7.1基本立体图形及几何体的表面积与体积 课件-2027届高三数学一轮复习

第七章　立体几何与空间向量 第1节　基本立体图形及几何体的表面积与体积 1.掌握柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征,能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. 2.掌握球、棱(圆)柱、棱(圆)锥、棱(圆)台的表面积和体积的计算公式,能用公式解决简单的实际问题. 3.能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体)的直观图. 课标要求 1.空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相____且______ 多边形 互相______且______ 平行 全等 平行 相似 3 名称 棱柱 棱锥 棱台 侧棱 ____________ 相交于______,但不一定相等 延长线交于______ 侧面形状 ____________ ________ 梯形 平行且相等 一点 一点 平行四边形 三角形 4 (2)旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等, ______ 于底面 相交于______ 延长线交于______   垂直 一点 一点 5 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 轴截面 ______ ____________ 等腰梯形 圆 侧面展 开图 ______ ______ 扇环   矩形 等腰三角形 矩形 扇形 6 2.直观图的斜二测画法 (1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中,x'轴、y'轴的夹角为_______________,z'轴与x'轴、y'轴所在平面______. (2)原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍分别_________坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度______,平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的______. 45°(或135°) 垂直 平行于 不变 一半 7 3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式   圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧=________ S圆锥侧=______ S圆台侧=_________ 2πrl πrl π(r1+r2)l 8 4.简单几何体的表面积和体积公式 柱体(棱柱和圆柱) 表面积 体积 锥体(棱锥和圆锥) S表面积=S侧+2S底 V=Sh 台体(棱台和圆台) S表面积=S侧+S底 V=___________ 球 S表面积=S侧+S上+S下 V=(S上+S下+)h 柱体(棱柱和圆柱) S=_______ V=____________ Sh 4πR2 πR3 9 常用结论与微点提醒 1.与体积有关的几个结论 (1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差. (2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等(祖暅原理). 2.直观图与原平面图形面积间的关系S直观图＝S原图形. 10 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线.(　　) (2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥.(　　) (1)不一定,只有当这两点的连线平行于轴时才是母线,(1)错误. (2)反例:如图所示的图形满足条件但不是棱锥,(2)错误. 诊断自测 概念思考辨析+教材经典改编 × × 11 (3)菱形的直观图仍是菱形.(　　) (4)两个球的体积之比等于它们的半径比的平方.(　　) (3)用斜二测画法画水平放置的菱形的直观图是平行四边形,但邻边不一定相等,(3)错误. (4)球的体积之比等于半径比的立方,故(4)错误. × × 12 2.(人教A必修二P106T8改编)如图,长方体ABCD－A'B'C'D'被截去一部分,其中EH∥A'D' ∥ FG,则剩下的几何体是(　　) C 由于平面ABFEA' ∥平面DCGHD',且AD,BC,FG,EH,A'D'相互平行且相等, 所以剩下的几何体是五棱柱. A.棱台 B.四棱柱 C.五棱柱 D.六棱柱 13 3.(苏教必修二P161练习T4改编)下列说法正确的是(　　) A.相等的角在直观图中仍然相等 B.相等的线段在直观图中仍然相等 C.正方形的直观图是正方形 D.若两条线段平行,则在直观图中对应的两条线段仍然平行 D 由直观图的画法规则知,角度、长度都有可能改变,而线段的平行关系不变,正方形的直观图是平行四边形. 14 4.已知圆锥的底面半径为,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的母线长为____________.  设圆锥的母线长为l, 因为该圆锥的底面半径为,侧面展开图为一个半圆, 所以2π×＝πl,解得l＝2. 2 15 例1 (1)(多选)下列说法中正确的是(　　) A.以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴,其余边旋转一周形成的几何体是圆台 B.有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 C.底面是正多边形的棱锥是正棱锥 D.棱台的各侧棱延长后必交于一点 AD 考点一　基本立体图形 由圆台定义知,以直角梯形垂直于底边的腰为旋转轴,其余三边旋转一周形成的几何体是圆台,故A正确; 由棱柱定义可知,棱柱是有两个面平行,其余各面都是平行四边形,且每相邻两个平行四边形的公共边都互相平行的几何体,故B错误; 底面是正多边形的棱锥,但不能保证顶点在底面上的射影为底面正多边形的中心,故C错误; 棱台是由平行于棱锥底面的平面截得的,故棱台的各侧棱延长后必交于一点,故D正确. (2)(多选) 如图所示,△A'B'C'是水平放置的△ABC的斜二测直观图,其中O'C'＝O'A'＝2O'B'＝2,则以下说法正确的是(　 　) A.△ABC是钝角三角形 B.△A'B'C'的面积是△ABC的面积的倍 C.△ABC是等腰直角三角形 D.△ABC的周长是4＋4 BCD 由题意,可得平面图如图所示. 在斜二测视图△A'B'C'中,O'C'＝O'A'＝2O'B'＝2, ∴S△A'B'C'＝2××1×2×sin 45°＝, 又OB＝2O'B'＝2,OA＝O'A'＝2,OC＝O'C'＝2, 所以S△ABC＝×4×2＝4, 所以△A'B'C'的面积是△ABC的面积的倍,故B正确; ∴在△ABC中,OC＝OA＝2,OB＝2O'B'＝2, ∴AC＝AO＋CO＝2＋2＝4, ∴AB＝BC＝＝2, ∵AB2＋BC2＝AC2,∴∠ABC＝90°, ∴△ABC是等腰直角三角形,故A错误,C正确; 又C△ABC＝AB＋BC＋AC＝2＋2＋4＝4＋4,故D正确. (3)如图,圆锥底面半径为3,母线PA＝12,,一只蚂蚁从A点出发,沿圆锥侧面绕行一周,到达B点,最短路线长度为_________.  4 把圆锥侧面沿母线PA剪开,展在同一平面内得扇形APA',连接AB,如图, 令扇形APA'圆心角大小为θ,则12θ＝2π×3, 解得θ＝,在Rt△PAB中,PB＝PA'＝4, 则AB＝＝4, 所以一只蚂蚁从A点出发,沿圆锥侧面绕行一周到达B点,最短路线长度为4. 感悟提升 1.辨别空间几何体的两种方法 (1)定义法:紧扣定义进行判定; (2)反例法:要说明一个结论是错误的,只需举出一个反例即可. 感悟提升 2.在斜二测画法中,要确定关键点及关键线段:平行于x轴的线段平行性不变,长度不变;平行于y轴的线段平行性不变,长度减半.直观图的面积与原图形面积的关系:S直观图＝S原图形. 3.在解决空间曲线(段)最短问题时一般考虑其展开图,采用化曲为直的策略,将空间问题平面化. 训练1 (1)给出下列四个命题,正确的是(　　) A.有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱 B.侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥 C.侧面都是矩形的直四棱柱是长方体 D.