt△BCD中，BD===， ∴CH==， ∴点C到平面ABD的距离为. 例3　(多选)(2026·石家庄模拟)在三棱锥P-ABC中，AB=BC=，BA⊥BC，PA=PB=PC=2，O为AC的中点，点M是棱BC上的中点，则 A.平面PAC⊥平面ABC B.异面直线AB与PM所成角的正弦值为 C.PC与平面ABC所成的角为 D.二面角P-AB-C的余弦值为 题型三　线面角与二面角 √ √ √ 解析　在三棱锥P-ABC中，由AB=BC=，BA⊥BC，O为AC的中点，得AC=2OA=2， 由PA=PB=PC=2，得点P在平面ABC上的射影到△ABC三个顶点的距离相等， 即点P在平面ABC上的射影为点O，因此PO⊥平面ABC， 因为PO⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABC，A正确； 对于B，由点M是BC的中点，得OM∥AB，则∠PMO是异面直线AB与PM所成的角， 而PM==，PO=，PO⊥OM，则sin∠PMO==，B错误； 解析　对于C，∠PCA是PC与平面ABC所成的角，而△PAC为正三角形，则∠PCA=，C正确； 对于D，如图，取AB的中点N，连接ON，PN，则ON∥BC，ON⊥AB，PN⊥AB， 则∠PNO是二面角P-AB-C的平面角， cos∠PNO===，D正确. 微拓展 三余弦定理cos θ=cos θ1·cos θ2的应用 已知AO是平面α的斜线，如图，A是斜足，OB⊥α，B是垂足，则直线AB是斜线AO在平面α内的射影，设AC是α内的任一过点A的直线，且BC⊥AC，C为垂足，又设AO与直线AB所成的角为θ1，AB与AC所成的角是θ2，AO与AC所成的角为θ，则cos θ= cos θ1·cos θ2. 微拓展 典例　已知PA是平面α的斜线，∠BAC在平面α内，且∠BAC=90°，又∠PAB=∠PAC=60°，则PA与平面α所成的角为　　　　.  45° 解析　如图，作P在α内的正射影O，则O在∠BAC的平分线上，∠PAO为PA与平面α所成的角， 所以cos∠PAC=cos∠PAO·cos∠OAC， 所以cos 60°=cos∠PAO·cos 45°， 所以cos∠PAO=，故∠PAO=45°， 所以PA与平面α所成的角为45°. 三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化. 思维升华 跟踪训练3　(多选)(2025·中山模拟)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则下列四个命题正确的是 A.直线BC与平面ABC1D1所成的角为 B.B1C⊥AC1 C.两条异面直线D1C和BC1所成的角为 D.二面角C-BC1-D的平面角的余弦值为- √ √ 解析　如图，设B1C与BC1的交点为H，则CH⊥BC1， 而AB⊥平面BCC1B1，CH⊂平面BCC1B1， 得CH⊥AB，AB∩BC1=B，AB，BC1⊂平面ABC1D1， 则CH⊥平面ABC1D1， 所以∠C1BC是直线BC与平面ABC1D1所成的角，为，故A正确； 由A项知B1C⊥平面ABC1D1，又AC1⊂平面ABC1D1，所以B1C⊥AC1，故B正确； 解析　连接AC，易证BC1∥AD1，所以异面直线D1C和BC1所成的角为∠AD1C或其补角， 因为△ACD1为等边三角形，所以两条异面直线D1C和BC1所成的角为，故C错误； 连接DH，由BD=DC1，所以DH⊥BC1，又CH⊥BC1， 所以∠CHD为二面角C-BC1-D的平面角， 易求得DH=，又CD=1，CH=， 由余弦定理可得cos∠CHD==，故D错误. 返回 课时精练 一、单项选择题 1.(人教A版必修第二册P159练习T2)已知直线a，b与平面α，β，γ，能使α⊥β的充分条件是 A.α⊥γ，β⊥γ B.α∩β=a，b⊥a，b⊂β C.a∥β，a∥α D.a∥α，a⊥β √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 知识过关 2.(2025·邯郸模拟)已知α，β是不重合的两个平面，m，n是两条直线，且α⊥β，m⊂α，n⊂β，则“m⊥n”是“m⊥β”的 A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　用平面ADFE代表平面α，平面ABCD代表平面β， 当m⊥n如图所示时，显然m与平面β不垂直， 反之，当m⊥β时，又n⊂β，根据线面垂直的性质 有m⊥n， 所以“m⊥n”是“m⊥β”的必要不充分条件. 3.(2026·鞍山模拟)若圆锥的侧面积与过轴的轴截面的面积的比值为2π，则圆锥母线与底面所成角的大小为 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　设圆锥底面的半径为r，母线长为l，高为h，则由题意得 =2π，解得l=2h， 设圆锥母线与底面所成的角为θ， 则sin θ==⇒θ=， 所以圆锥母线与底面所成角的大小为. 4.如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，BC1⊥AC，则C1在平面ABC内的射影H必在 A.直线AB上 B.直线BC上 C.直线AC上 D.△ABC内部 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　连接AC1(图略)，由AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1=B，AB，BC1⊂平面ABC1，得AC⊥平面ABC1. 因为AC⊂平面ABC， 所以平面ABC1⊥平面ABC. 又平面ABC1∩平面ABC=AB， 所以C1在平面ABC内的射影H必在两平面的交线AB上. 5.(2026·南昌模拟)如图，已知△ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA=AB=2DC，F，G分别是EB和AB的中点，则下列结论错误的是 A.FD∥平面ABC B.FG⊥平面ABC C.FC⊥AB D.平面EBC⊥平面EAB √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　连接AF，CG，如图， 因为F，G分别是EB和AB的中点，所以FG∥EA，且FG=EA， 又因为EA⊥平面ABC，所以FG⊥平面ABC，B正确； 又因为AB⊂平面ABC，所以FG⊥AB， 因为△ABC是正三角形，所以CG⊥AB， 因为FG∩CG=G，FG，CG⊂平面CFG， 所以AB⊥平面CFG， 又因为FC⊂平面CFG，所以FC⊥AB，C正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　因为EA=AB=2DC，DC⊥平面ABC， 所以FG∥DC，且FG=DC， 所以四边形FGCD是平行四边形，所以FD∥GC， 又因为GC⊂平面ABC，FD⊄平面ABC， 所以FD∥平面ABC，A正确； 由EA=AB和F为EB的中点可知AF⊥EB， 假设平面EBC⊥平面EAB， 又AF⊂平面EAB，平面EBC∩平面EAB=EB， 则AF⊥平面EBC， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　因为BC⊂平面EBC，所以AF⊥BC， 又因为EA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， 所以EA⊥BC， 因为AF∩EA=A，AF，EA⊂平面EAB， 所以BC⊥平面EAB， 因为AB⊂平面EAB， 所以AB⊥BC，与△ABC是正三角形矛盾， 所以平面EBC与平面EAB不垂直，D错误. 6.(2023·全国乙卷)已知△ABC为等腰直角三角形，AB为斜边，△ABD为等边三角形，若二面角C-AB-D为150°，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　取AB的中点E，连接CE，DE，因为△ABC是等腰直角三角形，且AB为斜边，则有CE⊥AB， 又△ABD是等边三角形，则DE⊥AB，从而∠CED为二面角C-AB-D的平面角，即∠CED=150°， 显然CE∩DE=E，CE，DE⊂平面CDE，于是AB⊥平面CDE，又AB⊂平面ABC， 因此平面CDE⊥平面ABC，显然平面CDE∩平面ABC=CE，直线CD⊂平面CDE，则直线CD在平面ABC内的射影为直线CE， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　从而∠DCE为直线CD与平面ABC所成的角， 令AB=2，则CE=1，DE=， 在△CDE中，由余弦定理得 CD= ==， 由正弦定理得=， 即sin∠DCE==， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　显然∠DCE是锐角， cos∠DCE===， 所以tan∠DCE=， 所以直线CD与平面ABC所成角的正切值为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 二、多项选择题 7.(2026·德州模拟)在空间中，l，m是不重合的直线，α，β是不重合的平面，则下列说法错误的是 A.若l∥α，l⊥m，则m⊥α B.若l⊥m，l⊥α，则m∥α C.若l⊥α，m⊥β，l∥m，则α∥β D.若l∥α，α∥β，l⊥m，则m⊥β √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　作正方体ABCD-A'B'C'D'， 对于A，不妨设m=D'A'，l=A'B'，α为底面ABCD，显然符合条件l∥α，l⊥m，但m⊥α不成立，故A错误； 对于B，不妨设l=AA'，m=AC，α为底面ABCD，显然符合条件l⊥m，l⊥α，但m⊂α，故B错误； 对于C，因为l⊥α，l∥m，所以m⊥α，又m⊥β，α，β不重合，所以α∥β，故C正确； 对于D，不妨设l=D'A'，m=A'B'，α，β分别为下底面ABCD与上底面A'B'C'D'，显然符合条件l∥α，α∥β，l⊥m，但m⊂β，故D错误. 8.(2026·长沙模拟)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，侧棱BB1垂直于底面ABCD，下列结论正确的是 A.若AB=AD，则AC⊥BD1 B.若AC=BD，则AC⊥BD1 C.若A1D=A1B，则BD⊥平面ACC1A1 D.若AD=AA1，则AD1⊥平面DA1B1C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　对于A，BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，则BB1⊥AC， 又AB=AD，四边形ABCD为菱形，则AC⊥BD， 因为BD∩BB1=B，BD，BB1⊂平面DBB1D1，则AC⊥平面DBB1D1， 因为BD1⊂平面DBB1D1，所以AC⊥BD1，A正确； 对于B，AC=BD，底面四边形ABCD为矩形，不一定得到AC⊥平面DBB1D1，B错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　对于C，设AC与BD交于点O，由A1D=A1B，O为BD的中点，得A1O⊥BD， 因为AA1∥BB1，BB1⊥平面ABCD， 所以AA1⊥平面ABCD， 因为BD⊂平面ABCD，所以AA1⊥BD， 因为AA1∩A1O=A1，AA1，A1O⊂平面ACC1A1，所以BD⊥平面ACC1A1，C正确； 对于D，因为AD=AA1，AA1⊥AD，所以四边形ADD1A1为正方形，所以AD1⊥A1D，而AD1与A1B1不一定垂直，D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 三、填空题 9.已知直线l与平面α所成的角为30°，若直线m⊂α，则l与m所成角的最小值为　　　　. 30° 解析　根据直线与平面所成角的定义，直线与平面所成的角等于直线和它在平面内的射影所成的角， 该角是直线与平面内所有直线所成的角中最小的角， 题中直线l与平面α所成的角为30°，且m⊂α，所以直线l与直线m所成角的最小值为30°. 10.(人教A版必修第二册P152练习T4)过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接PA，PB，PC. (1)若PA=PB=PC，则点O是△ABC的　　　心； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 外 解析　连接OA，OB，OC，图略， ∵PA=PB=PC，且PO为公共边， ∴Rt△AOP≌Rt△BOP≌Rt△COP， ∴OA=OB=OC， ∴O为△ABC的外心. (2)若PA=PB=PC，∠ACB=90°，则点O是AB边的　　　点； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 中 解析　当∠ACB=90°时，O为AB边的中点. (3)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，垂足都为P，则点O是△ABC的____心. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 垂 解析　连接AO，CO并延长，图略， ∵PA⊥PC，PB⊥PC，PA∩PB=P，PA，PB⊂平面PAB，∴PC⊥平面PAB， 又AB⊂平面PAB，∴PC⊥AB. ∵PO⊥α，AB⊂α，∴PO⊥AB， 又PO∩PC=P，PO，PC⊂平面PCO，∴AB⊥平面PCO， 又CO⊂平面PCO，∴AB⊥CO， 同理，BC⊥AO， ∴点O为△ABC三条高的交点，即点O为△ABC的垂心. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 四、解答题 11.如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，△PAB为等边三角形，DE⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面ABCD，且F为PB的中点.求证： (1)AF⊥PC； 证明　∵△PAB为等边三角形，且F为PB的中点，∴AF⊥PB， ∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，CB⊥AB，CB⊂平面ABCD，∴CB⊥平面PAB， 又AF⊂平面PAB，∴CB⊥AF， 又AF⊥PB，CB∩PB=B，CB，PB⊂平面PBC， ∴AF⊥平面PBC，又PC⊂平面PBC，∴AF⊥PC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 11.如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，△PAB为等边三角形，DE⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面ABCD，且F为PB的中点.求证： (2)平面PAB∥平面CDE. 证明　取AB的中点M，连接PM(图略)，则PM⊥AB， 又CB⊥平面PAB，∴PM⊥BC，且AB∩BC=B，AB，BC⊂平面ABCD，∴PM⊥平面ABCD， 又DE⊥平面ABCD， ∴DE∥PM， 又DE⊂平面CDE，PM⊄平面CDE，∴PM∥平面CDE， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 11.如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，△PAB为等边三角形，DE⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面ABCD，且F为PB的中点.求证： (2)平面PAB∥平面CDE. 证明　又AB∥CD，AB⊄平面CDE，CD⊂平面CDE， ∴AB∥平面CDE， 又PM∩AB=M，PM，AB⊂平面PAB， ∴平面PAB∥平面CDE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 12.(2025·常德模拟)如图，在四棱锥E-ABCD中，底面四边形 ABCD是正方形，AE⊥平面CDE，二面角E-AB-D的大小为. (1)证明：平面ADE⊥平面ABCD； 证明　在四棱锥E-ABCD中，由AE⊥平面CDE，CD⊂平面CDE，得AE⊥CD， 由四边形ABCD是正方形，得AD⊥CD， 而AD∩AE=A，AD，AE⊂平面ADE， 因此CD⊥平面ADE，又CD⊂平面ABCD， 所以平面ADE⊥平面ABCD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 12.(2025·常德模拟)如图，在四棱锥E-ABCD中，底面四边形 ABCD是正方形，AE⊥平面CDE，二面角E-AB-D的大小为. (2)求直线BE与平面ABCD所成角的正弦值. 解　由(1)知，CD⊥平面ADE，而AB∥CD， 则AB⊥平面ADE，又AD，AE⊂平面ADE， 于是AB⊥AD，AB⊥AE，∠DAE为二面角E-AB-D的平面角，则∠DAE=， 令正方形ABCD的边长为4，而AE⊥DE， 则AE=DE=2， 取AD的中点O，连接EO，BO，则EO⊥AD， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 12.(2025·常德模拟)如图，在四棱锥E-ABCD中，底面四边形 ABCD是正方形，AE⊥平面CDE，二面角E-AB-D的大小为. (2)求直线BE与平面ABCD所成角的正弦值. 解　由(1)知平面ADE⊥平面ABCD， 又平面ADE∩平面ABCD=AD，EO⊂平面ADE，则EO⊥平面ABCD， ∠EBO是直线BE与平面ABCD所成的角， 而EO=2，易得在Rt△ABE中，BE==2， 则sin∠EBO==， 所以直线BE与平面ABCD所成角的正弦值为. 13.(2024·北京)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PA=PB=4，PC=PD=2，该棱锥的高为 A.1 B.2 C. D. 能力拓展 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　由题意知△PAB为正三角形， 因为PC2+PD2=CD2， 所以PC⊥PD. 如图，分别取AB，CD的中点为E，F， 连接PE，EF，PF， 则PE=2，PF=2，EF=4， 于是PE2+PF2=EF2， 所以PE⊥PF. 过点P作PG⊥EF，垂足为G.易知CD⊥PF，CD⊥EF， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　EF，PF⊂平面PEF，且EF∩PF=F， 所以CD⊥平面PEF. 又PG⊂平面PEF，所以CD⊥PG. 又PG⊥EF，CD∩EF=F，CD，EF⊂平面ABCD， 所以PG⊥平面ABCD， 所以PG为四棱锥P-ABCD的高. 由PE·PF=EF·PG， 得PG===. 14.(多选)(2022·新高考全国Ⅱ卷)如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED，AB=ED=2FB.记三棱锥E-ACD，F-ABC，F-ACE的体积分别为V1，V2，V3，则 A.V3=2V2 B.V3=V1 C.V3=V1+V2 D.2V3=3V1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　如图，连接BD交AC于O，连接OE，OF. 设AB=ED=2FB=2， 则AB=BC=CD=AD=2，FB=1. 因为ED⊥平面ABCD，FB∥ED， 所以FB⊥平面ABCD， 所以V1=VE-ACD=S△ACD·ED=×AD·CD·ED=××2×2×2=， V2=VF-ABC=S△ABC·FB=×AB·BC·FB=××2×2×1=. 因为ED⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以ED⊥AC， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　又AC⊥BD，且ED∩BD=D，ED，BD⊂平面BDEF， 所以AC⊥平面BDEF. 因为OE，OF⊂平面BDEF， 所以AC⊥OE，AC⊥OF. 易知AC=BD=AB=2，OB=OD=BD=，OF==， OE==， EF===3， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　所以EF2=OE2+OF2，所以OF⊥OE. 又OE∩AC=O，OE，AC⊂平面ACE， 所以OF⊥平面ACE， 所以V3=VF-ACE=S△ACE·OF=×AC·OE·OF =××2××=2， 所以V3≠2V2，V1≠V3，V3=V1+V2，2V3=3V1，所以选项A，B不正确，选项C，D正确. 返回 $