广东省广州市2025-2026学年下学期八年级数学期末冲刺自编模拟卷

**基本信息** 本卷聚焦八年级数学核心知识，通过二次根式、勾股定理、平行四边形、一次函数等模块，融合几何直观、运算能力与数据意识，适配期末冲刺检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|最简二次根式、直角三角形判定、一次函数性质|基础概念辨析，结合图形直观| |填空题|6/24|函数自变量取值、折叠问题、菱形性质|小综合设计，如第16题平行四边形多结论判断| |解答题|9/86|二次根式计算、加权平均数、动点面积、矩形动态问题|注重应用与探究，如20题用一次函数分析公司优惠方案，25题动态三角形中点最小值探究，体现模型意识与创新思维|

广东省广州市2025-2026学年下学期八年级数学期末冲刺自编模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列二次根式中，最简二次根式是（     ） A． B． C． D． 2．下列各组中的三条线段，不能构成直角三角形的是（    ） A．9，40，41 B．，4，5 C．，1， D．40，50，60 3．如图，在中，，，是边上的中线，是的中点，若，则的周长为（     ） A． B． C． D． 4．下列各式计算正确的是（     ） A． B． C． D． 5．学校体育检测中，记录了男、女各名学生1分钟跳绳的个数，绘制了箱线图（如图），下列说法错误的是（     ） A．男生跳绳个数最多为个 B．女生跳绳成绩更稳定 C．男生跳绳个数的平均数小于女生跳绳个数的平均数 D．男生跳绳个数的中位数小于女生跳绳个数的中位数 6．对于一次函数，下列说法错误的是（     ） A．图象是经过两点，的一条直线 B．图象不经过第一象限 C．y随x的增大而减小 D．图象与x轴的交点坐标为 7．下列命题的逆命题是假命题的是（   ） A．矩形四个角都相等 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．菱形的四条边相等 D．菱形的对角线互相垂直 8．如图，中，，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线与交于点，与交于点E，连接．若，，则的长为（） A． B． C． D． 9．将直线向下平移3个单位长度后，正好经过点，则下列点中一定不在直线的图象上的是（     ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，且，，D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点E，于点F，G为四边形对角线的交点，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．函数中自变量x的取值范围是______． 12．已知点在一次函数（k为常数且）的图象上，则：______．（填“”“”或“”） 13．如图，一直角三角形纸片，在中，，，，点D在上，现将沿直线折叠，使它落在上，点C的对应点为点E，则的长为________． 14．某果农种植的金桔在采摘完后，发现大果、中果和小果的产量比为，若每斤的售价大果定为12元，中果定为8元，小果定为6元，则该批金桔的平均售价为每斤__________元． 15．如图，四边形是菱形，，，于点E，则______． 16．如图，平行四边形中，，点O是和的平分线的交点，过点O作，分别交于E、F两点，连接．以下结论： ①； ②点O是的中点； ③四边形的周长是四边形的周长的2倍； ④． 其中正确的结论有__________ （填写所有正确结论的序号）． 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（6分） 计算 (1)； (2)． 18．（6分） 李老师在计算学生的学期综合成绩时，从平时作业、期中考试、期末考试三个方面进行考核，各项满分均为100分．小丽和小强两位同学的各项成绩如表所示： 平时作业/分 期中考试/分 期末考试/分 小丽 80 82 92 小强 87 84 90 根据以上信息，解答下列各题． (1)这两人中平均成绩更高的同学是_____，该同学的平均成绩是______分． (2)若对平时作业、期中考试、期末考试的成绩分别赋予它们2，2，6的权，请计算小丽的平均成绩． 19．（8分） 如图，正方形网格的每个小方格的边长均为1，的顶点在格点上． (1)直接写出___________，___________，___________； (2)判断的形状，并说明理由； (3)直接写出边上的高为___________． 20．（8分） 活动中心想打造属于自己的文化品牌，在每一届夏令营结束后给孩子们送一个纪念品，了解到两家制作纪念品的公司的优惠方案分别如下： 甲：优惠后采购所需费用（元）与优惠前所需费用（元）满足如图所示的函数关系； 乙：优惠后采购所需费用（元）与优惠前所需费用（元）满足如图所示的函数关系． 根据图象中的信息，回答下列问题： (1)请分别求出和与之间的函数关系式； (2)请根据函数图象描述乙公司的优惠方案； (3)如果你是负责此次纪念品采购的工作人员，请通过计算说明选择哪家公司更省钱？ 21．（8分） 如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，再分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点． (1)射线的尺规作图过程是在作___________的___________线； (2)请在图中以点为顶点，作的角平分线，交于点．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (3)在（1）（2）的条件下，求证：四边形是平行四边形． 22．（10分） 已知点，及第一象限的动点，且，设，的面积分别为，． (1)分别求出，关于的函数解析式，以及相应的取值范围； (2)请判断是否成立？如果成立，求此时点坐标；如果不成立，请说明理由； (3)画出的函数图象，并根据图象回答时，的取值范围． 23．（12分） 如图，在矩形中，，，点在上，，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线向点运动，到点停止，设点运动的时间为秒． (1)当四边形是平行四边形时，求的值； (2)请用含有的代数式表示出线段的长； (3)当为何值时，为直角三角形？请说明理由． 24．（14分） 如图1，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、点C，以为边在第一象限作正方形，动点P在直线上运动，连接，将线段绕点P顺时针方向旋转得线段（点Q在直线上方） (1)点A的坐标为______，点C的坐标为______； (2)设点，请求出点Q的坐标（用含m的式子表示），并判断点Q是否在直线上．若是，请证明，若不是，请说明理由； (3)如图2，连接并延长，交线段于点M，当时，求的长． 25．（14分） 如图，点E是边BC上的一点不与点B、C重合，，． (1)图1，若，，则的度数为______； (2)图2，若，求的度数；用含的代数式表示 (3)图3，已知且，，且，点E在线段上运动时，连接，M为的中点，探究的长度是否存在最小值？若存在，用关于m，n的代数式表示出来；若不存在，请说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省广州市2025-2026学年下学期八年级数学期末冲刺自编模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列二次根式中，最简二次根式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据最简二次根式的定义，即满足被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，逐个判断选项即可得到答案． 【详解】解：对于选项A，满足上述两个条件， 是最简二次根式； 对于选项B，，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式 对于选项C，，被开方数能开得尽方，不是最简二次根式， 对于选项D，，原根式分母含二次根式，不是最简二次根式． 2．下列各组中的三条线段，不能构成直角三角形的是（    ） A．9，40，41 B．，4，5 C．，1， D．40，50，60 【答案】D 【分析】本题根据勾股定理的逆定理，验证每组线段中两短边的平方和是否等于最长边的平方，即可判断能否构成直角三角形． 【详解】解：选项A、三边中最长边为41，由于、，则，故能构成直角三角形； 选项B、三边中最长边为，由于、，则，故能构成直角三角形； 选项C、三边中最长边为，由于、，则，故能构成直角三角形； 选项D、三边中最长边为60，由于、，则，故不能构成直角三角形． 3．如图，在中，，，是边上的中线，是的中点，若，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质以及等腰三角形的判定，根据是边上的中线，是的中点，可知是三角形的中位线，则有，,利用等角对等边可得即可求解． 【详解】解：是边上的中线， 为边上的中点， 是边上的中点， 是三角形的中位线， ， ， ， ， 的周长为． 4．下列各式计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的性质与运算法则逐一判断每个选项即可． 【详解】解∶A、，故本选项计算错误； B、，故本选项计算正确； C、与不是同类二次根式，无法直接合并，即，故本选项计算错误； D、，故本选项计算错误． 5．学校体育检测中，记录了男、女各名学生1分钟跳绳的个数，绘制了箱线图（如图），下列说法错误的是（     ） A．男生跳绳个数最多为个 B．女生跳绳成绩更稳定 C．男生跳绳个数的平均数小于女生跳绳个数的平均数 D．男生跳绳个数的中位数小于女生跳绳个数的中位数 【答案】C 【分析】观察箱线图，提取最大值、中位数及数据离散程度信息，结合统计量的意义进行判断即可． 【详解】解：A、左侧箱线图最大值为，故男生跳绳个数最多为208个，原说法正确； B、右侧箱线图（女生）的极差和四分位距均小于左侧（男生），女生成绩波动小，更稳定，故女生跳绳成绩更稳定，原说法正确； C、通过箱线图无法确定平均数，故不能得到男生跳绳个数的平均数小于女生跳绳个数的平均数，原说法错误． D、左侧箱线图中位数线低于右侧，故男生跳绳个数的中位数小于女生跳绳个数的中位数，原说法正确． 6．对于一次函数，下列说法错误的是（     ） A．图象是经过两点，的一条直线 B．图象不经过第一象限 C．y随x的增大而减小 D．图象与x轴的交点坐标为 【答案】B 【分析】将两点，代入直线表达式判断A；根据的符号判断直线经过的象限，即可判断B；根据一次函数的性质分析C；令求解直线与x轴的交点坐标． 【详解】解：当时，， ∴点在图象上； 当时，， ∴点在图象上，故A选项正确； ∵，，∴图象经过第一、二、四象限，故B选项错误； ∵， ∴y随x的增大而减小，故C选项正确； 令，得，解得， ∴图象与x轴的交点坐标为，故D选项正确． 7．下列命题的逆命题是假命题的是（   ） A．矩形四个角都相等 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．菱形的四条边相等 D．菱形的对角线互相垂直 【答案】D 【分析】本题考查了矩形、正方形、菱形的判定、对顶角、命题，熟练掌握特殊四边形的判定是解题关键．先写出各命题的逆命题，再根据矩形、正方形、菱形的判定、对顶角逐项判断即可得． 【详解】解：选项A：原命题“矩形四个角都相等”的逆命题为“四个角都相等的四边形是矩形”．根据矩形判定定理，四个角相等的四边形是矩形，逆命题为真． 选项B：原命题“对角线相等的平行四边形是矩形”的逆命题为“矩形的对角线相等且是平行四边形”．矩形本身是平行四边形，且对角线相等，逆命题为真． 选项C：原命题“菱形的四条边相等”的逆命题为“四条边相等的四边形是菱形”．根据菱形定义，四边相等的四边形是菱形，逆命题为真． 选项D：原命题“菱形的对角线互相垂直”的逆命题为“对角线互相垂直的四边形是菱形”．存在对角线垂直但非菱形的四边形（如对角线垂直但边不相等的普通四边形），逆命题为假． 故选：D． 8．如图，中，，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线与交于点，与交于点E，连接．若，，则的长为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据作图可知是线段的垂直平分线，则为中点，．利用直角三角形斜边中线性质求出的长，再在中利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：由作图可知，直线是线段的垂直平分线， ∴，， ∵，为中点， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵在中，，即：， 解得，即． 9．将直线向下平移3个单位长度后，正好经过点，则下列点中一定不在直线的图象上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移规则得到原直线解析式中k和b的关系，确定原直线过定点，再结合的条件，根据一次函数的性质判定即可． 【详解】解：直线向下平移3个单位后，解析式为． 将代入 得 ， 整理得 ， ∴直线经过定点． ∵， ∴随的增大而增大， A．，符合题意； B．，符合题意； C．，不符合题意； D．，符合题意． 10．如图，在中，，且，，D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点E，于点F，G为四边形对角线的交点，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由勾股定理求出的长，再证明四边形是矩形，可得，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题． 【详解】解：，且，， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 当时，的值最小， 此时，的面积， ， 的最小值为， 点为四边形对角线交点， ； 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．函数中自变量x的取值范围是______． 【答案】且 【分析】根据二次根式被开方数非负，分式分母不为0的要求，列出不等式组，求解即可得到自变量的取值范围． 【详解】解：由题意得 ， 解不等式得， 解不等式得， 因此自变量的取值范围是且． 12．已知点在一次函数（k为常数且）的图象上，则：______．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】根据一次函数图象的增减性，结合两点横坐标的大小关系，即可比较纵坐标的大小. 【详解】解：一次函数解析式为，， ， 随的增大而增大， 点在该函数图象上，且， ． 13．如图，一直角三角形纸片，在中，，，，点D在上，现将沿直线折叠，使它落在上，点C的对应点为点E，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换的性质，勾股定理的应用，先根据勾股定理求得的长，再根据折叠的性质求得，的长，从而利用勾股定理可求得的长，然后根据勾股定理即可求得．掌握折叠的性质及勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴ 将该纸片沿直线折叠，使点落在斜边上的点处， ∴，，， ∴， 设， ∴，， 在中，， ∴，解得：， ∴， 故答案为：． 14．某果农种植的金桔在采摘完后，发现大果、中果和小果的产量比为，若每斤的售价大果定为12元，中果定为8元，小果定为6元，则该批金桔的平均售价为每斤__________元． 【答案】 【分析】设大果、中果和小果的产量分别为斤，斤，斤，，根据平均售价等于总售价除以总产量即可求解． 【详解】解：∵大果、中果和小果的产量比为， ∴设大果、中果和小果的产量分别为斤，斤，斤，其中 ∴这批金桔的平均售价为（元/斤）． 15．如图，四边形是菱形，，，于点E，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，根据菱形对角线互相垂直平分和勾股定理求出的长，再根据菱形面积计算公式可得，据此列式求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．如图，平行四边形中，，点O是和的平分线的交点，过点O作，分别交于E、F两点，连接．以下结论： ①； ②点O是的中点； ③四边形的周长是四边形的周长的2倍； ④． 其中正确的结论有__________ （填写所有正确结论的序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．也考查了等腰三角形的判定与性质．利用平行四边形的性质得到，利用平行线的性质和角平分线的定义计算出，则，于是可对①进行判断；利用平行线的性质证明得到，再证明四边形为平行四边形得到，所以，则可对②进行判断；设，，则，则可对③进行判断；证明，，可对④进行判断． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵点O是和的角平分线的交点， ∴，， ∴， ∴， ∴，所以①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴，即O点为的中点，所以②正确； ∵， ∴设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的周长不是四边形的周长的2倍；所以③错误； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，所以④正确． 故答案为：①②④． 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（6分） 计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式的乘除运算法则计算即可得出结果； （2）先利用二次根式的性质进行化简，再计算加减即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解：    ． 18．（6分） 李老师在计算学生的学期综合成绩时，从平时作业、期中考试、期末考试三个方面进行考核，各项满分均为100分．小丽和小强两位同学的各项成绩如表所示： 平时作业/分 期中考试/分 期末考试/分 小丽 80 82 92 小强 87 84 90 根据以上信息，解答下列各题． (1)这两人中平均成绩更高的同学是_____，该同学的平均成绩是______分． (2)若对平时作业、期中考试、期末考试的成绩分别赋予它们2，2，6的权，请计算小丽的平均成绩． 【答案】(1)小强，87 (2)小丽的综合成绩为87.6 【分析】（1）根据算术平均数公式分别计算两人的平均成绩，再比较大小． （2） 根据加权平均数公式，将各项成绩乘以对应权重后求和，再除以权重总和． 【详解】（1）解：小丽的平均成绩为分， 小强的平均成绩为分， ， 平均成绩更高的同学是小强，该同学的平均成绩是87分． （2）解：小丽的加权平均成绩为 分． 19．（8分） 如图，正方形网格的每个小方格的边长均为1，的顶点在格点上． (1)直接写出___________，___________，___________； (2)判断的形状，并说明理由； (3)直接写出边上的高为___________． 【答案】(1)，5， (2)是直角三角形，见解析 (3)2 【分析】（1）利用勾股定理，进行计算即可解答； （2）利用勾股定理的逆定理，进行计算即可解答； （3）利用等积法，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：，， ， ，，， 故答案为：，5，； （2）解：是直角三角形， 理由：，， ， 是直角三角形； （3）解：设边上的高为， 的面积， ， ． 20．（8分） 活动中心想打造属于自己的文化品牌，在每一届夏令营结束后给孩子们送一个纪念品，了解到两家制作纪念品的公司的优惠方案分别如下： 甲：优惠后采购所需费用（元）与优惠前所需费用（元）满足如图所示的函数关系； 乙：优惠后采购所需费用（元）与优惠前所需费用（元）满足如图所示的函数关系． 根据图象中的信息，回答下列问题： (1)请分别求出和与之间的函数关系式； (2)请根据函数图象描述乙公司的优惠方案； (3)如果你是负责此次纪念品采购的工作人员，请通过计算说明选择哪家公司更省钱？ 【答案】(1)； (2)乙公司的优惠方案是当购买费用在元及元以内时，不打折；购买费用高于元时，超过元的部分打折 (3)若此次采购优惠前费用小于元，则选择甲公司更省钱；若此次采购优惠前费用大于元，则选择乙公司更省钱；若此次采购优惠前费用等于元，则两家公司费用相同． 【分析】（1）用待定系数法分别求出和与之间的函数关系式即可； （2）结合函数图象回答即可； （3）根据两个函数的交点以及一元一次不等式的应用可得出结论． 【详解】（1）解：由题图可设， 的函数图象过点，代入可得，， 解得， ； 当时，设， 的函数图象经过点， 代入可得， 解得， 当时，； 当时，设，的函数图象经过点，， 代入得， 解得， 当时，， ； （2）当时，， 乙公司的优惠方案是当购买费用在元及元以内时，不打折；购买费用高于元时，超过元的部分打折； （3）当时， 解得， 当时，两家公司费用相同； 当时， 解得， 当时，甲公司更省钱； 当， 解得， 当时，乙更省钱． 21．（8分） 如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，再分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点． (1)射线的尺规作图过程是在作___________的___________线； (2)请在图中以点为顶点，作的角平分线，交于点．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (3)在（1）（2）的条件下，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)；角平分 (2)见解析 (3)见解析 【分析】题目主要考查平行四边形的判定和性质，角平分线的作法，理解题意，熟练掌握角平分线的作法是解题关键． （1）根据角平分线的作法即可得出结果； （2）根据作角平分线的步骤作图即可； （3）根据平行四边形的性质得出，再由角平分线及平行线的性质确定，即可判定，即可证明． 【详解】（1）解：根据题意得射线的尺规作图过程是在作的角平分线， 故答案为：；角平分 （2）如图所示即为所求；    （3）∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 22．（10分） 已知点，及第一象限的动点，且，设，的面积分别为，． (1)分别求出，关于的函数解析式，以及相应的取值范围； (2)请判断是否成立？如果成立，求此时点坐标；如果不成立，请说明理由； (3)画出的函数图象，并根据图象回答时，的取值范围． 【答案】(1)， (2)成立， (3)图见解析， 【分析】本题考查一次函数的图象及性质． （1）根据三角形面积公式求解即可； （2）当时求出P点坐标即可； （3）画出函数图象，直接可得取值范围． 【详解】（1）， ； （2）成立，理由如下： 当时，， ； （3）由图可知，时， ． 23．（12分） 如图，在矩形中，，，点在上，，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线向点运动，到点停止，设点运动的时间为秒． (1)当四边形是平行四边形时，求的值； (2)请用含有的代数式表示出线段的长； (3)当为何值时，为直角三角形？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)当为秒或秒或秒时，为直角三角形．理由见解析 【分析】本题考查矩形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，列代数式，熟练掌握相关知识点，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）根据矩形的性质，结合勾股定理求出的长，进而求出的长，根据平行四边形的对边相等，得到，求解即可； （2）分点在边上，点在边上，点在边上三种情况进行讨论求解即可； （3）分和两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）四边形为矩形， ，，， 在中， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ； （2）①当点在边上时，， ，， ； ②当点在边上时，， 点运动的距离为， ； ③当点在边上时，，如图， 则， ． 综上，； （3）①当时，如图，当点位于边上， 四边形为矩形， ， ， 四边形为矩形， ， ， （秒） ②当时，如图，当点位于边上， 此时点与点重合， ， （秒）； ③当时，则点位于边上，如图， 由（2）知，则． 在中，， 在中，， 在中， ， ， （秒） 综上，当为秒或秒或秒时，为直角三角形． 24．（14分） 如图1，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、点C，以为边在第一象限作正方形，动点P在直线上运动，连接，将线段绕点P顺时针方向旋转得线段（点Q在直线上方） (1)点A的坐标为______，点C的坐标为______； (2)设点，请求出点Q的坐标（用含m的式子表示），并判断点Q是否在直线上．若是，请证明，若不是，请说明理由； (3)如图2，连接并延长，交线段于点M，当时，求的长． 【答案】(1)， (2)，点Q在直线上 (3) 【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特点求解即可； 过点Q作垂直于直线交于点G，证明，可求，再判定点Q在直线上； 由题可知M是的中点，设，则， ，求出直线的解析式为，M点在上，即可求m的值，从而确定点M的坐标，求出即可． 【详解】（1）解：当时，，解得， ， 当时，， ∴， 故答案为：，； （2）解：点Q是否在直线上，理由如下： 过点Q作垂直于直线交于点G， ， ， ， ， ， ∴， ， ， 当时，， 点Q在直线上； （3）解：， ， ， 是的中点， 设，则， ， 根据题意， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 点在上， ， 解得， ， ∴． 25．（14分） 如图，点E是边BC上的一点不与点B、C重合，，． (1)图1，若，，则的度数为______； (2)图2，若，求的度数；用含的代数式表示 (3)图3，已知且，，且，点E在线段上运动时，连接，M为的中点，探究的长度是否存在最小值？若存在，用关于m，n的代数式表示出来；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，长度的最小值为 【分析】在上截取，连接，可证得，从而，进而得出结果； 在上截取，连接，可证得，从而，根据平行四边形的性质得出，进一步得出结果； 在BC的延长线上截取，连接WF，取AW的中点，作射线，交的延长线于点V，可证得，从而，根据三角形中位线的性质得出，从而得出，从而得出点M在过定点，且与成的直线上运动，作于M，则当点M在处时，DM最小，进一步得出结果； 【详解】（1）解：如图1， 在上截取，连接， 四边形是平行四边形，，， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， 故答案为； （2）解：如图2， 在上截取，连接， ， ，， ， ，， ，， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ； （3）解：如图3， 在的延长线上截取，连接，取的中点，作射线，交的延长线于点V， ，， （含的等腰三角形，底是腰的倍），， ， ， 是的中点， ， ， 点M在过定点，且与成的直线上运动， 作于M，则当点M在处时，最小， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， （含的等腰三角形，底是腰的倍）， ， . 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $