素能培优(2) 曲线的公切线问题 专题课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“曲线的公切线问题”高考热点，依据高考评价体系梳理公切线定义及求方程、判断条数、参数问题三大题型，结合2022年全国甲卷真题及多地模拟题，明确参数问题、公切线方程为高频考点，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题解析+题型规律+素养落地”，以2022年全国甲卷参数问题为例，示范设切点、列方程、导数求最值流程，培养数学思维与模型观念。提供规律方法与易错点提示，助力学生掌握技巧，教师可精准教学提升复习效率。

素能培优(二)　曲线的公切线问题 2027 既与曲线y=f(x)相切又与曲线y=g(x)相切的直线称为y=f(x)与y=g(x)的公切线,两曲线的公切线问题,主要利用导数的几何意义进行解决,关键是抓住切线的斜率进行转化和过渡,一般需要根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数:①切点处的导数是切线的斜率;②切点在切线上;③切点在曲线上.具体做法如下:设公切线在y=f(x)上的切点P1(x1,f(x1)),在y=g(x)上的切点P2(x2,g(x2)),则f'(x1)=g'(x2)=. 公切线问题是高考的热点内容,主要有三种题型:一是求公切线方程,二是判断公切线条数,三是解决相关的参数问题,以及与公切线有关的证明范围问题. 题型一　求公切线方程 考向1　求共切点的公切线方程 例1　(2025·山西太原模拟)已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)=x2-m与g(x)=6ln x-4x在公共点处的切线相同,那么该公切线方程为　　　　　　　.  2x-y-6=0 题型一 题型二 题型三 解析 由已知,设曲线f(x),g(x)在公共点P(x0,y0)处的切线相同.由于f'(x)=2x,g'(x)=-4,所以有因为x0>0,所以解得x0=1,m=5.此时点P(1,-4),公切线斜率k=2x0=2,因此公切线方程为y+4=2(x-1),即2x-y-6=0. 题型一 题型二 题型三 规律方法　若两曲线在公共点处存在公切线,当求该公切线方程时,可利用导数的几何意义,求出其中一条曲线在公共点处的切线方程,再验证其与另一条曲线相切即可;也可分别求出两条曲线在公共点处的切线方程进行对照即可. 题型一 题型二 题型三 [对点训练1](2025·四川成都模拟)已知函数g(x)=的图象与函数f(x)=aln x的图象在公共点处有相同的切线,则公切线方程为　　　　　　　　.  x-2ey+e2=0 题型一 题型二 题型三 解析 函数f(x)=aln x的定义域为(0,+∞),可得f'(x)=,g'(x)=,设曲线f(x)=aln x与曲线g(x)=的公共点为(x0,y0),由于在公共点处有共同的切线,所以,所以x0=4a2(a>0).又f(x0)=g(x0),可得aln x0=,联立可得 解得x0=e2,y0=e,所以公共点坐标为(e2,e),且切线斜率k=, 于是公切线方程为y-e=(x-e2), 即x-2ey+e2=0. 题型一 题型二 题型三 考向2　求切点不同的公切线方程 例2　已知函数f(x)=ex-1,g(x)=ex2,若直线l是曲线y=f(x)与曲线y=g(x)的公切线,则l的方程为(　　) A.ex-y=0 B.ex-y-e=0 C.x-y=0 D.x-y-1=0 B 题型一 题型二 题型三 解析 设l:y=kx+m与曲线y=f(x)相切于点A(x0,y0),与y=g(x)相切于点B(x1,y1), 由f'(x)=ex-1,可得l的斜率k=,所以x0+m=①. 由g'(x)=ex,可得k=ex1,所以+m=,即m=-②. 又因为ex1③, 将②③代入①中,可得ex1x0-x1, 由③易知,x1>0,则x0-1=x1④, 将④代入③,可得x1,则x1-1-ln(x1)=0,令h(x)=x-1-ln x,则h'(x)=,当0<x<1时,h'(x)<0,h(x)单调递减;当x>1时,h'(x)>0,h(x)单调递增,所以h(x)≥h(1)=0,当且仅当x=1时,等号成立,故x1=1,可得x1=2, 所以m=-×22=-e,k=×2=e,所以l的方程为y=e(x-1),即ex-y-e=0.故选B. 题型一 题型二 题型三 规律方法　当求与两条曲线相切于不同两点的公切线方程时,可以分别设出公切线与两条曲线的切点坐标,利用导数几何意义分别得到两条切线方程,再令它们的斜率与截距分别相等,从而建立关于切点坐标的方程组,解方程组求得切点坐标后即可代入得到公切线方程. 题型一 题型二 题型三 题型二　判断公切线条数 例3　(2025·山东临沂模拟)试判断曲线y=2ex与曲线y=2ln(x+2)的公切线的条数. 题型一 题型二 题型三 解 设公切线l与曲线y=2ex相切于点A(x1,2),与曲线y=2ln(x+2)相切于点B(x2,2ln(x2+2)).由y=2ex得y'=2ex,由y=2ln(x+2)得y'=. 令2,即,则x2+2=,且=2, 即2ln(x2+2)-2=2(x2-x1),化为ln -2-x1),所以(x1+1)(-1)=0,解得x1=-1或x1=0.当x1=-1时,k=,A(-1,),此时公切线l的方程为y-(x+1),即y=x+. 当x1=0时,k=2,A(0,2),此时公切线l的方程为y-2=2(x-0),即y=2x+2.综上,公切线l的方程为y=x+或y=2x+2,共有2条. 题型一 题型二 题型三 规律方法　判断两条曲线的公切线条数时,可以分别设出公切线与两条曲线的切点坐标,利用导数几何意义分别得到两条切线方程,再令它们的斜率与截距分别相等,从而建立关于切点坐标的方程组,则该方程组的解的个数即为两曲线公切线的条数. 题型一 题型二 题型三 [对点训练2]曲线C1:y=x2与曲线C2:y=ln x公切线的条数是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 C 题型一 题型二 题型三 解析 设公切线与y=x2的切点为(x1,),与y=ln x的切点是(x2,ln x2),y=x2的导数为y'=2x,y=ln x的导数是y'=, 则在切点(x1,)处的切线方程为y-=2x1(x-x1),即y=2x1x-,则在切点 (x2,ln x2)处的切线方程为y-ln x2=(x-x2),即y=x+ln x2-1, 所以 整理得-ln x1=1+ln 2,令f(x)=x2-ln x,x∈(0,+∞),则f'(x)=2x-,由f'(x)>0,得x>;由f'(x)<0,得0<x<,所以f(x)在区间(0,)上单调递减,在区间(,+∞)上单调递增,所以f(x)min=f()=ln 2<1+ln 2, 题型一 题型二 题型三 即函数f(x)与y=1+ln 2的图象如图所示,由图可知,函数f(x)的图象与直线y=1+ln 2有两个交点,则方程x2-ln x1=1+ln 2有两个不相等的正根,即曲线C1:y=x2与曲线C2:y=ln x公切线的条数是2. 题型一 题型二 题型三 题型三　与公切线有关的参数问题 例4　(2022·全国甲,文20节选)已知函数f(x)=x3-x,g(x)=x2+a,曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线也是曲线y=g(x)的切线.求a的取值范围. 题型一 题型二 题型三 解 ∵f'(x)=3x2-1,∴f'(x1)=3-1,则曲线y=f(x)在点处的切线为 y-(-x1)=,整理可得y=(3-1)x-2.由g(x)=x2+a,得g'(x)=2x.设曲线y=g(x)在点(x2,g(x2))处的切线为y-(+a)=2x2(x-x2),整理得y=2x2x-+a. 由题可得∴a=-2. 令h=9-8-6+1,则h'(x1)=36-24-12x1=12x1(x1-1)(3x1+1).当x1<-或0<x1<1时,h'<0,此时函数y=h单调递减;当-<x1<0或x1>1时,h'>0,此时函数y=h单调递增.则h,h(0)=1,h(1)=-4,∴h=h(1)=-4, ∴a≥=-1,即a的取值范围为[-1,+∞). 题型一 题型二 题型三 规律方法　根据两曲线公切线方程或公切线的条数确定参数值或取值范围时,仍然需要首先设出公切线与两条曲线的切点坐标,利用导数几何意义分别得到两条切线方程,再令它们的斜率与截距分别相等,从而建立关于切点坐标的方程组,解方程组即可得参数值,或根据方程组解的个数确定参数范围. 题型一 题型二 题型三 [对点训练3](2025·陕西榆林模拟)已知曲线f(x)=x2与g(x)=ln(ax)(a>0)有公共切线,则实数a的最大值为　　　　.  解析 设公切线与曲线f(x)=x2和g(x)=ln(ax)(a>0)的切点分别为(x1,),(x2,ln(ax2)), ∵f'(x)=2x,g'(x)=,∴k1=2x1,k2=,∴y-=2x1(x-x1),y-ln(ax2)=(x-x2), ∴ ∴+ln(ax2)-1=0, 题型一 题型二 题型三 即1-ln a=+ln x2. 令h(x)=+ln x,则h'(x)=,当0<x<时,h'(x)<0,h(x)单调递减;当x>时,h'(x)>0,h(x)单调递增,∴h(x)≥h()=+ln,即1-ln a≥+ln, 即ln a≤ln,即0<a≤,故a的最大值为. 题型一 题型二 题型三 $