4.8　解三角形的实际应用 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“解三角形的实际应用”核心考点，依据课标“能用正余弦定理解决简单实际问题”的要求，梳理距离、高度、角度测量三大考查方向，通过真题统计明确高频题型分布，构建“术语辨析-模型转化-定理应用”的完整备考体系。 课件亮点在于“真题情境+规律提炼+素养培养”的复习策略，如以2025年安徽六安期中距离测量题为例，示范“确定三角形-分析边角关系-用正余弦定理求解”的解题流程，培养学生数学眼光（抽象现实问题为几何模型）和数学思维（推理运算能力）。特设“规律方法”和“对点训练”，助力学生掌握转化技巧，教师可据此精准教学，提升高考冲刺效率。

第8节　解三角形的实际应用 2027 课标解读　能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题. 强基础•固本增分 研考点•精准突破 目录索引 强基础•固本增分 自主诊断 1.(人教B版必修第四册习题9.2第3题改编)如图所示,在倾斜角等于15°的山坡上有一根旗杆,当太阳的仰角是45°时,旗杆在山坡上的影子的长是30米,则旗杆的高为(　　) A.15米 B.15米 C.15米 D.30米 B 解析 如图,∠BAC=15°,∠BAD=45°,则∠DAC=30°,∠ADC=45°, AC=30米. 由正弦定理,得, 即,解得CD=15. 故选B. 2.(人教B版必修第四册9.2节例1改编)如图所示,A,B是某沼泽地上不便到达的两点,C,D是可到达的两点.已知A,B,C,D 4点都在水平面上,而且已经测得∠ACB=45°,∠BCD=30°,∠CDA=45°,∠BDA=15°,CD=100 m,则AB的 长为　　 　　m.  解析 因为A,B,C,D 4点都在水平面上,所以∠BDC=∠BDA+∠CDA=15°+45°=60°,因此∠CBD=180°-30°-60° =90°,所以在Rt△BCD中,BC=100cos 30°=50(m). 在△ACD中,因为∠CAD=180°-45°-30°-45°=60°, 所以由正弦定理可知, 因此AC= m. 在△ABC中,由余弦定理可知 AB2=()2+(50)2-2××50cos 45°=,从而有AB= m. 知识梳理 1.实际测量中的几个有关术语 术语名称 术语意义 图形表示 仰角与 俯角 在目标视线与水平视线所成的角中,目标视线在水平视线上方的叫做仰角,目标视线在水平视线下方的叫做俯角   方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角.方位角α的范围是0°≤α<360°   术语名称 术语意义 图形表示 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角,通常表达为北(南)偏东 (西)α 例:(1)北偏东α:   (2)南偏西α:   坡角与 坡比 坡面与水平面所成二面角的度数叫做坡度,θ为坡角;坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比,即i==tan θ   2.解三角形实际应用题的步骤 微点拨 要理清各种角的含义,尤其是方位角和方向角,解题中出现较多的是方向角. 研考点•精准突破 考点一　测量距离问题 例1　(1)(2025·安徽六安期中)如图,为了测量河对岸两点C,D间的距离,现在沿岸相距2 km的两点A,B处分别测得∠BAC=105°,∠BAD=60°, ∠ABC=45°,∠ABD=60°,则C,D间的距离为(　　) A. km B. km C.2 km D.2 km C 考点一 考点二 考点三 解析 在△ABC中,由正弦定理,得,即,得BC=4sin 105°=4sin 75°.在△ABD中, ∠ABD=∠BAD=60°,△ABD是等边三角形,BD=AB=2.在△BCD中, ∠DBC=15°,由余弦定理得CD2=BC2+BD2-2BC·BDcos∠DBC =16sin275°+4-2×4sin 75°×2×cos 15° =16sin275°+4-2×4sin 75° ×2×sin 75°=4,所以CD=2.故选C. 考点一 考点二 考点三 (2)(2026·广东惠州期末)位于灯塔A处正西方相距30海里的B处有一艘甲船,需要海上加油,位于灯塔A处北偏东45°方向有一与灯塔A相距10海里的C处有一艘乙船,则乙船前往B处支援甲船需要航行的最短距离是(　　) A.10海里 B.10海里 C.8海里 D.30海里 B 考点一 考点二 考点三 解析 如图,由题意得AB=30,AC=10,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos 135°=302+(10)2-2×30×10×(-)=1 700,所以BC=10,则乙船航行的距离为10海里.故选B. 考点一 考点二 考点三 规律方法　解决距离问题的基本步骤 (1)确定解决问题所需要的三角形. (2)分析三角形中的已知量和未知量,将未知量放在另一个三角形中求解. (3)在确定的三角形中运用正弦定理或余弦定理求解. 考点一 考点二 考点三 [对点训练1](2025·河南郑州期末)某数学建模活动小组在开展主题为“空中不可到达两点的测距问题”的探究活动中,构建了如图所示的几何模型,该模型中MA,NB均与平面ABC垂直.现已测得可直接到达的两点间距离AC=20 m,BC=30 m,用测角仪测得∠ACB=150°,且在点C处测得点M,N的仰角分别为45°,30°,则M,N两点之间的距离为(　　) A.60 m B.50 m C.60 m D.50 m D 考点一 考点二 考点三 解析 由题意知∠MCA=45°,∠NCB=30°,所以MA=20 m,NB=30 m.因为∠ACB=150°,在△ABC中, AB==70 m.在直角梯形MABN中,由勾股定理得MN==50 m.故选D. 考点一 考点二 考点三 考点二　测量高度问题 例2　(1)(2025·福建福州期末)如图,测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.现测得∠BCD=α,∠BDC=β,CD=m,并在点C测得塔顶A的仰角为θ,则塔高AB为(　　) A.- B. C. D. B 考点一 考点二 考点三 解析 在△BCD中,∠BCD=α,∠BDC=β,CD=m,则∠DBC=π-α-β.由正弦定理,可得,则BC=,因此在△ABC中,有AB=BCtan θ=.故选B. 考点一 考点二 考点三 (2)(2026·广东江门期末)某船在海面上航行至A处,测得山PC位于其正西方向,且山顶P的仰角为45°,该船继续沿南偏东30°的方向航行600米至B处,测得山顶P的仰角为30°,则该山顶高于海面(　　) A.300米 B.400米 C.500米 D.600米 D 考点一 考点二 考点三 解析 由题意画出示意图(如图所示),PC⊥平面ABC,∠PAC=45°, ∠PBC=30°,∠CAB=90°+30°=120°.设山顶高于海面的距离为h,由题意知,AC==h,BC=h.在△ABC中,AB=600, ∠CAB=120°,由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AC·ABcos 120°,即(h)2=h2+6002-2×h×600×(-),即2h2-600h-360 000=0,解得h=600或 h=-300(舍去),所以该山顶高于海面600米.故选D. 考点一 考点二 考点三 规律方法　解决高度问题的三个注意点 (1)理解好两类角:仰角、俯角是在铅垂面上所成的角,方向角、方位角是在水平面上所成的角,注意区分. (2)画好两个图形:高度问题一般涉及空间与平面问题,因此要画好两个图形,即平面图形和空间图形. (3)做好一个转化:将空间问题转化为平面问题. 考点一 考点二 考点三 [对点训练2](2025·广东湛江模拟)在一堂数学实践探究课中,同学们用镜面反射法测量学校钟楼的高度.如图所示,将小镜子放在操场的水平地面上,人退后至从镜中能看到钟楼顶部的位置,此时测量人和小镜子的距离为a1=1.00 m,之后将小镜子前移a=6.00 m,重复之前的操作,再次测量人与小镜子的距离为a2=0.60 m,已知人的眼睛距离地面的高度为h=1.75 m,则钟楼的高度大约是(　　) A.27.75 m B.27.25 m C.26.75 m D.26.25 m D 考点一 考点二 考点三 解析 如图,设钟楼的高度为PQ,因为△MKE∽△PQE,可得EQ=. 由△NTF∽△PQF,可得FQ=,故EQ-FQ==a, 故PQ==26.25 m.故选D. 考点一 考点二 考点三 考点三　测量角度问题 例3　(2026·安徽蚌埠期中)一艘渔船航行到A处时看灯塔B在A的南偏东15°,距离为12海里,灯塔C在A的北偏东60°,距离为12海里,该渔船由A沿正东方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏西30°方向,则此时灯塔C位于渔船的(　　) A.南偏东60°方向 B.南偏西30°方向 C.北偏西60°方向 D.北偏西30°方向 D 考点一 考点二 考点三 解析 如图,在△ABD中,B=15°+30°=45°, AB=12,∠ADB=60°,由正弦定理,得=24,所以AD=24.在△ACD中,因为AC=12, ∠CAD=30°,由余弦定理,得CD2=AC2+AD2-2AC·ADcos 30°=(12)2+242-2×12×24×=144,所以CD=12.由正弦定理得 ,所以sin∠CDA=.因为AD>AC,故∠CDA为锐角,故∠CDA=60°.此时灯塔C位于渔船的北偏西30°方向.故选D. 考点一 考点二 考点三 规律方法　解决角度问题的注意事项 (1)依据题意画出正确的示意图; (2)明确方向角、方位角的含义; (3)求角必先求角的正弦值或余弦值; (4)注意根据实际意义进行取舍. 考点一 考点二 考点三 [对点训练3](2025·山东泰安模拟)公路北侧有一幢楼,高为60米,公路与楼脚底面在同一水平面上.某人在点A处测得楼顶的仰角为45°,他在公路上自西向东行走,行走60米到点B处,测得仰角为45°,沿该方向再行走60米到点C处,测得仰角为θ,则sin θ=(　　) A. B.3 C.-2 D.- A 考点一 考点二 考点三 解析 如图所示,由题意知DE=AB=BC=60,∠DAE=∠DBE=45°,则AE=BE=AB=60, 故∠EAB=60°,则EC==60, 故DC==120, 则sin θ=sin∠DCE=.故选A. 考点一 考点二 考点三 $