底面为正多边形,且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱 D 对于A,平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形,故A错; 对于B,等腰三角形的腰不是侧棱时不一定成立(如图),故B错; 对于C,若底面不是矩形,则C错; 对于D,可知侧棱垂直于底面,故D正确. (2)(2026·安徽部分学校模拟)在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中,AB＝4,AA1＝5,E,F,G分别为侧棱BB1,CC1,DD1上一点,则AE＋EF＋FG＋GA1的最小值为(　　) A. B. C. D.14 A 将正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(图①)的侧面展开,得到展开图(图②), 当A,E,F,G,A1五点共线时,AE＋EF＋FG＋GA1取得最小值, 且最小值为.故选A. (3)如图,△A'O'B'是水平放置的△AOB的直观图,但部分图象被茶渍覆盖,已知O'为坐标原点,顶点A',B'均在坐标轴上,且△AOB的面积为12,则O'B'的长度为____________.  2 法一　如图,画出△AOB的原图,为直角三角形, 且OA＝O'A'＝6, 因为OB·OA＝12,所以OB＝4,所以O'B'＝OB＝2. 法二　S直观图＝S原图形＝3, 又S直观图＝O'A'·O'B'·sin∠A'O'B',所以O'B'＝2. 例2 (1)(2026·湖北部分高中协作体模拟)已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等,若圆锥的轴截面是等边三角形,则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为(　　) A. B. C. D. C 考点二　表面积 设圆锥和圆柱的底面半径为r, 因为圆锥的轴截面是等边三角形,所以圆锥的母线长l＝2r, 则圆锥和圆柱的高h＝r, 所以圆锥的侧面积S1＝×2πr×l＝2πr2, 圆柱的侧面积S2＝2πrh＝2πr2, 所以圆锥和圆柱的侧面积之比为,故选C. (2)攒尖是中国古建筑中屋顶的一种结构形式,兰州市著名景点三台阁(如图1)的屋顶部分是典型的攒尖结构.如图2所示是某研究性学习小组制作的三台阁仿真模型的屋顶部分,它可以看作是不含上底面的正四棱台和正三棱柱的组合体,已知正四棱台上底边、下底边、侧棱的长度(单位:dm)分别为2,6,4,正三棱柱各棱长均相等,则该结构的表面积为____________ dm2.  34+8 正三棱柱的侧面积为2×2×2＝8(dm2), 底面积为2××2×2×sin 60°＝2(dm2). 正四棱台中,侧面梯形的高为＝2(dm), 所以正四棱台的侧面积为4×＝32(dm2). 所以该结构的表面积为8＋2＋32＝(34＋8)(dm2). 感悟提升 空间几何体表面积的求法 (1)旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用,并弄清底面半径、母线长与对应侧面展开图中边的关系. (2)多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积注意衔接部分的处理. 训练2 (1)(2026·郑州模拟)中国被称为“制扇王国”,折扇的起源历史悠久,最早可以追溯到西汉时期.现有一把折扇,其结构如图.完全展开后扇面的圆心角为π,上板长为16 cm.若把该扇面围成一个圆台,则圆台的高为(　　) D A.2 B.4 C.6 D. 作出图形如图,由题意知BD＝16 cm,∠BSE＝, 设∠SBA＝∠SDC＝θ, AB＝r cm,SB＝l cm, 则,所以, 所以cos θ＝,所以sin θ＝, 所以圆台的高为BDsin θ＝16× ＝(cm).故选D. (2)在《九章算术》中,将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马.已知四棱锥P－ABCD为阳马,底面ABCD是边长为2的正方形,有两条侧棱长为3,则该阳马的表面积为____________.  如图,不妨设PA⊥平面ABCD,由题意,AB＝BC＝CD＝AD＝2,易知PB＝PD＝3, 则PA＝. 易知△PAB,△PAD为直角三角形, 因为PA⊥平面ABCD, 所以PA⊥BC,又AB⊥BC,PA∩AB＝A, 所以BC⊥平面PAB,所以BC⊥PB, △PBC为直角三角形,同理可得CD⊥PD,△PCD为直角三角形, 所以该阳马的表面积S＝2S△PAB＋2S△PBC＋S正方形ABCD＝2××2×＋2××2×3＋22＝10＋2. 角度1　公式法 例3 (2026·武汉质检)中国冶炼铸铁的技术比欧洲早2 000年左右,冶炼铸铁技术的诞生标志着真正的铁器时代的开始.现将一个表面积为1 600π cm2的实心铁球熔化后,浇铸成一个正四棱台形状的实心铁锭(浇铸过程体积无变化),该铁锭的 上、下底面的边长分别为20 cm和40 cm,则该铁锭的高为__________cm.  考点三　体积 设实心铁球的半径为R cm , 则4πR2＝1 600π, 解得R＝20,则实心铁球的体积为πR3＝π(cm3). 设正四棱台的实心铁锭的高为h cm, 因为实心铁球的体积和正四棱台的实心铁锭体积相等,所以h[(20)2＋(40)2＋]＝π, 解得h＝. 角度2　割补法 例4 (1)如图为一个木楔子的直观图,其中四边形ABCD是边长为2的正方形,且△ADE,△BCF均为正三角形,EF∥CD,EF＝4,则该木楔子的体积为(　　) A A. B.4 C. D.2 如图,分别过点A,B作EF的垂线,垂足分别为G,H, 连接DG,CH, 易得EG＝HF＝1,AG＝GD＝BH＝HC＝. 取AD的中点O,连接GO,易得GO＝, ∴S△ADG＝S△BCH＝××2＝. ∴多面体的体积V＝V三棱锥E－ADG＋V三棱锥F－BCH＋V三棱柱AGD－BHC＝ 2V三棱锥E－ADG＋V三棱柱AGD－BHC ＝××1×2＋×2＝. (2)(2024·天津卷改编)一个五面体ABC-DEF.已知AD∥BE ∥ CF, 且两两之间距离为1,AD=1,BE=2,CF=3,则该五面体的体积 为　　　　.  因为AD,BE,CF两两平行,且两两之间距离为1,则该五面体可以看作底面边长为1的正三棱柱的一部分,然后分成一个侧棱长为1的三棱柱和一个底面为梯形的四棱锥,如图,其中三棱柱的体积等于棱长均为1的直三棱柱的体积,四棱锥的高为,底面是上底为1、下底为2、高为1的梯形, 故该五面体的体积V＝×1××1＋××. 角度3　等体积法 例5 (2026·南平模拟)已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1的体积为4,若将其截去三棱锥C1－B1BD1,则剩余几何体的体积为____________.  设点D1到平面BCC1B1的距离为h,四边形BCC1B1的面积为S,显然有4＝Sh, 因为 ＝·S·h＝, 所以剩余部分几何体的体积为4－. 感悟提升 求空间几何体的体积的常用方法 (1)公式法:规则几何体的体积,直接利用公式. (2)割补法:把不规则的几何体分割成规则的几何体,或者把不规则的几何体补成规则的几何体. (3)等体积法:通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法,特别是三棱锥的体积. 训练3 (1)(2024·新高考Ⅰ卷)已知圆柱和圆锥的底面半径相等,侧面积相等,且它们的高均为,则圆锥的体积为(　　) A.2π B.3π C.6π D.9π 设圆柱的底面半径为r, 则圆锥的母线长为, 而它们的侧面积相等,所以2πr×＝πr×, 即2,故r＝3, 故圆锥的体积为π×9×＝3π. (2)(多选)如图,在直三棱柱ABC－A1B1C1中,AB＝2,BC＝3,CC1＝4,且AB⊥BC,P为BC1的中点,则(　　 ) A.三棱锥A－BCC1的体积为4 B.三棱锥C－APC1的体积为 C.四棱锥C1－ABB1A1的体积为8 D.三棱锥C1－ABC的表面积为14＋2 对于A,×CC1××4××2×3＝4,故A正确; 对于B,, 而三棱锥A－BCC1与三棱锥A－PCC1有共同的高, ∵P为BC1的中点,∴, ∴×4＝2,故B错误; 对于C,－×2×3×4－4＝8,故C正确; 对于D,由题可知,AC＝,AC1＝,BC1＝5, ∴AB2＋B＝A, ∴△ABC1是直角三角形,AB⊥BC1, ∴三棱锥C1－ABC的表面积为×2×3＋×3×4＋××4＋×2×5＝14＋2,故D正确. 一、单选题 1.圆柱的母线长为4,底面半径为2,该圆柱的体积为(　　) A.8π B.12π C.16π D.20π C 因为圆柱的母线长为4,底面半径为2,所以圆柱的体积为V＝πr2h＝π×22×4＝16π. 2.