解三角形的实际应用 课件-2027届高考数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“解三角形的实际应用”专题，依据课标要求梳理测量距离、高度、角度及最值四大核心考点，通过近5年高考真题与模拟题分析，明确正余弦定理应用、仰角俯角等高频考点权重，归纳“单三角构造”“双三角转化”等常考题型，对接高考评价体系。 课件亮点在于“真题实战+思维建模”，如以2021全国甲卷三角高程测量题为例，解析“辅助线构造-正弦定理应用-高度差计算”步骤，培养数学建模（数学眼光）与逻辑推理（数学思维）素养，提供“画图-判断类型-建立方程”解题路径，助力学生掌握得分技巧，教师可据此精准复习，提升备考效率。

数 学 构建知识体系 形成关键能力 提高学科素养 精准高效备考 高考能力梯级集训 第9节　解三角形的实际应用 返回目录 目录 1 2 3 基础满分练 课前 自检自测·夯基固本 能力高分练 课中 关键能力·可视思维 素养提升练 课中 高考定向·捕捉热点 第9节　解三角形的实际应用 基础 满分练 课前 自检自测·夯基固本 三个高考关键点 关键点1 测量距离 1.(2026·河北衡水开学考试)如图,两座山峰的高分别为AM=200 m,CN=300 m,为测量峰顶M和峰顶N之间的距离,测量队在B点(A,B,C在同一水平面上)测得M点的仰角为30°,N点的仰角为60°,且∠MBN=30°,则两座山峰峰顶之间的距离MN=(　　)[命题点❶] A.200 m B.200 m C.400 m D.600 m A 返回目录 解析:在Rt△ABM中,BM==400 m,在Rt△BCN中, BN==200 m, 在△BMN中,MN== =200 m. 返回目录 2. (人教A版必修第二册教材习题改编)如图,小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶,小明在A处测得公路上B,C两点的俯角分别为30°,45°,且∠BAC=135°.若山高AD=150 m,汽车从C点到B点历时25 s,则这辆汽车的速度为　　　　m/s.[命题点❶] 6 返回目录 解析:由题意可知,AB=300 m,AC=150 m,在△ABC中,由余弦定理可得 BC==150 m,所以这辆汽车的速度为150=6 m/s. 返回目录 关键点2 测量高度 3.(人教A版必修第二册教材习题改编)已知A船在灯塔C北偏东80°处,且A到C的距离为2 km,B船在灯塔C北偏西40°处,A,B两船的距离为3 km,则B到C的距离为　　　　　km.[命题点❷] -1 解析:在△ABC中,|AB|=3,|AC|=2,∠ACB=120°, 由余弦定理可得9=|AB|2=|AC|2+|BC|2-2|AC|·|BC|cos 120°= 4+|BC|2+2|BC|,所以|BC|2+2|BC|-5=0.因为|BC|>0,解得|BC|=-1. 返回目录 关键点3 测量角度 4.(2025·天津模拟)在某测量中,设点A在点B的南偏东34°27',则点B在点A的(　　)[命题点❷] A.北偏西34°27' B.北偏东55°33' C.北偏西55°32' D.南偏西55°33' A 解析:如下图所示, 因为点A在点B的南偏东34°27',所以点B在点A的北偏西34°27'. 返回目录 5. 某校学生参加课外实践活动,“测量一土坡的倾斜程度”.如图,在坡脚A处测得坡顶一建筑物CD的顶端C对于山坡的倾斜程度为30°,沿土坡前进50 m到达E处,测得C对于山坡的倾斜度为60°,已知CD=45 m,BC⊥AB,设土坡对于平面的坡角为θ,则cos θ=(　　)[命题点❸] A.-1 B.-1 C. D. D 返回目录 解析:已知∠CAD=30°,∠CED=60°,则∠CEA=120°,所以∠ACE=180°-30°-120°=30°,即△ACE为等腰三角形, 所以|AE|=|CE|=50 m. 根据正弦定理sin∠CDE= 因为BC⊥AB,所以∠ABD=90°,故△ABD为直角三角形. 所以cos θ==sin∠ADB=sin(π-∠CDE)=sin∠CDE= 返回目录 回归教材•考教衔接 实际问题中的常用角 1.仰角和俯角[❶] 确定仰(俯)角应首先确定水平线 在同一铅垂面内目标视线与水平线所成的角,在水平线上方叫仰角,下方叫俯角(如图①). 图① 返回目录 2.方位角 从正北方向起按顺时针方向转到目标方向线之间的夹角叫做方位角.如点B的方位角为α(如图②). 图② 返回目录 3.方向角[❷] 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角. (1)北偏东α,即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③). (2)北偏西α,即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向. (3)南偏西等其他方向角类似. 图③ 返回目录 4.坡角与坡度[❸] 坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角);坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度),即i==tan θ(如图④). 图④ 返回目录 能力 高分练 课中 关键能力•可视思维 考点1　解三角形在实际测量问题中的应用 角度 1 测量距离问题 命题视角:会涉及测量两个无法直接到达的点之间的距离,通过建立三角形模型,再利用已知的边角关系求解,考查数学建模的核心素养. 返回目录 考点1 考点2 例1 (2025·河南南阳一模)如图,a是海面上一条南北方向的海防警戒线,在a上一点A处有一个水声监测点,另两个监测点B,C分别在A的正东方20 km和54 km处.某时刻,监测点B收到发自静止目标P的一个声波,8 s后监测点A,20 s后监测点C相继收到这一信号.在当时的气象条件下,声波在水中的传播速度是1.5 km/s. (1)设A到P的距离为x km,求x的值; (2)求静止目标P到海防警戒线a的距离(结果精确到0.01 km). 返回目录 考点1 考点2 解:(1)依题意,得PA-PB=1.5×8=12 km,PC-PB=1.5×20=30 km, 所以PB=(x-12)km,PC=(x+18)km. 在△PAB中,AB=20 km, 根据余弦定理,得cos∠PAB=同理,在△PAC中,cos∠PAC=由于cos∠PAB=cos∠PAC, 所以,解得x= km. 返回目录 考点1 考点2 (2)如图,作PD⊥a,垂足为D,在Rt△PDA中, PD=PA·cos∠APD=PA·cos∠PAB=x17.71 km.所以目标P到海防警戒线a的距离为17.71 km. 返回目录 考点1 考点2 测量高度问题 角度 2 命题视角:通过构造三角形,利用可测得的量来间接测量某个高度,问题常与仰角、俯角结合.解题时需要构造直角三角形,再结合正弦或余弦定理计算. 例2 (2026·福建高三开学考试)崇妙保圣坚牢塔,位于福建省福州市鼓楼区乌石山东麓,塔用花岗石砌建,风化后呈黑色,故俗称“乌塔”.崇妙保圣坚牢塔呈八角形,七层檐,塔心有曲尺形通道供登攀,塔上浮雕佛像及碑刻,是研究五代闽国历史与艺术的珍贵资料.如图,某测绘小组为了测 量崇妙保圣坚牢塔的实际高度AB,选取了与塔底B在 同一水平面内的两个测量基点C,D,现测得∠CBD=150°,∠BDC=16.9°,CD=20 m,在点C测得 塔顶A的仰角为71.6°.取tan 71.6°=3, sin 16.9°=0.291,则塔高AB约为(　　) A.33 m　　　　B.35 m　　　　C.37 m　　　　D.39 m B 返回目录 考点1 考点2 解析:在△BCD中,由正弦定理得, 则BC==11.64 m. 因为在点C测得塔顶A的仰角为71.6°,所以∠ACB=71.6°, 所以AB=BCtan∠ACB=11.64×3=34.92 m,故塔高AB约为35 m. 返回目录 考点1 考点2 角度 3 测量角度问题 命题视角:常转化为“已知两边一角”或“已知两角一边”的解三角形问题.题目会涉及方位角、航向等概念.需要根据题意画出正确的图形,明确各点位置关系后再进行计算. 例3 如图,某人在垂直于水平面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB,某目标点P沿墙面上的射线CM移动,此人为了准确瞄准目标点P,需计算由点A观察点P的仰角θ的大小.若AB=15 m,AC=25 m, ∠BCM=30°,则tan θ的最大值为　　　　.  返回目录 考点1 考点2 解析:如图,过点P作PO⊥BC于点O,连接AO,则∠PAO=θ. 设CO=x m(x>0), 则OP=x m. 在Rt△ABC中,AB=15 m,AC=25 m, 所以BC=20 m, 所以cos∠BCA= 所以AO= m. 返回目录 考点1 考点2 所以tan θ= 当,即x=时,tan θ取得最大值,最大值为 返回目录 考点1 考点2 对点训练 (1)(2025·吉林长春模拟)A,B是海面上相距2(1+)海里的两个观测点,B位于A的正东方向.现位于A点北偏东45°方向,B点北偏西60°方向的D点有一艘船发出求救信号,位于B点南偏西60°方向且与B点相距8海里的C点的救援船立即前往营救,其航行速度为10海里/时,则该救援船到达D点所需的最短时间为(　　) A.0.2小时　　B.0.3小时　　C.0.4小时　　D.0.5小时 C 返回目录 考点1 考点2 解析:过点D作DE⊥AB于点E, 在△ABD中,∠DAB=45°,∠DBA=30°,设DE=x,则AE=x,BE=x, 所以AB=x+x=2(1+)=2+2,解得x=2,所以DE=2,故BD=4. 在△BCD中,BD=4,∠DBC=180°-60°-60°=60°,BC=8, 由余弦定理得CD2=BC2+BD2-2BC·BDcos 60°=64+16-2×8×4=48, 故CD=4, 故该救援船到达D点所需的最短时间为=0.4小时. 返回目录 考点1 考点2 (2)(2025·江西模拟)如图,在山脚A处测得山顶P的仰角为45°,朝山顶沿坡度为15°的斜坡向上走3 km到点B处,此时测得山顶P的仰角为75°,则山高为(　　) A.km　 B.km　 C.2 km　 D.km A 返回目录 考点1 考点2 解析:因为AB=3,∠QAB=15°, 所以CQ=ABsin 15°=3sin(45°-30°)= 因为∠PBC=75°,∠ABC=180°-15°=165°,所以∠ABP=120°. 又∠PAB=45°-15°=30°,所以∠BPA=30°,所以PB=AB=3. 在△PBC中,PC=PBsin 75°=3sin(45°+30°)= 所以山高PQ=PC+CQ=km. 返回目录 考点1 考点2 解题思维路径 返回目录 考点1 考点2 方法导引 测量高度问题的求解策略 (1)理解仰角、俯角、方向(位)角是关键. (2)在实际问题中,若遇到空间与平面(地面)同时研究的问题,最好画两个图形,一个空间图形,一个平面图形. (3)注意山或塔垂直于地面或海平面,把空间问题转化为平面问题. 返回目录 考点1 考点2 解题思维路径 返回目录 考点1 考点2 方法导引 测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上,画出表示实际问题的图形,并在图形中标出有关的角和距离,再用正弦定理或余弦定理解三角形,最后将解得的结果转化为实际问题的解. 返回目录 考点1 考点2 考点2　解三角形在实际最值问题中的应用 命题视角:利用三角形的边角关系和三角函数的有界性来求面积、周长、边长等的最大值或最小值. 例4 (2025·上海模拟)某公园拟建造一个四边形的露营基地,如图ABCD所示.为考虑露营客人娱乐休闲的需求,在四边形ABCD区域中,将三角形ABD区域设立成花卉观赏区,三角形BCD区域设立成烧烤区,边AB,BC,CD,DA修建观赏步道,边BD修建隔离防护栏,其中CD=100米,BC=200米,∠A=. 返回目录 考点1 考点2 (1)若BD=250米,求角C的余弦值. (2)如果烧烤区是一个占地面积为9 600平方米的钝角三角形,那么需要修建多长的隔离防护栏(精确到0.1米)? (3)考虑到烧烤区的安全性,在规划四边形ABCD区域时,首先保证烧烤区的占地面积最大时,再使得花卉观赏区的面积尽可能大,则应如何设计观赏步道? 返回目录 考点1 考点2 解:(1)由余弦定理得cos C==- (2)S△BCD=BC·CD·sin C=100×200×sin C=9 600,解得sin C=, 又C为钝角,所以cos C==-由余弦定理得 BD== =60247.4米. 返回目录 考点1 考点2 (3)S△BCD=BC·CD·sin CBC·CD=10 000,当且仅当C=时等号成立, 此时,BD==100 设∠ABD=α,α∈(0,),在△ABD中,由正弦定理得,则S△ABD=AD·AB·sin A=sin αsin(-α) =+cos(2α-)]+1)=12 500,当且仅当2α-=0,即α=时等号成立,此时AB=AD=100,C=,所以应设计BD=100米, AB=AD=100米,C= 返回目录 考点1 考点2 解题思维路径 返回目录 考点1 考点2 关键能力思维链 返回目录 考点1 考点2 素养 提升练 课中 高考定向•捕捉热点 命题趋势1:命题注重考查学生的数学建模能力,会更加注重将实际问题抽象为三角形模型,如测量河流宽度、建筑物高度、导航等实际情境,考查运用正、余弦定理解决实际问题的能力,强调数学建模思想. 返回目录 1.(2021·全国甲,理8)2020年12月8日,中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位:m).三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图.现有A,B,C三点,且A,B,C在同一水平面上的投影A',B',C'满足∠A'C'B'=45°,∠A'B'C'=60°.由C点测得B点的仰角为15°,BB'与CC'的差为100,由B点测得A点的仰角为45°,则A,C两点到水平面A'B'C'的高度差AA'-CC'约为(≈1.732)(　　) A.346 B.373 C.446 D.473 B 返回目录 解析:过C作CD⊥BB'于点D,过B作BE⊥AA'于点E(图略),由题意, CD=C'B'=,AE=BE=B'A',AA'-CC'=AE+100=B'A'+100,在△A'B'C'中,由正弦定理得,即, B'A'==100(+1)≈273.2,AA'-CC'=B'A'+100=373.2≈373. 返回目录 命题趋势2:命题注重图形分析与转化,通过将平面多边形分割成若干个三角形,考查学生对图形的分析能力和转化能力,求解三角形的面积、周长、最值和范围问题. 返回目录 2.“不以规矩,不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规,“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺,是古人用来测量、画圆和方形图案的工具.今有一块圆形木板,以“矩”量之,如图.若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板,且这块四边形木板的一个内角α满足cos α=,则这块四边形木板周长的最大值为　　　.(单位:厘米)  30 cm 返回目录 解析:由题图得,圆形木板的直径为=5 cm. 设截得的四边形木板为ABCD,∠A=α,AB=c,BD=a,AD=b,BC=n,CD=m,如下图所示. 由cos α=且0<α<π可得sin α=,在△ABD中,由正弦定理得=5,解得a=4 在△ABD中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos α, 返回目录 所以80=b2+c2-bc=(b+c)2-bc≥(b+c)2-, 即(b+c)2≤400,可得0<b+c≤20,当且仅当b=c=10时等号成立. 在△BCD中,∠BCD=π-α,由余弦定理可得80=a2=m2+n2-2mncos(π-α) =m2+n2+mn=(m+n)2-mn≥(m+n)2-, 即(m+n)2≤100,即0<m+n≤10,当且仅当m=n=5时等号成立,因此,这块四边形木板周长的最大值为30 cm. 返回目录 $