5.2平面向量基本定理及向量坐标运算 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦平面向量基本定理及坐标运算，依据课标要求梳理四大核心考点，通过强基础模块巩固基底表示、坐标运算等基础，研考点模块精准突破基本定理应用、共线参数求解等高频题型，对接高考评价体系，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题训练+方法建模+素养提升”，如例3融入2024全国甲卷真题，总结共线条件“交叉相乘积相等”技巧，培养数学思维与运算能力。通过一题多解（如例1几何法与坐标法）和AI变式，帮助学生掌握解题模型，教师可据此高效指导学生突破考点，提升高考得分率。

第2节　平面向量基本定理及向量坐标运算 2027 课标解读　1.掌握平面向量基本定理.2.掌握平面向量的正交分解及坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算.4.能用坐标表示平面向量共线、垂直. 强基础•固本增分 研考点•精准突破 目录索引 强基础•固本增分 自主诊断 1.(人教B版必修第二册6.2.1节练习A第3题改编)在平行四边形ABCD中, =a,=b,E为DC上一点,且DE=2EC,则可用基底{a,b}表示为(　 ) A.-a+b B.-a+b C.a-b D.a-b A 解析 依题意,=-a+b.故选A. 2.(人教A版必修第二册6.3.4节练习第2题改编)若a=(2,3),b=(x,-6),则当a∥b时,x的值等于(　　) A.9 B.-9 C.-4 D.4 C 解析 依题意有2×(-6)=3x,所以x=-4.故选C. 3.(人教A版必修第二册6.3.4节例6改编)已知a=(2,1),b=(-3,4),则3a+4b的坐标为　　　　　　.  (-6,19) 解析 3a+4b=3(2,1)+4(-3,4)=(6,3)+(-12,16)=(-6,19). 4.(人教A版必修第二册6.3.3节例5改编)如图,已知▱ABCD的三个顶点A,B,C的坐标分别是(-2,1),(-1,3),(3,4),则顶点D的坐标为　　　　　.  (2,2) 解析 设顶点D的坐标为(x,y). 因为=(-1-(-2),3-1)=(1,2), =(3-x,4-y), 又,所以(1,2)=(3-x,4-y). 即解得 所以顶点D的坐标为(2,2). 知识梳理 1.平面向量基本定理 零向量不能组成基底 如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,　 　　　一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.若e1,e2不共线,我们把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个　　　　.  微点拨 基底给定,同一向量的分解形式唯一.如果对于一个基底{e1,e2},有a=λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2,则可以得到 有且只有 基底 2.平面向量的坐标运算 向量与坐标之间用等号连接 运算 坐标表示(设a=(x1,y1),b=(x2,y2)) 加法 a+b=(x1+x2,y1+y2) 减法 a-b=(x1-x2,y1-y2) 数乘 λa=(λx1,λy1),其中λ∈R 已知A(x1,y1),B(x2,y2) ,则=(x2-x1,y2-y1). 微点拨 1.的坐标是分别用点B的横、纵坐标减去点A的横、纵坐标,既有方向的信息也有大小的信息. 2.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a=b⇔x1=x2且y1=y2. 3.平面向量共线的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔　　　 　.  微思考 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件可以是吗? x1y2-x2y1=0 提示 不可以.因为当时一定有a∥b,但当a∥b时,不一定成立,因为x2,y2中可能有0. 研考点•精准突破 考点一　平面向量基本定理的应用 例1　(1)(2026·浙江余姚期中)如图所示,在矩形ABCD中,E为边BC的中点,F为边CD上靠近点D的三等分点,G为EF的中点,记=λ+μ,则λ+μ=(　　) A. B. C. D. A 考点一 考点二 考点三 解析 (方法1)由题意可得,因为G为EF的中点,所以,则λ=,μ=,所以λ+μ=.故选A. (方法2)分别以AB,AD所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系,不妨设AB=3a,AD=2b,则E(3a,b),F(a,2b),于是G(2a,),则=(2a,).又因为=(3a,0), =(0,2b),所以由=λ+μ得(2a,)=λ(3a,0) +μ(0,2b),于是得3aλ=2a,2bμ=,则λ=,μ=,所以λ+μ=.故选A. 考点一 考点二 考点三 (2)(2026·江西赣州期中)如图,第一象限内的点M和第二象限内的点N分别在直线y=x与y=-x上,阴影部分(不含边界)内的点P满足=x+y.若||=||,则(　　) A.x>0,y>0,x>y B.x<0,y<0,x<y C.x>0,y<0,x+y>0 D.x>0,y<0,x+y<0 C 考点一 考点二 考点三 解析 构造平行四边形OAPB(如图所示),则=x+y,其中=x=y.因为同向,反向,所以x>0,y<0.当点P在x轴上时,||=||,所以当点P在阴影部分(不含边界)内时,||>||,从而|x|>|y|,则x+y>0.综上,x>0,y<0,x+y>0.故选C. 考点一 考点二 考点三 规律方法　应用平面向量基本定理的注意事项 (1)选定基底后,通过向量的加法、减法、数乘运算以及向量平行的充要条件,把相关向量用这一个基底表示出来. (2)强调几何性质在向量运算中的作用,用基底表示未知向量,常借助图形的几何性质,如平行、相似等. (3)强化共线向量定理的应用. 考点一 考点二 考点三 [对点训练1](2026·湖南衡阳模拟)如图,在△ABC中,=2,N为线段AM上一点,且=(1-λ),则实数λ的值为(　　) A. B. C. D. D 考点一 考点二 考点三 解析 因为=2,所以,故)=.因为A,N,M三点共线,所以设=t(t∈R),则.又因为=(1-λ),由平面向量基本定理得解得λ=.故选D. 考点一 考点二 考点三 考点二　平面向量的坐标运算 例2　(1)(2026·甘肃白银期末)已知=(-6,3),=(3,9),若,则=(　　) A.(5,-3) B.(6,-2) C.(-3,5) D.(-2,6) C 解析 因为,所以),解得(3,9)+(-6,3)=(1,3)+(-4,2)=(-3,5).故选C. 考点一 考点二 考点三 (2)(2025·江苏淮安期末)正方形ABCD的边长为4,E为BC的中点,F为线段CD上一点(不包括C,D两点).若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的取值范围为　　　　　.  (1,) 考点一 考点二 考点三 解析 如图,以A为坐标原点,建立平面直角坐标系,则A(0,0),E(4,2),C(4,4). 设F(a,4),a∈(0,4),可得=(4,4),=(4,2),=(a,4). 因为=λ+μ=(4λ+aμ,2λ+4μ), 所以解得 因此可得λ+μ==2-,由于a∈(0,4),则8-a∈(4,8), 可得λ+μ=2-∈(1,),所以λ+μ的取值范围为(1,). 考点一 考点二 考点三 规律方法　平面向量坐标运算的技巧 (1)进行平面向量加法、减法、数乘的坐标运算时,首先利用相应的运算法则进行运算,然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则,转化为方程(组)求解. (2)在平面图形中解决向量有关的范围等问题时,若给出的图形适合建立坐标系,则可建立坐标系,从而通过向量的坐标运算解决相关问题. 考点一 考点二 考点三 [对点训练2](1)在△ABC中,顶点A的坐标为(3,1),边BC的中点D的坐标为 (-3,1),则△ABC的重心坐标为　　　　　.  (-1,1) 解析 设△ABC的重心为G(x,y),则. 因为A(3,1),D(-3,1),所以(x-3,y-1)=(-6,0), 即解得 即G(-1,1),即△ABC的重心坐标为(-1,1). 考点一 考点二 考点三 (2)(2026·陕西西安期中)已知在平行四边形ABCD中,A(1,1),B(-2,3),C(0,-4),则点D的坐标为　　　　.  (3,-6) 解析 因为四边形ABCD为平行四边形,所以. 又A(1,1),B(-2,3),C(0,-4),设D(x,y),则=(-3,2),=(-x,-4-y), 所以(-3,2)=(-x,-4-y), 则解得 所以点D的坐标为(3,-6). 考点一 考点二 考点三 考点三　向量共线的坐标表示及其应用 考向1　利用向量共线的条件求参数 例3　(1)(2024·全国甲,理9)设向量a=(x+1,x),b=(x,2),则(　　) A.x=-3是a⊥b的必要条件 B.x=-3是a∥b的必要条件 C.x=0是a⊥b的充分条件 D.x=-1+是a∥b的充分条件 C 解析 若a⊥b,则x(x+1)+2x=0,解得x=0或x=-3.若a∥b,则2(x+1)-x2=0,解得x=1+或x=1-.故选C. 考点一 考点二 考点三 教考链接 (人教B版必修第二册习题6-2B组第4题)已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行? 解 (方法1)ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4), 当ka+b与a-3b平行时,存在唯一实数λ,使ka+b=λ(a-3b). 由(k-3,2k+2)=λ(10,-4),得解得k=λ=-. (方法2)由方法1知ka+b=(k-3,2k+2),a-3b=(10,-4). ∵ka+b与a-3b平行, ∴(k-3)×(-4)-10(2k+2)=0,解得k=-. 考点一 考点二 考点三 (2)(2026·广东珠海期中)如果A(2m,),B(4,-1),C(-4,-m)三点在同一条直线上,则常数m的值等于　　　　　 　　.  考点一 考点二 考点三 解析 因为A(2m,),B(4,-1),C(-4,-m),所以=(4-2m,-),=(-8,-m+1). 因为点A,B,C在同一条直线上, 所以, 所以(4-2m)(-m+1)-×8=0, 即m2-3m-12=0, 解得m1=,m2=. 所以m的值是. 考点一 考点二 考点三 规律方法　根据向量共线的条件求参数的基本方法 (1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),a∥b,则有x1y2=x2y1,可简记为“交叉相乘积相等”. (2)一般地,已知平面向量a,b和实数m1,n1,m2,n2,若(m1a+n1b)∥(m2a+n2b),则有a∥b,根据这一结论,当已知(m1a+n1b)∥(m2a+n2b)时,可以不必写出m1a+n1b,m2a+n2b的坐标,而可直接根据a∥b求得参数值. 考点一 考点二 考点三 [对点训练3](1)(2026·山东聊城期中)已知α∈(0,π),向量a=(1,), b=(cos α,sin α),若a∥b,则α=(　　) A. B. C. D. B 解析 因为α∈(0,π),所以sin α>0.向量a=(1,),b=(cos α,sin α),若a∥b, 则sin α=cos α>0,可得tan α=,故α=.故选B. 考点一 考点二 考点三 (2)(2025·云南玉溪二模)已知a=(x,2),b=(6,x+1),若a,b方向相反,则x=　　　　.  -4 解析 因为a,b方向相反,所以a∥b,则x(x+1)-2×6=0,解得x=-4或x=3. 当x=3时,a,b方向相同,当x=-4时,a,b方向相反,所以x=-4. 考点一 考点二 考点三 考向2　利用向量共线的条件求点或向量的坐标 例4　[一题多变]已知点A(-1,1),B(1,3),C(2,2),若点M在线段AC上,且BM=2,则点M的坐标为　　　　　　　　.  () 考点一 考点二 考点三 解析 依题意,设=λ(0≤λ≤1),而=(3,1), 所以=λ(3,1)=(3λ,λ), 于是=(3λ,λ)-(2,2)=(3λ-2,λ-2). 由BM=2得=2,解得λ=. 又0≤λ≤1,所以λ=,此时=(), 故M(). 考点一 考点二 考点三 AI变式 [变式1](探索性问题)本例中,若已知条件不变,则在线段AC上是否存在点M,使得BM=4? 解 由本例的解答过程,假设在线段AC上存在点M,使得BM=4, 则=4, 解得λ=2或λ=-.又0≤λ≤1, 所以λ=2和λ=-均不符合题意,故不存在点M,使得BM=4. 考点一 考点二 考点三 [变式2](利用共线向量求交点坐标)本例中,条件不变,若O为坐标原点,试求直线OB与直线AC的交点P的坐标. 解 由于直线OB与直线AC相交于点P,则O,B,P三点共线,不妨设=k(k∈R),而=(1,3), 所以=(k,3k),从而=(k+1,3k-1).又因为A,P,C三点共线,所以, 而=(3,1),所以k+1=3(3k-1),解得k=,于是=(),即点P的坐标为(). 考点一 考点二 考点三 规律方法　利用向量共线的条件求点或向量坐标的技巧 (1)一般地,在线段(直线)AB上求满足某一条件的点P时,不是直接设出点P的坐标,而是依据点P在AB上,A,B,P三点共线,从而可设(λ∈R),然后根据满足的条件求出实数λ的值,进一步求出点P的坐标. (2)求两条直线的交点坐标时,一般可通过两个“三点共线”关系,建立参数的方程(组)进行求解. 考点一 考点二 考点三 [对点训练4](2025·上海嘉定期中)已知A(1,1),B(4,0),点P在线段AB的延长线上,且||=3||,则点P的坐标为　　　　　.  　(,-) 解析 设O是坐标原点,因为点P在线段AB的延长线上,且||=3||,所以=3,则(3,-1)=(,-),所以=(1,1)+(,-) =(,-),所以点P的坐标是(,-). 考点一 考点二 考点三 $