用斜二测画法画出的水平放置的△ABC的直观图如图所示,其中D'是B'C'的中点,且A'D'∥y'轴, B'C' ∥ x'轴, A'D'＝B'C'＝2,那么S△ABC等于(　　) D 法一　由题意知,S△A'B'C'＝2××sin ∠A'D'C'×A'D'×D'C'＝2×××2×1＝,所以S△ABC＝2S△A'B'C'＝2×＝4. 法二　根据题意,把直观图还原,则原平面图形为等腰三角形, 如图所示,其中AD⊥BC,AD＝2A'D'＝4,BC＝B'C'＝2, 原平面图形的面积为S△ABC＝BC·AD＝×2×4＝4. A. B.2 C.2 D.4 3.(2026·邵阳模拟)已知圆锥的底面半径为1,侧面积为4π,则此圆锥的侧面展开图的圆心角为(　　) A. B. C. D. D 设圆锥的母线长为l,可得底面圆的周长为2π·1＝2π, 由题意可得l·2π＝4π,解得l＝4, 所以圆锥的侧面展开图的圆心角为. 4.(2026·绍兴质检)有这样一个古算题:“今有木长二丈四尺,围之五尺,葛生其下,缠本两周,上与木齐,问葛长几何?”,其意思为“圆木长2丈4尺,圆周长为5尺,葛藤从圆木的底部开始向上生长,绕圆木两周,刚好顶部与圆木平齐,问葛藤最少长多少尺?”(注:1丈等于10尺),则这个问题中,葛藤长的最小值为(　　) A.2丈4尺 B.2丈5尺 C.2丈6尺 D.2丈8尺 C 取圆木两个的侧面展开图如图,在Rt△ABC中,BC(即圆木的高)长24尺, AB＝5×2＝10(尺),因此葛藤长的最小值为＝26(尺),即为2丈6尺. 5.(2026·广州模拟)在母线长为4,底面直径为6的一个圆柱中挖去一个体积最大的圆锥后,得到一个几何体,则该几何体的表面积为(　　) A.33π B.39π C.48π D.57π C 设圆柱的底面半径为r,高为h,则r＝3,h＝4, 体积最大的圆锥的母线长l＝＝5, 则该几何体的表面积S表＝S圆柱侧＋S圆柱底＋S圆锥侧＝2πrh＋πr2＋πrl＝24π＋9π＋15π＝48π. 6.(2026·秦皇岛模拟)如图,某工厂储存原料的储存仓是由圆柱和圆锥构成的,若圆柱的高是圆锥高的2倍,且圆锥的母线长是2,侧面积是2π,则该储存仓的体积为(　　) C A.π B.π C.π D.2π 设圆锥的底面圆半径为r, 由侧面积是2π,得πr·2＝2π,解得r＝1, 圆锥的高h＝, 则圆柱的高为2, 所以该储存仓的体积为V＝π×12×＋π×12×2π. 7.(2026·西安模拟)已知正三棱锥S－ABC的侧棱长为1,E,F分别是SA,SC上的动点,当△BEF周长的最小值为时,三棱锥的侧面积为(　　) A. B.1 C. D.2 A 将正三棱锥S－ABC的侧面沿侧棱SB剪开并展开在同一平面内, 如图,连接BB', 当E,F分别为BB'与SA,SC的交点时,△BEF的周长最小, 此时BB'＝,而SB＝SB'＝1,SB2＋SB'2＝2＝BB'2, 则∠BSB'＝90°,∠ASB＝30°, 所以三棱锥的侧面积为3×SA×SBsin 30°＝.故选A. 8.(2026·烟台模拟)如图,在六面体ABCD－A1B1C1D1中,AA1⊥平面A1B1C1D1,四边形ABCD与A1B1C1D1为两个全等的矩形,且AB∥A1B1,AD∥A1D1,若BC＝A1B1＝AA1＝2,AB＝B1C1＝4,则该六面体的体积为(　　) B 在长方体A1B2C2D1－ABC3D2中,A1B2＝AB＝B1C1＝4, AA1＝2,BC＝A1B1＝AA1＝2. A.14 B. C. D.24 根据题意可知,六面体ABCD－A1B1C1D1可以看成长方体A1B2C2D1－ABC3D2的一部分. 因为长方体A1B2C2D1－ABC3D2的体积V＝×|AA1|＝4×4×2＝32; 直三棱柱BB1B2－C3C1C2的体积V1＝×|B2C2|＝×(4－2)×2×4＝8; 直三棱柱CC2C3－DD1D2的体积V2＝×|D1C2|＝×(4－2)×2×4＝8; 三棱锥C－C1C2C3的体积V3＝××|CC3|＝××(4－2)×2×(4－2)＝, 所以六面体ABCD－A1B1C1D1的体积为V－V1－V2＋V3＝32－8－8＋. 二、多选题 9.下列说法中正确的是(　 　) A.各侧棱都相等的棱锥为正棱锥 B.长方体是直四棱柱 C.用一个平面去截圆锥,圆锥底面和截面之间的部分为圆台 D.球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面 BD 对于A,各侧棱都相等,但无法保证底面为正多边形,故A错误; 对于B,易知长方体的侧棱和底面垂直,所以是直四棱柱,故B正确; 对于C,根据圆台的定义,用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面和截面之间的部分为圆台,故C错误; 对于D,球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面,故D正确. 10.如图所示为四边形ABCD的平面图,其中AB∥CD,AB＝2CD＝4,AD⊥AB,AD＝2,用斜二测画法画出它的直观图四边形A'B'C'D',其中∠x'A'y'＝45°,则下列说法正确的是 (　　) BC A.A'D'＝2 B.A'B'＝4 C.四边形A'B'C'D'为等腰梯形 D.四边形A'B'C'D'的周长为6＋4 由题意可画出其直观图如图,其中A'B'∥C'D',A'B'＝AB＝4,C'D'＝CD＝2,A'D'＝AD＝,故A错误,B正确; 过点D',C'分别作D'M⊥A'B',C'N⊥A'B', 垂足分别为M,N, 故A'M＝D'M＝C'N＝A'D'sin 45°＝1, NB'＝A'B'－C'D'－A'M＝1,故B'C'＝, 则四边形A'B'C'D'为等腰梯形,故C正确; 故四边形A'B'C'D'的周长为4＋2＋2＝6＋2,即D错误. 11.(2026·南昌模拟)如图,平行六面体ABCD－A1B1C1D1的体积为6,点P为线段A1B上的动点,则下列三棱锥中,其体积为1的有(　　 ) ACD 记平行六面体ABCD－A1B1C1D1的体积为V＝6, 对于A,由平行六面体的性质,A1B∥平面D1DCC1,故点P到平面D1DCC1的距离等于点B到平面D1DCC1的距离,故×V＝1,故A正确; 对于B,因为,底面面积固定,点P在线段A1B上位置不同,高不同,故体积不为定值,故B错误; A.三棱锥P－C1CD B.三棱锥P－B1D1D C.三棱锥P－D1B1C D.三棱锥P－D1AC 对于C,因为A1B∥CD1,A1B⊄平面D1B1C,D1C⊂平面D1B1C,故A1B ∥平面D1B1C, 点P到平面D1B1C的距离等于点B到平面D1B1C的距离,故×V＝1,故C正确; 对于D,因为A1B ∥ CD1,A1B⊄平面D1AC,D1C⊂平面D1AC, 故A1B ∥平面D1AC, 点P到平面D1AC的距离等于点B到平面D1AC的距离, 故×V＝1,故D正确. 三、填空题 12.(2026·攀枝花模拟)已知母线长为10的圆台的表面积为210π,且其上底面的半径r与下底面的半径R满足R＝3r,则R＝____________.  9 因为该圆台的表面积为210π,母线长l＝10,R＝3r, 所以π(r＋3r)×10＋πr2＋π×(3r)2＝210π, 解得r＝3(负值已舍去),则R＝9. 13.(2020·新高考Ⅱ卷)棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中,M,N分别为棱BB1,AB的中点,则三棱锥A1－D1MN的体积为____________.  如图,由正方体棱长为2及M,N分别为BB1,AB的中点,得 ＝2×2－2××2×1－×1×1＝, 又易知D1A1为三棱锥D1－A1MN的高,且D1A1＝2, 所以 ＝··D1A1 ＝××2＝1. 14.(2023·新高考Ⅰ卷)在正四棱台ABCD－A1B1C1D1中,AB＝2,A1B1＝1,AA1＝,则该棱台的体积为____________.  法一　如图所示,设点O1,O分别为正四棱台ABCD－A1B1C1D1上、下底面的中心,连接B1D1,BD, 则O1,O分别为B1D1,BD的中点. 连接O1O, 则O1O即正四棱台ABCD－A1B1C1D1的高. 过点B1作B1E⊥BD,垂足为E, 则B1E＝O1O. 因为AB＝2,A1B1＝1, 所以OB＝,O1B1＝, 所以BE＝OB－OE＝OB－O1B1＝, 又AA1＝, 所以BB1＝, 所以B1E＝, 所以O1O＝, 所以×(22＋12＋)×. 法二　如图,将正四棱台ABCD－A1B1C1D1补形成正四棱锥P－ABCD. 因为AB＝2,A1B1＝1,AB∥A1B1, 所以A1,B1,C1,D1分别为PA,PB,PC,PD的中点, 又A1A＝,所以PA＝2,即PB＝2. 连接BD,取BD的中点O,连接PO, 则PO⊥平面ABCD, 易知BO＝,所以PO＝, 所以正四棱台ABCD－A1B1C1D1的高为, 所以×(22＋12＋)×. $