命卷大赛 浙江省2025-2026学年高三下学期数学考前模拟试题

**基本信息** 含原创题与情境题，如人工智能满意度对数模型、冰雹猜想数列应用，注重数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、向量、函数模型、统计、导数|第3题结合AI情境，第4题统计与概率融合| |多选题|3/18|复数、立体几何、椭圆|第9题原创复数几何意义，第11题椭圆性质综合| |填空题|3/15|直线平行、三角形面积、数列|第14题数学史情境，考查数列递推| |解答题|5/77|立体几何、解三角形、概率期望、椭圆、导数|第19题融合高阶导数与帕德逼近材料，创新应用|

浙江省2025-2026学年高三下学期数学考前模拟试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 改编1.已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 2.已知向量，，若，则锐角为(    ) A. B. C. D. 3.是一款人工智能助手，其用户满意度评分随时间单位：月的变化满足对数型函数模型：，其中是常数．若在经过个月后评分增长到，则满意度评分为(    ) A. B. C. D. 4.有一组样本数据为，，，，，，在其中添加一个数构成一组新的样本数据，若，则新旧样本数据的下四分位数相等的概率为(    ) A. B. C. D. 5.曲线在点处的切线方程为(    ) A. B. C. D. 原创6.方程表示双曲线的一个充分不必要条件是(    ) A. B. 6 C. D. 3 7.已知是定义在上的奇函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 8. 设 为空间中  个点构成的集合，点，记样本空间，从 中随机取一个点，定义随机变量 如下：对 中的每个点，令，则 的数学期望为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 原创9.已知复数满足，则(    ) A. 在复平面内的点在以(1,0)为圆心，半径为1的圆上B. 的最大值为 C. 若为虚数，则 D. 的取值范围是[0,2] 10.设，为不同的直线，，为不同的平面，则下列结论中正确的是    ． A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 11.已知，是椭圆的左、右焦点，过点的直线与椭圆交于，两点，则(    ) A. 的周长为 B. 当直线垂直于轴时， C. 若，，则椭圆的离心率为 D. 当时，椭圆上存在点，使得点向圆所引的两条切线互相垂直 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知直线：与：平行，则          ． 13.已知中，，的角平分线交于点，且，则的面积为          ． 14.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上：若是偶数，就将该数除以，反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”又称“角谷猜想”如取正整数，根据上述运算法则得出，共需要个步骤变成简称为步“雹程”“冰雹猜想“可表示为数列满足：为正整数，． 问：当时，试确定使得需要          步“雹程”：若，则所有可能的取值所构成的集合为          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分如图，在三棱柱中，平面． 求证：平面平面； 若，求直线与平面所成角的正弦值． 16.本小题分已知的内角，，所对边分别为，，，且关于的一元二次方程有两个相等的实数根，又； 求； 延长至，使，若的面积，求的长． 17.本小题分将编号为，，，的小球随机放入编号为，，，的盒子，每个盒子里仅放一个小球，设编号为的盒子里小球的编号为，若，则称该小球为“配球”． 当时，求“配球”个数的分布列和期望． 已知：若随机变量服从两点分布，且，，，，，，则． (ⅰ)求“配球”个数的期望． (ⅱ)若满足：当时，当时，当时，，且，则称该小球为“顶球”，求“顶球”个数的期望． 18.本小题分已知椭圆的两个焦点分别为，，离心率为，点为上一点，周长为，其中为坐标原点． 求的方程 直线与交于，两点， (ⅰ)求面积的最大值 (ⅱ)设，试证明点在定直线上，并求出定直线方程． 19.本小题分已知函数． 求在点的切线方程； ，求实数的取值范围； 请阅读下列两段材料： 材料：阶导数定义：设函数的阶导数仍是可导函数，则的导数称为的阶导数，记为，即． 材料：一般地，函数在处的阶帕德逼近函数定义为：，且满足， 请根据以上材料回答下列问题： 记为在处的阶帕德逼近函数，当时，求函数的最小值；并证明：． 其中为自然对数的底数． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省2025-2026学年高三下学期数学考前模拟试题解析 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 改编1.已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：由题得， 所以． 故选： 2.已知向量，，若，则锐角为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查向量平行关系的坐标运算，属于基础题． 【解答】 解：，， ， 解得， 则锐角． 故选A． 3.是一款人工智能助手，其用户满意度评分随时间单位：月的变化满足对数型函数模型：，其中是常数．若在经过个月后评分增长到，则满意度评分为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：已知当时，， 将其代入函数中， 得，即，则， 将，代入中， 得到． 故选：． 4.有一组样本数据为，，，，，，在其中添加一个数构成一组新的样本数据，若，则新旧样本数据的下四分位数相等的概率为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：易知旧样本数据共个，，因此样本数据的下四分位数为第个数，即； 添加一个数构成一组新的样本数据共有个数，，因此新数据的下四分位数为第个数，也得为； 所以添加的数大于等于即可满足题意，即可以为； 在中任选一个作为共有种选择， 因此新旧样本数据的下四分位数相等的概率． 故选：． 5.曲线在点处的切线方程为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查利用导数研究在曲线上某点处的切线方程，熟记基本初等函数的导函数是关键，属于基础题． 求出原函数的导函数，得到导函数在时的函数值，即切线斜率，再由点斜式直线方程得答案． 【解答】 解：由，得， ， 曲线在点处的切线方程为， 即． 故选：． 原创6.方程表示双曲线的一个充分不必要条件是(    ) A. B. 6 C. D. 3 【答案】D 【解析】解：要使方程表示双曲线，则： 故选：． 7.已知是定义在上的奇函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查用导数解不等式，属于中档题． 解决问题的关键是构造新函数，利用导数确定单调性后，得出的解． 【解答】 解：设，则，所以在上递增， 又，所以时，，此时，所以， 时，，此时，所以， 所以时，， 因为是奇函数，所以时，， 由得或，所以或． 8. 设 为空间中  个点构成的集合，点，记样本空间，从 中随机取一个点，定义随机变量 如下：对 中的每个点，令，则 的数学期望为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解： 当 时， 共  个点，， 当 时， 共  个点，， 当 时， 共  个点，， 当 时， 或 共  个点，， 当 时， 或 共  个点，， 当 时， 或 共  个点，， 当 时， 或 共  个点， 故选 。 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 原创9.已知复数满足，则(    ) A. 在复平面内的点在以(1,0)为圆心，半径为1的圆上B. 的最大值为 C. 若为虚数，则 D. 的取值范围是[0,2] 【答案】ABD  【解析】【分析】 本题考查复数的模及其几何意义，共轭复数，属于基础题． 根据复数的模及其几何意义，共轭复数逐项判断即可． 10.设，为不同的直线，，为不同的平面，则下列结论中正确的是    ． A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】BD  【解析】【分析】 本题考查了线面、面面平行的性质定理和判定定理，熟练的掌握定理是关键，属于基础题． 利用面面平行、面面垂直的判定定理和线面垂直、线面平行的性质定理对四个选项分别分析解答． 【解答】 解：对于选项，若，， 则或，异面或，相交，故A错误； 对于选项，若，， 则，故B正确； 对于选项，若， 则或与相交，故C错误 对于选项，若，， 则或， 又，则有，选项正确． 故选：． 11.已知，是椭圆的左、右焦点，过点的直线与椭圆交于，两点，则(    ) A. 的周长为 B. 当直线垂直于轴时， C. 若，，则椭圆的离心率为 D. 当时，椭圆上存在点，使得点向圆所引的两条切线互相垂直 【答案】BD  【解析】【分析】 本题考查椭圆的焦点三角形问题，求椭圆的离心率，利用余弦定理解三角形，椭圆的定义，属于中档题． 根据椭圆的定义可判定，将代入，即可求得判定，根据题意利用余弦定理得到和之间的关系即可判定，根据题意得到，且，即可判定． 【解答】 解：的周长， 故A错误 当直线垂直于轴时，将代入，得， ，故B正确 ，，， ， ，， ， 在中，， 在中，， 得， ，，故C错误 过点向圆引两条切线，设切点为和， ，，，， 所以四边形为正方形，， 所以时，椭圆上存在点满足题意，故D正确， 故选BD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知直线：与：平行，则          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查两直线平行的条件，属于基础题． 直接利用两直线平行的充要条件，列出方程求解，解得的值即可． 【解答】 解：由题意得，，即， 解得或． 当时，，，与平行，符合题意， 当时，，，即，与重合，不符合题意． 故． 故答案为． 13.已知中，，的角平分线交于点，且，则的面积为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了三角形的面积公式，属于中档题． 利用即可求解． 【解答】 解：根据题意：，的角平分线交于点，，， 又， ， ，， ． 故答案为：． 14.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上：若是偶数，就将该数除以，反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”又称“角谷猜想”如取正整数，根据上述运算法则得出，共需要个步骤变成简称为步“雹程”“冰雹猜想“可表示为数列满足：为正整数，． 问：当时，试确定使得需要          步“雹程”：若，则所有可能的取值所构成的集合为          ． 【答案】  【解析】解：当时，所以， 所以，，，，，，，，， 所以得到需要步； 因为，所以，所以，所以或，所以或， 所以或或，所以或或或， 所以所有可能的取值所构成的集合为． 故答案为：；． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 如图，在三棱柱中，平面．    求证：平面平面； 若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】解：在三棱柱中，由平面平面，得， 又平面，则平面， 而平面，所以平面平面；………6分 由知两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，    由，令，则， ，， 设平面的法向量为，则，取，得， 设直线与平面所成的角为，则，………12分 所以直线与平面所成角的正弦值为．………13分 【解析】详细解答和解析过程见【答案】 16.本小题分 已知的内角，，所对边分别为，，，且关于的一元二次方程有两个相等的实数根，又； 求； 延长至，使，若的面积，求的长． 【答案】解：由，可知， 即， 所以， 又关于的一元二次方程有两个相等的实数根， 所以有，即， 由正弦定理，可得， 因为，所以，因此或． 分别代入， 可知当时，不成立． 因此．………7分 由可知，即，因此为等边三角形，即， ， 整理可得，即， 由余弦定理可知，在中， ， 因此的长为． ………15分 【解析】本题重点考查解三角形和三角恒等变换，属于一般题． 利用三角恒等变换得，由得，再利用正弦定理即可求解； 可判断为等边三角形，即，由三角形的面积公式求得，再利用余弦定理即可求解． 17.本小题分 将编号为，，，的小球随机放入编号为，，，的盒子，每个盒子里仅放一个小球，设编号为的盒子里小球的编号为，若，则称该小球为“配球”． 当时，求“配球”个数的分布列和期望． 已知：若随机变量服从两点分布，且，，，，，，则． (ⅰ)求“配球”个数的期望． (ⅱ)若满足：当时，当时，当时，，且，则称该小球为“顶球”，求“顶球”个数的期望． 【答案】解：当时，小球放入盒子的全排列数为种， 设“配球”个数为，的可能取值为， ：无配球即，此时的排列为、，所以． ：恰个配球，即恰好一个满足，此时排列是，，，所以． ：所有小球都是“配球”，即对所有成立，此时排列仅一种，所以． 的分布列为： 期望．………5分 对于一般的，定义随机变量，其中， 如果第个球是“配球”，即，否则． 那么，“配球”个数可以表示为：． 因为每个球被放入任意一个盒子的概率是相等的，所以，． 所以， 因为，所以．………10分 (ⅱ)定义随机变量，其中如果第个球是“顶球”，否则． 那么，“顶球”个数可以表示为：， 对于，第个球是“顶球”当且仅当， 因为和是从，，，中随机选取的不同的数，的概率是； 对于，第个球是“顶球”当且仅当，同样的概率是； 对于，第个球是“顶球”当且仅当且． 因为，，和是从，，，中随机选取的不同的数，是其中最大的数的概率是． 所以，，对于， 根据期望的线性性质， ． ………15分 【解析】详细解答和解析过程见【答案】 18.本小题分 已知椭圆的两个焦点分别为，，离心率为，点为上一点，周长为，其中为坐标原点． 求的方程 直线与交于，两点， (ⅰ)求面积的最大值 (ⅱ)设，试证明点在定直线上，并求出定直线方程． 【答案】解：设焦距为， 依题意，解得 又，所以， 所以的方程为．………4分 设，， 因为，所以， ，解得，………5分 所以，， ，………7分 点到直线的距离， 的面积 ， 当且仅当，即时，面积的最大值为．………11分 设，由， 有，即， 因为，所以， 故，于是有，………16分 所以点在定直线上．………17分  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 19.本小题分 已知函数． 求在点的切线方程； ，求实数的取值范围； 请阅读下列两段材料： 材料：阶导数定义：设函数的阶导数仍是可导函数，则的导数称为的阶导数，记为，即． 材料：一般地，函数在处的阶帕德逼近函数定义为：，且满足， 请根据以上材料回答下列问题： 记为在处的阶帕德逼近函数，当时，求函数的最小值；并证明：． 其中为自然对数的底数． 【答案】解：， ，又， 切线方程：， 即切线方程为：；………4分 在区间内恒成立， 令， 注意到，则，………6分 当时，恒成立， 所以在区间内单调递减，则符合题意． 当时，令， 当时，，又，………8分 所以，使，当时，即， 则在区间内单调递增，故，与已知矛盾， 所以的取值范围是；………10分 证明：由题意得， ， 由，得， 所以，则，由，得，， 所以，由，得，则， 故， 则， 所以在区间内单调递增，所以，………12分 当时，即，整理得， 由可知当时，，则， 当时，， 令，得， 即， 令，则，故要证， 即证，因为，所以， 由，可知，又， 所以，得证．………17分   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 题号要精确到小题，如某卷的第20题有3道小题，则要用“20（1）、20（2）、20（3）”反应题号、知识点，教材及单元，分值、难度预见估、试题来源。 题号 题型 知识点 分值 难度预估 试题性质（原题/改编/原创） 1 选择题 集合的运算 5 0.8 改编 2 选择题 向量的运算和概念 5 0.8 原题 3 选择题 函数 5 0.8 原题 4 选择题 百分位数 5 0.8 原题 5 选择题 导数的概念 5 0.8 原题 6 选择题 圆锥曲线 5 0.7 原创 7 选择题 导数综合 5 0.7 原题 8 选择题 期望 5 0.5 原题 9 选择题 复数 6 0.8 原创 10 选择题 立体几何及空间向量 6 0.6 原题 11 选择题 圆锥曲线综合 6 0.5 原题 12 填空题 直线 5 0.8 原题 13 填空题 解三角形 5 0.5 原题 14 填空题 数列 5 0.5 原题 15 解答题 立体几何及空间向量 13 0.6 原题 16 解答题 解三角形 15 0.6 原题 17 解答题 概率统计的应用 15 0.6 原题 18 解答题 圆锥曲线 17 0.5 原创 19 解答题 导数在研究函数中的应用 17 0.3 原题 整体预估难度 0.6 Sheet2 Sheet3 $