广东省广州市2025-2026学年下学期高一数学期末冲刺自编模拟卷

**基本信息** 涵盖复数、向量、统计与概率等高一核心知识，以筒车文化、社区锻炼时长等真实情境设计问题，注重数学眼光观察现实、逻辑推理与数据表达能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|复数运算、向量模、分层抽样、三角函数模型|筒车问题融合文化传承与三角函数应用，考查数学建模| |填空题|3题15分|百分位数、复数几何意义、解三角形|射击成绩百分位数计算，强化数据意识| |解答题|5题77分|立体几何翻折、频率分布直方图、概率决策|翻折问题探究线面角与存在性，培养创新思维；游戏概率决策结合实际，发展应用意识|

广东省广州市2025-2026学年下学期高一数学期末冲刺自编模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若复数满足（i为虚数单位），则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，则． 2．若向量、满足：，，则（    ） A．1 B． C．10 D． 【答案】B 【详解】因为，所以，则. 3．某社区共有1200名老年居民和800名中青年居民，通过分层随机抽样的方法，得到老年居民、中青年居民每周的锻炼时长的平均数分别为10小时和4小时，则社区这2000名居民每周的锻炼时长平均数估计为（   ） A．7小时 B．7.2小时 C．7.6小时 D．8小时 【答案】C 【详解】社区这2000名居民每周的锻炼时长平均数估计为小时. 4．现要举办A，B两个活动，每个活动进行一次，已知先举办活动A，活动A失误的概率为，不失误的概率为．若活动A没有失误，则活动B失误的概率为，不失误的概率为；若活动A出现失误，则活动B失误与否的概率均为，则这两个活动有且仅有一个失误的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据互斥事件的概率加法公式和条件概率的乘法公式，即可求解. 【详解】记事件E表示“活动A失误”，事件F表示“活动B失误”，这两个活动有且仅有一个失误的概率为. 5．若平面向量两两的夹角相等，且，则（    ） A．2 B．8 C．或 D．2或8 【答案】D 【分析】根据题意，三向量两两夹角为0或，当夹角为0时，直接求模，当夹角为时，利用向量求模公式即可求解． 【详解】若平面向量，，两两的夹角相等，则夹角为0或， 若夹角为0， 因为 则， 若夹角为，， 则． 故选：D． 6．圆锥的底面直径和高均是，从圆锥的底面挖去一个圆柱，该圆柱的上底面为过中点作的平行于底面的截面，剩下几何体的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画出相应图形后，可得剩下几何体的表面积为圆锥侧面积、圆锥底面积、圆柱侧面积总和，分别计算各面积即可得. 【详解】由题意可画图如下： 底面直径​，故底面半径​​，高， 过的中点作平行于底面的截面，该截面半径为， 由相似三角形性质，有，所以， 以该截面为底面挖去一个圆柱，圆柱的高， 圆锥的母线长； 则； ； ； 故. 7．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）．若一半径为2米的筒车水轮圆心O距离水面1米（图3），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时（图3中点）开始计时，经过t秒后点P距离水面的高度为h米，且，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D．当点P运动秒时，距水面的高度为米 【答案】D 【详解】筒车半径为2米，故振幅为，圆心距水面1米，故平衡位置，故A正确； 已知每分钟转4圈，周期秒，角速度，故B正确； 时，点在水面，，代入公式，解得， ，且在第四象限，，故C正确； 秒时，， 米，故D错误． 8．设样本数据的平均数为，方差为，设，样本数据的平均数为，方差为，则下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平均数、方差的线性变换的性质判断选项A，B；利用均值的性质，结合已知条件判断选项C；利用方差的定义，结合计算，进而判断选项D． 【详解】对于A，，，移项得，故A正确； 对于B，，根据方差的线性性质得，故B正确； 对于C，， 由均值的性质得，得到， 则，故C正确； 对于D，由方差的定义得，则， 由题意得 ，故D错误． 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知为虚数单位，则下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．若，互为共轭复数，，则 C．若复数满足，则的最大值为 D．若复数是实系数方程的一个根，则 【答案】BCD 【分析】根据复数的运算、共轭复数性质、复数模的几何意义及实系数一元二次方程的根的特征，需逐一分析选项即可. 【详解】对于A，取反例，满足，但均不为0，故A错误； 对于B，先化简，其共轭复数， 由于的幂次周期为4，，故，故B正确； 对于C，的几何意义是复平面上对应点的轨迹为以为圆心、半径为的圆，是圆上点到原点的距离， 原点到圆心距离为，故最大值为，故C正确； 对于D，实系数方程的虚根互为共轭复数，因此另一根为， 由韦达定理：两根和为，解得；两根积为，解得 故，故D正确. 10．已知事件，满足，，则下列结论正确的是（    ） A． B．如果，那么 C．如果与互斥，那么 D．如果与相互独立，那么 【答案】BCD 【分析】根据独立事件的乘法公式及互斥事件的加法公式判断各选项. 【详解】对于A，只有当与相互独立时，，故A错误； 对于B，若，则，故B正确； 对于C，与互斥，则， 那么，故C正确； 对于D，如果与相互独立， 那么，故D正确. 11．如图，正方体的棱长为2，E，F分别是，的中点，点P是底面ABCD内一动点，则下列结论正确的为（    ） A．不存在点P，使得平面 B．一蚂蚁从点A出发，沿正方体的表面爬行，到达点的最短距离为 C．三棱锥的体积为 D．三棱锥的外接球表面积为 【答案】BCD 【分析】取中点，利用面面平行判定定理可得平面平面，则可利用面面平行性质定理得A；将平面展开后计算可得B；借助等积转换计算可得C；将三棱锥补形后可得D. 【详解】对A：取中点，连接、，由为中点，则， 又平面，平面，故平面， 由为中点，则， 又平面，平面，故平面， 又，、平面，则平面平面， 则当点在线段上时，由平面，可得平面， 故存在点，使得平面，故A错误； 对B：将平面与平面沿展开，使其位于同一平面如下图： 则从到的最短距离为，故B正确； 对C：，故C正确； 对D：取、、中点、、，连接成四边形， 三棱锥的外接球与长方体的外接球相同， 故即为该外接球直径，故半径为， 则外接球表面积为，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：,这组数据的第30百分位数为___________． 【答案】 【详解】,将数据从小到大排列后,这组数据的第30百分位数为第3个与第4个数的平均数：． 13．设，在复平面内，复数z所对应的点为Z，那么满足条件点Z的集合构成图形的面积为__________. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用复数的几何意义确定图形，进而求出面积. 【详解】由，则在复平面内点Z构成的图形是以原点为圆心， 分别以1和为半径的两个圆构成的圆环， 所以所求面积为. 故答案为： 14．在中，，D为BC边上一点，且．若AD为的平分线，且为锐角三角形，则边AC的取值范围______． 【答案】 【分析】设，由已知确定范围，在与中分别用正弦定理，得到与的关系求解即可. 【详解】因为为的平分线， 所以可设，则，， 因为为锐角三角形，所以，即,所以. 在中，由正弦定理得，③ 在中，由正弦定理得，④ ④÷③得， 又，所以， 设，又， 所以，所以在上为增函数， 所以． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在中，内角所对的边分别为，，. (1)求B； (2)若，，求的周长． 【答案】(1) (2)18或 【分析】（1）利用及正弦定理化简所给等式，得到，进而得到； （2）分别运用向量的线性运算和余弦定理，得到关于的两个等式，联立求解即可. 【详解】（1）方法一：由题意得，由正弦定理可得 即， 又因为，所以，因为， 所以，. 方法二：由题意得，同时在中， 有，得，， 因为，所以. （2）由题意得，两边平方得   ①， 又由余弦定理得即  ②， 联立①②可得，，即， 时代入②得，时代入②得， 所以的周长为或. 16．（15分） 如图，已知直三棱柱的各棱长均为2，D为BC上的一点，，连接OD且平面. (1)求证：为BC的中点； (2)求三棱锥的表面积及到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)表面积为，距离为 【分析】（1）利用线面平行的性质定理，结合直三棱柱中平行四边形的性质，通过中位线定理证明为的中点； （2）先利用勾股定理逆定理判断为直角三角形，计算三棱锥的表面积；再通过等体积法，转换顶点求解点到平面的距离. 【详解】（1）证明：如图，因为平面且平面， 又因平面平面， 所以.    又因在直三棱柱中，为平行四边形， 所以为的中点， 所以为的中位线. 所以为的中点. （2）因为三棱柱是直三棱柱且所有棱长均为2， 在中，由勾股定理可得，，. 因为，     所以，所以为直角三角形， 三棱锥的表面积为 .     设到平面的距离为，因为，所以 即，解得， 所以到平面的距离为. 17．（15分） 为了解一种植物果实的情况，随机抽取一批该植物果实样本测量重量（单位：克），按照，，，，分为5组，其频率分布直方图如图所示． (1)求图中的值； (2)估计这种植物果实重量的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (3)已知这种植物果实重量不低于32.5克的即为优质果实．若所取样本容量，从该样本分布在和的果实中，随机抽取2个，求抽到的都是优质果实的概率． 【答案】(1) (2) 平均数为 ，中位数为 (3) 【分析】（1）由频率之和为1即可求出； （2）由频率分布直方图结合平均数和中位数求法即可求出； （3）列出任取2个的所有基本事件，即可求出概率. 【详解】（1）由图知，组距，由，得． （2）各组中点值和相应的频率依次为： 中点值 30 35 40 45 50 频率 0.1 0.2 0.375 0.25 0.075 所以， 果实重量在的频率为， 果实重量在的频率为， 果实重量在的频率为， 所以中位数满足关系， 由，解得． （3）由已知，果实重量在和内的分别有4个和3个， 分别记为和， 从中任取2个的取法有： ， ， ，共21种取法， 其中都是优质果实的取法有，共3种取法， 所以抽到的都是优质果实的概率． 18．（17分） 已知矩形中，，，E为线段的中点，沿线段将翻折到，Q为线段的中点. (1)证明：平面； (2)若平面平面，求直线与平面所成角的正切值； (3)当在翻折过程中，是否存在点P使直线与直线所成角为？若存在，求出二面角平面角的余弦值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明过程见解析 (2) (3) 【分析】（1）设点是线段的中点，连接，只需证明，再结合线面平行的判定定理即可得证； （2）将问题转化为求与平面所成角的正切即可，然后根据定义找到线面角，结合解三角形知识即可求解； （3）设二面角的余弦值为，利用二面角的余弦值表示出得到，利用直线与直线所成角为，结合余弦定理得到，从而建立方程即可求解. 【详解】（1）如图，点是线段的中点，连接， 因为点是线段的中点，所以， 因为，所以，即四边形是平行四边形， 所以，又因为平面，平面， 所以平面； （2）如图， 过分别过点作，垂足分别为， 因为点为线段的中点，，所以是三角形的中位线， 所以，而， 所以，，也是三角形的中线， 所以，，，， 因为，且平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 所以为与平面所成的角， 因为， 所以直线与平面所成角的正切值即为； （3）如图， 一方面：因为， 所以，又因为， 所以，即， 设， 因为，， 所以二面角平面角的大小即为， 而， 所以， 另一方面：若直线与直线所成角为，且注意到， 所以或， 又因为， 所以，即， 令，解得满足题意， ，不满足题意，舍去； 综上，存在点P使，且直线与直线所成角为， 此时所求二面角平面角的余弦值为. 19．（17分） 不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的3个黑球、2个白球，其中黑球编号为1，2，3，白球编号为4，5. (1)现从盒子里随机取出2个小球，记事件“有放回地依次取出时，取到两个白球”，事件“不放回地依次取出时，取出小球编号之和为”，当时，分别求事件的概率； (2)某班级为活跃班级氛围，组织了玩游戏送书签的活动，该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响，连胜两个游戏可以获得一张书签，连胜三个游戏可以获得两张书签. 游戏一：从盒子中随机取出一个球，取到白球时获胜； 游戏二：从盒子中有放回地依次取出2个球，取出两个白球时获胜； 游戏三：从盒子中无放回地依次取出2个球，取出球编号之和为时获胜. 小明同学决定先玩游戏一， （i）当时，求接下来先玩游戏二获得书签的概率？ （ii）当n为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书签的概率更大？ 【答案】(1)， (2)（i）；（ii）5，6，7 【分析】（1）利用列举法求出样本空间，结合古典概型的概率公式即可得解； （2）（i）利用互斥事件与独立事件的概率公式求得先玩游戏二获得书签的概率，再根据当时，即可得答案； （ii）同（i），求得先玩游戏三获得书签的概率，从而得到满足题意，再结合（1），讨论满足的的解即可. 【详解】（1）解：对于事件，有放回地依次取出两个球的样本空间， 则，因为，所以， 所以. 对于事件，不放回地依次取出两个球的样本空间 ， 则，因为，所以， 所以. （2）解：（i）设“先玩游戏二时，获得书签”，“先玩游戏三时，获得书签”， 记事件“从盒子中随机取出一个球，取到白球”，的样本空间为， 则，所以． 则互斥，相互独立， 所以 由（1）知，当时，，， , 所以当时，接下来先玩游戏二获得书签的概率为. （ii）由（i）知． 同理，互斥，相互独立， ． 因为，所以，解得． 仿照（1）中的方法得，当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 所以，当对应的均为，大于，满足题意； 对应的均为，小于，不满足题意． 因此，符合题意的的取值为5，6，7． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省广州市2025-2026学年下学期高一数学期末冲刺自编模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若复数满足（i为虚数单位），则为（    ） A． B． C． D． 2．若向量、满足：，，则（    ） A．1 B． C．10 D． 3．某社区共有1200名老年居民和800名中青年居民，通过分层随机抽样的方法，得到老年居民、中青年居民每周的锻炼时长的平均数分别为10小时和4小时，则社区这2000名居民每周的锻炼时长平均数估计为（   ） A．7小时 B．7.2小时 C．7.6小时 D．8小时 4．现要举办A，B两个活动，每个活动进行一次，已知先举办活动A，活动A失误的概率为，不失误的概率为．若活动A没有失误，则活动B失误的概率为，不失误的概率为；若活动A出现失误，则活动B失误与否的概率均为，则这两个活动有且仅有一个失误的概率为（    ） A． B． C． D． 5．若平面向量两两的夹角相等，且，则（    ） A．2 B．8 C．或 D．2或8 6．圆锥的底面直径和高均是，从圆锥的底面挖去一个圆柱，该圆柱的上底面为过中点作的平行于底面的截面，剩下几何体的表面积是（    ） A． B． C． D． 7．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）．若一半径为2米的筒车水轮圆心O距离水面1米（图3），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时（图3中点）开始计时，经过t秒后点P距离水面的高度为h米，且，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D．当点P运动秒时，距水面的高度为米 8．设样本数据的平均数为，方差为，设，样本数据的平均数为，方差为，则下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知为虚数单位，则下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．若，互为共轭复数，，则 C．若复数满足，则的最大值为 D．若复数是实系数方程的一个根，则 10．已知事件，满足，，则下列结论正确的是（    ） A． B．如果，那么 C．如果与互斥，那么 D．如果与相互独立，那么 11．如图，正方体的棱长为2，E，F分别是，的中点，点P是底面ABCD内一动点，则下列结论正确的为（    ） A．不存在点P，使得平面 B．一蚂蚁从点A出发，沿正方体的表面爬行，到达点的最短距离为 C．三棱锥的体积为 D．三棱锥的外接球表面积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：,这组数据的第30百分位数为___________． 13．设，在复平面内，复数z所对应的点为Z，那么满足条件点Z的集合构成图形的面积为__________. 14．在中，，D为BC边上一点，且．若AD为的平分线，且为锐角三角形，则边AC的取值范围______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在中，内角所对的边分别为，，. (1)求B； (2)若，，求的周长． 16．（15分） 如图，已知直三棱柱的各棱长均为2，D为BC上的一点，，连接OD且平面. (1)求证：为BC的中点； (2)求三棱锥的表面积及到平面的距离. 17．（15分） 为了解一种植物果实的情况，随机抽取一批该植物果实样本测量重量（单位：克），按照，，，，分为5组，其频率分布直方图如图所示． (1)求图中的值； (2)估计这种植物果实重量的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (3)已知这种植物果实重量不低于32.5克的即为优质果实．若所取样本容量，从该样本分布在和的果实中，随机抽取2个，求抽到的都是优质果实的概率． 18．（17分） 已知矩形中，，，E为线段的中点，沿线段将翻折到，Q为线段的中点. (1)证明：平面； (2)若平面平面，求直线与平面所成角的正切值； (3)当在翻折过程中，是否存在点P使直线与直线所成角为？若存在，求出二面角平面角的余弦值；若不存在，请说明理由. 19．（17分） 不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的3个黑球、2个白球，其中黑球编号为1，2，3，白球编号为4，5. (1)现从盒子里随机取出2个小球，记事件“有放回地依次取出时，取到两个白球”，事件“不放回地依次取出时，取出小球编号之和为”，当时，分别求事件的概率； (2)某班级为活跃班级氛围，组织了玩游戏送书签的活动，该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响，连胜两个游戏可以获得一张书签，连胜三个游戏可以获得两张书签. 游戏一：从盒子中随机取出一个球，取到白球时获胜； 游戏二：从盒子中有放回地依次取出2个球，取出两个白球时获胜； 游戏三：从盒子中无放回地依次取出2个球，取出球编号之和为时获胜. 小明同学决定先玩游戏一， （i）当时，求接下来先玩游戏二获得书签的概率？ （ii）当n为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书签的概率更大？ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $