专题三 全等三角形的性质及判定专项训练2025-2026学年北师大版数学七年级下册

全等三角形的判定与性质综合计算及证明专项训练 专题一、三角形的三边关系 1．（25-26七年级下·河南周口·期中）已知的三边长分别为，，． (1)若，，满足，试判断的形状； (2)若，，且为整数，求的周长． 【答案】(1)等边三角形 (2)13或14或15． 【分析】（1）根据非负数的性质得出，整理得，进行判断即可； （2）根据三角形的三边关系得出c的取值范围，再由c为正数得出c的值，进而可得出结论． 【详解】（1）解： ，，， ，． ． ． ． 是等边三角形； （2）解：，，， ， 为整数， 可以取5，6，7． 当时，的周长为 ； 当时，的周长为 ； 当时，的周长为 ； 的周长为13或14或15． 2．（25-26七年级下·广东佛山·阶段检测）已知的三边长分别为a，b，c． (1)若a，b，c满足，试判断的形状； (2)若，，且c为整数，求的周长； (3)直接写出化简结果：________． 【答案】(1)等边三角形 (2)11或12或13 (3) 【分析】（1）根据非负数的性质即可得出结论； （2）根据三角形的三边关系结合c是整数即可求解； （3）根据三角形的三边关系得出，，，然后化简绝对值，再去括号合并同类项即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． （2）解：∵，， ∴，即， ∵c为整数， ∴， ∴当时，的周长， 当时，的周长， 当时，的周长， ∴的周长是11或12或13． （3）解：∵的三边长分别为a，b，c， ∴，，， ∴，，， ∴原式 ． 3．（25-26七年级下·上海宝山·阶段检测）一个等腰三角形的三边长分别为7、、，求x的值，并求这个等腰三角形三边的长． 【答案】，三边长为：7，7，4 【分析】在没有明确给出腰和底边时，要注意和已知条件联系起来分情况讨论进而求解．分三种情况讨论． 【详解】解：∵等腰三角形边长分别为7、、， ∴①当时，解得：， ∴等腰三角形的三边分别为，此时能组成三角形； ②当时，解得：， ∴等腰三角形的三边分别为，此时不能组成三角形； ③当时，解得：， 等腰三角形的三边分别为，此时不能组成三角形； 综上所述，，三角形三边长为7，7，4． 4．（23-24八年级上·河北邢台·阶段检测）已知的三边分别为．若满足． (1)___________，___________； (2)若为整数，求的周长． 【答案】(1)4；1 (2) 【分析】（1）几个非负数的和为0，则这几个非负数的值都为0，据此可得答案； （2）根据三角形的三边的关系求出b的取值范围，结合b为整数求出b的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∵， ∴，即， 又∵为整数， ∴， ∴的周长． 5．（2026八年级下·江苏·专题练习）已知a、b、c是的三边，a、b使等式成立，且c是偶数，求的周长． 【答案】10 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，三角形三边关系． 根据完全平方公式将原式转化为，根据非负数的性质求出，，根据三角形三边关系得到，进而可知，即可求出的周长． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：，， ∵a、b、c是的三边， ∴， ∴， ∵c是偶数， ∴， 故的周长为：． 专题二、三角形的高线、中线、角平分线问题 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，为△的中线，为的中线． (1)作图：在△中作出边上的高；边上的高； (2)若的面积为40，，则中边上的高为多少？ 【答案】(1)见解析 (2)中边上的高为4 【分析】本题考查三角形的高线，三角形的中线，掌握三角形中线的性质是解题的关键． （1）根据高线的定义，画高即可； （2）根据中线平分三角形的面积以及三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：如图所示，EF、DG即为所求作； （2）解：为的中线，为的中线， ， ， 的面积为40，， ， ， 即中边上的高为4． 7．（24-25七年级下·河北保定·期中）在学习了三角形的高之后，某学习小组进一步研究发现，三角形面积公式()变形可得：，适用于已知三角形面积和底边，求三角形高的情况． (1)若三角形的面积为10，底为4，则高为______； (2)如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C，D在格点上，． ①求中边上的高； ②点P是线段上任意一点，则最短为______． 【答案】(1)5 (2)①；② 【分析】本题考查三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据题目中的公式，可以求得该三角形的高； （2）①根据等面积法即可求得 中边上的高； ②由题意可知，当时，取得最小值，然后根据等面积法可以求得此时的值． 【详解】（1）解：三角形的面积为10，底为4， 高， 故答案为：5； （2）①作于点， 由图可知，，， ，， ， 解得， 即 中边上的高是； ②当时，取得最小值， 由图可得，， 解得， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·山西朔州·阶段检测）数学经验：三角形的中线、角平分线、高是三角形中的重要线段，同时，我们知道，三角形的三条高所在直线交于同一点． 请根据数学经验，完成下列问题： (1)如图①，在中，，则的三条高所在直线交于点_____________； (2)如图②，在中，，已知两条高，，请你仅用一把无刻度的直尺画出的第三条高；（不写画法，保留画图痕迹） (3)如图②，若，，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形的高，三角形的面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据直角三角形三条高的交点为直角顶点的性质进行解答即可； （2）根据三角形三条高所在直线交于一点的性质，作出第三条高即可； （3）根据三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：如图①，在中，，则的三条高所在直线交于点； （2）解：延长、交于点，连接，延长交于点，则线段为的第三条高， （3）解：∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 9．（25-26八年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，是的中线，，则和的周长差为多少？ 【答案】2厘米 【分析】本题主要考查了三角形中线的定义，三角形周长的计算，掌握三角形中线的定义是解题的关键．根据三角形中线的定义得到，再分别求出两个三角形的周长，然后作差即可得到答案． 【详解】解：∵是的中线， ∴， 则的周长，的周长， ∵，， ∴， ∴和的周长差为2， 故答案为：2． 10．（18-19八年级下·广西北海·期中）如图，在中，分别是边上的中线，若，，且的周长为，求的长． 【答案】． 【分析】本题考查了三角形的中线．由三角形中线的定义可得，，进而根据周长即可求解． 【详解】解：∵分别是边上的中线，，， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴． 11．（21-22七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，，为边上的高，为三角形的角平分线，与相交于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长度． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查的知识点是角平分线的定义、等角的余角相等、三角形面积计算公式，解题关键是熟练掌握角平分线的定义． （1）先根据角平分线的定义得到，再根据等角的余角相等得到，然后利用得到； （2）利用等面积法计算的长． 【详解】（1）证明：平分， ， 是的高， ， ， ，， ， ， ； （2）解：， ，， ， ． 即的长度为． 12．（25-26八年级上·河南信阳·期中）如图，在中，是角平分线，点D在边上（不与点A，B重合），与交于点O． (1)若是中线，，则与的周长差为______． (2)若，是的高，求的度数． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题主要考查了三角形中线，高，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余： （1）根据三角形中线的定义可得，即可求解； （2）根据角平分线的定义可得，再由三角形高的定义可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， ∵， ∴与的周长差为； （2）解：∵是角平分线，， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴． 专题三、全等的性质与“SSS”综合问题 13．（21-22八年级上·广西梧州·期末）如图，，点E在射线上，，求证：平分． 【答案】见解析 【分析】证明，得到，即可证明平分． 【详解】证明：在和中 ∴ ∴ ∴平分 14．（25-26九年级上·陕西渭南·阶段检测）如图，在和中，点、、、在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】先证明，再利用“”证明，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：， ，即． 在和中， ． ． 15．（25-26八年级上·浙江丽水·期末）某校数学兴趣小组制作了如图所示的“角平分线仪”，点E，F分别固定在的两边上，且，点D在手柄上可自由滑动，且．试问：角平分线仪的手柄是否始终平分？请说明理由． 【答案】角平分线仪的手柄始终平分，理由见解析 【分析】根据“”证明得到，即可解答． 【详解】解：角平分线仪的手柄始终平分， 理由：在和中， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ∴角平分线仪的手柄始终平分． 16．（25-26九年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，点，，，在同一条直线上，，，．与相等吗？请说明理由． 【答案】，理由如下： ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】由推出，即可证明，根据全等三角形对应角相等，即可得出结论． 【详解】略 17．（25-26八年级上·浙江湖州·阶段检测）已知． (1)求证：； (2)，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用定理证明两三角形全等即可； （2）根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴． 专题四、全等的性质与“AAS”或“ASA”综合问题 18．（25-26七年级下·河南商丘·阶段检测）如图，在中，于点D，过点B作于点E，交于点F，．求证：． 【答案】∵， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】先结合，得出，再结合对顶角相等以及角的等量代换，得，又因为，故，即可作答． 【详解】略 19．（2026·福建泉州·模拟预测）如图，点在的边上，，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【分析】由平行条件可得，再由已知即可证明，由全等的对应边相等即可得证． 【详解】略． 20．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，，，，垂足分别为，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 【分析】证明即可． 【详解】略 21．（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，，分别是的边，上的高，与交于点．若，求证：． 【答案】见解析 【分析】证明，即可求证． 【详解】证明：，分别是的边，上的高， ． ，． ． ， ． ． 22．（25-26八年级下·山西运城·阶段检测）如图，是的中线，交的延长线于点E，于点F，G是上一点，连接． (1)试说明． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵是的中线， ∴ ∵，， ∴ ∵ ∴ ∴； (2) 【分析】（1）结合中线的定义得，再根据，，以及对顶角相等，证明，即可作答． （2）结合，，证明，结合线段的和差关系得，代入数值整理得即． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得，， ∴ ∵，， ∴， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴． 23．（25-26七年级下·辽宁丹东·期中）如图1，在中，，，直线l经过点C，过A作，垂足为D，过B作，垂足为E． (1)求证：； (2)如图2，延长至F，连接，过点C作，且，连接交直线l于点H，若，，则的长为________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（）先推导和的角的关系，再结合，利用全等三角形来证明全等； （）先通过角的推导证明， 得， 则，再证明， 得，求得的值，则，即可求得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：过点作于， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 专题五、全等的性质与“SAS”综合问题 24．（2026·福建厦门·三模）如图，点B， E， C， F在同一条直线上， ，，，求证：． 【答案】证明：∵点B， E， C， F在同一条直线上， ， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴． 【分析】根据，得到，证明，即可得证. 【详解】略 25．（2026·云南大理·一模）如图，已知，，．求证：． 【答案】 证明：， ， 即， 在和中， ， ， ． 【分析】先证明，进而证明，进而得出结论． 【详解】略 26．（23-24八年级上·浙江宁波·开学考试）如图所示，已知，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明出，即可得到； （2）由全等三角形对应角相等求解． 【详解】（1）解：， ，即， 又∵，， ； （2）解：，， ． 27．（25-26九年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，平分交边于点． (1)若的周长为36，的周长为24，求的长； (2)点在的延长线上，是线段的垂直平分线，连接．与平行吗？请说明理由． 【答案】(1)6 (2)，理由如下： ∵是线段的垂直平分线， ∴，， ∴ ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【分析】（1）先证明得，进而得，再根据即可求解； （2）由线段垂直平分线的定义得到，，即可证明得，进而可得，再根据内错角相等，两直线平行，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵平分交边于点， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∵的周长为36， ∴， ∴， ∵的周长为24， ∴， ∴； （2）略 28．（22-23七年级下·陕西西安·阶段检测）在中，，点为射线上一点，连接，过点作线段的垂线，在直线上，分别在点的两侧截取与线段相等的线段和，连接，． (1)当点在线段上时（点不与点，重合），如图线段，所在直线的位置关系为 ，线段，的数量关系为 ． (2)当点在线段的延长线上时，如图，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】(1) (2)仍然成立，理由见解析 【分析】（1）可证，从而可证，即可求解； （2）可证，从而可证，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴ ， ∴ ， 即：， 在和中， ， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ， ∴； 故答案为： ； （2）解：：（1）中的结论仍然成立，理由如下： ∵， ∴ ， ∴ ， 即：， 在和中， ， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ， ∴． 专题六、全等三角形的综合判定（灵活选用判定方法） 29．（25-26八年级上·河南洛阳·期末）如图，，，，与交于点F，连接、． (1)请找出图中的全等三角形； (2)你认为线段与之间存在怎样的数量关系，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)，理由见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，解题关键是熟知全等三角形的判定定理，，，． （1）利用全等三角形的判定定理判定即可； （2）利用得到即可． 【详解】（1）解：在和中， ， ∴； ∴，，， ∴， ∴， 在与中， ； ∴，， ∴，即， 在与中， ， ； 综上，全等三角形有；；； （2）解： 证明：由（1）知， ∴． 30．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）如图，点E、F在直线上，现有以下6个条件：①；②；③；④；⑤；⑥， (1)你准备用我们目前学的全等三角形判定中的________判定定理来判断（注意：边用“S”，角用“A”表示） (2)请用（1）中的判定定理选条件________．（填序号） (3)请你用（1）中的判定（2）中的条件写出证明的证明过程． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)①②③（答案不唯一） (3)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握知识点是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定条件，求解即可； （2）根据全等三角形的判定条件，求解即可； （3）先推导出，再根据证明即可． 【详解】（1）解：我准备用我们目前学的全等三角形判定中的判定定理来判断． 故答案为：（答案不唯一）． （2）解：根据判定定理来判断，需要选条件①②③． 故答案为：①②③（答案不唯一）． （3）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ∴． 31．（24-25七年级下·重庆江北·期末）如图，在 中， 点在的延长线上，于点，，平分 (1)求证：； (2)若是的中点，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)15 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）根据，，得，再根据平分得，由此可依据“”判定和全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）连接，根据点是的中点得，依据“”判定和全等得，由此即可得出的面积． 【详解】（1）根据，， 得， 平分， ， ， 在和中， ， ， ； （2）连接，如图所示： 点是的中点，， ， 在△和△中， ， ， ， ． 32．（25-26八年级上·全国·单元测试）【知识再现】学完“全等三角形”后，我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”是判定直角三角形全等的特有方法． 【简单应用】（1）如图①，在中，，点D，E分别在边上．若，则线段和线段的数量关系是______________． 【拓展延伸】（2）如图②所示，在中，，，点D在边上．若点E在边上，且，则线段与线段相等吗？如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由． 【答案】（1）（2）．证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理和性质；熟练掌握三角形全等的判定定理和性质是解题的关键； （1）通过已知条件即可得出线段关系； （2）通过做辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质证明线段相等． 【详解】解：（1）在中， ， 在和中， ． （2）．证明：如图，过点C作交的延长线于点M，过点B作交的延长线于点N． ， ， ． ， ， ． ． 专题七、三角形中的动点问题（难点） 33．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）如图，在中，，高相交于点，且． (1)求线段的长； (2)设动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，同时动点Q从点B出发，沿线段以每秒4个单位长度的速度向终点C运动，当点Q到达C点时，P、Q两点同时停止运动，连接．求当时，点P的运动时间是多少秒? (3)点F是直线上的一点且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等?若存在，请直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)点的运动时间是1秒； (3)符合条件的t值为1s或s． 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练运用分类讨论的思想解决问题． （1）只要证明即可解决问题； （2）证明，根据全等三角形的性质列式计算即可得结论； （3）分为点F在的延长线时，当时，，可求得结果；当点F在上，点Q在的延长线上时，当时，，即可求得另一个值． 【详解】（1）解：∵是高， ∴， ∵是高， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）解：设点的运动时间为秒，由已知得，， ， ， 由（1）得， ，， 又， 在和中， ， ， ， ， 解得， 点的运动时间是1秒； （3）解：存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等；理由如下： ①如图中，当时， ， ∵，， ∴． ∴， ∴， 解得； ②如图中，当时， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：， 综上所述，存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等；符合条件的t值为1s或s． 34．（25-26七年级下·山东济南·期中）如图在中已知，，是的高，，，直线，动点从点开始沿射线方向以的速度运动，动点也同时从点开始在直线上以的速度向远离点的方向运动，连接、，设运动时间为s． (1)当点在线段上时， （用含的代数式表示）； (2)当的面积为时，求的值； (3)当时，求的值． 【答案】(1) (2)为秒或秒 (3)或 【分析】本题考查了线段的和与差、三角形全等的判定定理与性质，熟记判定定理与性质是解题关键．需注意的一点是：动点D的位置要分情况讨论，避免漏解． （1）根据求解即可． （2）根据可求出的长，因为要求t则需要求出的长，由点D的位置可知，需分点D在点B右侧和点D在点B左侧两种情况，根据线段的和与差分别讨论即可； （3）先假设，则有，同（2）分两种情况讨论解出t的值，再检验两种情况下的t值，能否使得即可． 【详解】（1）解：当点在线段上时，， ． （2）解：， ， 求的长分以下两种情况： 若在点右侧，，即，则； 若在点左侧，，即，则. 综上所述：当为或时，的面积为； （3）解：如果，则有 同（2）分两种情况： ①若在点右侧，当E在射线上时，D必在上，如下图： 则 由，即可得： 检验： 因此，由定理可得， ②若在点左侧，当E在的反向延长线上时，D必在延长线上，如下图： 则，， 由，即可得： 检验： ， ∴由定理可得， 综上，秒或4秒时，． 35．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，直线，平分，过点作交于点．动点，同时从点出发，其中动点以的速度沿射线运动，动点以的速度在直线上运动．已知，设动点，的运动时间为．当动点在直线上运动时，若与全等，则的值为______． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 分当在线段上时，，当在线段上时，，当在线段延长线上时，，当在线段延长线上时，四种情况，然后根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ，平分， ∴， ∴当在线段上时，， ∴， ∵，， ∴ ， 解得：， 当在线段上时，， ∴， ∵，， ∴ ， 解得：， 当在线段延长线上时，， ∴， ∵，， ∴ ， 解得：， 当在线段延长线上时，， ∴， ∵，， ∴ ， 解得：， ∴若与全等，则的值为或， 故答案为：或． 36．（23-24八年级上·山东聊城·阶段检测）如图，在中，，，，动点从点出发沿的路径向终点运动，动点沿的路径向终点运动动点和动点分别以每秒和的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，在某时刻分别过点和作于，于，则点运动时间为________秒时，与全等．    【答案】2或 【分析】根据题意分为三种情况，根据全等三角形的性质得出，代入得出关于t的方程，求出即可． 【详解】解：作于E，作于F． 分以下情况：①如图1，P在上，Q在上，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵与全等， ∴， 即， ； ②如图2，P在上，Q在上，    ∵由①知：， ∴， ∴； ∵， ∴此种情况不符合题意； ③当P、Q都在上时，如图3，   ， ． 综上所述，点运动时间为2或，与全等， 故答案为：2或． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，以及一元一次方程的应用，熟知全等三角形的对应边相等是解题的关键． 37．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，直线经过的直角顶点C，动点D以的速度从A出发，沿移动到点B，动点E以的速度从B出发，沿移动到A，两动点中有一点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作的垂线，垂足分别为P、Q，若，设运动时间为，则当t的值为________时，以D、P、C为顶点的三角形与以E、Q、C为顶点的三角形全等． 【答案】1或或6 【分析】本题主要查了全等三角形的性质．分三种情况讨论，当E在线段上时，此时D在线段上，当E在线段上，且D在线段上时，当E到达A时，且D在线段上，即可求解． 【详解】解：∵， ∴分别以为斜边的直角三角形， ∴当D、P、C为顶点的三角形与以E、Q、C为顶点的三角形全等时，， 当E在线段上，D在线段上时，此时，则 ， ∴， 解得：； 当E在线段上，且D在线段上时，此时，则 ， ∴， 解得：； 当E到达A时，且D在线段上，此时，则 ，， ∴， 解得：， 综上所述：当t的值为1或或6时，以D、P、C为顶点的三角形与以E、Q、C为顶点的三角形全等． 故答案为：1或或6 38．（25-26八年级上·甘肃临夏·期中）如图，在中，是上的一点，，，，动点从点出发向点运动，速度为，同时动点从点出发向点匀速运动，连接、，在运动过程中，存在某一时刻使与全等，则点的运动速度为______． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，设运动时间为，则，，再分和两种情况，利用全等三角形的性质解答即可求解，掌握全等三角形的性质并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：设运动时间为，则， ∴， ∵， 当时，，， ∴，， 解得，， ∴点的运动速度为； 当时，，， ∴，， 解得， ∴点的运动速度为； 综上，点的运动速度为或， 故答案为：或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 全等三角形的判定与性质综合计算及证明专项训练 专题一、三角形的三边关系 1．（25-26七年级下·河南周口·期中）已知的三边长分别为，，． (1)若，，满足，试判断的形状； (2)若，，且为整数，求的周长． 2．（25-26七年级下·广东佛山·阶段检测）已知的三边长分别为a，b，c． (1)若a，b，c满足，试判断的形状； (2)若，，且c为整数，求的周长； (3)直接写出化简结果：________． 3．（25-26七年级下·上海宝山·阶段检测）一个等腰三角形的三边长分别为7、、，求x的值，并求这个等腰三角形三边的长． 4．（23-24八年级上·河北邢台·阶段检测）已知的三边分别为．若满足． (1)___________，___________； (2)若为整数，求的周长． 5．（2026八年级下·江苏·专题练习）已知a、b、c是的三边，a、b使等式成立，且c是偶数，求的周长． 专题二、三角形的高线、中线、角平分线问题 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，为△的中线，为的中线． (1)作图：在△中作出边上的高；边上的高； (2)若的面积为40，，则中边上的高为多少？ 7．（24-25七年级下·河北保定·期中）在学习了三角形的高之后，某学习小组进一步研究发现，三角形面积公式()变形可得：，适用于已知三角形面积和底边，求三角形高的情况． (1)若三角形的面积为10，底为4，则高为______； (2)如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C，D在格点上，． ①求中边上的高； ②点P是线段上任意一点，则最短为______． 8．（25-26八年级上·山西朔州·阶段检测）数学经验：三角形的中线、角平分线、高是三角形中的重要线段，同时，我们知道，三角形的三条高所在直线交于同一点． 请根据数学经验，完成下列问题： (1)如图①，在中，，则的三条高所在直线交于点_____________； (2)如图②，在中，，已知两条高，，请你仅用一把无刻度的直尺画出的第三条高；（不写画法，保留画图痕迹） (3)如图②，若，，求的值． 9．（25-26八年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，是的中线，，则和的周长差为多少？ 10．（18-19八年级下·广西北海·期中）如图，在中，分别是边上的中线，若，，且的周长为，求的长． 11．（21-22七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，，为边上的高，为三角形的角平分线，与相交于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长度． 12．（25-26八年级上·河南信阳·期中）如图，在中，是角平分线，点D在边上（不与点A，B重合），与交于点O． (1)若是中线，，则与的周长差为______． (2)若，是的高，求的度数． 专题三、全等的性质与“SSS”综合问题 13．（21-22八年级上·广西梧州·期末）如图，，点E在射线上，，求证：平分． 14．（25-26九年级上·陕西渭南·阶段检测）如图，在和中，点、、、在同一条直线上，，，．求证：． 15．（25-26八年级上·浙江丽水·期末）某校数学兴趣小组制作了如图所示的“角平分线仪”，点E，F分别固定在的两边上，且，点D在手柄上可自由滑动，且．试问：角平分线仪的手柄是否始终平分？请说明理由． 16．（25-26九年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，点，，，在同一条直线上，，，．与相等吗？请说明理由． 17．（25-26八年级上·浙江湖州·阶段检测）已知． (1)求证：； (2)，求的度数． 专题四、全等的性质与“AAS”或“ASA”综合问题 18．（25-26七年级下·河南商丘·阶段检测）如图，在中，于点D，过点B作于点E，交于点F，．求证：． 19．（2026·福建泉州·模拟预测）如图，点在的边上，，，．求证：． 20．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，，，，垂足分别为，，．求证：． 21．（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，，分别是的边，上的高，与交于点．若，求证：． 22．（25-26八年级下·山西运城·阶段检测）如图，是的中线，交的延长线于点E，于点F，G是上一点，连接． (1)试说明． (2)若，，求的长． 23．（25-26七年级下·辽宁丹东·期中）如图1，在中，，，直线l经过点C，过A作，垂足为D，过B作，垂足为E． (1)求证：； (2)如图2，延长至F，连接，过点C作，且，连接交直线l于点H，若，，则的长为________． 专题五、全等的性质与“SAS”综合问题 24．（2026·福建厦门·三模）如图，点B， E， C， F在同一条直线上， ，，，求证：． 25．（2026·云南大理·一模）如图，已知，，．求证：． 26．（23-24八年级上·浙江宁波·开学考试）如图所示，已知，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 27．（25-26九年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，平分交边于点． (1)若的周长为36，的周长为24，求的长； (2)点在的延长线上，是线段的垂直平分线，连接．与平行吗？请说明理由． 28．（22-23七年级下·陕西西安·阶段检测）在中，，点为射线上一点，连接，过点作线段的垂线，在直线上，分别在点的两侧截取与线段相等的线段和，连接，． (1)当点在线段上时（点不与点，重合），如图线段，所在直线的位置关系为 ，线段，的数量关系为 ． (2)当点在线段的延长线上时，如图，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 专题六、全等三角形的综合判定（灵活选用判定方法） 29．（25-26八年级上·河南洛阳·期末）如图，，，，与交于点F，连接、． (1)请找出图中的全等三角形； (2)你认为线段与之间存在怎样的数量关系，请说明理由． 30．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）如图，点E、F在直线上，现有以下6个条件：①；②；③；④；⑤；⑥， (1)你准备用我们目前学的全等三角形判定中的________判定定理来判断（注意：边用“S”，角用“A”表示） (2)请用（1）中的判定定理选条件________．（填序号） (3)请你用（1）中的判定（2）中的条件写出证明的证明过程． 31．（24-25七年级下·重庆江北·期末）如图，在 中， 点在的延长线上，于点，，平分 (1)求证：； (2)若是的中点，，，求的面积． 32．（25-26八年级上·全国·单元测试）【知识再现】学完“全等三角形”后，我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”是判定直角三角形全等的特有方法． 【简单应用】（1）如图①，在中，，点D，E分别在边上．若，则线段和线段的数量关系是______________． 【拓展延伸】（2）如图②所示，在中，，，点D在边上．若点E在边上，且，则线段与线段相等吗？如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由． 专题七、三角形中的动点问题（难点） 33．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）如图，在中，，高相交于点，且． (1)求线段的长； (2)设动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，同时动点Q从点B出发，沿线段以每秒4个单位长度的速度向终点C运动，当点Q到达C点时，P、Q两点同时停止运动，连接．求当时，点P的运动时间是多少秒? (3)点F是直线上的一点且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等?若存在，请直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 34．（25-26七年级下·山东济南·期中）如图在中已知，，是的高，，，直线，动点从点开始沿射线方向以的速度运动，动点也同时从点开始在直线上以的速度向远离点的方向运动，连接、，设运动时间为s． (1)当点在线段上时， （用含的代数式表示）； (2)当的面积为时，求的值； (3)当时，求的值． 35．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，直线，平分，过点作交于点．动点，同时从点出发，其中动点以的速度沿射线运动，动点以的速度在直线上运动．已知，设动点，的运动时间为．当动点在直线上运动时，若与全等，则的值为______． 36．（23-24八年级上·山东聊城·阶段检测）如图，在中，，，，动点从点出发沿的路径向终点运动，动点沿的路径向终点运动动点和动点分别以每秒和的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，在某时刻分别过点和作于，于，则点运动时间为________秒时，与全等．    37．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，直线经过的直角顶点C，动点D以的速度从A出发，沿移动到点B，动点E以的速度从B出发，沿移动到A，两动点中有一点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作的垂线，垂足分别为P、Q，若，设运动时间为，则当t的值为________时，以D、P、C为顶点的三角形与以E、Q、C为顶点的三角形全等． 38．（25-26八年级上·甘肃临夏·期中）如图，在中，是上的一点，，，，动点从点出发向点运动，速度为，同时动点从点出发向点匀速运动，连接、，在运动过程中，存在某一时刻使与全等，则点的运动速度为______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $